目次

水そう

2016年6月23日 (木)

水の深さは何cmになる?(2016年 灘中学)

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6231

図のように、深さ15cmの直方体の形をした水槽が水平な床の上にあります。

この水槽の中には、同じ形をした高さ15cmの四角柱が5本入っていて、

この水槽に深さが9cmになるまで水を入れても、

四角柱の底面は水槽の底面に接していまし た。

この状態から四角柱を2本取り除くと、水の深さは7cmになりました。

さらに残りの四角柱を3本取り除くと、水の深さは何cmになりますか?

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水の量は変わらないので、水の高さが9cm→7cmになると、

底面積は逆比の⑦→⑨になります。

1245

四角柱の底面積は(⑨-⑦)÷2=① とわかるので、

残り3本取り除くと、③増えて⑫になります。

1247

□=7×9÷12=63/12=21/4cm

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2016年1月17日 (日)

容器と水の高さ(湘南白百合学園中学 2002年)

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図1のような、直角をはさむ2辺の長さが10cmの直角二等辺三角形を底面とする、高さ25cmの三角柱の容器があります。

(1)図1のとき、高さ16cmまで水を入れました。次に容器を図2のように四角形BCFEを底面として置くと、水面までの高さBPの長さを求めなさい。

(2)図1のとき、高さ20cmまで水を入れました。次に容器を辺DE を床につけて図3のように傾け、水面が頂点Bを通るようにして置いたとき、FQの長さを求めなさい。

Pic_0913q

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2015年9月19日 (土)

水面の高さは何cmになる?(2015年 慶應義塾湘南藤沢中等部)

図のように、底面が台形の四角柱の容器に水を入れ、もれないようにふたをします。

水平なゆかの上に面BCGFが下にくるように置いたとき、

水面の高さは9cmでした。

この容器を面ABCDが下にくるように置いたときの水面の高さを求めなさい。

9191

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水が入っているところまでの断面積を考えます。

919_2

直角三角形APD と直角三角形AQRは相似で、

AP:PD=4:6=2:3 なので、

AQ:QR=2:3

QR=3×3/2=4.5cm

台形黄の面積=(6+4.5)×1÷2=5.25c㎡

水の体積=(6×8+5.25)×40=2130立方cm

求める長さ=2130÷{(12+8)×6÷2}=35.5cm

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2015年8月 7日 (金)

水の高さは何cm?( 同志社中学 2013年)

たて70cm、よこ100cm、高さ30cmの直方体の水そうに

いっぱいの水が入っています。

水そうを45°傾けると水がこぼれました。

元の位置に戻したとき、水の高さは何cmになっていますか。

807

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45°傾けたときの水の断面は直角二等辺三角形なので、

面積は、30×30÷2=450c㎡

体積は、450×70立方cm

もとに戻したときの底面積は、70×100c㎡

高さは、(450×70)÷(70×100)=4.5cm

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2015年7月29日 (水)

「あ」と「い」と「う」は何cm?(2015年 麻布中学)

たて40cm,よこ30cm,高さ「あ」cmの直方体の形をした水そうがあり,

図のように仕切りで区切られています。

この仕切りの両側に図のような水道A,Bがあり,

両方からそれぞれ毎秒18と3/4mLの割合で水を入れていきます。

水を入れ始めてから5分36秒後にAから入った方の水の高さと

Bから入った方の水の高さとが等しくなり,

水を入れ始めてから7分28秒後にはA側とB側が同時にいっぱいになりました。

このとき,以下の問いに答えなさい。

ただし,図は正確とは限りません。また,仕切りの厚さi考えないものとします。

7291

(1)「あ」は何cmですか。

(2)「い」は何cmですか。

(3)「う」は何cmですか。

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(1)

1mL=1立方cm、7分28秒=448秒 なので、

あ=75/4×448×2÷(30×40)=14cm

(2)

同じ時間でA、Bがいっぱいになったということは、断面積が等しいわけです。

つまり、5×14+い×8=30×14×1/2 となるので、

い×8=210-70

い=35/2=17.5cm

(3)

5分36秒=336秒後に断面積が等しくなったわけで、

その高さは、14×336/448=21/2=10.5cm

この高さは、同時にいっぱいになったことから、

(う+8)cmより高いとは考えられないので、

8cmの間のどこかになります。

したがって、5×10.5+17.5×(10.5-う)=30×10.5×1/2

(5+17.5)×10.5-17.5×う=157.5

17.5×う=78.75

う=4.5cm

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2015年7月15日 (水)

底面積は何c㎡?水の深さは何cm?( 同志社中学 2014年)

深さ50cmの直方体の水そうがあります。

この水そうを空にして、1辺10cmの立方体の形をしたおもりを3個入れました。

その後、水そうに、4ℓ/分で水を入れていきます。

(1)下の図のように、おもりをたてに3個積み上げて入れたとき、

水を入れ始めてから18分後に深さが30cmになりまた。

水そうの底面積は何c㎡ですか。ただし、水そうの厚さは考えません。

7151

(2)下の図のように、おもりを横に3個ならべて入れたとき、

水を入れ始めてから20分後の水の深さは何cmですか。

7152

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図のように、深さ30cmになると、おもり3個分の高さです。

7153

18分間に水は、4×18=72リットル入っているので、

おもりと合わせた体積は、

72000+3×10×10×10=75000立方cm

底面積=75000÷30=2500c㎡

20分間に水は、4×20=80リットル

おもりをたして、80000+3000=83000c㎡

高さ=83000÷2500=33.2cm

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2015年1月31日 (土)

2015年、東大寺学園中学の立体図形問題から

図のようなAB=20cm,BC=10cm,CG=12cmの,面ADHEだけが空いている直方体の容器ABCDEFGHが水平な床の上に置いてあります。

PQ=16cm,QR=12cm,RS=18cmでPQとSRが平行である台形PQRSの板を図のように,Qが辺BCの真ん中に,Rが辺FGの真ん中にくるように,容器の底BCGFにまっすぐに立て,この容器いっぱいに水を満たしました。

辺BFを床につけたまま,この容器を矢印の方向にゆっくりと45°傾けて水を流し出して,また底BCGFが床にピッタリついたもとの状態にゆっくりともどしました。ただし,板PQRSと容器はすきまなくくっついているものとし,板PQRSと容器の厚みは考えないものとします。

(1)何立方cmの水が流れ出たか求めなさい。

(2)残った水は板PQRSによって2つの部分に分けられますが,頂点Cと同じ側に入っている水の水面の高さを求めなさい。

0

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45°傾けた状態は図のようになります。

Capture_2015_01_31_08_49_55_296

Capture_2015_01_31_08_51_01_359

水がこぼれた部分を2つの部分に分けるとわかりやすくなります。

Capture_2015_01_31_08_51_46_140

図のように、直角二等辺三角形と台形部分に分けられるので、

1

こぼれた水の体積は、

5×5÷2×12+(4+9)×5÷2×12=540立法cm

容器を元にもどすと、

図のように両方の直角二等辺三角形部分が長方形になり、

2

右側はPより2.5cm水面が下がり、底から13.5cm、

左側はAより2.5cm水面が下がるのですが、

さらにPまで右側に水が流れ込むことになるので、

その分、1.5cmは右側の水面を上げることになります。

したがって、Cを含む右側の水面の高さは、

13.5+1.5=15cm になります。

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2015年1月20日 (火)

ビールの泡は何cm?(2007年算数オリンピック、ファイナル問題より)

『ビール』を容器に注ぐと、液体部分と泡の部分に分かれます。泡は時間がたつと液体になりますが、そのとき、体積は1/3になるものとします(逆に液体が泡になるときは体積は3倍になるものとします)。
また、『ビール』は注ぎ方によって液体と泡の割合が変わるので、同じ容器に入る『ビール』の量は、注ぎ方によって異なることがあります。
今、深さ30cmの円柱の容器に『ビール』を500ml注いだら底から15  cm  のところまでは液体で、その上は容器のちょうど上端ぴったりまで泡になりました(1回目)。
次に、同じ容器に『ビール』を700ml注いだら、底からXcmのところまで液体で、その上は容器のちょうど上端ぴったりまで泡になりました(2回目)。このとき、Xを求めなさい。

1

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1回目のビールが泡もふくめてすべて液体になると、

その高さは、15+15÷3=20cm。

これにより、液体部分の高さ1cmの量は、

500÷20=25ml

2回目のビールもすべて液体と仮定すると、

高さは700÷25=28cm

一部が泡になったときの高さとの差は、30ー28=2cm。

液体1cm分が泡になると3cmになり、

高さは液体部分が1cm減り、泡部分が3cm増えるので、

3-1=2cm増えますが、

これは28cm→30cmになった高さの差とー致するので、

2回目は液体1cm分が泡になり、

泡の高さが3cmであることがわかります。

以上から、2回目の.ビールの液体部分の高さは、

30-3=27cm。

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2014年10月 1日 (水)

ひらめき算数1分パズル(Aは何立方cm?)神奈川学園中学2010年

3つの容器A、B、Cがあります。今、Aは満水で、B、Cは空です。

Aの3/4の水をBへ、残りの水をCへ入れると、

Bには1/2まで、Cには1/5まで水が入りました。

もとの状態(Aは満水で、B、Cは空)にして、Aの水を適当に分け、

A、B、Cのどれも容器の1/3になるように入れようとしたら、

あと50立方cmの水が必要でした。

Aの容積は何立方cmですか?

Apf0107s

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Aの容積を④とすると、

Bは③が1/2なので、全体の容積は⑥

Cは①が1/5なので、全体の容積は⑤

Aの2/3+50立方cmがBの1/3+Cの1/3になるので、

(④×2)/3+50=⑥/3+⑤/3

⑧/3+50=⑪/3

⑧+150=⑪

③=150

①=50立法cm

A=④=50×4=200立方cm

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2014年8月21日 (木)

円すいを切った体積(大妻中学 2013年)

下の図1は、底面の半径20cm、高さ40cmの円すいの形の容器から、

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底面の半径10cm、高さ20cmの円すいの形の容器(図2)を取り除いたものです。

図3は、図2の容器をひっくり返して、図1の容器の中に入れたものです。

図3の容器に水を入れると、水面は AB のまん中の点M のところになりました。

入れた水は何立方cmでしたか。ただし、容器の厚さは考えないものとします。

Pic_3925q

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図2の容器のうち、図3で水に入っている部分は、

下の図4の点Bと点Nの間の部分です。

    Pic_3926a

円すいの先端を点O として、

点Oから点N までの部分の小さい円すいの体積を【1】とすると、

点N は OB のまん中の点なので、相似比 1 : 2 より、図2の円すいの体積は、

2×2×2=【8】となり、

図3で水に入っている部分の体積は、【7】です。

次に、下の図5のように、点Mで図1の円すいを切ったものを考えると、

   Pic_3927a

ON : OM = 1 : 3 なので、図5の色の付いた部分の体積は、

3×3×3=【27】 です。

よって、水の体積は、【27】-(【8】+【7】)=【12】 です。

【1】=5×5×3.14×10÷3 なので、

求める水の体積は、

5×5×3.14×10÷3×12=3140立方cmです。

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