目次

論理と推理

2018年11月23日 (金)

立方体に書かれていないと考えられる数字は?(今年 2018年 神奈川大学附属中学)

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A君が2~10 までの数字の中から、異なる数字を6つ選び、

その数字を立方体の各面に1つずつ 書きました。

それを見たB君、Cさん、D君が次のような発言をしました。

B君 「普通のさいころと違って、向かい合っている面の数字の合計が

    すべて8以上になっているな。」

Cさん 「向かい合っている面の数字の合計が15になっている組み合わせが

     1組あったね。あと4の 面もあったね。」

D君 「2の面と隣り合っている面には、素数が1つも書かれていなかったけど、

     A君は気がついているのかな。」

2~10 までの数字の中で、立方体に書かれていないと考えられる数字を

すべて答えなさい。

Pfa010sPfa020sPfa021s

Paper

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解法のヒント

Panda250

素数は1と自分自身でしか割れない数

2、3、5、7

素数ではない数

4、6、8、9、10

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解法例

Bandicam_20181123_100349136

上面を2とすると、

側面は、素数でない、4、6、8、9、10

このうち合計が15となる組み合わせは、6と9

2+4=6 <8 より、

4は2の向かい合う面にはならないので、側面の1つ

 4の向かい合う面には、8と10の可能性があり、

2の向かい合う面には、7、8、10の可能性があるので、

書かれていないと考えられる数は、3と5

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682

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2018年3月13日 (火)

おもりの軽い順に並べて!(今年 2018年 筑波大学附属中学)

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重さが異なる4つのおもり A,B,C,Dがあります。

この4つのおもりからいくつか 選んでてんびんにのせたところ、

下の図のような関係になりました。

4つのおもり A,B,C,Dを解答用紙に左から軽い順に答えなさい。


3131

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一番上と下では、右側が同じなので、

Aの方がBより重いことがわかります。

真ん中では、AとBの差だけ、

DがAより重いことがわかります。

すると、DはAとBの差の2倍Bより重いことがわかります。

一番下では釣り合っているので、DとBの差と同じだけ、

CがBより軽いはずです。

したがって、軽い順に、

CBAD

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2017年7月18日 (火)

A、B、C、Dの順位は?(今年 2017年 大阪教育大学附属池田中学)

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A B C Dの4人が4つの種目

(50m走、立ちはばとび、ソフトボール投げ、とび箱) から

3つの種目を選んで参加しました。

その結果について、次のことが分かっています。


ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

・どの種目も、3人ずつ参加しました。

・どの種目でも、同じ順位の人はいませんでした。

・4人とも、複数の種目で同じ順位は取りませんでした。

・Bはソフトボール投げで1位でした。

・Cはとび箱で3位でした。

・Dはソフトボール投げに参加していません。

・Aの50m走、Bの立ちはばとび、

  Cのソフトボール投げ、Dのとび箱の順位は同じです。

ーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーーー

(1)Cが1位をとった種目はなんですか?

(2)50m走で1位をとった人はだれですか?

Ilm03_bb01006s

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最初の条件を整理すると下の表のようになります。

7184

〇には同じ順位が入りますが、

1位だとBが複数1位、3位だとCが複数3位になり、不適当、

したがって、〇には2位が入り、

Aのソフトは3位に決まります。

7182

Bのとび箱には1~3位いずれも入らないので不参加、

その結果、Aのとび箱は1位で、立ち幅跳びは不参加。

Bの50m走は3位、

Cは立ち幅跳びに不参加にならないので、1位、50m走不参加、

その結果、以下の表のような順位になり、

7183_2

(1)Cは立ち幅跳びが1位

(2)50m走1位はD

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2017年6月11日 (日)

A、B、C、Dの文字は、どこに入る?(今年 2017年 慶應義塾湘南藤沢中等部)

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下のような16個のますの中に、

A、B、C、Dの4個の文字が次の条件を満たすように 入っています。

6111

・1個のますには1個の文字だけを入れることができる。

・ 同じ段、同じ列の中には文字は1個だけしか入らない。

・AはBより3列左に入っている。

・DはAより2段下に入っている。

・BはCより2列右に入っている。

・BはCより下の段に入っている。

・4個の文字がななめに一列にならぶことはない。


A、B、C、Dの文字はそれぞれ、どこに入りますか?

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AはBより3列左、BはCより2列右 より、

A、B、C、Dの列が以下のようにわかります。

6112

DはAより2段下なので、Aをあ段、ア列に入れると・・・

6113

ななめ1列になってしまい、不適当。

したがって、以下の通りに入ります。

6114

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2017年5月21日 (日)

Dは何勝何敗でしたか?(今年2017年の問題から 桜美林中学)

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A、B、C、Dの4人が1対1で行うゲームをしました。

お互いに1回は必ず対戦し、同じ人と2回対戦した人もいました。

すべてのゲームで引き分けはなく

結果はAが1勝2敗、Bが3勝、Cが4敗でした。

このとき、次の問いに答えなさい。

(1)Aは誰に勝ちましたか ?

(2)Dは何勝何敗でしたか?

Ilm11_bc07010s

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対戦表にまとめると下の表のようになります。

5211

AはBに負け、Cに勝ち、1勝2敗なので、

Dに負けたことになります。

AもBも3回対戦し、Cが4敗なので、Dが4回対戦しています。

DはCと2回対戦して2勝したことになり、

3勝1敗です。

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2017年2月 4日 (土)

開いている?閉まっている?(今年、2017年 筑波大学附属駒場中学)

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扉のついたロッカーが200個あり、

それぞれのロッカーに1から200までの番号がひとつずつ書いてあります。

最初、すべてのロッカーは扉が閉まっています。

これら200個のロッカーに、次の100回の操作を行います。

なお、以下で『開閉する』とは、ロッカーが閉まっていれば開け、

開いていれば閉めることです。

1回目 すべてのロッカーを開ける

2回目 番号が2の倍数であるすべてのロッカーを閉める

3回目 番号が3の倍数であるすべてのロッカーを開閉する

4回目 番号が4の倍数であるすべてのロッカーを開閉する

・・・・・・・・・・

100回目 番号が100の倍数であるすべてのロッカーを開閉する

例えば2回目の操作の直後は、

番号が奇数である100個のロッカーが開いていて、

番号が偶数である100個のロ ッカーは閉まっています。

100回目の操作が終わったとして、次の問いに答えなさい。

(1)番号が 1から10までの10個のロ ッカーのうち、

   開いているロッカーの番号をすべて書きなさい。

(2)番号が99、100、101のロッカーは、それぞれ何回開閉されましたか。

   開けた回数と閉めた回数の合計を答えなさい。

(3)200個のロッカーのうち、開いているロッカーは何個ありますか。

Locker

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(1) 1~10までのロッカーは、

11回目~100回目の操作はには影響されないので、

1~10回目までの操作(赤字)について調べます。

241

開いているロッカーは、1と4と9です。

(2)100までの、それぞれの約数について調べます。

99→1、3、9、11、33、99  なので、6回

100→1、2、4、5、10、20、25、50、100  なので、9回

101→1 なので、1回

(3)16回の操作まで調べていくと、

242

開いているロッカーは、

1、4、9、16・・・と、平方数になっていることがわかります。

100までに平方数は、

1、4、9、16、25、36、49、64、81、100 と10個あります。

操作は100回で終わってしまうので、

101~200の場合は、自分自身の操作回数がないので、

1回分開閉がされず、

平方数のロッカーは閉まっていて、それ以外は開いていることになります。

101~200までの平方数は、121、144、169、196の4つなので、

100-4=96個が開いていることになります。

したがって、開いている合計は、10+96=106個です。

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2016年11月22日 (火)

最少何本の線で囲めるかな?(2006年算数オリンピック、トライアル問題より)

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1枚の紙の上に何個かの点があるとき、

以下のルールにしたがって点と点をまっすぐな線で結びます。

ルール1)どの点も最低1個のほかの点と結ばれるようにする。

ルール2)線どうしは交わらないようにする。

このとき、線でかこまれた部分を[区域]とよび、

その個数を数えます。

たとえば6個の点があるとき、(図1)や(図2)の場合は3個、

(図3)の場合は4個の区域があることになります。

1

いま、1枚の紙の上に2006個の点があり、

これらの点どうしをルールにしたがって

まっすぐな線で結んで2006個の区域を作るとき、

最少で何本の線を引いたらよいですか。

ただし、どの線も必ず区域をかこんでいるものとします。

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----------------------------------------------------

2

3点で1つの区域を囲んでいる△黄を考えます。

この図形にA点を1個加えるとします。

Aと他の2点をそれぞれ線で結ばないと区域ができないので、

区域を1個増やすには2本の線が必要ですが、

点Bのような場所に点をとれば、2本の線を引いた後に点の数を増やさず、

新たに線を1本引くだけで区域をもう1個さらに増やすことができます。

そこで、まず3個の点を3本の線で結び△黄を作ります。

3個の点で1つの区域を囲んでいるこの状態から、

点をA点のように1個ずつ増やしていき、点の数が2006個になるまでを考えます。

このとき、区域の数は1+(2006-3)=2004個となります。

また、線の数は、3+2×(2006-3)=4009本となります。

次に、この状態から点の数を増やさずに、

線の数を増やして区域の数を2006個にする(2個増やす)ことを考えます。

つまり、図のように黄色部分で2004個の点で区域が囲まれているとき、

点Bのような場所に2点加えます。

3

すると、区域を1つ増やすには1本線(赤線)を引けばよいので、

区域を2006個にするには2本の線を引けばよいことになります。

したがって、線の数は、4009+2=4011本 です。

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2016年10月11日 (火)

砂時計で時間を計るには?(頌栄女子学院中学 2012年) 

Gif912 5

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3分を計ることができる砂時計A と 、

7分を計ることができる砂時計B があります。

この2つの砂時計を使って、

11分を計るにはどのようにしたらよいか説明してください。

3_3 3_4

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11分=4分+7分 と考えてみます。

Bandicam_20161011_080953984

Bandicam_20161011_081006294

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2016年9月18日 (日)

A×B×Cは?(2016年 青山学院中等部)

Bandicam20160918

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2つのさいころが図のように並んでいます。

さいころの向かい合う目の和は7になっています。

AとBとCの目の和が7のとき、 AとBとCの目の積はいくつですか?

Bandicam201609180911

---------------------------------------------------

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Aは、5、2、4、3 のいずれかで、

Bは、Aが5か2なら4か3、Aが4か3なら5か2 です。

Cは、1、3、4、6 のいずれかなので、

A   B   C

5   4   1、3、4、6

A   B   C

5   3   1、3、4、6

A   B   C

2   4   1、3、4、6

A   B   C

2   3   1、3、4、6

①~④の組み合わせで、A+B+C=7 になるのは、

③の、2+4+1 の場合だけなので、

A×B×C=2×4×1=8

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2016年9月11日 (日)

全部落ちるまでに何分かかる?(2016年 浅野中学)

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1回で6分よりも長く計れる砂時計があります。

砂が全部落ちている状態から砂時計の上下をひっくり返します。

6分たったらまたひっくり返し、

さらに5分、4分、 3分、2分たったら、それぞれひっくり返します。

最後にひっくり返してから砂が全部落ちるまでに何分かかりますか。

911

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最初、上には6分分の砂⑥と余分の砂□が入っています。

上→⑥+□     下→0

6分後

上→□        下→⑥

ひっくり返して、5分後

上→⑥-⑤=①  下→⑤+□

ひっくり返して、4分後

上→⑤-④=①と□  下→①+④=⑤

ひっくり返して、3分後

上→⑤-③=②  下→①+③+□=④+□

ひっくり返して2分後

上→④-②=②と□  下→②+②=④

ここでひっくり返すと、下の④が上になり、4分で全部落ちます。

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