目次

カード、サイコロ

2017年3月 3日 (金)

空いている面に入る数字は?(今年 2017年 栄光学園中学)

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図1は、あるサイコロを2方向から見た図です。

このサイコロの展開図が図2です。

図2の空いている面に入る数字を、向きも考えて書き入れてください。

なお、サイコロの向かい合う面の数の和は7です。

3031_2



3032


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①のサイコロの各頂点にA~Hまでの記号をつけます。

同様に展開図の各頂点にもA~Hの記号をつけますが、

立方体の一番遠い頂点のペアは、展開図では、

2つ並んだ正方形の対角線で結んだ頂点のペアに対応します。

3033

①の見え方から、1に対して2と3が書き込めます。

①を3の側にたおし、そのまま右に回転させると②になり、

1と2 位置がわかります。

②に対応する頂点にA~Hの記号を書き入れると、

展開図で、それに対応する4~6の位置関係がわかります。

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2016年9月18日 (日)

A×B×Cは?(2016年 青山学院中等部)

Bandicam20160918

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2つのさいころが図のように並んでいます。

さいころの向かい合う目の和は7になっています。

AとBとCの目の和が7のとき、 AとBとCの目の積はいくつですか?

Bandicam201609180911

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Aは、5、2、4、3 のいずれかで、

Bは、Aが5か2なら4か3、Aが4か3なら5か2 です。

Cは、1、3、4、6 のいずれかなので、

A   B   C

5   4   1、3、4、6

A   B   C

5   3   1、3、4、6

A   B   C

2   4   1、3、4、6

A   B   C

2   3   1、3、4、6

①~④の組み合わせで、A+B+C=7 になるのは、

③の、2+4+1 の場合だけなので、

A×B×C=2×4×1=8

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2016年4月22日 (金)

2999回転がした ときの和は?(2016年 埼玉栄中学)

下の図1において、サイコロの3つの見える面の数の和は6となっています。

このサイコロ を図2のように右側に転がすと、

3つの見える面の数の和は7になります。

ただし、サイコロの向かい合う面の数の和は7となっています。

Bandicam_20160422_070957916


下のように、サイコロを図1の状態から手前に2回転がし、

続けて右に2回転がし、また手前に2回転がし、という作業をくり返します。

図1の状態から2999回転がした とき、3つの見える面の数の和はいくつですか?

Bandicam_20160422_071027530_2

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2回転がすと・・・

4222
和は14

4回転がすと・・・

4224


和は10

6回転がすと・・・

4226

和は12

8回転がすと・・・

4228

元に戻って、和は6

3000は8の倍数なので、

2999は8回の一つ前で、7回だから・・・

4227

和は11







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2016年1月 7日 (木)

さいころの転がり方(城北埼玉中学 2010年)

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図のさいころをます目の大きさが,さいころの1つの面と同じ大きさの方眼紙の上をすべらないように,右下のゴールまで最も少ない回数で転がします。

(1)さいころの転がし方は何通りありますか。

(2)右下にゴールしたときの上の面の目の数はいくつになりますか。全ての目の数を求めなさい。

611

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2015年12月29日 (火)

カード取りの論理は?(暁星中学 2011年)

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カードを何枚か用意し積み重ねます。

次の約束のもとで2人が交互にカードを取っていき勝敗を決定します。

① 1回に2枚以上5枚以下のカードを取る

② 一番下のカードを取った人を負けとする

③ 2枚以上カードがあるときは必ず①の約束通りにカードを取る

④ 1枚だけカードが残った場合は次にカードを取る人が負け

このとき、次の問に答えなさい。

(1)カードが全部で8枚のとき、

先手、後手のどちらかがカードをうまく取ると必ず勝つ方法があります。

先手、後手どちらが勝ちますか。その理由は?

(2)カードが全部で54枚のとき、

先手がカードをうまく取ると必ず勝つ方法があります。その方法は?

Smbl148sSmbl152s

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(1)勝つ方法は、最後に1枚残す、または最後に2枚残すという方法があります。

(2枚残っている場合、次の人は2枚以上取らなければならないので、

その人が最後のカードを取ることになる。約束の③より)

先手が最初に取れるカードは2枚以上5枚以下なので、

それぞれの場合にどうなるか考えます。

先手が最初に2枚取ると、

     後手が次に4枚または5枚取れば後手の勝ち

先手が最初に3枚取ると、

     後手が次に3枚または4枚取れば後手の勝ち

先手が最初に4枚取ると、

     後手が次に2枚または3枚取れば後手の勝ち

先手が最初に5枚取ると、

     後手が次に1枚または2枚取れば後手の勝ち

以上のように、最初に先手が何枚のカードを取ろうとも、

後手が最後の1枚または2枚を残すようにカードを取れば、

必ず 後手が勝ちます。

 

(2)2人で1回に2枚以上5枚以下のカードを取ることをくり返すと

2人合計で 2枚+5枚=【7枚】 にすることが可能です。

最後の1枚または2枚を先手が残せば先手の勝ちになるので、

逆から考えると、

【最後の1枚または2枚】+【7枚】×7回

                  +【最初の4枚または3枚】=54枚

となるので、先手が必ず勝つには、

[ 最初に3枚、または4枚を取り、それ以降は

   【後手の枚数】+【先手の枚数】=7枚

   となるようにカードを取り続ける ]

という方法をとればよいことになります。

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2015年10月19日 (月)

サイコロは何回転がったか?どんな規則性?(洗足学園中学 2014年)

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図のように1の目が上の面になるように、サイコロを机の上におきます。

このサイコロをすべることなく次のように転がしていきます。

①スタート地点から手前に2の目が下の面になるように1回転がします。

②右に何回か転がします。

③奥に1回転がします。

④スタート地点に戻るまで,左に転がします。

スタート地点では1の目が上の面にあるとき,①~④の転がし方をして、

再びスタート地点で上の面が1の目になるためには、

②で何回右に転がせばよいですか。

考えられる数の中で最も小さい数を答えてください。

P1019

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①で手転がすと1の目手前にきます。

そのあと、何回右に転がしても、

③で奥に転がせば1の目は上にきます。

したがって、④で左に転がして、再び1の目が上にくるには

4回転がせばよいことになります。

②で4回右に転がせば、④で4回転がしたとき、スタート地点にもどります。

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2015年8月22日 (土)

あいている所に入る数字は?(大宮開成中 2014年)

下の図はサイコロの展開図です。

サイコロは向かいあった面の数の和が7になります。

あいている所にあてはまる数字を入れてください。

P8221

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P8222

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2015年7月18日 (土)

ころがったサイコロの目は?(筑波大附属中学 2009年)

マス目の上にサイコロが置かれています。マス目の大きさとサイコロの面の大きさは等しいものとします。図のような位置にサイコロを置き、緑のマス目まで矢印のようにサイコロをすべることなく転がしました。このとき緑のマス目と接しているのは、サイコロの何の目ですか?

ただし、サイコロの「1」の裏は「6」、「2」の裏は「5」、「3」の裏は「4」の面とします。

Sai1

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「本当にころがしてみないとわからない」

「頭の中でころがすの」

「だと、こんな感じになる」

Sai3

「じゃあ、実際にころがしてみて」

Gif718_2

「3だ」

「試験では順番に考えていかないと・・・、

最初のサイコロをこんな風に描いてみたら?」

Sai2

「これなら順番に書いていけそうだな」

「間違えないようにね」

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2015年4月22日 (水)

3人が出した目は?(第5回算数オリンピック、ファイナル問題より)

3個のサイコロを同時にふって出た3つの数のうち、いちばん小さい数を除いて残りの2つの数の和が大きい方が勝ちというゲームを、まもる君、みちこさん、たけし君の3人でしました。
このゲームで1位がまもる君、2位がみちこさん、3位がたけし君でしたが、いちばん小さい数を除く前の3つのサイコロの出た数の和は、大きい順に、たけし君、みちこさん、まもる君でした。
それぞれ3人の出した、3つの数をすべて求めなさい。ただし,サイコロをふって出た数が③、③、③のような場合は3と3の2つの数の和を、③、③、④などの場合には3と4の2つの数の和を計算します。

Pfa010s Pfa020s Pfa021s

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ゲームの順位と、3個のサイコロの数字の和の大きい順が

逆順になることから、

大きい方の2個の数字の和は、

まもる>(→少なくとも1個少ない)みちこ

みちこ>(→少なくとも1個少ない)たけし

3個のサイコロの数字の和は、

まもる<(→少なくとも1個多い)みちこ

みちこ<(→少なくとも1個多い)たけし

このことから、除いた1個のサイコロの数字は、

まもる<(→少なくとも2個多い)みちこ

みちこ<(→少なくとも2個多い)たけし

となり、たけしの「除いた1個のサイコロの数字」は5か6です。

しかし、6だとたけしの3個のサイコロの数字は(6,6,6)となり、

たけしが1位になってしまいます。

このため,「除いた1個のサイコロの数字」は、

たけし→5、みちこ→3、まもる→1とわかります。

これにより,たけしの3個のサイコロの数字は、

(5,5,5)か(5,5,6)か(5,6,6)が考えられますが,

たけしが3位となるためには,

少なくとも「大きい2個の数字の和」が,

まもる→6+6=12、

みちこ→6+5=11、

たけし→5+5=10 でなくてはならないので、

まもる→(1,6,6),みちこ→(3,5,6),たけし→(5,5,5)

ときまります。

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2014年11月 5日 (水)

サイコロの反対側は?(2004年ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より)

すべて同じサイコロを図のように積み上げました。

このサイコロのA、B、Cの面と反対側の面のアルファベットはなんでしょうか?

1_3

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問題図の上から1段目と2段目左から、

Cの反対側はEかF

3段目からAの反対側はDかFとわかります。

つまり,A,B,Cの反対側の面の組み合わせは、

D,E,FかD,F,EかF,D,Eの3通です。

これをもとに、一段目のサイコロの3通りの展開図を書いてみると,

以下のようになります。

2_2

これらを組み立てて問題図2段目右の角度から、

D,E,Fの3つの面を見た見取り図を書いてみると、

それぞれ上図ようになります。

このうち,問題図2段目右と同じ並びとなっているのは、

まん中のサイコロだけなので,

A,B,Cの反対側の面は、順にD,F,Eとわかります。

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