目次

図形

2018年7月16日 (月)

この紙を2等分してください!(今年 2018年 筑波大学附属中学)

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下の図は、平行四辺形の紙から

大きさの異なる平行四辺形の紙を切り取ったものです。

この紙を1本の直線で二等分するためには、

どのように切ればよいですか。

切り目を解答用紙にかきなさい。

なお、切り目をかく際に用いた線は消さないでおくこと。

Bandicam_20180716_092333312

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平行四辺形の2等分線は対角線の交点を通ります。

したがって、図のように2つの平行四辺形に分け、

それぞれの対角線の交点を通る線が

この図形の2等分線になります。

Bandicam_20180716_094255522

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682

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2018年5月31日 (木)

色部分の面積は?(今年 2018年 佼成学園中学)

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図のように面積が60㎠である平行四辺形ABCD において、

辺AD、BC を三等分する点と

辺AB、DC を二等分する点をそれぞれうちました。

このとき、色部分の面積は何㎠ですか。

5311

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5312

白部分の台形は全体の半分で30㎠

小さい平行四辺形は、60÷6=10㎠ですから、

緑部分は、5㎠

茶色部分は、10㎠

黄色部分=60-(30+5+10)=15㎠

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682

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2018年5月16日 (水)

どんな図になりますか?(桐朋中学 2009年)

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1cmの方眼があります。

この方眼の上で、ある図形を右に1cm、

上に1cm動かしてできる図形と

もとの図形の重なった部分を黒くぬります。

たとえば、たての長さが2cm、横の長さが3cmの長方形を動かすと、

黒くぬる部分は図のようになります。

5161

(1)もとの図形が、次の①、②の太線で表された図形であるとき、

  黒くぬる部分の面積を求めなさい。

  ただし、円周率は3.14とします。

Bandicam_20180516_092741007

(2)黒くぬる部分が図1のようになるとき、

  元の図形を1つ図1にかきなさい。

Bandicam_20180516_092758729
(3)黒くぬる部分が図2のようになるとき、

  もとの図形が、三角形であるものと五角形であるものを

  それぞれ1つずつかきなさい。

Bandicam_20180516_092832706
Bandicam_20180516_092844366

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(1)

5162 5163

「右1cm、上1cm動かしたところに同じ図形を描いてみるといいね」

「①は台形だから、

(1.5+2)×1÷2=1.75c㎡

② は木の葉形の面積になるから、

 

(1×1×3.14÷4-1×1÷2)×2=0.57c㎡」

(2)

5164

「かけた?」

 

「水色はかけた」

(3)

「図2で黒と黄色の三角形を2つとも含む図形を考えればいいね」

5165

「黒は動かない、黄色はなくなる」

「それが手がかりになるかもね」

5166_2

5167_2

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682

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2018年4月21日 (土)

色部分の面積は?(今年 2018年 市川中学)

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下の図のように、半径の長さが2cmの円があり。

その円周を12等分する 点を反時計回りに点 A、 B、C、・・・Lとします。

このとき、図のを求めなさい。

4211

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4212

中心をOとすると、

∠BOE=∠IOL=90°なので、

求める面積は、

(2×2×3.14×1/4-2×2×1/2)×2

=(3.14-2)×2

=2.28㎠

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2018年3月 3日 (土)

色部分の面積は?(今年 2018年 春日部共栄中学)

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下の図の色部分の面積は何㎠ですか?

331


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332


△黄色=7×9÷2=31.5㎠

△水色=6×5÷2=15㎠

求める面積=31.5+15=46.5㎠

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2018年2月11日 (日)

この立体の体積は?(今年 2018年 開成中学)

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下の図はある立体の展開図です。

B、C、Dは一辺が 6cm の正方形、

A、E、F は直角二等辺三角形、 Gは正三角形です。

この立体の体積を求めなさい。

2111

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組み立てると下のような立体になるので、

Bandicam_20180211_092621119

体積は、

6×6×6-6×6×1/2×6×1/3=180立方cm

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2018年2月 6日 (火)

面積は?(今年、2018年 桜蔭中学)

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半径が3cmの円Aと、1辺の長さが6cmの正方形Bを用いてできる

次の3つの図形をA+A、A+B、B+Bと呼ぶことにします。

261_2

このとき、次の問いに答えなさい。

(1)A+A、A+B、B+Bの面積はそれぞれ何㎠ですか。

(2)同じように、AとBを合わせて10個用いて、

  下のような図形を作ります


  両端にAを使うとき、 Bをできるだけ少なく使って面積が250㎠ 以上の

  図形を作るには、Bを何個使いますか。

  また、 作った図形の面積は何㎠ですか。


263

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(1)

2つの図形の面積の和から重なった部分を引きます。

262

緑部分

=3×3-(3×3-3×3×3.14×1/4)×2

=9-(9-7.065)×2

=5.13㎠

円周率が3.14の場合、

木の葉形の面積が正方形の0.57倍になることを知っていれば、

3×3×0.57=5.13㎠

赤部分

=3×3×3.14×1/4

=7.065

青部分

=3×3

=9㎠

A+A

=3×3×3.14×2-5.13

=51.39㎠

A+B

=(3×3×3.14+36)-7.065

=57.195㎠

B+B

=36×2-9

=63㎠

(2)

10個全部Aの場合の面積

=28.26×10-5.13×9

=236.43

したがって、250-236.43=13.57㎠以上増やします。

Bを1つ増やすと、

36-28.26=7.74㎠面積が増えますが、

重なる部分も、(赤-緑)×2=(7.065-5.13)×2=3.87㎠増え、

実際に増える面積は、7.74-3.87=3.87㎠です。

もう1つBを増やしても、両サイドのA+Bは変わらないので、

B+Bなら、9-5.13=3.87㎠増え、

A+B+A+B+Aの並びでも3.87㎠増えることになります。

つまり、Bを1つ増やすごとに3.87㎠増えるので、

13.57÷3.87=3.5・・・ より、

Bは4個使い、

面積は、

236.43+3.87×4=251.91㎠

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2017年11月24日 (金)

XHの長さと場合の数は?(聖光学院中学 2017年)

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図1のような1辺の長さが1cmの正方形ABCDがあり、

辺ADを3等分する点をP、Qとし、

辺BCを3等分する点をR、Sとします。

4点A、P、Q、Dと4点B、R、S、Cからそれぞれ2点ずつ選び、

それら4点を頂点とする四角形を考え、

その2本の対角線の交点をXとします。

さらに、角XHBが直角 となるようにBC上に点Hをとります。

このとき、次の問いに答えなさい。

11247

(1)4点A、P、Q、Dと4点 B、R、S、Cから

  それぞれ2点ずつ選んでできる四角形は全部で何個ありますか。

(2)図2のような四角形 BCDQ について考えるとき、

  XHの長さは何cmですか。

(3)4点A、P、Q、Dと4点 B、R、S、Cから

  それぞれ2点ずつ選んでできる四角形の対角線の交点Xとして

  考えられるものすべてを考えます。

  ただし、対角線の交点が複数重なる場合、

  それらは同じ点として考えるものとします。

  ①XH=2/3cmであるような X として考えられる点は

   全部で何個ありますか。

  ②XH=1/2cmであるような
 X として考えられる点は

   全部で何個ありますか。

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(1)APQDの4点から2点選ぶ場合の数は、6通り、

同様に、BRSC4点から2点選ぶ場合の数も、6通りなので、

四角形は、6×6=36個できます。

(2)

11242

△黄と△緑は相似で、相似比は1:3なので、

XH=1×3/(1+3)=3/4cm

(3)

①下辺:上辺=2:1の四角形を考えるので、

11243

図のように6個です。

②下辺:上辺=1:1の四角形を考えるので、

11245

図のように、5個です。

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2017年10月24日 (火)

この図形の面積は?(広島大学附属福山中学 2017年)

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下の図のように、1目もりが1cmの方眼紙に 

5本の直線で囲まれた図形がかいてあります。

この図形の面積は何㎠ですか?

10241

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全体から色部分の三角形を引いてみます。

10242

6×6-(4×6÷2+2×5÷2+3×3÷2+2×3÷2)

=36-24.5

=11.5㎠


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2017年10月22日 (日)

色部分の面積は?(普連土学園中学 2017年)

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半径3cmと7cmの2つの円があります。

点A、Bはそれぞれの円 の中心です。

色部分の面積を求めなさい。

必要ならば、円周率を3.14として計算すること。

10221_2

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10222

△黄は底辺7cm、高さ3cmの三角形

△赤は底辺3cm、高さ7cmの三角形であることがわかります。

色部分の面積=7×3÷2+3×7÷2=21㎠

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