目次

条件整理と推理

2019年5月 7日 (火)

かかった時間と速さは?(開成中学 2019年)

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K君は,自宅からおばさんの家まで, スイカ2つを一人で運ぶつもりでした。

ところが、弟のS君が「ぼくも手伝う!」と言ったので,次のようにしました。

1) K君とS君がそれぞれスイカを1つずつ持って、同時に自宅を出発する。

2) K君の方がS君より進む速さが速いので,おばさんの家に先に着く。

  そこで,すぐにスイカを置いて,S君に出会うまで引き返す。

3) K君は,S君に出会ったらすぐにS君からスイカを受け取り、

  すぐにおばさんの家に向かう。

ここで,K君の進む速さは

スイカを2つ持っているときは毎分60m,

スイカを1つ持っているときは 毎分80m,

スイカを持っていないときは 毎分100m です。

スイカ2つを運び終えたK君がおばさんの家で休んでいると,

後から追いかけてきたS君が到着しました。

S君「おにいちゃん、ぼく、役に立った?」

K君「もちろんだよ! ぼくが一人で運ぶつもりだったけど、

  そうするのに比べて15/16倍の時間で運び終えられたからね。

    ありがとう!」

S君「ほんと!? よかった!」

次の問いに答えなさい。

(1) K君が一度目におばさんの家に着いてから、

  二度目におばさんの家に着くまでの時間は、

  K君がはじめに一人でスイカ2つを運ぶのにかかると考えていた時間の

  何倍ですか。

(2) 引き返したK君がS君に出会った地点から,おばさんの家までの距離は,

  自宅からおばさんの家までの距離の何倍ですか。

(3) S君がスイカを1つ持って進む速さは毎分何 m ですか。

4275

 

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解法例

5071

(1)

はじめに考えていた

K君が一人でスイカを2つ運ぶ時間を⑯とすると、

実際は、自宅⇒おばさん⇒引き返しS君と出会い⇒おばさん、

にかかった時間は⑮です。

スイカ2つとスイカ1つでは

速さの比は、60:80=3:4

かかる時間の比は逆比で、4:3

スイカ1つでおばさんの家まで、

4:3=⑯:?

?=⑫

おばさん⇒S君⇒おばさん の時間は

⑮-⑫=③

したがって、3/16 倍になります。

(2)

おばさん⇒S君 にかかった時間を4とすると、

S君⇒おばさん にかかった時間は5

4+5=9 が③に当たることになるので

⑫は36

したがって、5/36 倍です。

(3)

KくんがSくんに出会うまでにかかった時間は、

36+4=40

進んだ距離は逆比で、

K君:S君=40:31

S君の速さは、80×31/40=62 より、

毎分62mです。

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682

 

 

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2018年11月23日 (金)

立方体に書かれていないと考えられる数字は?(今年 2018年 神奈川大学附属中学)

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A君が2~10 までの数字の中から、異なる数字を6つ選び、

その数字を立方体の各面に1つずつ 書きました。

それを見たB君、Cさん、D君が次のような発言をしました。

B君 「普通のさいころと違って、向かい合っている面の数字の合計が

    すべて8以上になっているな。」

Cさん 「向かい合っている面の数字の合計が15になっている組み合わせが

     1組あったね。あと4の 面もあったね。」

D君 「2の面と隣り合っている面には、素数が1つも書かれていなかったけど、

     A君は気がついているのかな。」

2~10 までの数字の中で、立方体に書かれていないと考えられる数字を

すべて答えなさい。

Pfa010sPfa020sPfa021s

Paper

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解法のヒント

Panda250

素数は1と自分自身でしか割れない数

2、3、5、7

素数ではない数

4、6、8、9、10

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解法例

Bandicam_20181123_100349136

上面を2とすると、

側面は、素数でない、4、6、8、9、10

このうち合計が15となる組み合わせは、6と9

2+4=6 <8 より、

4は2の向かい合う面にはならないので、側面の1つ

 4の向かい合う面には、8と10の可能性があり、

2の向かい合う面には、7、8、10の可能性があるので、

書かれていないと考えられる数は、3と5

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682

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2018年5月23日 (水)

A、B、C、Dの値は?(今年 2018年 サレジオ学院中学)

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0ではない5つの整数 A、B、C、D、Eが

次の条件(ア)~(オ)を満たしています。

(ア) AをBで割ったとき、商はCで余りはDです。

(イ) EはBとCをかけた数です。

(ウ) BはDよりも大きい数です。

(エ) CはBよりも3だけ大きい数です。

(オ) Dは偶数です。

このとき、次の問いに答えなさい。

(1)5つの数A、B、C、D、Eを大きい順に並べなさい。

(2)Eの値が 28 のとき、A、B、C、Dの値をそれぞれ求めなさい。

Clas002s

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(1)

(ア)B×C+D=A

(イ)B×C=E

(ウ)B>D

(エ)C=B+3

より、

A、E、C、B、D

(2)

28=1×28

28=2×14

28=4×7

より、

(イ)と(エ)を満たすのは、

B=4、C=7

(ウ)と(オ)を満たすのは、

D=2

A=28+2=30

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2018年2月18日 (日)

ゴールしたランナーの順位は?(今年 2018年 早稲田中学)

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ランナー A、B、C、D、E、F、Gの7人が400m競走を行いました。

途中経過は次のようでした。


AさんとCさんの間には2人のランナーがいます。

Gさんはこの時点で4位です。

Bさんのすぐ前にEさんがいます。

DさんはBさんの後方にいて,その間には2人のランナーがいます。


その後, Aさんが3人を追い抜いてゴールしました

ゴールしたランナーを1位から順に書きなさい。

Hasiru

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① AさんとCさんの間には2人のランナーがいます。

②Gさんはこの時点で4位です。

③Bさんのすぐ前にEさんがいます。

④DさんはBさんの後方にいて,その間には2人のランナーがいます。

⑤その後, Aさんが3人を追い抜いてゴールしました。

③と④より、

EB〇〇D・・・・⑥

ここにA〇〇Cあるいは、C〇〇Aをあてはめると、

A〇〇Cでは、②と⑤の条件にあわず、

C〇〇Aが条件に合うのは、

EBCGDAF となって、

ゴールした順位は、

E B A C G D F

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2018年2月15日 (木)

列は全部で何通り?(今年 2018年 麻布中学)

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2つの記号〇、×を並べてできる列のうち、

次の条件にあてはまるものを考 えます。

(条件) ○が3つ以上連続して並ぶことはない。

Apf0107s

例えば,、○○×○○はこの条件にあてはまりますが、

○×○○○××は条件にあてはまりません。

このとき、次の問いに答えなさい。

(1)〇、×を合わせて14個並べるとき、

  ×の個数が最も少なくなる列を1つ書き なさい。

(2)〇、×を合わせて13個並べるとき、

  ×の個数が最も少なくなる列は全部で何通り考えられますか。

(3)〇、×を合わせて12個並べるとき、

  ×の個数が最も少なくなる列は全部で何通り考えられますか。

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(1)

〇〇×〇〇×〇〇×〇〇×〇〇

(2)

〇〇×〇〇×〇〇×〇〇×

一番右の×を左にずらすと、

〇〇×〇〇×〇〇××

右から2番目の×を左にずらすと、

〇〇×〇〇×××

右から3番目の×を左にずらすと、

〇〇××××

一番左の×を左にずらすと、

××××

以上の5通り

(3)

〇〇×〇〇×〇〇×〇〇×・・・・・①

(2)と同様に右から順番に×をずらしていきます。

〇〇×〇〇×〇〇××〇・・・・・②

〇〇×〇〇×〇〇××〇・・・・・③

〇〇×〇〇×××〇・・・・・④

〇〇×〇〇×××〇・・・・・⑤

〇〇××××〇・・・・・⑥

〇〇××××〇・・・・・⑦

××××〇・・・・・⑧

××××〇・・・・・⑨

右側が×〇になっている②の変化形が考えられます。

〇〇×〇〇×××〇・・・・・⑩

〇〇××××〇・・・・・⑪

××××〇・・・・・⑫

左側が〇×になっている⑧の変化形が考えられます。

××××〇・・・・・⑬

××××〇・・・・・⑭

××××〇・・・・・⑭’これは⑫と同じなので不可

両側が〇〇×・・・・・×〇になっている

③~⑦の中6つの形でないのが、〇××〇の対象形、

〇〇×〇×××〇・・・・・⑮

この15通りです。

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2017年12月25日 (月)

Bの銀メダルは?Aの金メダルは?(世田谷学園中学 2017年)

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2つの国A、Bがオリンピックで獲得したメダルの数を調べました。

Aが 獲得した金メダルはBより5個少なく、

銀メダルはBの半分で、銅メダルは Bと同じ数でした。

獲得したメダルの合計は、Aが15個、Bが22個でした。

A、Bともに金、銀、銅のメダルを

少なくとも1個ずつ獲得したことがわかって いるとき、 

次の問いに答えなさい。

(1)Bの銀メダルは何個ですか。

(2)Bは金メダルが銅メダルより少ないことがわかっています。

     Aの金メダルは多くて何個ですか。

Medals1622902_640

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----------------------------------------------------

(1)銅メダル数が同じなので、

22-15=7個の差は、金と銀メダル数の差になります。

金メダルの差は5個なので、

7-5=2個の差は銀メダル数の差になります。

銀メダル数は、A=1/2×Bなので、

B-1/2×B=2 より、

1/2×B=2

B=4個

(2)Bの金+銅は、22-4=18個なので、

18÷2=9個で、金<銅 より、

金メダル数の最大個数は8個

Aの金メダル数は、最多で8-5=3個 です。


 

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2017年9月25日 (月)

1列の積は?(2017年 智弁学園和歌山中学)

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次の9つのマス目に、

たて、横、ななめ、どの1列の3個の数の積も等しくなるように

異なる整数を書きます。

1列の積は何になりますか。


9251

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

9252

4×A×B=12×2×B

4×A=24

A=6

4×C×D=12×6×D

4×C=72

C=18

1列の積=18×6×2=216

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2017年3月18日 (土)

ボールの色は何色?(今年 2017年 頌栄女子学院中学)

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1、2、3の番号が書かれた、3つのボールがあります。

これらのボールのうち1つは赤、 1つは青、1つは白です。

これらのボールについて、Aさん、Bさん、Cさん D さん の4人は

次のように説明しましたが、1人だけまちがった内容を言っています。

Aさん:1と書かれたボールは赤ではない。

Bさん:1と書かれたボールは青ではない。

Cさん:2と書かれたボールは白である。

Dさん:2と書かれたボールは赤である。

このとき、1から3の番号が書いてあるボールの色はそれぞれ何色ですか?

3181

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CとDが両方とも正しいことはないので、どちらかが間違っています。

すると、AとBは2人とも正しく、

1と書かれたボールは白に決まります。

したがって、Cが間違っているので、

Dより、2と書かれたボールは赤

3は青になります。

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2017年1月27日 (金)

ロボットはどう動く?(今年、2017年 京都市立西京高等学校附属中学)

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太郎さんのお父さんが「プログラム付きロボット」を

プレゼントに買って きてくれました。

この「プログラム付きロボット」は、

あらかじめ与えた条件 (プログラム)にしたがって、平面上を動きます。

また、プログラムとして、次の2つの条件を与えることができます。

<条件1> 次に進むマスへの方向

A: 進行方向に対して、まっすぐ進む。

B: 進行方向に対して、右へ120度曲がって進む。

C: 進行方向に対して、左へ120度曲がって進む。

<条件2 > 次のマスまで進むのにかかる時間

※ただし、<条件2>における時間は、1秒単位で与えるものとします。

《例》
プログラム <条件1>A一B一C  <条件2>5秒 で、

スタート地点に矢印の向きにおく。

このとき、ロボットは、スタート地点を出発 してから15秒後に

ゴール地点に着きます。

ま た、太線は15秒間の経路を表しています。

1271

(1) プログラム <条件1>AーCーBーB <条件2>1秒 で、

図のスタート地点に矢印の向きにおいたときの、

4秒間の経路と4秒後のゴール地点を

(例) にならって、解答用紙に書きな さい。

1272

(2)18秒後にスタート地点に初めて戻ってくるプログラムを作りました。

以下の空欄に入る記号または数字を答えなさい。

プログラム <条件1> Aー (   ) ー A ーBー (   )ー C  <条件2> (   )秒

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----------------------------------------------------

(1)

1273

(2)

1274

Aー(B)ーAーBー(B)ーC

3秒

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2016年10月11日 (火)

砂時計で時間を計るには?(頌栄女子学院中学 2012年) 

Gif912 5

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3分を計ることができる砂時計A と 、

7分を計ることができる砂時計B があります。

この2つの砂時計を使って、

11分を計るにはどのようにしたらよいか説明してください。

3_3 3_4

---------------------------------------------------

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11分=4分+7分 と考えてみます。

Bandicam_20161011_080953984

Bandicam_20161011_081006294

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