目次

算数オリンピック

2017年5月20日 (土)

注意深く数えていかないと・・・(第12回算数オリンピック、トライアル問題より)

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2016年12月 9日 (金)

超発想の立体図形問題(第9回算数オリンピック ファイナル)

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図のような三角すいが水平な床の上にあり、

その内部に1点Pがあります。

この三角すい、および点Pについて次のことがわかっています。

●面ABCを床につけると、頂点Dは床から10cm、

  点Pは床から3cmのところにあります。

●面ACDを床につけると、頂点Bは床から8cm、

  点Pは床から1cmのところにあります。

●面ABDを床につけると、頂点Cは床から12cm、

  点Pは床から5cmのところにあります。

それでは、下図のように面BCDを床につけたとき、

床から点Pまでの長さは、

床から点Aまでの長さの何倍になりますか。

(ただし、床から点までの長さとは、

点から床に垂直に線を引いたときのその線の長さを表します。)

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2016年11月22日 (火)

最少何本の線で囲めるかな?(2006年算数オリンピック、トライアル問題より)

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1枚の紙の上に何個かの点があるとき、

以下のルールにしたがって点と点をまっすぐな線で結びます。

ルール1)どの点も最低1個のほかの点と結ばれるようにする。

ルール2)線どうしは交わらないようにする。

このとき、線でかこまれた部分を[区域]とよび、

その個数を数えます。

たとえば6個の点があるとき、(図1)や(図2)の場合は3個、

(図3)の場合は4個の区域があることになります。

1

いま、1枚の紙の上に2006個の点があり、

これらの点どうしをルールにしたがって

まっすぐな線で結んで2006個の区域を作るとき、

最少で何本の線を引いたらよいですか。

ただし、どの線も必ず区域をかこんでいるものとします。

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2

3点で1つの区域を囲んでいる△黄を考えます。

この図形にA点を1個加えるとします。

Aと他の2点をそれぞれ線で結ばないと区域ができないので、

区域を1個増やすには2本の線が必要ですが、

点Bのような場所に点をとれば、2本の線を引いた後に点の数を増やさず、

新たに線を1本引くだけで区域をもう1個さらに増やすことができます。

そこで、まず3個の点を3本の線で結び△黄を作ります。

3個の点で1つの区域を囲んでいるこの状態から、

点をA点のように1個ずつ増やしていき、点の数が2006個になるまでを考えます。

このとき、区域の数は1+(2006-3)=2004個となります。

また、線の数は、3+2×(2006-3)=4009本となります。

次に、この状態から点の数を増やさずに、

線の数を増やして区域の数を2006個にする(2個増やす)ことを考えます。

つまり、図のように黄色部分で2004個の点で区域が囲まれているとき、

点Bのような場所に2点加えます。

3

すると、区域を1つ増やすには1本線(赤線)を引けばよいので、

区域を2006個にするには2本の線を引けばよいことになります。

したがって、線の数は、4009+2=4011本 です。

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2016年5月13日 (金)

何gおもりが必要か?(第4回算数オリンピック、ファイナル問題より)

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1gと4gのおもり1個ずつと、上皿てんびんが1台あります。

これらのおもりをてんびんのかた側または両側の皿にのせることによって、

次のように4種類の重さをはかることができます。

しかし、2gの重さをはかることはできません。

1

そこで、おもりをあと2個注文して、

できるだけ大きい重さまで

1gきざみにすべて(1g、2g、3g、4g、5g、……)

はかれるようにしようと思います。

何gと何gのおもりを注文すればよいでしょうか。

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解法例

4個のおもりではかれる重さとは、

4個のおもりの和と差であらわせる重さのこと。

したがって、おもりがもう1個あったらはかれる重さは、

以ドの4つになります。

①……(それまではかれた重さ)

②……①+(新しいおもりの重さ)

③……①-(新しいおもりの重さ)

④……(新しいおもりの重さ)-①

それまではかれた重さは1、3、4、5gなので、

まず2gがはかれる、できるだけ大きい重さのはかりを考えます。

④から□g-(1g+4g)=2g より、

7gのおもりが必要とわかります。

しかもこれで1~8gと10g~12gがはかれるようになります。

そこで同じように9gがはかれるように考えると、

やはり④から□g-(1g+4g+7g)=9g より、

21gのおもりがよいことがわかります。

しかもこれで1~29gまで、すべてはかれます。

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2016年4月 5日 (火)

見える部分の面積は?(第4回 ジュニア算数オリンピック ファイナル問題)

1辺8cmの立方体があります。

この立方体の上の面の各辺のまん中の点に下の面の各頂点が重なるような大きさの立方体を置きます。

同じようにして、次々と立方体を図のような塔の形に積み上げていきます。

7個積み上げたとき、外側から目で見ることのできるこの搭の表面すべての面積の合計は何c㎡ですか。

ただし、塔の底の面積(床についている部分)は含みません。

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2016年3月24日 (木)

サイコロの反対側は?(2004年ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より)

すべて同じサイコロを図のように積み上げました。このサイコロのA、B、Cの面と反対側の面のアルファベットはなんでしょうか?

1_3

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解法例

問題図の上から1段目と2段目左から、

Cの反対側はEかF

3段目からAの反対側はDかFとわかります。

つまり,A,B,Cの反対側の面の組み合わせは、

D,E,FかD,F,EかF,D,Eの3通です。

これをもとに、一段目のサイコロの3通りの展開図を書いてみると,

以下のようになります。

2_2

これらを組み立てて問題図2段目右の角度から、

D,E,Fの3つの面を見た見取り図を書いてみると、

それぞれ上図ようになります。

このうち,問題図2段目右と同じ並びとなっているのは、

まん中のサイコロだけなので,

A,B,Cの反対側の面は、順にD,F,Eとわかります。

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2016年3月14日 (月)

折り返す前の面積は?(2002年算数オリンピック トライアル問題より)

長方形(図1)の面積を2等分する直線MNを折り目にして折り(図2)、さらに図2の図形の真ん中の線(図の点線)を折り目にしてもう一度折ります(図3)。図3の図形全体の面積はもとの長方形の面積の1/3であり、そのうち斜線部分の面積が7c㎡のとき、もとの長方形の面積は何c㎡ですか。

1_4

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2016年1月11日 (月)

見える部分の面積は?(第4回 ジュニア算数オリンピック ファイナル問題)

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1辺8cmの立方体があります。

この立方体の上の面の各辺のまん中の点に

下の面の各頂点が重なるような大きさの立方体を置きます。

同じようにして、次々と立方体を図のような塔の形に積み上げていきます。

7個積み上げたとき、

外側から目で見ることのできるこの搭の表面すべての面積の合計は何c㎡ですか。

ただし、塔の底の面積(床についている部分)は含みません。

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2015年11月 5日 (木)

重なった部分の面積は?(2008年ジュニア算数オリンピック、トライアル問題から)

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重なった同じ大きさの2つの正方形の一方を、

対角線の交点Pを中心に回転させました。

すると、AB=5cm、BC=13cm、AC=12cmになりましたが、

このとき、重なった黄色部分の面積は何c㎡になりますか。

1_2

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重なっていない8つの直角三角形は、対象性の原理からみな同じ形です。

したがって、

(5+13+12)×(5+13+12)-5×12÷2×4=780c㎡

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2015年10月17日 (土)

5けたの256の倍数はあるかな?(2009年算数オリンピック、ファイナル問題から)

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各けたの数字が2、0、9のいずれかで、2、0、9のどれもが、いずれかのけたに現れる整数(たとえば920、2009など)のうち、5けたの256の倍数はあるでしょうか?あるとすれば、それはいくつですか?

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下の位から考えていきます。

256=2×2×2×2×2×2×2×2 より、

まず、2の倍数なので、1の位は0か2です。

次に、4の倍数なので、下2けたは00か20か92のいずれかです。

さらに、8の倍数なので、下3けたは000か200か920か992のいずれかとなります。

最後に、16の倍数ですから、下4けたは0000、.2000、9200、9920、0992、2992の

どれかのはずです。

求める整数は、5けたで2、0.、9のどれもがどこかのけたになければならないので、

下4けたが0000と2992の場合は2、0、9すべての数が現れず不適当、

また、32の倍数でもあるので、5けたで考えると、

92000、99200、29920、20992、のどれかとなり、

この3つの整数をそれぞれ調べると、

20992だけが256の倍数であるとわかります。

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