目次

図形

2017年3月25日 (土)

色部分の面積は?(今年 2017年 鎌倉学園中学)

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図のように、直径が6cmの半円の紙を

中心Oが円周上にくるように折りました。

図の色部分の面積は何㎠ですか。ただし、円周率は3.14と します。


3254

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図のように、半円から白い部分を引けば求める面積になります。

3252

△ABOと△AOCは合同な正三角形なので、

ACとBOは平行になり、

△ABCは△AOCに等積移動できます。

3253

すると、白い部分は半径3cm、中心角60°の

扇形の面積に等しいので、

求める面積=3×3×3.14×1/2-3×3×3.14×1/6

=3×3×3.14×1/3

=3×3.14

=9.42㎠

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2017年3月23日 (木)

色部分の面積は?(今年 2017年 東洋英和女学院中学部)

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下図の色の部分の面積を求めなさい。

ただし、曲線は円か半円か円の1/4で、

方眼の1目盛りは2cm、円周率は3.14とします。

3231_2

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計算しやすいように、図のように等積移動すると、

3232

半径4cmの半円と、半径6cmの3/4円と、

1辺が2cmの正方形9つになります。

4×4×3.14 ×1/2+6×6×3.14×3/4+4×9

=(8+27)×3.14+36

=109.9+36

=145.9㎠

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2017年3月 7日 (火)

角Xの大きさは何度?(今年 2017年 慶應義塾中等部)

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図のように、

正方形ABCD と正三角形ADE と正三角形BDF を組み合わせました。

このとき、角Xの大きさは何度ですか。

Bandicam_20170307_090517279

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Bandicam_20170307_090912100

∠FDA=∠FDB-∠ADB=60°-45°=15°

∠EDF=60°-15°=45°

△青と△赤は

ED=AD、FD=BD、∠EDF=∠ADB=45°

したがって、合同な三角形になるので、

∠X=∠ABD=45°

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2017年2月27日 (月)

色部分の面積は?(今年 2017年 早稲田中学)

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下の図の正六角形の面積は6c㎡です。

色部分の面積は何c㎡ですか?

2271

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2272

正六角形を図のように分けてみると、

赤い正三角形は正六角形の1/6なので、

6×1/6=1c㎡

赤い正三角形は同じ面積の黄色い三角形6つからできているので、

黄色い三角形の面積=1÷6=1/6c㎡

色部分は黄色い三角形10個分なので、

求める面積=1/6×10=10/6=1と2/3c㎡

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2017年2月16日 (木)

色部分の面積は?(今年 2017年 渋谷教育学園渋谷中学)

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下の図のように、半径10cmの円の1/4の扉形0ABがあります。

直線OA、CD、EFは平行です。

このとき、色部分の面積は何c㎡ですか。

ただし、円周率は3.14とします。

2161

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2162

EF=DH=CO なので、

△OEFと△DCOは合同です。

△赤が共通なので、

四角形CEFPと△黄は面積が等しくなり、

緑部分の面積はおうぎ形ODFと等しくなります。

したがって、求める面積は、

10×10×3.14×40/360=314/9c㎡

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2016年11月22日 (火)

最少何本の線で囲めるかな?(2006年算数オリンピック、トライアル問題より)

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1枚の紙の上に何個かの点があるとき、

以下のルールにしたがって点と点をまっすぐな線で結びます。

ルール1)どの点も最低1個のほかの点と結ばれるようにする。

ルール2)線どうしは交わらないようにする。

このとき、線でかこまれた部分を[区域]とよび、

その個数を数えます。

たとえば6個の点があるとき、(図1)や(図2)の場合は3個、

(図3)の場合は4個の区域があることになります。

1

いま、1枚の紙の上に2006個の点があり、

これらの点どうしをルールにしたがって

まっすぐな線で結んで2006個の区域を作るとき、

最少で何本の線を引いたらよいですか。

ただし、どの線も必ず区域をかこんでいるものとします。

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2

3点で1つの区域を囲んでいる△黄を考えます。

この図形にA点を1個加えるとします。

Aと他の2点をそれぞれ線で結ばないと区域ができないので、

区域を1個増やすには2本の線が必要ですが、

点Bのような場所に点をとれば、2本の線を引いた後に点の数を増やさず、

新たに線を1本引くだけで区域をもう1個さらに増やすことができます。

そこで、まず3個の点を3本の線で結び△黄を作ります。

3個の点で1つの区域を囲んでいるこの状態から、

点をA点のように1個ずつ増やしていき、点の数が2006個になるまでを考えます。

このとき、区域の数は1+(2006-3)=2004個となります。

また、線の数は、3+2×(2006-3)=4009本となります。

次に、この状態から点の数を増やさずに、

線の数を増やして区域の数を2006個にする(2個増やす)ことを考えます。

つまり、図のように黄色部分で2004個の点で区域が囲まれているとき、

点Bのような場所に2点加えます。

3

すると、区域を1つ増やすには1本線(赤線)を引けばよいので、

区域を2006個にするには2本の線を引けばよいことになります。

したがって、線の数は、4009+2=4011本 です。

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2016年10月27日 (木)

Aの高さは何cm?(2016年 洗足学園中学)

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Bandicam20161027

図のような2つの直方体があります。

Aの高さはBの高さより2cm高く、

Bの表面積はAの表面積より352c㎡大きいとき、

Aの高さは何cmですか。

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AとBの上面積と底面積の差は、

B-A=16×12×2-10×8×2=224c㎡

Bの表面積はさらに、

352-224=128c㎡ 大きいことになります。

その差は図のように、側面を広げてみると、

10271

赤-黄=128c㎡ なので、

Bの高さを□cmとすると、

20×□-2×36=128

20×□-72=128

20×□=200

□=10cm となり、

Aの高さは、10+2=12cm です。

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2016年8月16日 (火)

重ねた折り紙(2016年 本郷中学)

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縦が6cm、横が8cmの長方形の折り紙を、

点線で示した部分が同じ大きさの正方形になるように、

下の図のように重ねていきます。

3枚重ねたときの実線で 囲まれた部分の面積が136c㎡になりました。

Bandicam20160816070705501

このとき、

(1) 長方形が重なってできる正方形の1辺の長さは何cmですか。

(2) この長方形の折り紙を同じように15枚重ねたとき、

   実線の部分の周の長さは 何cmですか。


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(1)実線で囲まれた面積は、

正方形の部分が重なっているので、

長方形の面積の和より正方形分だけ面積が少なくなります。

したがって、正方形部分の面積は、

6×8×3-136=8c㎡

1個の面積=8÷2=4c㎡

1辺の長さ=2cm

(2)周りの長さは、2×4=8cmずつ少なくなります。

正方形は14個できるので、実線部分の長さは、

(6+8)×2×15-8×14=308cm

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2016年7月11日 (月)

直線による円の分割(東京学芸大学附属小金井中学 2006年)

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円の中に直線を引いていくと、

引いた直線によって円の内部が分割されていきます。

直線を1本、2本、3本と増やすと、

それぞれ下の図1、図2、図3のように分かれます。

(1)線を4本引いて、

     円をもっとも多くの部分に分けるように図4に直線を引いてください。

(2)線を5本引いて、

     円をもっとも多くの部分に分けると何個に分けることができますか。

(3)線を8本引いて、円をもっとも多くの部分に分けると、

     何個の部分に分けることができますか。

Bandicam20160711

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Bandicam_20160711_094651112 Bandicam_20160711_094702728 Bandicam_20160711_094712584 Bandicam_20160711_094717178 Bandicam_20160711_094726858

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2016年7月 6日 (水)

三角形DEFの面積は?(2016年 同志社中学)

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7061

図のような直角三角形ABCがあります。

三角形ADFの面積は16c㎡です。

(1)ADとDBの長さ比をできるだけ簡単な整数の比で表すと、

   何対何ですか?

(2)三角形DEFの面積は何c㎡ですか?

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7062

DG=16×2÷8=4cm

△ADGと△ABCは相似なので、

DG:BC=4:9

AD:AB=4:9 なので、

AD:DB=4:5

DH=12×5/9=20/3cm なので、

△DBEの面積=6×20/3÷2=20c㎡

△DEFの面積=9×12÷2-(16+20+3×4÷2)

=54-42

=12c㎡

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