１２０度になる時刻は？（麻布中学 ２０１７年）
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（１）
１時から２時までの１時間で、
時計の長針と短針の作る角の大きさが１２０度になる時刻を
２つ答えてください。
（２）
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（１）
最初３０°離れたキョリを長針が追いつき、
さらに１２０°差をつけるわけですから、
長針は短針に１５０°の差をつけることになります。
次は、逆側の２４０°を１２０°に縮めるまで進むので、
合計、１５０＋１２０＝２７０°差をつけることになります。
長針の速さは、１分間に６°
短針の速さは、１分間に０．５°
その差は、６－０．５＝５．５°です。
したがって、１回目は、
１５０÷５．５＝２７と３/１１分
１時２７分１６と４/１１秒
２回目は、
２７０÷５．５＝４９と１/１１分
１時４９分５と５/１１秒
（２）
１時～２時→２回
２時～３時→２回
３時～４時→２回
６回目が４時ちょうどになり、
５時までに７回目があるので、
８回目は５時過ぎの時刻です。
５時は短針と長針のつくる角度が１５０°なので、
１２０°に縮まる時刻は長針が３０°追いつく時刻です。
３０÷５．５＝５と５/１１分
５時５分２７と３/１１秒です。
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2016年8月 1日 (月)
遅れる時計の正しい時刻は？（武蔵中学 ２０１５年）
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１日にある決まった時間だけ遅れる時計があります。
ある日の８時３０分には図１、１５時１０分には図２のようになっていました。
この時計が正しい時刻を指していたのは、この日の何時何分ですか。
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長針は１分間に３６０/６０＝６°
短針は１分間に３０/６０＝０．５°進むので、その差は５．５°
８時３０分の本当の角度は７５°、
図１の５３°は（３０×８－５３）/５．５＝３４分→８時３４分を指しています。
１５時１０分の本当の角度は、３０×３－５．５×１０＝３５度、
図２の６８°は（９０－６８）÷５．５＝４分より→１５時４分を指しています。
８時３０分から１５時１０分までの６時間４０分間にこの時計は
１５時４分－８時３４分＝６時間３０分 進んだので、
６時間４０分で１０分遅れることになります。
１５時１０分時点で、１５時４分なので６分遅れているわけで、
□時間で６分遅れたとすると、
６時間４０分：□＝１０：６ より、
□＝６時間４０分×０．６＝４００分×０．６＝２４０分→４時間となり、
１５時１０分－４時間＝１１時１０分 に正しい時間だったことがわかります。
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2016年5月 1日 (日)
遅れる時計の正しい時刻は？（武蔵中学 ２０１５年）
１日にある決まった時間だけ遅れる時計があります。
ある日の８時３０分には図１、１５時１０分には図２のようになっていました。
この時計が正しい時刻を指していたのは、この日の何時何分ですか。
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長針は１分間に３６０/６０＝６°
短針は１分間に３０/６０＝０．５°進むので、その差は５．５°
８時３０分の本当の角度は７５°、
図１の５３°は（３０×８－５３）/５．５＝３４分→８時３４分を指しています。
１５時１０分の本当の角度は、３０×３－５．５×１０＝３５度、
図２の６８°は（９０－６８）÷５．５＝４分より→１５時４分を指しています。
８時３０分から１５時１０分までの６時間４０分間にこの時計は
１５時４分－８時３４分＝６時間３０分 進んだので、
６時間４０分で１０分遅れることになります。
１５時１０分時点で、１５時４分なので６分遅れているわけで、
□時間で６分遅れたとすると、
６時間４０分：□＝１０：６ より、
□＝６時間４０分×０．６＝４００分×０．６＝２４０分→４時間となり、
１５時１０分－４時間＝１１時１０分 に正しい時間だったことがわかります。
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2015年11月10日 (火)
時計の長針と短針の位置（暁星中学 ２０１４年）
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和夫さんは休日になると、お父さんと散歩に行きます。
この日、散歩に行く前に時計を見ると正午を何分か過ぎたところでした。
散歩から戻って時計を見ると、午後２時を何分か過ぎていましたが、
時計の長針と短針の位置は、散歩に行く前に見たときとちょうど入れかわっていました。
和夫さんか散歩に行く前に時計を見た時刻を求めなさい。
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散歩に出かけたときは図のように、１２時十何分か、
散歩から戻ったときは図のように、２時ちょっと過ぎ、
長針と短針の作る角度は同じなので、その角度を□とします。
散歩の間、短針は□度進んでいて、
長針は（７２０－□）度進んでいます。
短針は１分間に０．５度、長針は６度進むので、
□/０．５＝（７２０－□）/６
１２×□＝７２０－□
□＝７２０/１３度になります。
長針と短針が重なった正午から、この角度の差がついたと考えると、
その時間は、
７２０/１３÷（６－０．５）＝１０と１０/１４３分
したがって、散歩に出かけた時刻は、１２時１０と１０/１４３分
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2015年9月 8日 (火)
長針と短針がつくる三角形の最大面積は？（第９回算数オリンピック、トライアルより）
短針と長針しかない時計があります。
短針ＯＡの長さは６ｃｍ､長針OBの長さは８ｃｍです。
三角形ＡＢＯは時間とともに形が変っていきますが、
三角形ABOの面積が最も大きくなるとき、その面積は何c㎡ですか。
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OBを△ABOの底辺と考えれば、
高さがOA＝６ｃｍの直角三角形になるときが面積が最大です。
したがって、最大面積＝８×６÷２＝２４ｃ㎡
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2015年5月27日 (水)
長針と短針がつくる角度は？（作新学院中等部 ２０１４年）
下の時計の針は、７時10分を指しています。
長針と短針がつくる１８０°より小さい方の角度は何度ですか？
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短針は１時間で３０°進むので、
１０分では、３０×１/６＝５°進みます。
したがって、図の角度は
３０×５＋５＝１５５°
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2015年2月27日 (金)
２０１５年（武蔵中学）遅れる時計の正しい時刻は？
１日にある決まった時間だけ遅れる時計があります。
ある日の８時３０分には図１、１５時１０分には図２のようになっていました。
この時計が正しい時刻を指していたのは、この日の何時何分ですか。
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長針は１分間に３６０/６０＝６°
短針は１分間に３０/６０＝０．５°進むので、その差は５．５°
８時３０分の本当の角度は７５°、
図１の５３°は（３０×８－５３）/５．５＝３４分→８時３４分を指しています。
１５時１０分の本当の角度は、３０×３－５．５×１０＝３５度、
図２の６８°は（９０－６８）÷５．５＝４分より→１５時４分を指しています。
８時３０分から１５時１０分までの６時間４０分間にこの時計は
１５時４分－８時３４分＝６時間３０分 進んだので、
６時間４０分で１０分遅れることになります。
１５時１０分時点で、１５時４分なので６分遅れているわけで、
□時間で６分遅れたとすると、
６時間４０分：□＝１０：６ より、
□＝６時間４０分×０．６＝４００分×０．６＝２４０分→４時間となり、
１５時１０分－４時間＝１１時１０分 に正しい時間だったことがわかります。
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2014年10月14日 (火)
長針と短針の角度と時刻の関係をつかむ！（海城中学 2011年）
長針、短針、秒針のついた時計について、
次の【ア】～【カ】にあてはまる数を求めなさい。
ただし、秒の値のみ分数で答えなさい。
（１）７時から８時の間で、長針と短針の間の角の大きさが６０度になる時刻は、
１回目が
７時【ア】分【イ】秒で、２回目が７時【ウ】分【エ】秒です。
（２）７時から８時の間で、
短針と秒針の間の角の大きさが１２０度になる
２３回目 の時刻は、
７時【オ】分【カ】秒です。
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（１）７時の時点で、長針と短針の間の角度は、２１０度で、
長針は１分に６度、短針は１分に０．５度動くので、
長針と短針の作る角度が６０度になるのは、
１回目が、
（２１０－６０）÷（６－０．５）＝３００/１１＝２７と３/１１分後
２回目が、
（２１０＋６０）÷（６－０．５）＝５４０/１１＝４９と１/１１分後
で、
３/１１分＝１８０/１１秒＝１６と４/１１秒
１/１１分＝６０/１１秒＝５と５/１１秒
なので、
１回目が、７時２７分１６と４/１１秒
２回目が、７時４９分５と５/１１秒
とわかります。
（２）短針と秒針の間の角の大きさが１２０度になるのは
１分間に２回あります。２３回目は奇数回目なので、
２２回目が終わると７時１１分になっていて、その次の回です。
７時１１分００秒では、短針と秒針の間の角の大きさは、
２１０＋０．５×１１＝２１５．５度
になっていて、１秒間に秒針は ６度動き、短針は、
０．５÷６０＝１/１２０度
動きます。
２１５．５度あった短針と秒針の間の角の大きさが、１２０度になる
のは、
（２１５．５－１２０）÷（６－１/１２０）
＝９５．５÷７１９/１２０
＝１１４６０/７１９
＝１５と６７５/７１９ 秒後
になり、２３回目の時刻は、７時１１分１５と６７５/７１９秒 です。
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2014年8月15日 (金)
進む時計と遅れる時計の考え方（頌栄女子学院中学 2011年）
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１時間に２分の割合でおくれる時計A と、１時間に５分の割合で進む時計B があります。午後３時にこの２つの時計を合わせました。この日、時計A が午後９時４６分を指しているとき、時計B は午後何時何分を指していますか。
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２つの時計は、正確な時間で１時間の間に、
A は５８分、B は６５分 進みます。
つまり、２つの時計の進む比は、５８：６５ です。
A が午後９時４６分までに、６時間４６分＝４０６分
進んだとき、B は、
５８ ： ６５ ＝ ４０６ ： □
より、□＝６５×４０６÷５８＝４５５分＝７時間３５分 進み、
時計B の指している時間は、午後１０時３５分 とわかります。
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2014年8月11日 (月)
遅れる時計と進む時計の時計算（開成中学 ２００５年）
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１時間に６分の割合で遅れる時計Ａと、
１時間に６分の割合で進む時計Ｂがあります。
両方の時計を正しい１時の時報に合わせます。時報に合わせてから、
時計Ａの長針と短針の間の角度が初めて90°になるとき、
時計Ｂは何時何分何秒をさしていますか。
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時計Ａは正確な時計の５４/６０＝９/１０の速さなので、
時計Ａの長針は１時間に３６０×９/１０＝３２４°進み、
１分間に３２４÷６０＝５．４°進みます。
時計Ａの短針は１時間に３０°×９/１０＝２７°進み、
１分間に２７÷６０＝０．４５°進みます。
１時から長針と短針が９０°になるには、
長針が３０°＋９０°＝１２０°の差を短針につける時間です。
１２０÷（５．４－０．４５）＝８００/３３＝２４と８/３３ 分です。
これは正確な時間なので、
時計Ｂはこの時間よりも、６６/６０＝１１/１０進んだ時刻をさしています。
したがって、８００/３３×１１/１０＝８０/３＝２６と２/３分
１時２６分４０秒をさしています。
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