目次

論理と推理

2017年5月21日 (日)

Dは何勝何敗でしたか?(今年2017年の問題から 桜美林中学)

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A、B、C、Dの4人が1対1で行うゲームをしました。

お互いに1回は必ず対戦し、同じ人と2回対戦した人もいました。

すべてのゲームで引き分けはなく

結果はAが1勝2敗、Bが3勝、Cが4敗でした。

このとき、次の問いに答えなさい。

(1)Aは誰に勝ちましたか ?

(2)Dは何勝何敗でしたか?

Ilm11_bc07010s

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対戦表にまとめると下の表のようになります。

5211

AはBに負け、Cに勝ち、1勝2敗なので、

Dに負けたことになります。

AもBも3回対戦し、Cが4敗なので、Dが4回対戦しています。

DはCと2回対戦して2勝したことになり、

3勝1敗です。

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2017年2月 4日 (土)

開いている?閉まっている?(今年、2017年 筑波大学附属駒場中学)

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扉のついたロッカーが200個あり、

それぞれのロッカーに1から200までの番号がひとつずつ書いてあります。

最初、すべてのロッカーは扉が閉まっています。

これら200個のロッカーに、次の100回の操作を行います。

なお、以下で『開閉する』とは、ロッカーが閉まっていれば開け、

開いていれば閉めることです。

1回目 すべてのロッカーを開ける

2回目 番号が2の倍数であるすべてのロッカーを閉める

3回目 番号が3の倍数であるすべてのロッカーを開閉する

4回目 番号が4の倍数であるすべてのロッカーを開閉する

・・・・・・・・・・

100回目 番号が100の倍数であるすべてのロッカーを開閉する

例えば2回目の操作の直後は、

番号が奇数である100個のロッカーが開いていて、

番号が偶数である100個のロ ッカーは閉まっています。

100回目の操作が終わったとして、次の問いに答えなさい。

(1)番号が 1から10までの10個のロ ッカーのうち、

   開いているロッカーの番号をすべて書きなさい。

(2)番号が99、100、101のロッカーは、それぞれ何回開閉されましたか。

   開けた回数と閉めた回数の合計を答えなさい。

(3)200個のロッカーのうち、開いているロッカーは何個ありますか。

Locker

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(1) 1~10までのロッカーは、

11回目~100回目の操作はには影響されないので、

1~10回目までの操作(赤字)について調べます。

241

開いているロッカーは、1と4と9です。

(2)100までの、それぞれの約数について調べます。

99→1、3、9、11、33、99  なので、6回

100→1、2、4、5、10、20、25、50、100  なので、9回

101→1 なので、1回

(3)16回の操作まで調べていくと、

242

開いているロッカーは、

1、4、9、16・・・と、平方数になっていることがわかります。

100までに平方数は、

1、4、9、16、25、36、49、64、81、100 と10個あります。

操作は100回で終わってしまうので、

101~200の場合は、自分自身の操作回数がないので、

1回分開閉がされず、

平方数のロッカーは閉まっていて、それ以外は開いていることになります。

101~200までの平方数は、121、144、169、196の4つなので、

100-4=96個が開いていることになります。

したがって、開いている合計は、10+96=106個です。

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2016年11月22日 (火)

最少何本の線で囲めるかな?(2006年算数オリンピック、トライアル問題より)

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1枚の紙の上に何個かの点があるとき、

以下のルールにしたがって点と点をまっすぐな線で結びます。

ルール1)どの点も最低1個のほかの点と結ばれるようにする。

ルール2)線どうしは交わらないようにする。

このとき、線でかこまれた部分を[区域]とよび、

その個数を数えます。

たとえば6個の点があるとき、(図1)や(図2)の場合は3個、

(図3)の場合は4個の区域があることになります。

1

いま、1枚の紙の上に2006個の点があり、

これらの点どうしをルールにしたがって

まっすぐな線で結んで2006個の区域を作るとき、

最少で何本の線を引いたらよいですか。

ただし、どの線も必ず区域をかこんでいるものとします。

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2

3点で1つの区域を囲んでいる△黄を考えます。

この図形にA点を1個加えるとします。

Aと他の2点をそれぞれ線で結ばないと区域ができないので、

区域を1個増やすには2本の線が必要ですが、

点Bのような場所に点をとれば、2本の線を引いた後に点の数を増やさず、

新たに線を1本引くだけで区域をもう1個さらに増やすことができます。

そこで、まず3個の点を3本の線で結び△黄を作ります。

3個の点で1つの区域を囲んでいるこの状態から、

点をA点のように1個ずつ増やしていき、点の数が2006個になるまでを考えます。

このとき、区域の数は1+(2006-3)=2004個となります。

また、線の数は、3+2×(2006-3)=4009本となります。

次に、この状態から点の数を増やさずに、

線の数を増やして区域の数を2006個にする(2個増やす)ことを考えます。

つまり、図のように黄色部分で2004個の点で区域が囲まれているとき、

点Bのような場所に2点加えます。

3

すると、区域を1つ増やすには1本線(赤線)を引けばよいので、

区域を2006個にするには2本の線を引けばよいことになります。

したがって、線の数は、4009+2=4011本 です。

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2016年10月11日 (火)

砂時計で時間を計るには?(頌栄女子学院中学 2012年) 

Gif912 5

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3分を計ることができる砂時計A と 、

7分を計ることができる砂時計B があります。

この2つの砂時計を使って、

11分を計るにはどのようにしたらよいか説明してください。

3_3 3_4

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11分=4分+7分 と考えてみます。

Bandicam_20161011_080953984

Bandicam_20161011_081006294

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2016年9月18日 (日)

A×B×Cは?(2016年 青山学院中等部)

Bandicam20160918

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2つのさいころが図のように並んでいます。

さいころの向かい合う目の和は7になっています。

AとBとCの目の和が7のとき、 AとBとCの目の積はいくつですか?

Bandicam201609180911

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Aは、5、2、4、3 のいずれかで、

Bは、Aが5か2なら4か3、Aが4か3なら5か2 です。

Cは、1、3、4、6 のいずれかなので、

A   B   C

5   4   1、3、4、6

A   B   C

5   3   1、3、4、6

A   B   C

2   4   1、3、4、6

A   B   C

2   3   1、3、4、6

①~④の組み合わせで、A+B+C=7 になるのは、

③の、2+4+1 の場合だけなので、

A×B×C=2×4×1=8

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2016年9月11日 (日)

全部落ちるまでに何分かかる?(2016年 浅野中学)

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1回で6分よりも長く計れる砂時計があります。

砂が全部落ちている状態から砂時計の上下をひっくり返します。

6分たったらまたひっくり返し、

さらに5分、4分、 3分、2分たったら、それぞれひっくり返します。

最後にひっくり返してから砂が全部落ちるまでに何分かかりますか。

911

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最初、上には6分分の砂⑥と余分の砂□が入っています。

上→⑥+□     下→0

6分後

上→□        下→⑥

ひっくり返して、5分後

上→⑥-⑤=①  下→⑤+□

ひっくり返して、4分後

上→⑤-④=①と□  下→①+④=⑤

ひっくり返して、3分後

上→⑤-③=②  下→①+③+□=④+□

ひっくり返して2分後

上→④-②=②と□  下→②+②=④

ここでひっくり返すと、下の④が上になり、4分で全部落ちます。

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2016年9月 1日 (木)

4人の順位は?(東京都市大学等々力中学 2014年)

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A君、B君、C君、D君の4人が50m走をし、

その結果について次のように述べています。

A君「僕は3位の人より2秒早くゴールした。」

B君「僕は秒速5mの速さで走った。」

C君「僕の記録は12.5秒だった。」 

D君「僕は4位の人の2倍の速さで走った。」

このとき、4人の順位はどうなっていましたか。

また、2位の人の速さは毎秒何mですか。

Hasiru

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B君のタイムは、50÷5=10秒なので、

順位はC君より上になります。

A君とD君の順位の可能性は下図のように12通りありますが、

825

A君は1位か2位で、D君は4位ではないので、この条件に合うのは、

3、5、6、11の4通りになりますが、

3と11はD君が12.5÷2=6.25秒なので、B君より遅いわけはなく、

5もA君が10-2=8秒なので、D君の6.25秒より速くないので、

6の、

D(6.25秒)、A(8秒)、B(10秒)、C(12.5秒)の順番になります。

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2016年7月26日 (火)

見えている面の数は?(2016年 桐朋中学)

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17枚のカードがあります。はじめに、これらのカードの一方の面に

1から17までの整数を1つずつ書きました。

次に、他方の面に画面の数の和が18になるように整数を書きました。

(1) カードを何枚か取り出し、机の上に並べました。

見えている面の数の和は93でした。

並べたカードをすべて裏返したところ、見えている面の数の和は177でした。

何枚のカードを取り出しましたか。

(2)カードを3枚取り出し、机の上に横一列に並べました。

見えている面の数の和は23でした。

左端のカードを裏返したところ、見えている面の数の和は27でした。

続けて、右端のカードを裏返したところ、見えている面の数の和は41でした。

最後に見えている面の数を左から順に答えてください。

7261

3_2

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(1)表と裏を合計すると、18の倍数になっているはずです。
(93+177)÷18=15枚
(2)表をA、B、C、裏をア、イ とすると、
7262
(A+B+C)+(ア+B+イ) =23+41=64
A+ア=C+イ=18 なので、
18+18+2×B=64
2×B=28
B=14
(A+B+C)+(ア+B+C) =23+27=50
18+14×2+2×C=50
2×C=4
C=2
A=23-14-2=7
ア=18-7=11、B=14、イ=18-2=16

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2016年6月 1日 (水)

キに入る数は?(2016年 豊島岡女子学園中学)

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6011
上の図のように、3つの円によってできるア〜キの7つの場所に
 
0、1、2、3、4、5、6の7つの数をそれぞれ1回ずつ使って入れます。
 
オに6、カに1を入れ、
 
それぞれの円に入っている数の合計がすべて同じになるようにします。
 
このとき、キに入る数として考えられるものをすべて答えなさい。

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6012
AとBの円はアとイが共通なので、

ウとエの差は、6-1=5 

これに該当する組み合わせは、5と0

エ=5、ウ=0 が決まります。

残るのは、2、3、4

キ=4なら 円の合計は11になるので、

ア=2、イ=3

キ=3なら 円の合計は12になるので、

ア=4、イ=2

キ=2なら 円の合計は13になるので、

アとイに該当する数はありません。

したがって、キは3か4

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2016年5月13日 (金)

何gおもりが必要か?(第4回算数オリンピック、ファイナル問題より)

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1gと4gのおもり1個ずつと、上皿てんびんが1台あります。

これらのおもりをてんびんのかた側または両側の皿にのせることによって、

次のように4種類の重さをはかることができます。

しかし、2gの重さをはかることはできません。

1

そこで、おもりをあと2個注文して、

できるだけ大きい重さまで

1gきざみにすべて(1g、2g、3g、4g、5g、……)

はかれるようにしようと思います。

何gと何gのおもりを注文すればよいでしょうか。

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解法例

4個のおもりではかれる重さとは、

4個のおもりの和と差であらわせる重さのこと。

したがって、おもりがもう1個あったらはかれる重さは、

以ドの4つになります。

①……(それまではかれた重さ)

②……①+(新しいおもりの重さ)

③……①-(新しいおもりの重さ)

④……(新しいおもりの重さ)-①

それまではかれた重さは1、3、4、5gなので、

まず2gがはかれる、できるだけ大きい重さのはかりを考えます。

④から□g-(1g+4g)=2g より、

7gのおもりが必要とわかります。

しかもこれで1~8gと10g~12gがはかれるようになります。

そこで同じように9gがはかれるように考えると、

やはり④から□g-(1g+4g+7g)=9g より、

21gのおもりがよいことがわかります。

しかもこれで1~29gまで、すべてはかれます。

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