目次

平均算

2016年11月28日 (月)

受けたテストの回数は?(2015年 逗子開成中学)

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花子さんは算数のテストをN回受けました。

花子さんのとった点数の平均点はちょうど81点でした。

このうち、最高点97点と最低点53点の2回のテストの得点を除いた平均点は

ちょうど83点でした。Nにあてはまる数を求めなさい。

1

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除いた2回分の点数が81×2=162点なら、平均点は81点で変わりません。

ところが、除いた2回分が97+53=150点だったので、

平均点が2点上がったわけで、

図のように、162-150=12点を、残った分に加えたと考えてみます。

516

平均点が2点上がったので、12÷2=6回分です。

除いた2回分を加えて、

テストの回数は、6+2=8回です。

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2016年8月 4日 (木)

何回巻かれていますか?(2016年 お茶の水女子大学附属中学)

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新しいシングル巻きのトイレットペーパーが1本あります。

このトイレットペーパーは、芯の周りに長さ60mの紙が巻かれています。

このとき、紙は芯の周りにおよそ何回巻かれていますか?

新しいトイレットペーパーの直径が11.5cm、

芯の直径が3.8cmとして答えてください。

Toiletpaper1133884_640

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Blonde160653

芯の周りと、一番外側の周りをたした長さは、
 
両方の平均の長さ×2 になるので、
 
直径の平均は、(11.5+3.8)÷2=7.65cm
 
その円周は、7.65×3.14=24.021cm
 
約24cmと考えると、
 
巻かれた回数は、6000÷24=250回

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2016年5月11日 (水)

テストの平均点(神戸女学院中学部 2014年)

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5111

35人のクラスで10点満点のテストをしたところ、平均点が5.6点になりました。

上の表はそのときの点数の分布を表したものです。

4点、7点、9点を取った人数を求め、

考えられるすべての場合を次の例のように答えなさい。

【例】 

4点、7点、9点を取った人数がそれぞれ1人、2人、3人 の場合 

→ (1,2,3)

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解法例

全員の取った点数の合計は、35×5.6=196点 です。

それに対し、表にある点数の合計は、

0×1+1×1+2×1+3×4+5×7+6×4+8×3+10×2

=118点 です。

よって、4点、7点、9点を取った人の合計点は、

196-118=78点

となります。

4点、7点、9点を取った人数を(○、△、□)とすると、

4×○+7×△+9×□=78

となります。さらに、

○+△+□=35-(1+1+1+4+7+4+3+2)=12

となります。

一番数の大きい【9】を基準にすると、□は、0~8 が当てはまります。

□=8のとき、○+△=4 で、4×○+7×△=6

  △=0でも○に入る数がないので、条件を満たしません。

□=7のとき、○+△=5 で、4×○+7×△=15

  △=0,1,2でも○に入る数がない。

□=6のとき、○+△=6 で、4×○+7×△=24

  △=0のとき、○=6 となります。

□=5のとき、○+△=7 で、4×○+7×△=33

  △=0,1,2,3,4 でも○に入る数がない。

□=4のとき、○+△=8 で、4×○+7×△=42

  △=0,2,4,6でも○に入る数がない。

 (△=奇数の場合、4×○も奇数にならないと、42(偶数)にならないが、

 4×○が奇数になることはないので、△=奇数の場合は最初から除きましょう)

□=3のとき、○+△=9 で、4×○+7×△=51

 △=1のとき、○=11(○+△=12となってしまうので不適)

 △=5のとき、○=4となる。

 △=3,7のときは○に入る数がない。

 △=偶数の場合、4×○=偶数なので、4×○+7×△=偶数となり、

51(奇数)とならないので、△=偶数の場合は最初から除きましょう。

□=2のとき、○+△=10で、4×○+7×△=60

 和が偶数(60)なので、△=偶数の場合だけを考えます。

 △=4のとき、○=8 (○+△=10にならないので不適)

 △=8のとき、○=1 (○+△=10にならないので不適)

 △=2,6の場合は条件に合う○がない

□=1のとき、○+△=11で、4×○+7×△=69

 和が奇数(69)なので、△=奇数の場合だけを考えます。

 △=3のとき、○=12(不適)

 △=7のとき、○=5 (不適)

 △=1,5,9の場合は条件に合う○がない

□=0のとき、○+△=12で、4×○+7×△=78

 和が偶数(78)なので、△=偶数の場合だけを考えます。

 △=2のとき、○=16 (不適)

 △=6のとき、○=9  (不適)

 △=10のとき、○=2 (条件を満たす)

 △=4,8の場合は条件に合う○がない

以上より、考えられる 4点、7点、9点を取った人数は

 (2,10,0)、(4,5,3)、(6,0,6)

の 3通りがあります。

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2016年4月20日 (水)

4人の得点は?(2016年 桐光学園中学 改題)

4人の生徒A君、 B君、 C君、D君がテストを受けたところ、

得点の低い順にA君、B君 、C君、D君となりました。

また、4人から1人をのぞいた3人の平均点は、

それぞれ60点、66点、68点、76点でした。

4人のそれぞれの得点は何点でしたか?

2203

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得点の高い順に、

D   C   B   A   なので、

D+C+B=76×3=228点

D+C+A=68×3=204点

D+B+A=66×3=198点

C+B+A=60×3=180点

以上より、

D 18点差 C 6点差 B 24点差 A ・・・・とわかります。

C+B+A=(A+30)+(A+24)+A=180 より、

3×A=126

A=42点

B=42+24=66点

C=66+6=72点

D=72+18=90点

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2016年4月15日 (金)

テストの平均点(神戸女学院中学部 2014年)

35人のクラスで10点満点のテストをしたところ、平均点が5.6点になりました。

下の表はそのときの点数の分布を表したものです。

4点、7点、9点を取った人数を求め、

考えられるすべての場合を次の例のように答えなさい。

【例】 

4点、7点、9点を取った人数がそれぞれ1人、2人、3人 の場合 → (1,2,3)

Pic_3811q

Sli068s

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全員の取った点数の合計は、35×5.6=196点 です。

それに対し、表にある点数の合計は、

0×1+1×1+2×1+3×4+5×7+6×4+8×3+10×2=118点 です。

よって、4点、7点、9点を取った人の合計点は、

196-118=78点

となります。

4点、7点、9点を取った人数を(○、△、□)とすると、

4×○+7×△+9×□=78

となります。

さらに、

○+△+□=35-(1+1+1+4+7+4+3+2)=12

となります。

一番数の大きい【9】を基準にすると、□は、0~8 が当てはまります。

□=8のとき、○+△=4 で、4×○+7×△=6

△=0でも○に入る数がないので、条件を満たしません。

□=7のとき、○+△=5 で、4×○+7×△=15

△=0,1,2でも○に入る数がない。

□=6のとき、○+△=6 で、4×○+7×△=24

△=0のとき、○=6 となります。

□=5のとき、○+△=7 で、4×○+7×△=33

△=0,1,2,3,4 でも○に入る数がない。

□=4のとき、○+△=8 で、4×○+7×△=42

△=0,2,4,6でも○に入る数がない

(△=奇数の場合、4×○も奇数にならないと、42(偶数)にならないが、

4×○が奇数になることはないので、

△=奇数の場合は最初から除きましょう)

□=3のとき、○+△=9 で、4×○+7×△=51

△=1のとき、○=11(○+△=12となってしまうので不適)

△=5のとき、○=4となる。

△=3,7のときは○に入る数がない。

△=偶数の場合、4×○=偶数なので、4×○+7×△=偶数

となり、51(奇数)とならないので、△=偶数の場合は最初から除きましょう。

□=2のとき、○+△=10で、4×○+7×△=60

和が偶数(60)なので、△=偶数の場合だけを考えます。

△=4のとき、○=8 (○+△=10にならないので不適)

△=8のとき、○=1 (○+△=10にならないので不適)

△=2,6の場合は条件に合う○がない

□=1のとき、○+△=11で、4×○+7×△=69

和が奇数(69)なので、△=奇数の場合だけを考えます。

△=3のとき、○=12(不適)

△=7のとき、○=5 (不適)

△=1,5,9の場合は条件に合う○がない

□=0のとき、○+△=12で、4×○+7×△=78

和が偶数(78)なので、△=偶数の場合だけを考えます。

△=2のとき、○=16 (不適)

△=6のとき、○=9  (不適)

△=10のとき、○=2 (条件を満たす)

△=4,8の場合は条件に合う○がない

以上より、考えられる 4点、7点、9点を取った人数は

(2,10,0)、(4,5,3)、(6,0,6)

の 3通りがあります。

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2016年2月14日 (日)

平均が10より大きくなる選び方は?(今年、2016年 東邦大学付属東邦中学)

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下のように、10個の数があります。

この10個の数の中から3個の数を選んだとき、

その平均が10より大きくなる選び方は何通りありますか。

4   7   10   13   17

23   11   1   9   15

Apf0107s

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10個から3個を選ぶ選び方は、

(10×9×8)/(3×2×1)=120通り

次に、平均が10以下の組み合わせを考えます。

大きい順に並べると、

23、17、15、13、11、10、9、7、4,1

平均が10以下になるのは、合計が30以下の組み合わせなので、

(23、4、1)・・・・・1通り

(17、11、1)

(17、10、1)

(17、9、4)(17、9、1)

(17、7、4)(17、7、1)

(17、4、1)・・・・・7通り

(15、13、1)

(15、11、4)(15、11、1)

(15、10、4)(15、10、1)

(15、9、4)(15、9、1)

(15、7、4)(15、7、1)

(15、4、1)・・・・・10通り

(13、11、4)(13、11、1)

(13、10、7)(13、10、4)(13、10、1)

(13、9、7)(13、9、4)(13、9、1)

(13、7、4)(13、7、1)

(13、4、1)・・・・・11通り

(11、10、9)(11、10、7)(11、10、4)(11、10、1)

(11、9、7)(11、9、4)(11、9、1)

(11、7、4)(11、7、1)

(11、4、1)・・・・・10通り

(10、9、7)(10、9、4)(10、9、1)

(10、7、4)(10、7、1)

(10、4、1)・・・・・6通り

(9、7、4)(9、7、1)

(9、4、1)・・・・・3通り

(7、4、1)・・・・・1通り

したがって、平均が10より大きくなる組み合わせは、

120-(1+7+10+11+10+6+3+1)=71通り

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2015年11月 9日 (月)

算数の得点は何点?(2015年 フェリス女学院中学)平均

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花子さんは、国語、社会、理科、算数、英語の5科目のテストを受けました。

花子さんの国語、社会、理科の合計得点は222点で、

算数の得点は5科目の平均点より1.6点低く、

英語の得点は算数の得点より5点高かったです。

花子さんの算数の得点は何点ですか?

Girl305519_150_2

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国語、社会、理科、算数、英語をそれぞれA、B、C、D、Eとすると、

平均点は、(A+B+C+D+E)/5 となりますが、

A+B+ C=222、E=D+5 なので、

(222+D+D+5)/5=D+1.6 となり、

両辺を5倍すると、

227+2×D=5×D+8

3×D=227-8=219

D=算数=73点

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2015年10月14日 (水)

Bの順位と性別は?(四天王寺中学 2014年)

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A,B,C,D,Eの5人が100m走をしました。

以下の文を読んで,Bの順位と性別を答えてください。

(ア)3人は男子,2人は女子で,DとEは同性だった。

(イ)5人は1秒おきにゴールした。

(ウ)Dは5位だった。

(エ)EはCより先にゴールした。

(オ)CとEの平均タイムはAのタイムと等しかった。

(カ)AとBの平均タイムは5人の平均タイムより速かった。

(キ)女子2人の平均タイムは5人の平均タイムより速かった。

Bandicam_20151014_073114899

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2015年10月 8日 (木)

問題Cができた人数は何人?(関西学院中学部 2010年)

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下の表は40人のクラスで小テストをした結果です。

問題は3問あり、Aが2点、Bが3点、Cが4点です。

平均点を5.5点とすると、問題Cができた人数は何人でしょうか?

P1008

2203

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平均点が5.5点なので、

クラスの総得点は、5.5×40=220点 です。

わかっている得点合計は、

0×2+2×4+3×4+4×3+6×5+7×4=90点

5点と9点の人の合計は、220-90=130点です。

5点と9点の人数は、40-(2+4+4+3+5+4)=18人

そこで、図のようにつるかめ算で考えると、

P10082

18人全員が9点なら、合計は162点なので、

緑部分は162-130=32点 です。

緑部分のたては、9-5=4 なので、

横、つまり5点の人の人数は、32÷4=8人 ということになります。

9点の人は、18-8=10人

問題Cを正解した人は4点なので、

4点、6点、7点、9点を取った人数なので、

3+5+4+10=22人 です。

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2015年9月26日 (土)

アにあてはまる数はいくつ?(青稜中学 2014年)

下の表は、35人のクラスで、1か月間に借りたCDの枚数と人数を表したものです。

2枚以上借りた人数の割合がクラス全体の80%で、

クラス全員の借りた枚数の平均が3.2枚のとき、

アにあてはまる数はいくつですか。

926

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2人以上の人数は、35×0.8=28人 なので、

ウ=28-(6+8+7+2)=5(人)

CDの合計は、3.2×35=112(枚)

イ={112-(2×5+3×6+4×8+5×7+6×2)}÷1=5(人)

ア=35-(5+5+6+8+7+2)=2(人)

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