目次

魔方陣

2017年4月 2日 (日)

①、②、③に入る数は?(今年 2017年 市川中学)

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次の9つのます目に異なる整数を入れて、

たて、よこ、ななめに並ぶ3つの数の和がいずれも等しくなるようにします。

②と③に入る数の比が3:2で あるとき、

①、②、③に入る数はそれぞれいくつですか?

4021

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赤の斜めと青の横の差は5なので、

②と③の差も5になります。

4022

②:③=3:2 なので、3-2=1が5にあたる数は、

②=15、③=10になります。

4023

右たて25、中横26、左たてと下横27なので、

緑ななめは右上から、①、①-1、①-2 と連続する数になります。

中たては中横と同じになり、中上の数は 26-17=9 となります。

3つの数の合計は28以上なので、

28÷3=9.・・・・・・ より①=9以上の連続する3数を探すと、

他と異なる3つの連続数は、12、13、14 となり、

①=14、②=15、③=10

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2017年3月17日 (金)

横、たての和をすべて1にして!(今年 2017年 春日部共栄中学)

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図のような9つの空欄に0か1を記入して、

横およびたてに加えた和がすべて1になるような表は

何種類できますか?

全部作ってください。

3171608

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以下の6種類です。

6091


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2016年5月 9日 (月)

6角魔方陣の推理(灘中学 2014年)

図の19個のOに1から19までの整数をひとつずつ入れて,

ア列からソ列までのそれぞれについて,

直線上に並んだ整数全部の和が列ごとにすべて38になるようにします。

例えば,ケ列では

11+1+7+19=38 です。

下の図に続けて整数を入れるとき,Aに入る整数とBに入る整数はいくつですか。

1

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ク列とサ列の交点には、38-(11+18)=9 が入ります。

すると、ア列残りの和は38-9=19なので、

考えられる組み合わせは、

12-17

13-16

14-15 

また、セ列の残り2つの和は38-(4+19)=15 なので、

考えられる組み合わせは、

12-3

13-2

そして、ソ列残り2つの和は38-10=28 なので、

考えられる組み合わせは、

12-16

13-15

つまり、セ列で12を使うとソ列で13を使い、

セ列で13を使うとソ列で12を使わなければならず、

ア列は14-15の組み合わせに決まってしまいます。

A=14だと、カ列の残りは14になり、14が2つになってしまうので、

A=15 になります。

するとカ列の残り1つは13、

ソ列は12-16の組み合わせに決まります。

オ列、12-19-BではBが7になり、2つになってしまうので、

オ列は16-19-3 で、

B=3 になります。

あとの○は、それぞれ引き算して求められます。

この問題は「6角魔方陣」として知られる19の数で、

解答は1通りしかないそうです。

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2015年10月 4日 (日)

たてと横の数字の和をみな等しく!(2011年ジュニア算数オリンピック、ファイナル問題より)

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図の16マスのうち何マスかを黒く塗りつぶして、

どの行、どの列の数字の和もすべて等しくなるようにしてください。

ただし、全部黒く塗りつぶさないように!

1_2

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図のア行をみると、偶数ばかりなので、等しくなる和も偶数とわかります。

すると、①列にある1は黒、③列の1も黒になり、

エ行の3+3より共通の和は6とわかります。

2

同様に考えて、

④列目のふたつの2は黒、

②列、ウ行の3が黒、

③列、イ行の2が黒、

①列、ア行の4が黒く塗りつぶされます。

3

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2015年9月24日 (木)

真ん中に入る数字は?(2007年ジュニア算数オリンピック、ファイナル問題より)

3つのだ円が重なって13の部分ができ、

1つのだ円は7つの部分に分かれています。

今、1~13の13個の数字を1つずつ入れて、

どの3つのだ円の7つの部分の数字の和も58になるようにするとき、

真ん中のアの部分に入る数字はいくつですか?

1

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2_2

1つのだ円の和はどれも58なので、3つ分の和は58×3=174です。

この中には当然同じ数字を複数回たし合わせている分が含まれます。

整理すると、

(1)3つのだ円が重なる部分はアの1ヵ所のみ。

(2)2つのだ円が重なる部分は黄色の6ヵ所。

(3)1つのだ円にだけふくまれる緑部分は6ヵ所。

なので、(1)の数字を3回、(2)の数字を2回、(3)の数字を1回

たし合わせていることになります。

1~13の和は、(1+13)×13÷2=91

これに(1)の数字をあと2回、(2)の6個の数字をあと各1回加えて174になるので、

ア×2+黄6個は174-91=83

大きい順に7個の数字7~13の和(7+13)×7÷2=70よりも大きく、

その差は83-70=13より、8個目のアは13となり、

(2)の黄色部分6個は7、8、9、10、11、12でなければならなくなります。

黄色の向かい合う数字の和が19、

緑の向かい合う数字の和が7と、条件を満たすように数字を入れていくと、

図のようになります。

3

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2015年9月23日 (水)

たてと横の数字の和をみな等しく!(2011年ジュニア算数オリンピック、ファイナル問題より)

図の16マスのうち何マスかを黒く塗りつぶして、

どの行、どの列の数字の和もすべて等しくなるようにしてください。

ただし、全部黒く塗りつぶさないように!


1_2

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図のア行をみると、偶数ばかりなので、等しくなる和も偶数とわかります。

すると、①列にある1は黒、③列の1も黒になり、

エ行の3+3より共通の和は6とわかります。

2

同様に考えて、

④列目のふたつの2は黒、

②列、ウ行の3が黒、

③列、イ行の2が黒、

①列、ア行の4が黒く塗りつぶされます。

3

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2015年9月21日 (月)

アにあてはまる数はいくつ?(関西大第一中学 2006年)

図のように、たて、横の列のそれぞれの和がすべて15になるように、

1から9までの整数を1つだけ使って並べます。

アにあてはまる数はいくつでしょうか?

P921

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8の右は6、3の下は4なので、残る数は 2、5、7、9 です、

アの横は、15-3=12になるので、

ア+○=12になるのは、5と7の組み合わせだけです。

ア=7だと、アの下も7になり、不適当、

したがって、ア=5 です。

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2015年9月17日 (木)

魔方陣の推理パズル!(2014年、駒場東邦中学)

図の「あ」~「け」の中に1~9の数字を1つずつ入れ,6つの正方形の頂点の数の和がいずれも20になるようにしたいと思います。

0

(1)「お」にあてはまる数を求めなさい。

ここで,「あ」に3が入るとき,以下の問いに答えなさい。

(2)「け」にあてはまる数を求めなさい。

(3)「い」,「う」にあてはまる数の組をすべて求めなさい。

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----------------------------------------------------

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小さい4つの正方形を①~④、外側の大きい正方形を⑤、

真ん中の正方形を⑥とすると、

1_4

(1)

①~⑤を全部たすと、

あ~け が各2個と お がさらに2個(全部で4個)入っています。

1~9までたすと45なので、

45×2+お×2=20×5=100

お×2=10

お=5

(2)

あ=3、お=5 なので、

①より、い+え=20-8=12

い と え の組み合わせは9+3か8+4か7+5 ですが、

3も5もきまっているので、8と4に決まります。

⑥より、か+く=20-12=8

③より、け=20-(5+8)=7

ここで、か と く の組み合わせは、

1と7でもなく3と5でもなく、2と6に決まります。

(3)

②より、

い=8 なら、か=6 で う=1

い=4 なら、か=2 で う=9

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2015年8月10日 (月)

?に入る数字は?(2009年算数オリンピック、トライアル問題から)

下の図は、例のように1つの線の上にある5つの数字が同じ数だけ増えるように並んでいます。?にはいる数字はいくつですか?

3

1_2

---------------------------------------------------

----------------------------------------------------

---------------------------------------------------

2_2

図のように○の中に入る数字をア~工とします。

アと33の差は、33とイの差と同じなので、

ア+イ=66です。

また同様に35とアの差はアとウの差と等しく、

53とイの差は、イとエの差に等しいので、

ウ+エ+35+53=2×(ア+イ)=132です。

なので、ウ+エ=44とわかります。

同様に、アとウの差はウと?の差に等しく、

イとエの差はエと?の差に等しいので、

ア+?+イ+?=2×(ウ+エ)です。

66+2×?=88

2×?=22

このことから、?=11とわかります。

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2015年8月 7日 (金)

平均の魔方陣(2011年算数オリンピック、ファイナル問題から)

図のように、同じ大きさの正方形が5つあり、それぞれの正方形の真ん中の○の中の数字は、その正方形の頂点にある4つの○の中の数字の平均になっています。いま、いくつかの○の中に数字が入っているとき、残りの○の中に数字を書き入れなさい。

1

---------------------------------------------------

----------------------------------------------------

---------------------------------------------------

2

それぞれの正方形の関係式を書いてみます。

ア+イ+エ+オ=4×ウ…①

15+9+12+ウ=4×ア…②

16+9+7+ウ=4×イ…③

12+1+3+ウ=4×エ…④

7+2+3+ウ=4×オ…⑤

②+③+④+⑤は、

96+4×ウ=4×(ア+イ+エ+オ)

この式に①を代入すると、

96+4×ウ=4×4×ウ

よって、ウ=8とわかります。

ウ=8を②~⑤の式に代入すると、

ア=11、イ=10、エ=6、オ=5、

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