目次

図形

2017年11月24日 (金)

XHの長さと場合の数は?(聖光学院中学 2017年)

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図1のような1辺の長さが1cmの正方形ABCDがあり、

辺ADを3等分する点をP、Qとし、

辺BCを3等分する点をR、Sとします。

4点A、P、Q、Dと4点B、R、S、Cからそれぞれ2点ずつ選び、

それら4点を頂点とする四角形を考え、

その2本の対角線の交点をXとします。

さらに、角XHBが直角 となるようにBC上に点Hをとります。

このとき、次の問いに答えなさい。

11247

(1)4点A、P、Q、Dと4点 B、R、S、Cから

  それぞれ2点ずつ選んでできる四角形は全部で何個ありますか。

(2)図2のような四角形 BCDQ について考えるとき、

  XHの長さは何cmですか。

(3)4点A、P、Q、Dと4点 B、R、S、Cから

  それぞれ2点ずつ選んでできる四角形の対角線の交点Xとして

  考えられるものすべてを考えます。

  ただし、対角線の交点が複数重なる場合、

  それらは同じ点として考えるものとします。

  ①XH=2/3cmであるような X として考えられる点は

   全部で何個ありますか。

  ②XH=1/2cmであるような
 X として考えられる点は

   全部で何個ありますか。

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(1)APQDの4点から2点選ぶ場合の数は、6通り、

同様に、BRSC4点から2点選ぶ場合の数も、6通りなので、

四角形は、6×6=36個できます。

(2)

11242

△黄と△緑は相似で、相似比は1:3なので、

XH=1×3/(1+3)=3/4cm

(3)

①下辺:上辺=2:1の四角形を考えるので、

11243

図のように6個です。

②下辺:上辺=1:1の四角形を考えるので、

11245

図のように、5個です。

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2017年10月24日 (火)

この図形の面積は?(広島大学附属福山中学 2017年)

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下の図のように、1目もりが1cmの方眼紙に 

5本の直線で囲まれた図形がかいてあります。

この図形の面積は何㎠ですか?

10241

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全体から色部分の三角形を引いてみます。

10242

6×6-(4×6÷2+2×5÷2+3×3÷2+2×3÷2)

=36-24.5

=11.5㎠


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2017年10月22日 (日)

色部分の面積は?(普連土学園中学 2017年)

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半径3cmと7cmの2つの円があります。

点A、Bはそれぞれの円 の中心です。

色部分の面積を求めなさい。

必要ならば、円周率を3.14として計算すること。

10221_2

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10222

△黄は底辺7cm、高さ3cmの三角形

△赤は底辺3cm、高さ7cmの三角形であることがわかります。

色部分の面積=7×3÷2+3×7÷2=21㎠

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2017年10月14日 (土)

円周形の周り の長さは?(2017年 函館ラ・サール中学)

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下の図1、図2のように、半径1cmの円を

となり同士がたがいに接するように並べます。

(どの円も接する円は2個とします。)

このとき、各円の円周で囲まれた部分を「円周形」と呼ぶことにします。

例えば、図1の色部分は円を4個並べたときの円周形

図2の色部分は円を8個並べたときの円周形です。

次の問いに答えなさい。ただし、円周率は3.14とします。

10141

(1)図1の円周形の周りの長さは何cmですか。

(2)円を6個並べたときの円周形の周りの長さは何cmですか。

(3)円を100個並べたときの円周形の周りの長さは何cmですか。

(4)円周形の周りの長さが314cmになるのは、

   円をいくつ並べたときですか。

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(1)円の中心を結ぶと、正方形になります。

Bandicam_20171014_085244367

円周形の周りの長さは、正方形の内側部分なので、

1×2×3.14×1/4×4=6.28cm

(2)円が5つなら正五角形の内側、

円が6つなら正六角形の内側、

7つなら正七角形の内側、

8つなら正八角形の内側部分になります。

Bandicam_20171014_085229829

内角の和は正方形から1つ角数が増えるごとに180°増えるので、

円の個数をNとすると、

円周形の周りの長さは下の式で表せます。

10142

N=6なら、

(360+360)÷360×6.28=12.56cm

(3)N=100なら

(360+180×96)÷360×6.28

=360×49÷360×6.28

=49×6.28

=307.72cm

(4){360+180×(N-4)}÷360=50

180×(N-4)=360×49

N-4=98

N=102個

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2017年10月 3日 (火)

面積の比と長さは?(2017年 世田谷学園中学)

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下の図のように、2つの正方形ア、イが重なった図形があります。

色部分は正方形で、その面積はアの1/4、 イの9/16にあたります。

太線で囲まれた図形の面積は172㎠です。

1031

(1)2つの正方形ア、イの面積の比を、最も簡単な整数で答えなさい。

(2)色部分の正方形の1辺の長さは何cmですか。

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1032

色部分の正方形の面積を⑨とすると、

区分けされた部分の面積比は図のようになり、

(1)ア:イ=36:16=9:4

(2)172㎠=43マルなので、

色部分の面積=172×9/43=36㎠

36=6×6 より、

1辺の長さは6cm

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2017年9月28日 (木)

時速は?何秒かかるかな?(2017年 女子学院中学)

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列車Aの長さは238m、速さは時速126kmです。

列車Bの長さは160mです。

Green

(1)

列車Aが列車Bを追いこしているときに、

列車Aの座席に座っているJさんが 列車Bの最後尾の横に並んでから

列車Bの先頭の横に並ぶまでに、12秒かかりました。

このとき、列車Bの速さは時速何kmでしたか?

Train_orange

(2) 

列車Aと、(1)と同じ速さで走る列車B がすれ違っているときに、

列車B の座席に座っているGさんが、

列車Aの先頭の横に並んでから列車Aの最後尾の横に並ぶまで、

何秒かかりますか?

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(1)

図のようにJさんは160mを12秒で進んだわけですから、

その速さは時速、

60×60÷12×160=48000m=48km

列車Bの速さは時速、

126-48=78km

9281

(2)

AとBがすれ違う速さは時速、

126+78=204km

1分間で、204÷60=3.4km

Gさんが進んだ長さは図のように238m

その時間は、

238÷3400=0.07分→0.07×60=4.2秒

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2017年8月26日 (土)

ひもで囲まれた部分の面積は?(2017年 関西大学第一中学)

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下の図のように、同じ大き さの正六角形4個をびったりと並べて、

周りにひもをたるまないようにかけています。

正六角形1個の面積が12㎠のとき、

ひもで囲まれた部分の面積は何㎠ですか?


8261

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黄色部分の面積は、緑部分の面積に等しく、

正六角形の中の小さな正三角形1つ分の面積と同じです。

8262

したがって、12÷6=2㎠ なので、

求める面積=12×4+2×4=56㎠

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2017年8月21日 (月)

残りの半分の図形は?(2017年  作新学院中等部)

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下の図は、点Oを対称の中心とした点対称な図形の半分です。

残りの半分をかいてください。

Bandicam_20170821_090933792

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Oを中心に180°回転してみます。

8211

Bandicam_20170821_090642253

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2017年8月12日 (土)

アの角度は?長さ比は?(今年 2017年 城北中学)

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図の四角形ABCDはADとBCが平行な台形で、

点Eは辺ABの真ん中の点です。

DAとDF、CFとCBの長さがそれぞれ等しく,、

AFとDEの交わる点をGとします。

8121

(1)角アの大きさは何度ですか。

(2)図の三角形AEGと三角形DGFの面積の比が3:2のとき、

  長さの比 DG::FBを求めなさい。

8122

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(1)BFとADを延長して、その交点をHとすると、

△DFHと△CFBは相似になり、

●+●+▲+▲=180°なので、

●+▲=90°より、

∠ア=90°

(2)

上の図で,△DFHと△CFBは相似な二等辺三角形なので、

DH=DF=AD

よって、EDとBHは平行になり、

△AEGと△ABFは相似です。

したがって、 AG:GF=AE:EB=1:1

△黄の底辺をAG、△緑の底辺をGFとすると、

底辺が等しいので、面積の比は、高さの比になり、

DG:GE=2:3

FBはGEの2倍なので、6となり、

DG:FB=2:6=1:3

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2017年7月22日 (土)

A地点から太郎君までの距離は?(今年 2017年 関西学院中学部)

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A地点に高さ3.9mの電灯が、B地点に高さ4.5mの電灯が立っています。

A地点とB地点は平らな直線の道でつながっていて、9m 離れています。

身長150cmの太郎君がこの道を歩きます。

2つの 電灯が作る影の長さが等しくなるとき、

A地点から太郎君までの距離は何mですか?

Bandicam20170722095035453

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影の長さが等しいときの太郎君の位置は、下図のようになっています。

7223

△青と△緑は相似で、相似比は4.5:1.5

△赤と△黄も相似で、相似比は3.9:1.5

影の長さを□、影の先端からAまでの長さを〇とすると、

(〇+2×□):□=3.9:1.5 なので、

3.9×□=1.5×(〇+2×□)

3.9×□=1.5×〇+3×□

0.9×□=1.5×〇・・・・・①

(9-〇):□=4.5:1.5

4.5×□=1.5×(9-〇)

4.5×□=13.5-1.5×〇・・・・・②

①×5 とすると、

4.5×□=7.5×〇

7.5×〇=13.5-1.5×〇

9×〇=13.5

〇=1.5m

0.9×□=1.5×1.5=2.25

□=2.5m

太郎君の位置はAから、

〇+□=1.5+2.5=4m

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