中学受験ー算数解き方ポータル

2018年11月23日 (金) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, クイズ, パズル, 条件整理と推理, 論理と推理 | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

2018年3月13日 (火)

おもりの軽い順に並べて！（今年　２０１８年　筑波大学附属中学）

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重さが異なる４つのおもり　Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄがあります。

この４つのおもりからいくつか選んでてんびんにのせたところ、

下の図のような関係になりました。

４つのおもりＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄを解答用紙に左から軽い順に答えなさい。

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一番上と下では、右側が同じなので、

Aの方がBより重いことがわかります。

真ん中では、AとBの差だけ、

DがAより重いことがわかります。

すると、DはAとBの差の２倍Bより重いことがわかります。

一番下では釣り合っているので、DとBの差と同じだけ、

CがBより軽いはずです。

したがって、軽い順に、

CBAD

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2017年7月18日 (火)

A、B、C、Dの順位は？（今年　２０１７年　大阪教育大学附属池田中学）

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Ａ　Ｂ　Ｃ　Ｄの４人が４つの種目

（５０ｍ走、立ちはばとび、ソフトボール投げ、とび箱）　から

３つの種目を選んで参加しました。

その結果について、次のことが分かっています。

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・どの種目も、３人ずつ参加しました。

・どの種目でも、同じ順位の人はいませんでした。

・４人とも、複数の種目で同じ順位は取りませんでした。

・Ｂはソフトボール投げで１位でした。

・Ｃはとび箱で３位でした。

・Ｄはソフトボール投げに参加していません。

・Ａの５０ｍ走、Ｂの立ちはばとび、

　　Ｃのソフトボール投げ、Ｄのとび箱の順位は同じです。

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（１）Cが１位をとった種目はなんですか？

（２）５０ｍ走で１位をとった人はだれですか？

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最初の条件を整理すると下の表のようになります。

〇には同じ順位が入りますが、

１位だとBが複数１位、３位だとCが複数３位になり、不適当、

したがって、〇には２位が入り、

Aのソフトは３位に決まります。

Bのとび箱には１～３位いずれも入らないので不参加、

その結果、Aのとび箱は１位で、立ち幅跳びは不参加。

Bの５０ｍ走は３位、

Cは立ち幅跳びに不参加にならないので、１位、５０ｍ走不参加、

その結果、以下の表のような順位になり、

（１）Cは立ち幅跳びが１位

（２）５０ｍ走１位はD

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2017年6月11日 (日)

Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄの文字は、どこに入る？（今年　２０１７年　慶應義塾湘南藤沢中等部）

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下のような１６個のますの中に、

Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄの４個の文字が次の条件を満たすように入っています。

・１個のますには１個の文字だけを入れることができる。

・同じ段、同じ列の中には文字は1個だけしか入らない。

・ＡはＢより３列左に入っている。

・ＤはＡより２段下に入っている。

・ＢはＣより２列右に入っている。

・ＢはCより下の段に入っている。

・４個の文字がななめに一列にならぶことはない。

Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄの文字はそれぞれ、どこに入りますか？

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ＡはＢより３列左、ＢはＣより２列右　より、

A、B、C、Dの列が以下のようにわかります。

DはAより2段下なので、Aをあ段、ア列に入れると・・・

ななめ１列になってしまい、不適当。

したがって、以下の通りに入ります。

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2017年5月21日 (日)

Dは何勝何敗でしたか？（今年２０１７年の問題から　桜美林中学）

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Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄの４人が１対１で行うゲームをしました。

お互いに１回は必ず対戦し、同じ人と２回対戦した人もいました。

すべてのゲームで引き分けはなく

結果はＡが１勝２敗、Ｂが３勝、Ｃが４敗でした。

このとき、次の問いに答えなさい。

（１）Ａは誰に勝ちましたか？

（２）Dは何勝何敗でしたか？

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対戦表にまとめると下の表のようになります。

5211

AはBに負け、Cに勝ち、1勝２敗なので、

Dに負けたことになります。

AもBも３回対戦し、Cが４敗なので、Dが４回対戦しています。

DはCと２回対戦して２勝したことになり、

３勝１敗です。

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2017年2月 4日 (土)

開いている？閉まっている？（今年、２０１７年　筑波大学附属駒場中学）

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扉のついたロッカーが２００個あり、

それぞれのロッカーに１から２００までの番号がひとつずつ書いてあります。

最初、すべてのロッカーは扉が閉まっています。

これら２００個のロッカーに、次の１００回の操作を行います。

なお、以下で『開閉する』とは、ロッカーが閉まっていれば開け、

開いていれば閉めることです。

１回目すべてのロッカーを開ける

２回目番号が２の倍数であるすべてのロッカーを閉める

３回目番号が３の倍数であるすべてのロッカーを開閉する

４回目番号が４の倍数であるすべてのロッカーを開閉する

・・・・・・・・・・

１００回目番号が１００の倍数であるすべてのロッカーを開閉する

例えば２回目の操作の直後は、

番号が奇数である１００個のロッカーが開いていて、

番号が偶数である１００個のロッカーは閉まっています。

１００回目の操作が終わったとして、次の問いに答えなさい。

（１）番号が１から１０までの１０個のロッカーのうち、

　　　開いているロッカーの番号をすべて書きなさい。

（２）番号が９９、１００、１０１のロッカーは、それぞれ何回開閉されましたか。

　　　開けた回数と閉めた回数の合計を答えなさい。

（３）２００個のロッカーのうち、開いているロッカーは何個ありますか。

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（１）１～１０までのロッカーは、

１１回目～１００回目の操作はには影響されないので、

１～１０回目までの操作（赤字）について調べます。

241

開いているロッカーは、１と４と９です。

（２）１００までの、それぞれの約数について調べます。

９９→１、３、９、１１、３３、９９　なので、６回

１００→１、２、４、５、１０、２０、２５、５０、１００　なので、９回

１０１→１　なので、１回

（３）１６回の操作まで調べていくと、

242

開いているロッカーは、

１、４、９、１６・・・と、平方数になっていることがわかります。

１００までに平方数は、

１、４、９、１６、２５、３６、４９、６４、８１、１００　と１０個あります。

操作は１００回で終わってしまうので、

１０１～２００の場合は、自分自身の操作回数がないので、

１回分開閉がされず、

平方数のロッカーは閉まっていて、それ以外は開いていることになります。

１０１～２００までの平方数は、１２１、１４４、１６９、１９６の４つなので、

１００－４＝９６個が開いていることになります。

したがって、開いている合計は、１０＋９６＝１０６個です。

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2016年11月22日 (火)

最少何本の線で囲めるかな？（２００６年算数オリンピック、トライアル問題より）

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１枚の紙の上に何個かの点があるとき、

以下のルールにしたがって点と点をまっすぐな線で結びます。

ルール1）どの点も最低１個のほかの点と結ばれるようにする。

ルール2）線どうしは交わらないようにする。

このとき、線でかこまれた部分を［区域］とよび、

その個数を数えます。

たとえば６個の点があるとき、（図1）や（図2）の場合は３個、

（図3）の場合は４個の区域があることになります。

いま、１枚の紙の上に2006個の点があり、

これらの点どうしをルールにしたがって

まっすぐな線で結んで2006個の区域を作るとき、

最少で何本の線を引いたらよいですか。

ただし、どの線も必ず区域をかこんでいるものとします。

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３点で１つの区域を囲んでいる△黄を考えます。

この図形にＡ点を１個加えるとします。

Ａと他の２点をそれぞれ線で結ばないと区域ができないので、

区域を１個増やすには２本の線が必要ですが、

点Ｂのような場所に点をとれば、２本の線を引いた後に点の数を増やさず、

新たに線を１本引くだけで区域をもう１個さらに増やすことができます。

そこで、まず３個の点を３本の線で結び△黄を作ります。

３個の点で１つの区域を囲んでいるこの状態から、

点をＡ点のように１個ずつ増やしていき、点の数が2006個になるまでを考えます。

このとき、区域の数は１＋（２００６－３）＝２００４個となります。

また、線の数は、３＋２×（２００６－３）＝４００９本となります。

次に、この状態から点の数を増やさずに、

線の数を増やして区域の数を２００６個にする（２個増やす）ことを考えます。

つまり、図のように黄色部分で２００４個の点で区域が囲まれているとき、

点Ｂのような場所に２点加えます。

すると、区域を１つ増やすには１本線（赤線）を引けばよいので、

区域を２００６個にするには２本の線を引けばよいことになります。

したがって、線の数は、４００９＋２＝４０１１本　です。

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2016年10月11日 (火)

砂時計で時間を計るには？（頌栄女子学院中学　2012年）　

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３分を計ることができる砂時計Ａと、

７分を計ることができる砂時計Ｂがあります。

この２つの砂時計を使って、

１１分を計るにはどのようにしたらよいか説明してください。

3_3 3_4

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１１分＝４分＋７分　と考えてみます。

Bandicam_20161011_080953984

Bandicam_20161011_081006294

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2016年9月18日 (日)

A×B×Cは？（２０１６年　青山学院中等部）

Bandicam20160918

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２つのさいころが図のように並んでいます。

さいころの向かい合う目の和は７になっています。

ＡとＢとＣの目の和が７のとき、ＡとＢとＣの目の積はいくつですか？

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Aは、５、２、４、３　のいずれかで、

Bは、Aが５か２なら４か３、Aが４か３なら５か２　です。

Cは、１、３、４、６　のいずれかなので、

①

A　　　B　　　C

５　　　４　　　１、３、４、６

②

A　　　B　　　C

５　　　３　　　１、３、４、６

③

A　　　B　　　C

２　　　４　　　１、３、４、６

④

A　　　B　　　C

２　　　３　　　１、３、４、６

①～④の組み合わせで、A＋B＋C＝７　になるのは、

③の、２＋４＋１　の場合だけなので、

A×B×C＝２×４×１＝８

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2016年9月11日 (日)

全部落ちるまでに何分かかる？（２０１６年　浅野中学）

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１回で６分よりも長く計れる砂時計があります。

砂が全部落ちている状態から砂時計の上下をひっくり返します。

６分たったらまたひっくり返し、

さらに５分、４分、３分、２分たったら、それぞれひっくり返します。

最後にひっくり返してから砂が全部落ちるまでに何分かかりますか。

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最初、上には６分分の砂⑥と余分の砂□が入っています。

上→⑥＋□　　　　　下→０

６分後

上→□　　　　　　　　下→⑥

ひっくり返して、５分後

上→⑥－⑤＝①　　下→⑤＋□

ひっくり返して、４分後

上→⑤－④＝①と□　　下→①＋④＝⑤

ひっくり返して、３分後

上→⑤－③＝②　　下→①＋③＋□＝④＋□

ひっくり返して２分後

上→④－②＝②と□　　下→②＋②＝④

ここでひっくり返すと、下の④が上になり、４分で全部落ちます。

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