目次

図形

2017年8月21日 (月)

残りの半分の図形は?(2017年  作新学院中等部)

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下の図は、点Oを対称の中心とした点対称な図形の半分です。

残りの半分をかいてください。

Bandicam_20170821_090933792

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Oを中心に180°回転してみます。

8211

Bandicam_20170821_090642253

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2017年8月12日 (土)

アの角度は?長さ比は?(今年 2017年 城北中学)

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図の四角形ABCDはADとBCが平行な台形で、

点Eは辺ABの真ん中の点です。

DAとDF、CFとCBの長さがそれぞれ等しく,、

AFとDEの交わる点をGとします。

8121

(1)角アの大きさは何度ですか。

(2)図の三角形AEGと三角形DGFの面積の比が3:2のとき、

  長さの比 DG::FBを求めなさい。

8122

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(1)BFとADを延長して、その交点をHとすると、

△DFHと△CFBは相似になり、

●+●+▲+▲=180°なので、

●+▲=90°より、

∠ア=90°

(2)

上の図で,△DFHと△CFBは相似な二等辺三角形なので、

DH=DF=AD

よって、EDとBHは平行になり、

△AEGと△ABFは相似です。

したがって、 AG:GF=AE:EB=1:1

△黄の底辺をAG、△緑の底辺をGFとすると、

底辺が等しいので、面積の比は、高さの比になり、

DG:GE=2:3

FBはGEの2倍なので、6となり、

DG:FB=2:6=1:3

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2017年7月22日 (土)

A地点から太郎君までの距離は?(今年 2017年 関西学院中学部)

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A地点に高さ3.9mの電灯が、B地点に高さ4.5mの電灯が立っています。

A地点とB地点は平らな直線の道でつながっていて、9m 離れています。

身長150cmの太郎君がこの道を歩きます。

2つの 電灯が作る影の長さが等しくなるとき、

A地点から太郎君までの距離は何mですか?

Bandicam20170722095035453

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影の長さが等しいときの太郎君の位置は、下図のようになっています。

7223

△青と△緑は相似で、相似比は4.5:1.5

△赤と△黄も相似で、相似比は3.9:1.5

影の長さを□、影の先端からAまでの長さを〇とすると、

(〇+2×□):□=3.9:1.5 なので、

3.9×□=1.5×(〇+2×□)

3.9×□=1.5×〇+3×□

0.9×□=1.5×〇・・・・・①

(9-〇):□=4.5:1.5

4.5×□=1.5×(9-〇)

4.5×□=13.5-1.5×〇・・・・・②

①×5 とすると、

4.5×□=7.5×〇

7.5×〇=13.5-1.5×〇

9×〇=13.5

〇=1.5m

0.9×□=1.5×1.5=2.25

□=2.5m

太郎君の位置はAから、

〇+□=1.5+2.5=4m

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2017年7月15日 (土)

どれが同じ面積?(今年 2017年 筑波大学附属中学)

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次の図は半径が5cmの円やおうぎ形でかいたものです。

このとき、図1の斜線部の面積と等しいものをすべて記号で答えなさい。

ただし、正方形はすべて同じ大きさのもの とします。

Bandicam_20170715_065637936



7151

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図1は下のBが4つでできています。

7153

アとカはAが4つ

イとエはBが4つ

ウとオはCが4つです。

AとBではAの方が大きいので、アとカは違います。

問題はBとCの大きさですが、

7152

黄色部分は共通なので、

緑と水色の大きさを比べると、

緑+赤=水色なので、Bの方が大きいことがわかります。

したがって、図1と同じ大きさは、イとエです。

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2017年7月 2日 (日)

使った立方体は何個?(今年 2017年 須磨学園中学)

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1辺の長さが1cmの立方体27個を積み重ねて、

下の図のように大きな立方体を作り、その表面に色をぬります。

このとき27個の立方体は、どの面も色がぬ られていないもの、

1面だけが色がぬられているもの、2面に色がぬられているもの、

3面に色がぬられているものに分かれます。

これらをそれぞれ0立方体、1立方体、2立方体、3立方体と呼ぶことにします。

Bandicam_20170702_082144587

(1)0立方体、1立方体、2立方体、3立方体はそれぞれ何個ありますか?

(2)次に1辺の長さが1cmの立方体64個を使って大きな立方体を作りました。

 0立方体、1立方体、2立方体、3立方体はそれぞれ何個ありますか?

(3)1辺の長さが1cmの立方体を何個か使って大きな立方体を作りました。

 次の (ア)、(イ) が成り立っていました。

 (ア) 0立方体の個数と1立方体の個数が等しい

 (イ) 2立方体の個数の3倍と1立方体の個数が等しい

 大きな立方体を作るのに使った1cmの立方体は何個ですか?

 ただし、8個より多い個数とします。

(4)1辺の長さが1cmの立方体を何個か使って大きな立方体を作りました。

 2立方体の4倍の個数と1立方体の個数が等しいとき、

 大きな立方体を作るのに使った1cmの立方体は何個ですか?

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(1)図のように、

0立方体は、中心に1個、1立方体は各面に1個ずつで、6個

2立方体は、各辺に1個ずつで、12個、

3立方体は各頂点にあり、8個 です。

Bandicam_20170702_082746198

(2)64=4×4×4 なので、1辺に4個の立方体があります。

0立方体は中心に、2×2×2=8個

1立方体は各面に2×2=4個なので、4×6=24個

2立方体は各辺に2個なので、2×12=24個

3立方体は変わらすに8個のままです。

(3)辺にある立方体の数をNとすると、

0立方体は、(N-2)×(N-2)×(N-2)

1立方体は、(N-2)×(N-2)×6

2立方体は、(N-2)×12

3立方体は、8個のまま変わりません。

(ア)(N-2)×(N-2)×(N-2)=(N-2)×(N-2)×6

N-2=6

N=8

(イ)(N-2)×(N-2)×6=(N-2)×12×3

(N-2)×(N-2)×6=(N-2)×36

(N-2)×(N-2)=(N-2)×6

N-2=6

N=8

8×8×8=512個

(4)

(N-2)×(N-2)×6=(N-2)×12×4

(N-2)×(N-2)=(N-2)×8

N-2=8

N=10

10×10×10=1000個

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2017年6月29日 (木)

ア、イ、ウの面積の合計は?(今年 2017年 サレジオ学院中学)

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図のように、正三角形と、面積が60㎠の半円があります。

3つのぬられた部分ア、イ、ウの面積の合計は何㎠ですか。

円周率は3.14とします。


6291

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3292

△Aも△Bも正三角形になるので、

△Cも△Dも正三角形になります。

イとウを黄色部分に移動すると、

求める面積は、半径が半円と同じで

中心角60°の扇形の面積になります。

したがって、

60÷3=20㎠

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2017年6月22日 (木)

点Pと点Qの距離は?(今年 2017年 共立女子中学)

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下の図のように、四角形ABCDの辺上を半径2cmの円Xと、

半径1cmの円Yの中心が自由に動きます。

また、点Pと点Qはそれぞれ円X、円Y上の点です。

①2つの円の中心が点Aと点Bにあるとき、

  点Pと点Qの距離は何cm以上、何cm以下ですか。

②点Pと点Qが最も離れているとき、その距離は何cmですか。


6221

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6222

一番近いときでP2Q2no5cm以上

一番遠いときでP1Q1の11cm以下

6223

図の場合で、13cm

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2017年6月20日 (火)

重なった部分の面積は?(今年 2017年 愛光中学)

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図のように、2つの直角三角形ABCとDEFが重なっています。

このとき、三角形GFCの面積は何㎠ですか?

また、 三角形AGDの面積は何㎠ですか?

6201

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GからBEに垂線を下し、その交点をHとします。

6202

△ABCと△GHCは相似で、AB:BC=18:12=3:2なので、

GH:HC=③:②

△DEFと△GHFも相似で、DE:EF=5:10=1:2なので、

GH:HF=①:②

GHを統一して、③とすると、HF=⑥

HC+HF=②+⑥=⑧ が4cmなので、

GH=③=4×3/8=3/2cm

△GFCの面積=4×3/2÷2=3㎠

四角形ABEDは台形で、その面積は

(5+18)×18÷2=207㎠

色部分の面積は、

18×12÷2+10×5÷2-3=130㎠

△AGDの面積=207-130=77㎠

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2017年6月15日 (木)

角アは何度?(今年 2017年 早稲田中学)

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図において、辺BD、BEは角ABCを三等分し、

辺CD、CEは角ACFを三等分しています。

アの角の大きさは何度ですか。

6151

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6152_3

外角の関係から、

ア+3×●=3×△

ア=3×△-3×●=3×(△-●)・・・・・①

□=38+△

□=ア+● より、

38+△=ア+●

△-●=ア-38・・・・・②

①と②より、

ア=3×(ア-38)

ア=3×ア-114

2×ア=114

ア=57°

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2017年3月25日 (土)

色部分の面積は?(今年 2017年 鎌倉学園中学)

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図のように、直径が6cmの半円の紙を

中心Oが円周上にくるように折りました。

図の色部分の面積は何㎠ですか。ただし、円周率は3.14と します。


3254

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図のように、半円から白い部分を引けば求める面積になります。

3252

△ABOと△AOCは合同な正三角形なので、

ACとBOは平行になり、

△ABCは△AOCに等積移動できます。

3253

すると、白い部分は半径3cm、中心角60°の

扇形の面積に等しいので、

求める面積=3×3×3.14×1/2-3×3×3.14×1/6

=3×3×3.14×1/3

=3×3.14

=9.42㎠

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