目次

図形

2018年10月16日 (火)

立体アの体積の何倍?(今年 2018年 東大寺学園中学)

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立体アは各面の対角線(例えば AB)の長さが2cmの立方体、

立体イは4つの面がすべて1辺の長さが2cmの正三角形である三角 すい、

立体ウは底面が1辺の長さが2cmの正方形で、

4つの側面がすべて1辺の長さが2cm の正三角形である四角すいです。

立体イの体積、立体ウの体積は、立体アの体積のそれぞれ何倍ですか。

10161

Bandicam_20181016_173401851

Bandicam_20181016_173449880

Paper

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解法のヒント

立方体から赤い4つの部分を切り取ると・・・

Bandicam_20181016_121225255

残るのはイの正四面体です。

このイの正四面体を図のように2段に積んでみると・・・

Bandicam_20181016_115833166

Bandicam_20181016_115843727

Bandicam_20181016_115855915

真ん中の空間部分の形は???

141

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解法例

 Bandicam_20181016_172946418

立方体の1辺を1とすると、

赤い部分の1つ分の体積は、

1×1×1/2×1×1/3=1/6

真ん中の立体イの体積は、

1×1×1-1/6×4=1/3

したがって、イはアの1/3倍です。

正四面体1つの体積を1とすると、

Bandicam_20181016_115819228

正四面体の1辺が2倍になった正四面体全体の体積は、

Bandicam_20181016_115855915_2

2×2×2=8倍になるので、

真ん中の空間部分の体積は、

8-1×4=4

真ん中の空間部分の形は・・・

Bandicam_20181016_115901246

正八面体ですね!

Bandicam_20181016_115924112

立体ウはこの半分なので、

体積は、4÷2=2

イの正四面体の2倍の体積なので、

1/3×2=2/3

したがって、ウはアの2/3倍です。

5802

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682

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2018年9月 8日 (土)

使うタイルは何枚?(今年 2018年 慶應義塾中等部)

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同じ大きさの正三角形のタイルが 140 枚あります。

このタイルをすき間なく並べて、正三角形また は正六角形をつくります。

[図1]、[図2] はそれぞれ4枚、6枚のタイルを使ってつくった例です。

9081

(1)できるだけ大きな正三角形をつくるとき、タイルは全部で何枚使いますか。

(2)できるだけ多くのタイルを使って、正三角形と正六角形を1つずつつくるとき、

  正三角形を つくるのに使うタイルは何枚ですか?

  正六角形をつくるのに使うタイルは何枚ですか?

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(1)

正三角形は1辺が1つ大きくなるごとに、

1、3、5、7、9・・・・枚ずつタイルが増えていきます。

Bandicam_20180908_074952368_2

使うタイルは、

1+3+5+7+9+・・・・ と増えていくので、

1辺が1のとき使うタイルは、

2×1÷2=1

1辺が2のとき、

4×2÷2=4

1辺が3のとき、

6×3÷2=9

・・・・・

2×1÷2=2×1×1÷2=1×1

4×2÷2=2×2×2÷2=2×2

6×3÷2=2×3×3÷2=3×3

・・・・・

1辺が12では

12×12=144 より、140を超えてしまうので、

1辺は最大で11になり、

タイルは、11×11=121使います。

(2)

正六角形では1辺が1のとき、

1×6

1辺が2のとき

Bandicam_20180908_075723601

3×6=18増え、

1辺が3のとき、

5×6=30増え

1辺が4のとき、

7×6=42

1辺が5のとき、

9×6=54増えるので、

6+18+30+42+54=150 より140を超えてしまうので、

、24、54、96の4つの場合だけ考えます。

残る枚数は、

→140-6=134・・・・・①

24→140-24=116・・・・・②

54→140-54=86・・・・・③

96→140-96=44・・・・・④

正三角形を作るには、(1辺×1辺)の枚数が必要なので、

使わない枚数は、

①→134-(11×11)=13

②→116-(10×10)=16

③→86-(9×9)=5

④→44-(6×6)=8

したがって、一番タイルを多く使うのは③の場合で、

正三角形に81、正六角形に54です。

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2018年8月 8日 (水)

色をつけた部分の面積は?(今年 2018年 共立女子中学)

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太さ1cmで図のような図形を描きました。

色をつけた部分の面積はおよそ何㎠ ですか。

最も近い整数で答えなさい。

8081_2

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8082

図のように、

半径2cmの円から半径1cmの円を引いた部分の1.5個分です。

(2×2-1×1)×3,14×1.5

=14.13㎠ なので、

およそ14㎠

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2018年7月30日 (月)

アとイの長さは?(今年 2018年 神奈川大学附属中学)

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下の図は、周りの長さが60cmの長方形で あり、

曲線は長方形のそれぞれの頂点を中心とする円の一部です。

(1)  アはいくつですか。

(2)  イはいくつですか。

7301

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長方形のたて+横=60÷2=30cm

ア={30-(8+12)}÷2=5

右上の円弧の半径は、(5+12)-8=9cm

長方形のたての長さは、8+5=13cmより、

イ=9-(13-12)=8

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2018年7月16日 (月)

この紙を2等分してください!(今年 2018年 筑波大学附属中学)

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下の図は、平行四辺形の紙から

大きさの異なる平行四辺形の紙を切り取ったものです。

この紙を1本の直線で二等分するためには、

どのように切ればよいですか。

切り目を解答用紙にかきなさい。

なお、切り目をかく際に用いた線は消さないでおくこと。

Bandicam_20180716_092333312

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平行四辺形の2等分線は対角線の交点を通ります。

したがって、図のように2つの平行四辺形に分け、

それぞれの対角線の交点を通る線が

この図形の2等分線になります。

Bandicam_20180716_094255522

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2018年5月31日 (木)

色部分の面積は?(今年 2018年 佼成学園中学)

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図のように面積が60㎠である平行四辺形ABCD において、

辺AD、BC を三等分する点と

辺AB、DC を二等分する点をそれぞれうちました。

このとき、色部分の面積は何㎠ですか。

5311

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5312

白部分の台形は全体の半分で30㎠

小さい平行四辺形は、60÷6=10㎠ですから、

緑部分は、5㎠

茶色部分は、10㎠

黄色部分=60-(30+5+10)=15㎠

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2018年5月16日 (水)

どんな図になりますか?(桐朋中学 2009年)

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1cmの方眼があります。

この方眼の上で、ある図形を右に1cm、

上に1cm動かしてできる図形と

もとの図形の重なった部分を黒くぬります。

たとえば、たての長さが2cm、横の長さが3cmの長方形を動かすと、

黒くぬる部分は図のようになります。

5161

(1)もとの図形が、次の①、②の太線で表された図形であるとき、

  黒くぬる部分の面積を求めなさい。

  ただし、円周率は3.14とします。

Bandicam_20180516_092741007

(2)黒くぬる部分が図1のようになるとき、

  元の図形を1つ図1にかきなさい。

Bandicam_20180516_092758729
(3)黒くぬる部分が図2のようになるとき、

  もとの図形が、三角形であるものと五角形であるものを

  それぞれ1つずつかきなさい。

Bandicam_20180516_092832706
Bandicam_20180516_092844366

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(1)

5162 5163

「右1cm、上1cm動かしたところに同じ図形を描いてみるといいね」

「①は台形だから、

(1.5+2)×1÷2=1.75c㎡

② は木の葉形の面積になるから、

 

(1×1×3.14÷4-1×1÷2)×2=0.57c㎡」

(2)

5164

「かけた?」

 

「水色はかけた」

(3)

「図2で黒と黄色の三角形を2つとも含む図形を考えればいいね」

5165

「黒は動かない、黄色はなくなる」

「それが手がかりになるかもね」

5166_2

5167_2

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2018年4月21日 (土)

色部分の面積は?(今年 2018年 市川中学)

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下の図のように、半径の長さが2cmの円があり。

その円周を12等分する 点を反時計回りに点 A、 B、C、・・・Lとします。

このとき、図のを求めなさい。

4211

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----------------------------------------------------

4212

中心をOとすると、

∠BOE=∠IOL=90°なので、

求める面積は、

(2×2×3.14×1/4-2×2×1/2)×2

=(3.14-2)×2

=2.28㎠

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2018年3月 3日 (土)

色部分の面積は?(今年 2018年 春日部共栄中学)

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下の図の色部分の面積は何㎠ですか?

331


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332


△黄色=7×9÷2=31.5㎠

△水色=6×5÷2=15㎠

求める面積=31.5+15=46.5㎠

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2018年2月11日 (日)

この立体の体積は?(今年 2018年 開成中学)

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下の図はある立体の展開図です。

B、C、Dは一辺が 6cm の正方形、

A、E、F は直角二等辺三角形、 Gは正三角形です。

この立体の体積を求めなさい。

2111

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組み立てると下のような立体になるので、

Bandicam_20180211_092621119

体積は、

6×6×6-6×6×1/2×6×1/3=180立方cm

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