目次

水そう

2017年6月25日 (日)

水の高さは何cmになる?(今年 2017年 東京都市大学付属中学)

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下の図1 について、

平行四辺形ABCDの頂点BとDを通る直線は、辺ADに垂直です。

この直線を軸として1回転させて作った立体の体積と同じ体積の水を、

図2の円柱の 容器に入れると、

水の高さは何cmになりますか。ただし、円周率は3.14とします。

図1

6251

図2

6252


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Bandicam_20170625_093049903

半径6cm、高さ10cmの円錐から、

半径3cm、高さ5cmの円錐を引いた円錐台を

2つ重ねた立体になります。

(6×6×3.14×10×1/3-3×3×3.14×5×1/3)×2

=(120×3.14-15×3.14)×2

=105×3.14×2

=210×3.14

210×3.14÷5×5×3.14

=8.4cm

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2017年6月18日 (日)

残っている水の量は?(今年 2017年 横浜共立学園中学)

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下の図のような直方体の形をした容器が水平な机の上にのっています。

この容器を水でいっばいにしてから辺ABを机の上につけたまま、

矢印の方向に静か に45°傾けます。

(1)容器に残っている水の量は何ですか?

(2)さらに容器を傾けると32㎤の水がこぼれました。

  このとき、辺CDで水にふれている部分の長さは何cmですか?

6181

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6182

(1)傾けた角度が45°なので、

水面から上の三角形は直角二等辺三角形になります。

したがって、残っている水の量は、

8×8×14-8×8÷2×8

=8×8×(14-4)

=640㎤

(2)水が残っている部分は台形で、

長い方の辺は14cmのままです。

640-32=608㎤の水が残っているので、

台形の面積は、608÷8=76㎠

CDの水に触れている部分の長さは、

76×2÷8-14=5cm

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2016年6月23日 (木)

水の深さは何cmになる?(2016年 灘中学)

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6231

図のように、深さ15cmの直方体の形をした水槽が水平な床の上にあります。

この水槽の中には、同じ形をした高さ15cmの四角柱が5本入っていて、

この水槽に深さが9cmになるまで水を入れても、

四角柱の底面は水槽の底面に接していまし た。

この状態から四角柱を2本取り除くと、水の深さは7cmになりました。

さらに残りの四角柱を3本取り除くと、水の深さは何cmになりますか?

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水の量は変わらないので、水の高さが9cm→7cmになると、

底面積は逆比の⑦→⑨になります。

1245

四角柱の底面積は(⑨-⑦)÷2=① とわかるので、

残り3本取り除くと、③増えて⑫になります。

1247

□=7×9÷12=63/12=21/4cm

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2016年1月17日 (日)

容器と水の高さ(湘南白百合学園中学 2002年)

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図1のような、直角をはさむ2辺の長さが10cmの直角二等辺三角形を底面とする、高さ25cmの三角柱の容器があります。

(1)図1のとき、高さ16cmまで水を入れました。次に容器を図2のように四角形BCFEを底面として置くと、水面までの高さBPの長さを求めなさい。

(2)図1のとき、高さ20cmまで水を入れました。次に容器を辺DE を床につけて図3のように傾け、水面が頂点Bを通るようにして置いたとき、FQの長さを求めなさい。

Pic_0913q

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2015年9月19日 (土)

水面の高さは何cmになる?(2015年 慶應義塾湘南藤沢中等部)

図のように、底面が台形の四角柱の容器に水を入れ、もれないようにふたをします。

水平なゆかの上に面BCGFが下にくるように置いたとき、

水面の高さは9cmでした。

この容器を面ABCDが下にくるように置いたときの水面の高さを求めなさい。

9191

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水が入っているところまでの断面積を考えます。

919_2

直角三角形APD と直角三角形AQRは相似で、

AP:PD=4:6=2:3 なので、

AQ:QR=2:3

QR=3×3/2=4.5cm

台形黄の面積=(6+4.5)×1÷2=5.25c㎡

水の体積=(6×8+5.25)×40=2130立方cm

求める長さ=2130÷{(12+8)×6÷2}=35.5cm

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2015年8月 7日 (金)

水の高さは何cm?( 同志社中学 2013年)

たて70cm、よこ100cm、高さ30cmの直方体の水そうに

いっぱいの水が入っています。

水そうを45°傾けると水がこぼれました。

元の位置に戻したとき、水の高さは何cmになっていますか。

807

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45°傾けたときの水の断面は直角二等辺三角形なので、

面積は、30×30÷2=450c㎡

体積は、450×70立方cm

もとに戻したときの底面積は、70×100c㎡

高さは、(450×70)÷(70×100)=4.5cm

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2015年7月29日 (水)

「あ」と「い」と「う」は何cm?(2015年 麻布中学)

たて40cm,よこ30cm,高さ「あ」cmの直方体の形をした水そうがあり,

図のように仕切りで区切られています。

この仕切りの両側に図のような水道A,Bがあり,

両方からそれぞれ毎秒18と3/4mLの割合で水を入れていきます。

水を入れ始めてから5分36秒後にAから入った方の水の高さと

Bから入った方の水の高さとが等しくなり,

水を入れ始めてから7分28秒後にはA側とB側が同時にいっぱいになりました。

このとき,以下の問いに答えなさい。

ただし,図は正確とは限りません。また,仕切りの厚さi考えないものとします。

7291

(1)「あ」は何cmですか。

(2)「い」は何cmですか。

(3)「う」は何cmですか。

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(1)

1mL=1立方cm、7分28秒=448秒 なので、

あ=75/4×448×2÷(30×40)=14cm

(2)

同じ時間でA、Bがいっぱいになったということは、断面積が等しいわけです。

つまり、5×14+い×8=30×14×1/2 となるので、

い×8=210-70

い=35/2=17.5cm

(3)

5分36秒=336秒後に断面積が等しくなったわけで、

その高さは、14×336/448=21/2=10.5cm

この高さは、同時にいっぱいになったことから、

(う+8)cmより高いとは考えられないので、

8cmの間のどこかになります。

したがって、5×10.5+17.5×(10.5-う)=30×10.5×1/2

(5+17.5)×10.5-17.5×う=157.5

17.5×う=78.75

う=4.5cm

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2015年7月15日 (水)

底面積は何c㎡?水の深さは何cm?( 同志社中学 2014年)

深さ50cmの直方体の水そうがあります。

この水そうを空にして、1辺10cmの立方体の形をしたおもりを3個入れました。

その後、水そうに、4ℓ/分で水を入れていきます。

(1)下の図のように、おもりをたてに3個積み上げて入れたとき、

水を入れ始めてから18分後に深さが30cmになりまた。

水そうの底面積は何c㎡ですか。ただし、水そうの厚さは考えません。

7151

(2)下の図のように、おもりを横に3個ならべて入れたとき、

水を入れ始めてから20分後の水の深さは何cmですか。

7152

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図のように、深さ30cmになると、おもり3個分の高さです。

7153

18分間に水は、4×18=72リットル入っているので、

おもりと合わせた体積は、

72000+3×10×10×10=75000立方cm

底面積=75000÷30=2500c㎡

20分間に水は、4×20=80リットル

おもりをたして、80000+3000=83000c㎡

高さ=83000÷2500=33.2cm

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2015年1月31日 (土)

2015年、東大寺学園中学の立体図形問題から

図のようなAB=20cm,BC=10cm,CG=12cmの,面ADHEだけが空いている直方体の容器ABCDEFGHが水平な床の上に置いてあります。

PQ=16cm,QR=12cm,RS=18cmでPQとSRが平行である台形PQRSの板を図のように,Qが辺BCの真ん中に,Rが辺FGの真ん中にくるように,容器の底BCGFにまっすぐに立て,この容器いっぱいに水を満たしました。

辺BFを床につけたまま,この容器を矢印の方向にゆっくりと45°傾けて水を流し出して,また底BCGFが床にピッタリついたもとの状態にゆっくりともどしました。ただし,板PQRSと容器はすきまなくくっついているものとし,板PQRSと容器の厚みは考えないものとします。

(1)何立方cmの水が流れ出たか求めなさい。

(2)残った水は板PQRSによって2つの部分に分けられますが,頂点Cと同じ側に入っている水の水面の高さを求めなさい。

0

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45°傾けた状態は図のようになります。

Capture_2015_01_31_08_49_55_296

Capture_2015_01_31_08_51_01_359

水がこぼれた部分を2つの部分に分けるとわかりやすくなります。

Capture_2015_01_31_08_51_46_140

図のように、直角二等辺三角形と台形部分に分けられるので、

1

こぼれた水の体積は、

5×5÷2×12+(4+9)×5÷2×12=540立法cm

容器を元にもどすと、

図のように両方の直角二等辺三角形部分が長方形になり、

2

右側はPより2.5cm水面が下がり、底から13.5cm、

左側はAより2.5cm水面が下がるのですが、

さらにPまで右側に水が流れ込むことになるので、

その分、1.5cmは右側の水面を上げることになります。

したがって、Cを含む右側の水面の高さは、

13.5+1.5=15cm になります。

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2015年1月20日 (火)

ビールの泡は何cm?(2007年算数オリンピック、ファイナル問題より)

『ビール』を容器に注ぐと、液体部分と泡の部分に分かれます。泡は時間がたつと液体になりますが、そのとき、体積は1/3になるものとします(逆に液体が泡になるときは体積は3倍になるものとします)。
また、『ビール』は注ぎ方によって液体と泡の割合が変わるので、同じ容器に入る『ビール』の量は、注ぎ方によって異なることがあります。
今、深さ30cmの円柱の容器に『ビール』を500ml注いだら底から15  cm  のところまでは液体で、その上は容器のちょうど上端ぴったりまで泡になりました(1回目)。
次に、同じ容器に『ビール』を700ml注いだら、底からXcmのところまで液体で、その上は容器のちょうど上端ぴったりまで泡になりました(2回目)。このとき、Xを求めなさい。

1

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1回目のビールが泡もふくめてすべて液体になると、

その高さは、15+15÷3=20cm。

これにより、液体部分の高さ1cmの量は、

500÷20=25ml

2回目のビールもすべて液体と仮定すると、

高さは700÷25=28cm

一部が泡になったときの高さとの差は、30ー28=2cm。

液体1cm分が泡になると3cmになり、

高さは液体部分が1cm減り、泡部分が3cm増えるので、

3-1=2cm増えますが、

これは28cm→30cmになった高さの差とー致するので、

2回目は液体1cm分が泡になり、

泡の高さが3cmであることがわかります。

以上から、2回目の.ビールの液体部分の高さは、

30-3=27cm。

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