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１枚の紙の上に何個かの点があるとき、
以下のルールにしたがって点と点をまっすぐな線で結びます。
ルール1）どの点も最低１個のほかの点と結ばれるようにする。
ルール2）線どうしは交わらないようにする。
このとき、線でかこまれた部分を［区域］とよび、
その個数を数えます。
たとえば６個の点があるとき、（図1）や（図2）の場合は３個、
（図3）の場合は４個の区域があることになります。
いま、１枚の紙の上に2006個の点があり、
これらの点どうしをルールにしたがって
まっすぐな線で結んで2006個の区域を作るとき、
最少で何本の線を引いたらよいですか。
ただし、どの線も必ず区域をかこんでいるものとします。
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３点で１つの区域を囲んでいる△黄を考えます。
この図形にＡ点を１個加えるとします。
Ａと他の２点をそれぞれ線で結ばないと区域ができないので、
区域を１個増やすには２本の線が必要ですが、
点Ｂのような場所に点をとれば、２本の線を引いた後に点の数を増やさず、
新たに線を１本引くだけで区域をもう１個さらに増やすことができます。
そこで、まず３個の点を３本の線で結び△黄を作ります。
３個の点で１つの区域を囲んでいるこの状態から、
点をＡ点のように１個ずつ増やしていき、点の数が2006個になるまでを考えます。
このとき、区域の数は１＋（２００６－３）＝２００４個となります。
また、線の数は、３＋２×（２００６－３）＝４００９本となります。
次に、この状態から点の数を増やさずに、
線の数を増やして区域の数を２００６個にする（２個増やす）ことを考えます。
つまり、図のように黄色部分で２００４個の点で区域が囲まれているとき、
点Ｂのような場所に２点加えます。
すると、区域を１つ増やすには１本線（赤線）を引けばよいので、
区域を２００６個にするには２本の線を引けばよいことになります。
したがって、線の数は、４００９＋２＝４０１１本 です。
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