目次

約数と倍数

2017年2月21日 (火)

何時間何分かかったかな?(今年 2017年 東大寺学園中学)

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コンサートのチケットを印刷するのに、3つの機械A、B、Cを用いました。

1枚のチケットを印刷するのに、Aは15秒、Bは20秒、Cは25秒かかります。

A、B、Cに何枚かずつ用紙をセットして、同時に印刷を開始したところ、

3つの機械から、それぞ れ最後の1枚が同時に印刷を終えて出てきました。

全部で2491枚のチケットが印刷されたとすると、

印刷を開始してから印刷を終えるまで何時間何分かかりましたか。

ただし、3つの機械は一度も止まることなく印刷を続けていたものとします。

Mailmerge1803674_640

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A、B、Cの機械から

最初に同時に印刷されたチケットが出てくるのは、

15と20と25の最小公倍数の300秒後です。

この時の枚数は、

(300÷15)+(300÷20)+(300÷25)=47枚

最後の1枚も47枚の倍数になっているので、

2491÷47=53

300×53=15900秒

15900÷60=265分

4時間25分


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2016年10月 1日 (土)

どの数字を打ちまちがえた?(2015年 東京学芸大学附属世田谷中学)

Lpsa1105csjpg

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2から9までの1けたの数を使って電卓でかけ算をしました。

2×3×6×8×9×7×5×2×5を計算しようと思っていましたが、

1つの数字を電卓で打ちまちがえてしまい、積が680400となりました。

どの数字を、2から9までのどの1けたの数字と打ちまちがえましたか。

Calculator168360_640

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2×2×5×5=100、

3×6×8×9×7=9072 なので、

9072が6804の何倍になったのか調べます。

9072/6804を約分していきますが、

すべての桁の和が9で割り切れるときは9の倍数なので、

分子分母を9で割って、1008/756、

さらに9で割って、112/84、

14で割って、8/6

4/3倍になっていることがわかります。

3、6、8、9、7のうち4/3で割って整数になるのは8だけなので、

8÷4/3=6

8を6と打ちまちがえました。

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2016年5月 2日 (月)

最小公倍数は?(2016年 専修大学松戸中学)

5021

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約数が10で、和が90になる組み合わせは、

10  10  70

10  20  60

10  30  50

10  40  40

20  20  50

20  30  40

30  30  30   ・・・・・が考えられますが、

3つとも異なり、10が最大公約数になるのは、

10  20  60

10  30  50

20  30  40  ・・・・・の3つ

それぞれ、最小公倍数を求めると、

60  150  120  

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2016年4月 8日 (金)

整数●はいくつ?(2016年 成城学園中学)

2016×●=▲×▲となる最も小さい整数●はいくつですか?

ただし、●と▲は異なる整数で、▲×▲は同じ整数どうしのかけ算です。

Apa0307s

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2016=2×2×2×2×2×3×3×7

(2×2×3)×(2×2×3)×2×7 なので、

2016×(2×7)=(2×2×3)×(2×7)×(2×2×3)×(2×7) より、

●=2×7=14

▲×▲=168×168=28224

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2015年11月10日 (火)

同時に鐘をついたのは何回?(2015年 栄東中学、東大クラス選抜)

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大晦日、3つの寺A、B、Cでは108回の鐘をつきました。

午後11時ちょうどに3つの寺が1回目の鐘をつき、その後、

寺Aは40秒ごとに1回、寺Bは50秒ごとに1回、寺Cは60秒ごとに1回、

鐘をつきました。

3つの寺が同時に鐘をついたのは全部で何回ありましたか?

Joyanokane_obousan

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1回目に同時についたあと、次に同時につくのは、

40と50と60の最小公倍数、600秒後です。

以下、600秒ごとに同時についていきますが、

最初につき終わるのは、40秒ごとにつく寺Aです。

寺Aは、600÷40=15回目ごとに同時につくので、

108÷15=7あまり3 より、

7+最初の1回=8回 です。

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2015年11月 6日 (金)

連続した整数の和は?(2015年 暁星中学)数の性質

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520は最大で何個の連続した整数の和で表せますか?

そのときの一番小さい数はいくつですか?

Apa0307s

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ある数を連続した和で表すとき、AとBの場合が考えられます。

11061_3

520=2×2×2×5×13 なので、

40×13 より、Aの△=40にして、

34、35、36、37、38、39、40、41、42、43、44、45、46 

と、13個の和として表すことができます。が・・・・・・

もっと多い場合があるでしょうか?

20×26では、B方式で左右10個ずつ、または13個ずつに分けても、

真ん中の隣り合う数を奇数にして連続させることができません。

8×65はどうでしょうか?

B方式で、左右を8個ずつにして、

○=32、□=33

以下、対応する2数の和をすべて65にすると、

25,26,27,28,29,30,31,3233,34,35,36,37,38,39,40

と、16個の連続した和ができます。

一番小さな数は25です。

これが最大の個数だと思いますが・・・

さて、もっとたくさんの連続した和ができるでしょうか???

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直角三角形は何種類できる?(慶應義塾中等部 2013年)場合の数

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図のような底辺の長さが8cm、高さが5cmの直角三角形Aがあります。

この直角三角形Aの底辺の長さを右方向に、高さを上方向に、

それぞれ整数で何倍かした新しい直角三角形Bをつくります。

面積が1440c㎡となる直角三角形Bは全部で何種類できますか。

11061

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面積が1440c㎡の場合、底辺×高さ=2880 です。

2880=2×2×2×2×2×2×3×3×5=8×2×2×2×3×3×5なので、

8の倍数を考えれば、5の倍数も決まります。

2×2×2×3×3のうち、

一つの数字も使わない場合(底辺が8cmの1倍)、

つまり、底辺が8、高さが5×2×2×2×3×3の場合が1通り、

1つ使う場合、2か3の2通り、

2つ使う場合、2×2、2×3、3×3 の3通り、

3つ使う場合、2×2×2、2×2×3、2×3×3 の3通り、

4つ使う場合、2×2×2×3、2×2×3×3 の2通り

5つ使う場合、1通り

合計、1+2+3+3+2+1=12種類の直角三角形ができます。

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2015年10月28日 (水)

3けたの約数はいくつ?(久留米大学附設中学 2014年 改題)

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2014×2014 を割り切ることができる3けたの整数を

小さい順にすべて答えてください。

Bandicam_20151028_082441416

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2014=2×19×53

この19と53という約数を見つけるのが一苦労ですが・・・

2014×2014=2×2×19×19×53×53 なので、

3けたになる組み合わせをさがすと、

2×53=106

2×2×53=212

19×19=361

2×19×19=722

以上4つが見つかります。

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2015年10月17日 (土)

5けたの256の倍数はあるかな?(2009年算数オリンピック、ファイナル問題から)

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各けたの数字が2、0、9のいずれかで、2、0、9のどれもが、いずれかのけたに現れる整数(たとえば920、2009など)のうち、5けたの256の倍数はあるでしょうか?あるとすれば、それはいくつですか?

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下の位から考えていきます。

256=2×2×2×2×2×2×2×2 より、

まず、2の倍数なので、1の位は0か2です。

次に、4の倍数なので、下2けたは00か20か92のいずれかです。

さらに、8の倍数なので、下3けたは000か200か920か992のいずれかとなります。

最後に、16の倍数ですから、下4けたは0000、.2000、9200、9920、0992、2992の

どれかのはずです。

求める整数は、5けたで2、0.、9のどれもがどこかのけたになければならないので、

下4けたが0000と2992の場合は2、0、9すべての数が現れず不適当、

また、32の倍数でもあるので、5けたで考えると、

92000、99200、29920、20992、のどれかとなり、

この3つの整数をそれぞれ調べると、

20992だけが256の倍数であるとわかります。

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2015年10月 5日 (月)

3人の並び順は?(2015年 神奈川大学付属中学)

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1から50までの番号が1つずつ書かれた50個のボ-ルがあります。

Pさんが、1番のボールから50番のボールまで、番号順にレールの上を転がします。

Aさん、Bさん、Cさんの3人は、そのレールのそばに1列に並び、次のルールに従ってボールを取っていきます。

ルール

・Aさんは、2の倍数の番号のボールが目の前に転がってきたら必ず取る。
・Bさんは、3の倍数の番号のボールが目の前に転がってきたら必ず取る。
・Cさんは、5の倍数の番号のボールが目の前に転がってきたら必ず取る。
・3人がいずれも取らなかったボールは、箱の中に入る。
・3人のいずれかがボールを取るか、またはボールが箱の中に入ったら、Pさんは次の番号の書かれたボールを転がす。

10051

Bさんは24番のボールを、Cさんは45番のボールを取ることができるとき、Aさん、Bさん、Cさんの3人はPさんに近い方からどのような順で並んでいますか。また、このときAさんは全部で何個のボールを取ることができますか。

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Bさんは24番を取れたので、AさんよりPさんの近くにいます。

Cさんが3の倍数でもある45番を取れたので、BさんよりPさんの近くにいます。

したがって、

C、B、Aの順に並んでいます。

Aさんは2の倍数のうち、3の倍数と5の倍数は取れないわけで、

図のアの部分だけ取れることになります。

10051

2の倍数は、50÷2=25個

イは2と3と5の最小公倍数、2×3×5=30の個数なので、

50÷30=1あまり20 より イ=1個

ウ+イは2と3の最小公倍数、2×3=6の個数なので、

50÷6=8あまり2 より ウ+イ=8個

したがって、ウ=8-1=7個

エ+イは2と5の最小公倍数、2×5=10の個数なので、

50÷10=5 より エ+イ=5個

したがって、エ=5-1=4個

ア=25-(1+7+4)=13個

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