目次

表とグラフ

2017年11月 1日 (水)

①~③にあてはまる数は?(海城中学 2017年)

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二つの直角三角形ABCとPQRがあります。

図の角アと角イは同じ大きさであり、

AB=8cm、BC=6cm、CA=10cmです。

図のように、この二つの三角形が、頂点Cと項点 Pが重なるようにして

一つの直線上に置かれています。

この状態から、三角形PQRを毎秒1cmの速さで左方向に,

辺ABと辺QRが重なるまで動かしました。

グラフは、三角形PQRを動かし始めてから止まるまでの時間と、

二つの三角形が重なった部分の面積の関係を表したものです。

①~③にあてはまる数を入れてください。

1101

①は6秒後なので、図のようになり、

Bandicam_20171101_111221019_2

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重なった部分の直角三角形も、2つの直角三角形と相似で、

相似比は、5:4:3なので、

面積は、6cm×4/5×6cm×3/5×1/2=216/25

①=8.64

20秒後は図のようになり、

Bandicam_20171101_111404873

重なった部分が0になるのは、

Bandicam_20171101_111421612_2

その6秒後なので、

②=26

22秒後は図のようになり、

Bandicam_20171101_111532119_2

一番右の小さな直角三角形の面積は、

2×2×4/3÷2=8/3㎠

重なった部分の面積は、24-8/3=21と1/3㎠

③=21と1/3


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2017年10月 1日 (日)

グラフからわかることは?(2017年 浅野中学)

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A君とB君は地点Pから6km離れた地点Qまで走り、

C君は自転車でQを出発してQP間を1往復します。

3人は同時に出発し、それぞれ次のように動きます。

A君:

PからQまで時速12kmで走りますが、

疲れやすいので、2km走るごとに走った時間と同じ時間だけ休みます。

B君:

PからQまで一定の速さで走り続けます。

C君:

Pに着いたら休まずにすぐに折り返すものとし、

行きと帰りで速さは違いますが、それぞれ一定の速さで走ります。


[グラフ1] はA君がPからQまで走った様子を表しています。


[グラフ1]

1011

このとき、後の (ア) 〜(オ)にあてはまる数をそれぞれ求めなさい。

(1)

A君がQに着くのは、Pを出発してから(ア)分後です。

(2)

A君がB君を追い越す、または、

B君がA君を追い越す回数の合計が3回のとき、

B君の速さは時速 (イ)km以上、(ウ)km未満です。

(3)

B君は、A君と同時にQに着く速さで走るものとします。

休んでいるA君をB君が追い越すときは2回あります。

その2回のとき、C君も同時にA君が休んでいるところを通過するものとします。

このとき、C君がQに戻ってくるのは、

Qを出発してから(エ)分(オ) 秒後になります。

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1012

(1)2kmを時速12kmで走ると、

2÷12=1/6時間→10分

ア=10×5=50分後

(2)B君の速さは上のグラフの 「あ」 の場合以上、

「い 」の場合未満ですから、

6÷ (1/6×5 ) =36/5=時速7.2km以上

4÷ (1/6×3 ) =8=時速8km未満

(3)

2÷7.2×60=50/3分・・・・・カ

50/3×4/2=100/3分・・・・・キ

50/3×6/(6-2)=25分・・・・・ク

25+(100/3-25)×6/4=37と1/2分

37分30秒後・・・・・エ、オ

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2017年9月30日 (土)

自転車の速さは?(2017年 大妻中学)

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Aさんは自転車で家を出発して5km離れた公園に行きましたが、

途中で2回休憩しました。

2回目の休憩は1回目の休憩より2分長くとりました。

グラフはそのときの道のりと時間の関係を表したもので、

自転車の速さは一定であるとします。

(1)自転車の速さは毎分何mですか。

(2)2回目は何分何秒休憩しましたか。

9301


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9302

(1)

2回目の休憩は2分長かったので、

1回目と同じ時間の休憩なら、休憩をはさみ

8分で 5-3.7=1.3km進んだことになります。

これが赤い部分のグラフですが、

これを、図のように0のスタートに重ねてみると、

休憩時間はおなじなので、

自転車は、20-8=12分で、

3.7-1.3=2.4km進むことがわかります。

その速さは、毎分2400m÷12分=200m です。

(2)

1.3kmを毎分200mの速さで進むと、

1300÷200=6.5分なので、

2回目の休憩時間は、

10-6.5=3.5分=3分30秒です。

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2017年2月 7日 (火)

時間と速さの関係は?(今年 2017年 慶應義塾中等部)

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太郎君は家から自転車に乗ってA駅まで行き、

A駅で電車を待った後、電車に乗ってB駅まで行き、

B駅から歩いて学校まで行きました。

下のグラフはそのときの時間と速さの関係を表したものです。

Bandicam_20170207_082717021_2

(1)電車がA駅を出発し、加速して一定の速さになるまでに、

   電車は何m走りましたか。

(2)太郎君の家から学校までの道のりは何mですか。

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271

色のついた面積部分が、時間×速さ=距離になるので、

(1)3×780÷2=1170m

(2)6×280+1170+5×780+4×780÷2+11×80=9190m

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2015年8月 1日 (土)

「あ」はどのようなときですか?(東洋英和女学院中学 2013年)

兄と弟が直線のマラソンコースを往復しました。下のグラフは、

2人が同時に出発してからの時間と2人の間の距離の関係を表しています。

ただし、2人とも一定の速さで走り、兄は先に走り終えてその場所で待っていました。

(1)「あ」はどのようなときですか?10字以内で述べてください!

(2)2人の速さはそれぞれ毎分何mですか?

(3)A、Bにあてはまる数は何ですか?

P8012

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(1)兄がゴールしたとき。

(2)兄がゴールしたとき、720m差がついていて、

弟はそれから30-24=6分でゴールしたので、

弟→720÷6=120m/分

24分間で720mの差がついたので、

(兄-120m)×24分=720m

兄-120m=30m

兄→150m/分

(3)マラソンコースは全体で、120m×30分=3600m

片道1800m

Aは弟が折り返した時なので、1800m÷120m=15分後

Bは2人がすれ違った時、つまり、2人合わせて3600m走った時なので、

B=3600m÷(150m+120m)=13と1/3分後

15-13と1/3=1と2/3分で2人はどのくらい離れるか計算すると、

A=(150m+120m)×1と2/3=450m

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2015年4月 6日 (月)

時間と距離は?(2015年 工学院大学附属中学)

太郎くんと花子さんは、同時にA地を出発して、B地に向かいました。

花子さんは、はじめに時速4kmで歩き、途中から時速60kmのタクシーに乗りました。

太郎くんは時速20kmの自転車で行きました。

B地へは、花子さんが太郎くんより10分早く着きました。

グラフはそのときの様子を表したものです。このとき、次の問いに答えなさい。

406

(1)花子さんは、A地を出発してから何分後にタクシーに乗りましたか。

(2)太郎くんが花子さんに追いぬかれるのはA地から何kmのところですか。

(3)A地からB地までは何kmありますか。

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4062

(1)A地から3kmのところなので、

ア=3km÷時速4km=3/4時間=45分

(2)45分=3/4時間で自転車は、時速20km×3/4時間=15km進みます。

花子と太郎の差は15-3=12km なので、

追いつく時間は、12km÷(60-20)=3/10時間=18分

ア~イが18分なので、スタートから45+18=1時間3分です。

エ=時速20km×1時間3分=21km

(3)10分間で自転車は、時速20km×1/6時間=10/3km進むので、

花子がB地に着いたとき、オ=10/3kmの差がついていたことになります。

エから同時にスタートして10/3kmの差がつく時間を(カ)とすると、

60×カ-20×カ=10/3

カ=10/3÷40=1/12時間=5分

15分間に自転車は、時速20km×1/4時間=5km進むので、

AB間の距離は、21+5=26kmです。

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2014年11月14日 (金)

液体の温度は何度になる?(筑波大学附属中学 2014年)

温度を上げるときの割合は常に一定で、

温度を下げるときの割合も常に一定に行える装置があります。

この装置にある液体を入れ、

時間とともに液体の温度がどのように変化するかを下のグラフに表しました。

グラフ中の点Aの液体の温度は何度になりますか。

1_2

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温度は、1分で1.5°上がり、1°下がります。

20分から60分の40分で、温度を上げ続ければ、

1.5×40=60°上がるところ、

実際は50-45=5°しか上がらなかったわけです。

1分上げる代わりに1分下げれば、1.5+1=2.5°下がるので、

(60-5)÷2.5=22分下げる時間があったことになります。

22分で22°下がったので、

Aの温度は、45-22=23° です。

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2014年10月29日 (水)

水量と時間の関係をグラフで!(慶應義塾中等部 2014年)

2つの貯水タンク A,B があります。

2つの貯水タンクからはそれぞれ一定の割合で水が放出されていますが、

貯水タンク内の水量が 300L になるとすぐに、

それぞれ一定の割合で、10時間続けて水が補給されます。

ただし、水を補給している間も水は放出されているものとします。

下の図は、現在の時刻からの経過時間と、

各貯水タンク内の貯水量の関係を表したものです。次の問に答えなさい。

  Pic_4044q_3

(1)15時間後から25時間後の間では、水は毎時何L の割合で補給されていますか。

(2)貯水タンク A への3度目の補給が始まる15時間前に、貯水タンク B への初めての補給が始まりました。2つの貯水タンク A,B の水量が2度目に等しくなるのは、現在から測って 何時間後ですか。

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(1)A は15時間で 600L 放出されているので、

1時間に40Lの割合で水が放出されていることがわかります。

一方、15時間から25時間の間の10時間で、1200L 増えているので、

1時間に120L の割合で増えています。

40L の放出があるにもかかわらず、120L の割合で増えているので、

40+120=160L の割合で補給されていることになります。

 

(2)グラフの続きを描くと、下の図1のようになり、

Pic_4045a

タンクA に3回目に補給が始まるのが 95時間後なので、

タンクB に補給が始まるのは 80時間後になり、

A,B の水量が2度目に等しくなるのは、図1のP のところです。

下の図2の青い三角形が相似なことから、

Pについて、時間を求めることができそうです。

Pic_4046a

まず、図2のQのところの時間は、

80時間で1740-300=1440L  減っているので、

1740-1500=240L

減るのにかかる時間は、

80 : 1440 = □ : 240  より、

□=80×240÷1440=40/3(時間)とわかります。

次に、Pのところの水量は、1500-300=1200L を

25-40/3 : 80-55 = 35/3 : 25=7 : 15 に分けるので、

1200÷(7+15)×15 + 300=9000/11+300

=12300/11(L) とわかります。

P の水量が 12300/11(L)なので、Pの時間を考えると

Aは30時間で1200L 減っているので、

1500-12300/11=4200/11(L)減るのにかかる時間は、

30 : 1200 = □ : 4200/11 より、

□=105/11=9と6/11(時間)とわかるので、

P の時間は、105/11+25=34と6/11(時間) と求められます。

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2014年10月22日 (水)

グラフに見る面積変化は?(豊島岡女子学園中学 2014年)

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Pic_4039q

 

上の図1のように平行四辺形ABCD があり、その中にある点をO とします。

点P は平行四辺形ABCD の辺の上を点A から出発し、

4秒後に点B,9秒後に点C、その後、点D,点A の順に一定の速さで一周し、

2点O と P をまっすぐに結んだ線が通過した部分に色がついていきます。

下の図2は、色のついた部分の面積と時間の関係を表すグラフです。

このとき、次の問に答えなさい。

Pic_4040q

(1)図2の □ にあてはまる数を求めなさい。

 

(2)下の図3のように、点O から辺CD に垂直な線を引き、この線と辺CD が交わる点を H とします。また、点O から辺AD に垂直な線を引き、この線と辺AD が交わる点を I とします。このとき、OH : O I を求めなさい。

Pic_4041q

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(1)グラフの4秒、9秒、13秒、18秒の地点は、

点P が それぞれの頂点に着いたときを表しています。

まず、平行四辺形は、下の図4のように 4つの部分に分けることができます。

Pic_4042a

グラフより、三角形OAB=100c㎡、三角形OBC=120c㎡、

三角形OCD=80c㎡ ということがわかります。

次に、三角形OAB と三角形OCD は、

下の図5のように等積変形することができるので、

 

Pic_4043a

2つを合わせた面積である、100+80=180c㎡ が三角形ABC の面積と等しく、

平行四辺形の半分の面積なので、

この平行四辺形の面積は、180×2=360c㎡ とわかり、

図2のグラフの □ には、360 が入ります。

(2)三角形OAD の面積は 60c㎡ 、三角形OCD の面積は 80c㎡ です。

CDの長さ : ADの長さ = 【4】 : 【5】 なので、

【4】×OH÷2 : 【5】×O I ÷2 =80 : 60 より、

OH=【40】、O I =【24】 となり、

OH : O I = 40 : 24 = 5 : 3

と求められます。

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2014年10月21日 (火)

グラフからわかることは?(女子学院中学 2014年)

大きさと形が同じである2つの容器A,B に、それぞれ一定の割合で水を注いでいきます。下のグラフは、【水を注ぎ始めてからの時間(分)】と【Aの水面の高さからBの水面の高さを引いたもの(cm)】の関係を表しています。グラフを見て、下の文章の【 ア 】~【 キ 】にあてはまる数と、【 あ 】【 い 】にあてはまる容器名(A,B)を入れなさい。

  Pic_4036q

朝8時に空の容器A とB に、容器A は水面の高さが毎分【 ア 】mm、容器B は水面の高さが毎分【 イ 】mm上がるように、同時に水を注ぎ始めました。そして、8時【 ウ 】分に容器【 あ 】に水を注ぐのを止めました。それから、A とBの水面の高さがちょうど同じになった 8時【 エ 】分に、再び【 い 】に水を注ぎ始めたので、容器A は 9時【 オ 】分に、容器B は 9時【 カ 】分に満水になりました。この2つの容器の高さは【 キ 】cm です。

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まず、グラフからすぐに分かることは、

8時36分【ウ】に、A【あ】に水を注ぐのを止めていて、

8時54分【エ】に、A【い】に再び水を注ぎ始めています。

そして、72分後の9時12分【カ】に容器Bは満水になっています。

8時36分に、Aの容器はBの容器より 9cm 高いところまで水が入っていて、

8時54分までの18分間は容器Bだけに水が注がれ、同じ高さになっています。

このことから、容器Bに注がれる水は、1分間に5mm【イ】の割合とわかります。

36分間に、容器Bは18cmの高さまで水が注がれますが、

容器A は、18+9=27cm まで水が入っていることになるので、

容器A に注がれる水は、1分間に 7.5mm【ア】の割合とわかります。

72分で、容器Bは満水になるので、容器の高さは、36cm【キ】とわかります。

容器Aは、36-27=9cm 分の水を注げば満水になり、

90÷7.5=12分 かかるので、容器A が満水になるのは、

8時54分+12分=9時6分【オ】とわかります。

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