立方体の展開図は？（女子学院中学 ２０１９年）

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図1のように,厚紙に同じ大きさの 12 個の正方形をかいて,

1 ~ 12 の数を入れました。

この厚紙の必要のない部分を切り取って立方体の展開図を作ります。

(1)[12]を使ってできる展開図は全部で何通りですか。

(2) 展開図にかかれている数の和が一番小さいものを1つ作ります。

使う数を図2に〇で囲みなさい。

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解法例

立方体の展開図は１１種類あります。

③は横幅が５つになるので除外して、１０種類で考えます。

（１）

⑧と⑪は１２を含むことができないので、８通りですが、

⑨は１１を含む展開図と、１１を含まない展開図の

２通りできるので、

全部で９通りの展開図ができます。

（２）

または、

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が３４で最小になります。

立体アの体積の何倍？（今年 ２０１８年 東大寺学園中学）

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立体アは各面の対角線(例えば ＡＢ)の長さが２ｃｍの立方体、

立体イは４つの面がすべて１辺の長さが２ｃｍの正三角形である三角 すい、

立体ウは底面が１辺の長さが２ｃｍの正方形で、

４つの側面がすべて１辺の長さが２ｃｍ の正三角形である四角すいです。

立体イの体積、立体ウの体積は、立体アの体積のそれぞれ何倍ですか。

ア

イ

ウ

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解法のヒント

立方体から赤い４つの部分を切り取ると・・・

残るのはイの正四面体です。

このイの正四面体を図のように２段に積んでみると・・・

↓

↓

真ん中の空間部分の形は？？？

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解法例

 

立方体の１辺を１とすると、

赤い部分の１つ分の体積は、

１×１×１/２×１×１/３＝１/６

真ん中の立体イの体積は、

１×１×１－１/６×４＝１/３

したがって、イはアの１/３倍です。

正四面体１つの体積を１とすると、

正四面体の１辺が２倍になった正四面体全体の体積は、

２×２×２＝８倍になるので、

真ん中の空間部分の体積は、

８－１×４＝４

真ん中の空間部分の形は・・・

正八面体ですね！

立体ウはこの半分なので、

体積は、４÷２＝２

イの正四面体の２倍の体積なので、

１/３×２＝２/３

したがって、ウはアの２/３倍です。

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使うタイルは何枚？（今年 ２０１８年 慶應義塾中等部）

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同じ大きさの正三角形のタイルが １４０ 枚あります。

このタイルをすき間なく並べて、正三角形また は正六角形をつくります。

[図1]、[図2] はそれぞれ４枚、６枚のタイルを使ってつくった例です。

（１）できるだけ大きな正三角形をつくるとき、タイルは全部で何枚使いますか。

（２）できるだけ多くのタイルを使って、正三角形と正六角形を１つずつつくるとき、

　　正三角形を つくるのに使うタイルは何枚ですか？

　　正六角形をつくるのに使うタイルは何枚ですか？

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（１）

正三角形は１辺が１つ大きくなるごとに、

１、３、５、７、９・・・・枚ずつタイルが増えていきます。

使うタイルは、

１＋３＋５＋７＋９＋・・・・　と増えていくので、

１辺が１のとき使うタイルは、

２×１÷２＝１枚

１辺が２のとき、

４×２÷２＝４

１辺が３のとき、

６×３÷２＝９枚

・・・・・

２×１÷２＝２×１×１÷２＝１×１

４×２÷２＝２×２×２÷２＝２×２

６×３÷２＝２×３×３÷２＝３×３

・・・・・

１辺が１２では

１２×１２＝１４４　より、１４０枚を超えてしまうので、

１辺は最大で１１になり、

タイルは、１１×１１＝１２１枚使います。

（２）

正六角形では１辺が１のとき、

１×６枚

１辺が２のとき

３×６＝１８枚増え、

１辺が３のとき、

５×６＝３０枚増え

１辺が４のとき、

７×６＝４２枚

１辺が５のとき、

９×６＝５４枚増えるので、

６＋１８＋３０＋４２＋５４＝１５０枚　より１４０枚を超えてしまうので、

６枚、２４枚、５４枚、９６枚の４つの場合だけ考えます。

残る枚数は、

６枚→１４０－６＝１３４枚・・・・・①

２４枚→１４０－２４＝１１６枚・・・・・②

５４枚→１４０－５４＝８６枚・・・・・③

９６枚→１４０－９６＝４４枚・・・・・④

正三角形を作るには、（１辺×１辺）の枚数が必要なので、

使わない枚数は、

①→１３４－（１１×１１）＝１３枚

②→１１６－（１０×１０）＝１６枚

③→８６－（９×９）＝５枚

④→４４－（６×６）＝８枚

したがって、一番タイルを多く使うのは③の場合で、

正三角形に８１枚、正六角形に５４枚です。

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色をつけた部分の面積は？（今年 ２０１８年 共立女子中学）

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太さ１ｃｍで図のような図形を描きました。

色をつけた部分の面積はおよそ何㎠ ですか。

最も近い整数で答えなさい。

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図のように、

半径２ｃｍの円から半径１ｃｍの円を引いた部分の１．５個分です。

（２×２－１×１）×３，１４×１．５

＝１４．１３㎠　なので、

およそ１４㎠

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アとイの長さは？（今年 ２０１８年 神奈川大学附属中学）

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下の図は、周りの長さが６０ｃｍの長方形で あり、

曲線は長方形のそれぞれの頂点を中心とする円の一部です。

（１）  アはいくつですか。

（２）  イはいくつですか。

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長方形のたて＋横＝６０÷２＝３０ｃｍ

ア＝｛３０－（８＋１２）｝÷２＝５

右上の円弧の半径は、（５＋１２）－８＝９ｃｍ

長方形のたての長さは、８＋５＝１３ｃｍより、

イ＝９－（１３－１２）＝８

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この紙を２等分してください！（今年 ２０１８年 筑波大学附属中学）

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下の図は、平行四辺形の紙から

大きさの異なる平行四辺形の紙を切り取ったものです。

この紙を１本の直線で二等分するためには、

どのように切ればよいですか。

切り目を解答用紙にかきなさい。

なお、切り目をかく際に用いた線は消さないでおくこと。

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平行四辺形の２等分線は対角線の交点を通ります。

したがって、図のように２つの平行四辺形に分け、

それぞれの対角線の交点を通る線が

この図形の２等分線になります。

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色部分の面積は？（今年 ２０１８年 佼成学園中学）

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図のように面積が６０㎠である平行四辺形ＡＢＣＤ において、

辺ＡＤ、ＢＣ を三等分する点と

辺ＡＢ、ＤＣ を二等分する点をそれぞれうちました。

このとき、色部分の面積は何㎠ですか。

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白部分の台形は全体の半分で３０㎠

小さい平行四辺形は、６０÷６＝１０㎠ですから、

緑部分は、５㎠

茶色部分は、１０㎠

黄色部分＝６０－（３０＋５＋１０）＝１５㎠

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どんな図になりますか？（桐朋中学 ２００９年）

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１ｃｍの方眼があります。

この方眼の上で、ある図形を右に１ｃｍ、

上に１ｃｍ動かしてできる図形と

もとの図形の重なった部分を黒くぬります。

たとえば、たての長さが２ｃｍ、横の長さが３ｃｍの長方形を動かすと、

黒くぬる部分は図のようになります。


（１）もとの図形が、次の①、②の太線で表された図形であるとき、

　　黒くぬる部分の面積を求めなさい。

　　ただし、円周率は３．１４とします。


（２）黒くぬる部分が図１のようになるとき、

　　元の図形を１つ図１にかきなさい。


（３）黒くぬる部分が図２のようになるとき、

　　もとの図形が、三角形であるものと五角形であるものを

　　それぞれ１つずつかきなさい。

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（１）

「右１ｃｍ、上１ｃｍ動かしたところに同じ図形を描いてみるといいね」

「①は台形だから、

（１．５＋２）×１÷２＝１．７５ｃ㎡

② は木の葉形の面積になるから、

（１×１×３．１４÷４－１×１÷２）×２＝０．５７ｃ㎡」

（２）

「かけた？」

「水色はかけた」

（３）

「図２で黒と黄色の三角形を２つとも含む図形を考えればいいね」

「黒は動かない、黄色はなくなる」

「それが手がかりになるかもね」

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色部分の面積は？（今年 ２０１８年 市川中学）

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下の図のように、半径の長さが２ｃｍの円があり。

その円周を１２等分する 点を反時計回りに点 Ａ、 Ｂ、Ｃ、・・・Ｌとします。

このとき、図のを求めなさい。

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中心をOとすると、

∠BOE＝∠IOL＝９０°なので、

求める面積は、

（２×２×３．１４×１/４－２×２×１/２）×２

＝（３．１４－２）×２

＝２．２８㎠

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色部分の面積は？（今年 ２０１８年 春日部共栄中学）

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下の図の色部分の面積は何㎠ですか？

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△黄色＝７×９÷２＝３１．５㎠

△水色＝６×５÷２＝１５㎠

求める面積＝３１．５＋１５＝４６．５㎠

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