目次

数の性質

2017年6月27日 (火)

(あ)=?、(い)=?(今年 2017年 栄東中学東大クラス選抜)

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同じ整数を3回かけた値を、連続する奇数の和で表すことにします。

例えば

2×2×2=3+5 

3×3×3=7+9+11 

4×4×4=13+15+17+19 

5×5×5=21+23+25+27+29 

のような式で表すことができます。

(1)

6271 (あ)=?

(2)

連続する奇数の和の中に2017を含む式は

(い)×(い)×(い) です。 (い)=?

141

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(1)

2×2×2は2個の連続奇数で、

真ん中の数は2×2=4、(3と5の間)

3×3×3は3個の連続奇数で、

真ん中の数は3×3=9

4×4×4は4個の連続奇数で、

真ん中の数は4×4=16、(15と17の間)

5×5×5は5個の連続奇数で、

真ん中の数は5×5=25

・・・・・

9×9×9は9個の連続した奇数の和になり、

9×9=81が真ん中の奇数になるので、

(あ)=73+75+77+79+81+83+85+87+89

(2)

2017の近くの平方数を探すと、

44×44=1936

45×45=2025

46×46=2116

44×44×44=・・・・・1935+1937・・・・・ では

1937以上の奇数は22個なので、

1937+22×2=1981で2017に届きません。

46×46×46=・・・・・2115+2117・・・・・ では

2115以下の奇数は23個なので、

2115-23×2=2069で2017に届きません。

よって、

(い)=45 で、

45×45×45=・・・・+2017+・・・・ となります。

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2017年3月14日 (火)

A君は何周?、B君は何周?(今年 2017年 浅野中学)

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A君とB君は池の周りを次の規則に従って走ります。

1日目は、A君が1周、B君が1周します。

2日目は、A君が1周、B君が2周します。

3日目は、A君が2周、B君が1周します。

4日目は、A君が1周、B君が3周します。

5日目は、A君が2周、B君が2周します。

6日目は、A君が3周、B君が1周します。

7日目は、A君が1周、B君が4周します。

このとき、100日目は、A君は何周、B君は何周しますか?

720

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2人合わせて

2周が1日、

3周が2日、

4周が3日、

5周が4日、

100日目が含まれるのは、

1+2+3+4+・・・・・+14=105

105日目は2人合わせて、14+1=15周なので、

105日目は、A君が14周、B君が1周

100日目は、A君が14-5=9周、B君が1+5=6周

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2017年2月24日 (金)

取り出したカードの得点は?(今年 2017年 武蔵中学)

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50枚のカード1、2、3、、・・・・・、50があります。

このカードから同時に2枚を取り出して、次の[ルール] によって得点を決めます。

[ルール]

(ア)2枚に書かれた数のうち、大きい方をA、小さい方をBとする。

(イ) Aとの差がB以下である整数をすべてかけ合わせた数をCとする。

  例えば、2と49を取り出した場合、49との差が2以下である整数を
  かけ合わせて、C=47×48×49×50×51となる。

(ウ) Cが3で割り切れる回数を得点とする。

  例えば、C=720の場合、720÷3=240、240÷3=80、
  80は3で割り切れないので、得点は2点となる。
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(1)2と38を取り出したときの得点は何点ですか。

(2)得点が0点になることはありません。その理由を説明してください。

(3)取り出した2枚のうち1枚が50で、得点は7点でした。

  もう1枚に書かれた数として考えられるものをすべて答えてください。

2403_2

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(1)C=36×37×38×39×40 なので、

36÷3=12、12÷3=4 →2回

39÷3=13 →1回

2+1=3回割れるので、3点

(2)小さい方のBは1以上なので、

Cは必ず連続した3つ以上の整数の積になります。

すると、その中には少なくとも1つ以上、3の倍数が入っているので、

1回は3で割り切れ、得点は0にはなりません。

(3)

A=50なので、

B=1のとき

C=49×50×51

51÷3=17 →1点

B=2のとき

C=48×49×50×51×52

48÷3=16
51÷3=17 →2点

B=3のとき

C=47×48×49×50×51×52×53

48÷3=16
51÷3=17 →2点

B=4のとき

C=46×47×48×49×50×51×52×53×54

48÷3=16
51÷3=17
54÷3=18、18÷3=6、6÷3=2 →5点

B=5のとき

C=45×46×47×48×49×50×51×52×53×54×55

45÷3=15、15÷3=5
48÷3=16
51÷3=17
54÷3=18、18÷3=6、6÷3=2 →7点

B=6のとき

C=44×45×46×47×48×49×50×51×52×53×54×55×56

45÷3=15、15÷3=5
48÷3=16
51÷3=17
54÷3=18、18÷3=6、6÷3=2 →7点

B=7以上では、得点は7点を超えてしまうので、

Bは5か6

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2017年2月 4日 (土)

開いている?閉まっている?(今年、2017年 筑波大学附属駒場中学)

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扉のついたロッカーが200個あり、

それぞれのロッカーに1から200までの番号がひとつずつ書いてあります。

最初、すべてのロッカーは扉が閉まっています。

これら200個のロッカーに、次の100回の操作を行います。

なお、以下で『開閉する』とは、ロッカーが閉まっていれば開け、

開いていれば閉めることです。

1回目 すべてのロッカーを開ける

2回目 番号が2の倍数であるすべてのロッカーを閉める

3回目 番号が3の倍数であるすべてのロッカーを開閉する

4回目 番号が4の倍数であるすべてのロッカーを開閉する

・・・・・・・・・・

100回目 番号が100の倍数であるすべてのロッカーを開閉する

例えば2回目の操作の直後は、

番号が奇数である100個のロッカーが開いていて、

番号が偶数である100個のロ ッカーは閉まっています。

100回目の操作が終わったとして、次の問いに答えなさい。

(1)番号が 1から10までの10個のロ ッカーのうち、

   開いているロッカーの番号をすべて書きなさい。

(2)番号が99、100、101のロッカーは、それぞれ何回開閉されましたか。

   開けた回数と閉めた回数の合計を答えなさい。

(3)200個のロッカーのうち、開いているロッカーは何個ありますか。

Locker

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(1) 1~10までのロッカーは、

11回目~100回目の操作はには影響されないので、

1~10回目までの操作(赤字)について調べます。

241

開いているロッカーは、1と4と9です。

(2)100までの、それぞれの約数について調べます。

99→1、3、9、11、33、99  なので、6回

100→1、2、4、5、10、20、25、50、100  なので、9回

101→1 なので、1回

(3)16回の操作まで調べていくと、

242

開いているロッカーは、

1、4、9、16・・・と、平方数になっていることがわかります。

100までに平方数は、

1、4、9、16、25、36、49、64、81、100 と10個あります。

操作は100回で終わってしまうので、

101~200の場合は、自分自身の操作回数がないので、

1回分開閉がされず、

平方数のロッカーは閉まっていて、それ以外は開いていることになります。

101~200までの平方数は、121、144、169、196の4つなので、

100-4=96個が開いていることになります。

したがって、開いている合計は、10+96=106個です。

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2016年10月 1日 (土)

どの数字を打ちまちがえた?(2015年 東京学芸大学附属世田谷中学)

Lpsa1105csjpg

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2から9までの1けたの数を使って電卓でかけ算をしました。

2×3×6×8×9×7×5×2×5を計算しようと思っていましたが、

1つの数字を電卓で打ちまちがえてしまい、積が680400となりました。

どの数字を、2から9までのどの1けたの数字と打ちまちがえましたか。

Calculator168360_640

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2×2×5×5=100、

3×6×8×9×7=9072 なので、

9072が6804の何倍になったのか調べます。

9072/6804を約分していきますが、

すべての桁の和が9で割り切れるときは9の倍数なので、

分子分母を9で割って、1008/756、

さらに9で割って、112/84、

14で割って、8/6

4/3倍になっていることがわかります。

3、6、8、9、7のうち4/3で割って整数になるのは8だけなので、

8÷4/3=6

8を6と打ちまちがえました。

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2016年8月 2日 (火)

コインを多く持っているのはどちら?(麻布中学 2013年)

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コインがたくさんあり、そこからA君とB君の2人が交互にコインを取っていきます。

1回目はA君が1枚、2回目はB君が3枚、3回目はA君が5枚、

4回目はB君が7枚、5回目はA君が9枚、・・・・・・というように、

2人は自分が前に取った枚数より4枚多くコインを取ります。

何回か取った後、2人の持っているコインの枚数を比べたところ、差が31枚でした。

コインを多く持っているのはどちらですか。

また、その人が最後に取ったコインは何枚ですか。

42

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    ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦

A君  1      5       9     13

B君    3       7      11  

①回目→Aが1枚多い

②回目→Bが2枚多い

③回目→Aが3枚多い

④回目→Bが4枚多い

⑤回目→Aが5枚多い

⑥回目→Bが6枚多い

⑦回目→Aが7枚多い

Aが奇数枚多くなり、Bは偶数枚多くなるので、

31枚多くなるのは、31回目で、A君になります。

コインを取る数は、何回目×2-1 で求められるので、

31回目では、31×2-1=61枚 です。

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2016年7月26日 (火)

見えている面の数は?(2016年 桐朋中学)

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17枚のカードがあります。はじめに、これらのカードの一方の面に

1から17までの整数を1つずつ書きました。

次に、他方の面に画面の数の和が18になるように整数を書きました。

(1) カードを何枚か取り出し、机の上に並べました。

見えている面の数の和は93でした。

並べたカードをすべて裏返したところ、見えている面の数の和は177でした。

何枚のカードを取り出しましたか。

(2)カードを3枚取り出し、机の上に横一列に並べました。

見えている面の数の和は23でした。

左端のカードを裏返したところ、見えている面の数の和は27でした。

続けて、右端のカードを裏返したところ、見えている面の数の和は41でした。

最後に見えている面の数を左から順に答えてください。

7261

3_2

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(1)表と裏を合計すると、18の倍数になっているはずです。
(93+177)÷18=15枚
(2)表をA、B、C、裏をア、イ とすると、
7262
(A+B+C)+(ア+B+イ) =23+41=64
A+ア=C+イ=18 なので、
18+18+2×B=64
2×B=28
B=14
(A+B+C)+(ア+B+C) =23+27=50
18+14×2+2×C=50
2×C=4
C=2
A=23-14-2=7
ア=18-7=11、B=14、イ=18-2=16

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2016年7月16日 (土)

□はいくつ?(2016年 東京農業大学第一高等学校中等部)

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7161
□には共通する数が入ります。□はいくつ?

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12×3-3×1=33より、その差は33より小さくなるので、

□は2~6と考えられます。

□ =2 から調べてみると、

12×3-3×2=30   2×2-2×2=0

□=3

12×3-3×3=27   3×3-2×2=5

□=4

12×3-3×4=24   4×4-2×2=12

□=5

12×3-3×5=21   5×5-2×2=21

したがって、 □=5

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2016年6月25日 (土)

何ケタの整数でしょうか?(2016年 栄光学園中学)

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6251

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36=2×2×3×3 なので、

2+2+3+3=10より、

一番ケタ数が多くなるのは、

2233の次に1が 26個続く数で、4+26=30ケタになります。

4×3×3=36

4+3+3=10より、

433の次に1が 26個続く数は、3+26=29ケタになります。

2×3×6=36

2+3+6=11より、

236の次に1が 25個続く数は、3+25=28ケタになります。

6×6=36

6+6=12より、

66の次に1が 24個続く数は、2+24=26ケタになります。

4×9=36

4+9=13より、

49の次に1が 23個続く数は、2+23=25ケタになります。

したがって、25、26、28、29、30ケタの5つです。

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2016年6月 6日 (月)

もっとも大きくするには?(2016年 東京学芸大学附属竹早中学)

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図1のように、下の段から順に、となリどうしの数の和をすぐ上の口に書きます。

この操作を一番上の段まで繰り返していきます。

6062

図2のー番下の段に、1、2、3、5の4つの数を書いて、

ー番上の段の数がもっとも大きくなるようにしたいのですが、

このときの4つの数の書き方は何通りありますか?

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---------------------------------------------------

6063

このように、2段目の真ん中を8にする場合が一番上を最大にできます。

3と5の並び方は2通り、

1と2の並び方も2通りなので、

2×2=4通りの並び方があります。

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