目次

ニュートン算

2015年12月17日 (木)

初めにあった貯金はいくら?(江戸川学園取手中学 2014年)

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Aさんには貯金があります。中学に入学してからは、

その年の4月から毎月決まったお金を親からもらうことになりました。

貯金とあわせて1ヶ月に6000円ずつ使うと5ヶ月 でなくなってしまいます。

また、1ヶ月に4250円ずつ使うと12ヶ月でなくなります。

このとき、次の問いに答えなさい。

(1)親から毎月もらう金額はいくらですか。

(2)初めにあった貯金はいくらですか。

(3)4月から使わずに全部貯金すると、何ヶ月で100000円をこえますか。

Pfa020s

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5ヶ月で、6000×5=30000円がなくなり、

12ヶ月で、4250×12=51000円がなくなったので、

図のように、その差の21000円は7か月分のこづかいということになります。

12171

したがって、毎月のこづかいは 21000÷7=3000円

最初に持っていた貯金は 30000-3000×3=15000円

100000-15000=85000円なので、

85000÷3000=28あまり1000より、

29ヶ月で10万円を超えます。

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2014年12月22日 (月)

受付のニュートン算(桜蔭中学 2012年)

ある学校では、文化祭を2日間行いました。

2日とも、入場開始前の受付に、すでに長い列ができていて、

入場開始後は5分ごとに100人の入場希望者が列に加わっていきました。

1日目は受付の数を7ヵ所にしたところ、

入場開始から45分後に列に並んでいる人は10人になりました。

2日目は入場開始前の列が1日目よりも25人多かったので、

受付の数を8ヵ所にしたところ、

入場開始からちょうど20分後に列に並んでいる人がいなくなりました。

どの受付場所でも、5分ごとに受付のできる人数は同じです。

このとき、次の問に答えなさい。

(1)1ヵ所の受付場所で5分ごとに何人の受付ができましたか。

(2)2日目の入場開始前に列に並んでいた人は何人ですか。

Ilm07_ca19016s

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解答

 (1)最初に並んでいた人数を □人 とします。

1か所の受付が5分間に受付する人数を■人とします。

 

1日目、45分後、列に並んでいる人数は10人になっていたので

 □+100×9-■×7×9=10 ・・・ ①

という式ができます。

 

2日目、20分で列がなくなったので、

 □+25+100×4-■×8×4=0 ・・・ ②

という式ができます。

 

①より、

  □+890-■×63=0 ・・・ ③

②より、

  □+425-■×32=0 ・・・ ④

③、④を比べると、

  890-■×63=425-■×32

なので、下の図1のように

        Pic_3787a

■×(63-32)=890-425=465 より、

■=465÷31=15 で、5分ごとに 15人 の受付をしていた

ことがわかります。

 

 (2)□+425-■×32=0 で、■=15なので、

□+425-480=0 で、□=55人です。

 

よって、2日目に並んでいた人は、55+25=80人 です。

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2014年11月29日 (土)

三角形EBCの面積は?(明治大学付属明治中学 2014年)

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図のような角A、角Bが直角である台形ABCDがあり、

対角線ACとBDは、点Eで垂直に交わっています。

AB=60cm、AD=45cm、BD=75cmのとき、

三角形EBCの面積は何c㎡ですか。

1

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図の△黄と△緑と△赤は相似です。

2

△黄と△緑の相似比は45:60=3:4

面積比は3×3:4×4=9:16 なので、

△緑の面積=45×60÷2×16/25=864c㎡

ED:EBも9:16になり、BC=45×16/9=80cm

△緑と△赤の相似比は、60:80=3:4 となるので、

面積比は9:16

したがって、△EBCの面積=864×16/9=1536c㎡

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2014年10月30日 (木)

ロボットのニュートン算(愛光中学 2011年)

ある工場では、一定の割合でタンクにジュースが絶えず流れこんでいて、

タンクに2100L たまった時点で、

350mL入りの缶ジュースを作るロボットA と

500mL入りの缶ジュースを作るロボットB が缶ジュースを作り始めます。

このとき、6分でタンクは空になります。

もし、A だけで作ると42分でタンクは空になります。

A とB の1分間に作る缶ジュースの個数は同じです。

このとき、次の問に答えなさい。

(1)1分間にタンクに流れこむジュースの量と、ロボットA が1分間に作る缶ジュースの個数を求めなさい。

(2)A とB の両方で作り始めてから、しばらくしてB が止まってしまったので、タンクが空になるまでA だけで作りました。A とB の両方で作り始めてからタンクが空になるまでにかかった時間は、B が止まるまでに両方のロボットで作っていた時間の2倍かかりました。A とB の両方で作り始めてからタンクが空になるまでに何分かかったか求めなさい。

Robot307421_150

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(1)ロボットA とロボットB が1分間に作る缶ジュースの個数が同じなので、

それぞれ1分間に【1】個の缶ジュースを作るとき、ジュースの量は、

      A :【1】×350mL

      B :【1】×500mL

となり、この比は [7] : [10] と表すことができ、

1分間にタンクから出てくるジュースの量は[17]です。

タンクに1分間に流れこむジュースの量を<1>とすると、

ロボットA,B で 6分間でタンクを空にすることができるので、

     2100+<6>=[17]×6=[102]

ロボットA だけでは42分かかるので、

     2100+<42>=[7]×42=[294]

と表すことができます。

2つの式を比べると、

    <36>=[192] ということがわかり、<6>=[32]

とわかります。

すなわち、

    2100+[32]=[102] なので、

    [1]=30L ということになります。

よって、

 ロボットA が1分間に作るジュースの量:[7]=210L

 ロボットB が1分間に作るジュースの量:[10]=300L 

なので、

 ロボットA が1分間に作る缶ジュースの数は、

      210L ÷ 350mL =210÷0.35=600個

 ロボットB が1分間に作る缶ジュースの数は、

      300L ÷ 500mL =300÷0.5 =600個

となり、共に同じ個数を作っていることを確認できます。

タンクに1分間に流れこむジュースの量は、

     <1>=[32/6]=30×32/6=160L です。

 

(2)B が途中で止まった様子を図に描くと、下の図のようになり、

       Pic_2377a

A と B 両方では、1分間に 510L、

Aだけでは1分間に 210Lのジュースがタンクから出てくるので、

Bが止まるまでの時間を□分とすると、

  2100+160×(□×2)=(510+210)×□

ということがわかり、

  2100+320×□=720×□

となるので、

  □=2100÷(720-320)=10.5分 です。

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2014年10月28日 (火)

貯水池のニュートン算(慶應義塾湘南藤沢中等部 2012年)

1500t (1t =1000kg)の水がたまっている貯水池があります。この貯水池には毎日一定の量の水が流入していることがわかっているので、毎日一定の量の水を放水して 30日間で貯水池を空にする計画を立てました。ところが大雨が降り、放水を始めてから最初の5日間は水の流入量が普段の1.4倍になってしまいました。そのため、天候が良くなり流入量が普段どおりに戻った6日目に計画を変えて、6日目から放水量を前日までの1.2倍にしたところ全部で 25日間かかって貯水池を空にすることができました。

このとき、次の問に答えなさい。

(1)普段の1日あたりの水の流入量は何 t ですか。

(2)6日目以降の1日あたりの放水量は何 t ですか。

(3)当初の予定通り 30日間で貯水池を空にするには、6日目以降の放水量を1日あたり何 t にすればよかったですか。

401

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(1)1日あたりの流入量を【 1 】、1日あたりの放水量を<1>

とすると、25日で貯水池が空になったときの式は、

   【 1.4 】×5 + 【 1 】×20 + 1500 

 = <1>×5 + <1.2>×20

とできるので、

   【 27 】+1500=<29> ・・・ 式1

となります。

 

また、順調にいけば 30日で貯水池が空になっていたので、

   【 1 】×30 + 1500 = <1>×30

とできるので、

   【 30 】+1500=<30> ・・・ 式2

となります。

 

式1、式2 を比べると、【 3 】=<1> とわかり、式2 は、

   【 30 】 + 1500 = 【 90 】

となり、【 60 】=1500t なので、【 1 】=25t です。

 

ゆえに、1日あたりの流入量は、25t です。

 

 (2)(1)より、<1>=【3】=25×3=75t で、

6日目以降は、この1.2倍なので、75×1.2=90t

1日に放水していたことがわかります。

 

 (3)30日で貯水池を空にする式は、1日の放水量を□として、

  【 1.4 】×5 + 【 1 】×25 + 1500 

 = <1>×5 + □×25

となります。【 1 】=25、<1>=75 より、

  1.4×25×5+25×25+1500=75×5+□×25

  175+625+1500=375+□×25

  □=1925÷25=77

なので、1日あたり 77t 放水すれば 30日で貯水池は空に

なります。

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2014年9月26日 (金)

草がなくなるのは何日後?(大阪女学院中学 2012年)

愛子さんと望君は夏休みに、次のようなペースで学校のグラウンドの草抜きをします。愛子さんは3日間でバケツ7杯分、望君は2日間でバケツ5杯分の草抜きができます。一方、グラウンドの草は2日間でバケツ3杯分の量だけ増えます。もし、愛子さんが1人で草抜きをすると、24日間でちょうど草がなくなります。

このとき、次の問に答えなさい。

(1)はじめにグラウンドに生えている草は、バケツ何杯分ですか。

(2)望君1人で草抜きをすると、ちょうど何日間で草がなくなりますか。

(3)愛子さんと望君の2人で草抜きをすると、ちょうど何日間で草がなくなりますか。

(4)はじめ愛子さん1人で草抜きをし、途中から望君も参加します。始めてから15日目に草をなくすには、2人で草抜きをする日数を何日間にすればよいですか。

Sli066s

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(1)愛子さんが1人で草抜きをすると24日間で草がなくなり、

草は2日でバケツ3杯分生えるので、24日間でバケツ36杯分の草が生え、

一方愛子さんは3日でバケツ7杯分の草抜きをするので、

24日でバケツ56杯分の草抜きをしたことになります。

よって、はじめにグラウンドに生えている草は、

バケツで56-36=20杯分 です。

 

(2)望君は2日でバケツ5杯分の草抜きをできるので、

はじめにグラウンドに生えているバケツ20杯分の草は、8日で抜けますが、

8日間にバケツ12杯分の草が生えてきています。

望君が草抜きをする速さと、グラウンドに草が生える速さでは、

望君が2日でバケツ2杯分を草抜きしていく計算になります。

よって、12÷2×2+8=20日で望君は草抜きを終えます。

 

(3)愛子さんは1日でバケツ7/3杯分の草抜きをし、、

望君は1日でバケツ5/2杯分の草抜きをするので、

2人では1日で 7/3+5/2=29/6杯分の草抜きをできます。

一方、草1日でバケツ3/2杯分が生えてくるので、

2人が1日で減らしていく草の量は、29/6-3/2=10/3杯分です。

よって、2人で草抜きをしたとき、20÷10/3=6日で終わります。

 

(4)2人が合計で抜く草は、バケツ20+15×3/2=85/2杯分です。

あとは、つるかめ算です。

15日間、愛子さんだけが草抜きをしたとすると、

バケツで 7/3×15=35杯分 の草を抜けますが、

実際は、85/2杯なので、85/2-35=15/2杯分足りません。

15/2÷5/2=3日間、望君も一緒に草抜きをすれば、

15日目でちょうど草がなくなります。

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2014年9月10日 (水)

入場券のニュートン算とは?(桐朋中学 2010年)

ある遊園地では、午前10時に入場券を売り出します。午前10時に窓口にはすでに180人が並んでいました。その後、行列には毎分3人ずつの割合で人が加わります。午前10時に1つの窓口で入場券を売り出したら、午前11時20分に行列がなくなりました。もし、午前10時に2つの窓口で入場券を売り出したら、行列は何時何分になくなりますか。

ilm13_bb10006-s

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2014年9月 5日 (金)

水槽に水を入れるニュートン算(洛星中学 2012年)

水そうがあって、何本かのじゃ口がら同じ割合で水を入れ、底からは一定の割合で水を出します。

水そうに水が入っていない状態から、じゃ口を8本使って水そうをいっぱいにするのに44分かかり、じゃ口を9本使って水そうをいっぱいにするのに38分かかります。

このとき次の問に答えなさい。

(1)じゃ口を5本使って水そうをいっぱいにするのにかかる時間は何分何秒ですか。

(2)水そうにちょうど半分の量まで水が入っているときに、じゃ口を1本だけ使って水を入れます。95分後に水そうの中にある水の量は、いっぱいのときの量の何倍ですか。

Dripping28936_640

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(1)じゃ口1本から1分間に入れる水の量を【1】とします。

水そうから1分間に出て行く水の量を<1>とします。

[9本の場合]

じゃ口9本から38分間に入った水の量は、【9】×38=【342】

[8本の場合]

じゃ口8本から44分間に入った水の量は、【8】×44=【352】なので、

[8本の場合]の方が[9本の場合]より【10】多く水が必要ということになります。

一方、38分と44分の差の6分間に水そうから出た水の量は、<6> なので、

【10】=<6> ということがわかり、

水そうから1分間に出て行く水の量は、【10/6】=【5/3】です。

[9本の場合]で考えると、38分間に水そうから出た水の量は

<38>=【10】×38/6=【190/3】 なので、1026

この水そうに入る水の量は、

【342】-【190/3】=【836/3】

とわかります。

じゃ口を5本にした場合、1分当たり、じゃ口からは【5】の水が入り、

水そうからは【5/3】が出て行くので、差し引き【10/3】の水が1分間に入ります。

よって、じゃ口を5本にした場合、水そうをいっぱいにするのにかかる時間は、

【836/3】÷【10/3】=83.6分=83分36秒

と求められます。

(2)じゃ口を1本だけ使うと、1分間に入る水の量は【1】、

水そうから出て行く水の量は【5/3】なので、

差し引き【2/3】の水が1分間に水そうから出て行きます。

95分間で出て行く水の量は、【2/3】×95=【190/3】で、

もともと水そうには【418/3】の水が入っているので、

残っている水の量は、

【418/3】-【190/3】=【228/3】=【76】で、

これは、いっぱいのときの量の

【76】÷【836/3】=3/11(倍)です。

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2014年2月11日 (火)

ニュートン算

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「ニュートン算のポイントは、何を①とするかだったでしょ」

「ポンプ1台が1分間にくみ出す水の量を①としたんだけど」

「ならできるはずじゃない?」

「時間切れになった」

毎分3ℓの割合で水がわき出ている池があります。この池を空にするのに、一定の割合で水をくみ出すポンプを3台使うと40分かかり、7台使うと15分かかります。
(1)はじめ池にたまっていた水の量は何ℓですか?
(2)10分以内に池の水をすべてくみ出し、空にするには、ポンプは最低何台必要ですか?

「はじめの水の量と40分間にわき出た水の合計を、ポンプ3台で40分間に全部くみ出したわけ」

Ike1

「7台だと15分でくみ出した」

Ike2

「ポンプ1台が1分間にくみ出す水の量を①とすると・・・」

Ike3_2 

「3台の方は120丸、7台の方は105丸で、差の⑮が25分間にわき出る水の量に等しくなるわけ」

「3ℓ×25分の75ℓが⑮だから①は5ℓになるのか・・・」

「そう、だから120丸は600ℓになるから、40分間のわき出す水の40分×3ℓの120ℓを引けば、はじめの水の量がでる」

「480ℓだ。(2)はわかりそう。10分だから、はじめの480ℓに3ℓ×10分分のわき出す水の量をたせば510ℓになる」

「それで?」

「510ℓを①の1台1分5ℓで割れば10あまり1だから10台!」

「11台でしょ、最低何台必要か、って聞いてるわけなんだから」

「つめがあまい」

「こっちのセリフ!」

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池の水とポンプ(四谷大塚 合不合判定予備テストより)

最初の行列は?(中学受験算数 ニュートン算)

改札口を2つにすると?(中学受験算数 ニュートン算だ問)

井戸とポンプ(中学受験算数 ニュートン算)

ニュートン算の考え方(桐朋中学 2010年)

ニュートン算(開成中学 2011年)

ニュートン算の基本問題(大阪桐蔭中学 2010年)

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