目次

周期性

2017年5月14日 (日)

5度目に集まるのは何秒後?(今年 2017年 青山学院中等部)

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図のような1辺の長さが1cmの正方形ABCDがあります。

4つの点P、Q、R、Sは、それぞれ預点A、B、C、Dを同時に出発し、

それぞれ1秒間に1cm、2cm、3cm、4cmの速さで

周上を矢印の方向に移動します。

4つの点が同じ頂点に集まるときがありますが

5度目に集まるのは出発してから何秒後ですか?

5141

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Pが頂点に来るのは、1秒後、2秒後、3秒後、・・・と整数秒後です。

Sは整数秒後には、必ずDに来ます。

したがって、4点がいっしょに集まる頂点はDになるので、

同時にDに来る時間を調べると、

   1  2  3  4  5  6  7  8  ・・・・ 秒

P  B  C  D  A  B  C  D  A  ・・・・

Q  D  B  D  B  D  B  D  B  ・・・・

R  B  A  D  C  B  A  D  C  ・・・・

S  D  D  D  D  D  D  D  D  ・・・・

1回目の3秒後の後は、4秒ごとにDで集まることがわかります。

1回目→3秒後

2回目→7秒後

3回目→11秒後

4回目→15秒後

5回目→19秒後

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2017年2月21日 (火)

何時間何分かかったかな?(今年 2017年 東大寺学園中学)

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コンサートのチケットを印刷するのに、3つの機械A、B、Cを用いました。

1枚のチケットを印刷するのに、Aは15秒、Bは20秒、Cは25秒かかります。

A、B、Cに何枚かずつ用紙をセットして、同時に印刷を開始したところ、

3つの機械から、それぞ れ最後の1枚が同時に印刷を終えて出てきました。

全部で2491枚のチケットが印刷されたとすると、

印刷を開始してから印刷を終えるまで何時間何分かかりましたか。

ただし、3つの機械は一度も止まることなく印刷を続けていたものとします。

Mailmerge1803674_640

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A、B、Cの機械から

最初に同時に印刷されたチケットが出てくるのは、

15と20と25の最小公倍数の300秒後です。

この時の枚数は、

(300÷15)+(300÷20)+(300÷25)=47枚

最後の1枚も47枚の倍数になっているので、

2491÷47=53

300×53=15900秒

15900÷60=265分

4時間25分


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2016年4月19日 (火)

不思議な箱(豊島岡女子学園中学 2006年)

ABCD という 4ケタの数を入れたら DCAB という 4ケタの数が出てくる箱があります。

たとえば、1234 を箱に入れると4312 が出てきます。この数を再び(2回目)箱に入れると、2143 が出てきます。

4ケタの数 9536 を箱に2006回入れたとき、最後に出てくる 4ケタの数はいくつですか?

ABCD→Ripo1 →DCAB

考え方と解法例

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規則性を考えるために、ABCD を箱に入れてみましょう。

  1回目 : ABCD → DCAB

  2回目 : DCAB → BADC

  3回目 : BADC → CDBA

  4回目 : CDBA → ABCD

このことから、4回で最初の数にもどることがわかりました。

 

よって、9536を2006回、箱に入れると、

 2006÷4=501あまり2

なので、2回目の操作が終わったBADC の形、

すなわち 5963 の形で出てくるということになります。

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2015年11月10日 (火)

同時に鐘をついたのは何回?(2015年 栄東中学、東大クラス選抜)

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大晦日、3つの寺A、B、Cでは108回の鐘をつきました。

午後11時ちょうどに3つの寺が1回目の鐘をつき、その後、

寺Aは40秒ごとに1回、寺Bは50秒ごとに1回、寺Cは60秒ごとに1回、

鐘をつきました。

3つの寺が同時に鐘をついたのは全部で何回ありましたか?

Joyanokane_obousan

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1回目に同時についたあと、次に同時につくのは、

40と50と60の最小公倍数、600秒後です。

以下、600秒ごとに同時についていきますが、

最初につき終わるのは、40秒ごとにつく寺Aです。

寺Aは、600÷40=15回目ごとに同時につくので、

108÷15=7あまり3 より、

7+最初の1回=8回 です。

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2015年7月 4日 (土)

同時に頭を出しているのは何秒?(2015年 清風南海中学)

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次のようなモグラたたきゲームがあります。

A,B,Cの3匹のモグラは,下のような動きをくり返します。

A:5秒間頭を出し,7秒間頭を引っ込める。

B:4秒間頭を出し,2秒間頭を引っ込める。

C:3秒間頭を出し,6秒間頭を引っ込める。

A,B,Cのモグラが同時に頭を出したところからゲームを始めます。

ゲームを始めてから7分間に

A,B,Cのモグラが同時に頭を出しているのは合計何秒ですか。
Game_moguratataki

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Aは頭を出す時間と引っ込めている時間のサイクルは、5+7=12秒

Bは、4+2=6秒

Cは、3+6=9秒 なので、

最小公倍数の36秒で最初に戻ることになります。

この36秒間にABCが同時に頭を出していた時間を調べます。

Aは、0-5、12-17、24-29

Bは、0-4、6-10、12-16、18-22、24-28、30-34

Cは、0-3、9-12、18-21、27-30

図のように、最初の3秒間と、27-28の1秒間、同時に頭を出しています。

7042

36秒間に3+1=4秒 なので、

7分は420秒ですから、36秒×11+24秒

したがって、同時に頭を出しているのは、

合計 4×11+3=47 秒間です。

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2015年5月26日 (火)

重なって移動するのは?(2015年 捜真女学校中学部)

図のような1辺が1mの正六角形ABCDEFがあります。

点PはAを出発して、A-B-C-D-E-F-Aの順に移動します。

点QはAを出発して、A-B-C-G-F-Aの順に移動します。

P、Qがともに毎秒1mの速さで同時にAを出発し、1分40秒間動き続けたとき、

重なって移動するのは合わせて何秒間ですか?

P526

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PとQがAを同時に出発し、次にAで重なるのは30秒後です。

この30秒間に重なって動くのは、最初の2秒間と最後の1秒間です。

つまり、30秒で3秒間重なって動くので、

1分40秒では、3×3=9秒間と、1分30秒~1分32秒の2秒間、

合計 11秒間です。

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2015年1月11日 (日)

30で割った余りは?(鴎友学園女子中学 2014年)

3を2014回かけた数を30で割ったときの余りはいくつでしょうか?

032822

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3をかけた回数ごとに、余りを調べてみると、

3 → あまり3

3×3 → あまり9

3×3×3 → あまり27

3×3×3×3 → あまり21

3を5回 → 243÷30 → あまり3

3を6回 → 729÷30 → あまり9

3を7回 → 2187÷30 → あまり27

3を8回 → 6561÷30 → あまり21

3を9回 → 19683÷30 → あまり3

のように、3→9→27→21→・・・のくり返しとなっているので、

2014÷4=503あまり2 より、3を2014回かけたものを30で割ると、

余ることがわかります。

 

 

<別解>

3×3×・・・×3×3 ÷ 30 を 分数として計算すると、

3で約分されて、3×3×・・・×3÷10 になります。

たとえば、

 3÷30 → 1÷10 → あまり1 (実際のあまりは3)

 3×3÷30 → 3÷10 → あまり3 (実際のあまりは9)

 3×3×3÷30 → 3×3÷10 → あまり9 (実際は27)

のようになり、10で割ったときのあまりを、3で約分しているため

3倍すると、30で割ったときのあまりになります。

 

3を2014回かけた数を30で割った余りを求めるには、

3を2013回かけた数を10で割ったときの余りを3倍すればよい

ということになります。

 

ある数を10で割ったときの余りは、その数の1の位の数に等しいので、

3を2013回かけたときの1の位の数は3なので、

3を2014回かけた数を30で割ったときのあまりは、

3×3= とわかります。

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2015年1月 9日 (金)

花火を見ることができるのは?(芝中学 2014年)

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2種類の花火を次のような条件①、②で打ち上げます。

 

① 花火【スター】は、3秒おきに点火し、点火してから4秒後に花火が開きます。

② 花火【ムーン】は、2秒おきに点火し、点火してから2秒後に花火が開きます。

ただし、【スター】と【ムーン】の2種類の花火が同時に開いてしまうときには、

【ムーン】の点火を見送ります。このとき、次の問に答えなさい。

(1)2つの花火を同時に点火しはじめてから、最初の1分間に何発の花火を見ることができますか。

(2)【スター】と【ムーン】合わせて 100発の花火が開くのに2つの花火を同時に点火しはじめてから、何分何秒かかりますか。

Ilm02_bd19011s

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(1)最初に点火してから【スター】を見ることができるのは、

4秒後、7秒後、10秒後、・・・、で、3で割ると1余るときです。

一方、【ムーン】を見ることができるのは、

2秒後、4秒後、6秒後、・・・、で、2の倍数(偶数)のときです。

ただし、同時に見ることができてしまうときは、【ムーン】は打ち上げられないので、

4秒後、10秒後、のようなときは【スター】だけになります。

 

【スター】を見ることが出来る時間は、偶数と奇数が交互にやってきていて、

【スター】は、

4秒後、7秒後、10秒後、・・・、58秒後

の19回見ることができ、そのうち 10回が【ムーン】と重なることがわかります。

(【ムーン】の回数のうち10回は打ち上げられない)

【ムーン】は、2秒後、4秒後、・・・、60秒後 の30回のうち

10回が打ち上げられないので、30-10=20回 見ることができます。

よって、【スター】と【ムーン】を合わせると、1分間で、

 19+20=39回

見ることができます。

 

(2)2秒おきと3秒おきに打ち上げられるので、

最小公倍数の6秒をひとまとまりにして考えると、

4秒後から10秒後にかけての【スター】と【ムーン】が見られるのは、

 【スター】 ・・・ (4秒後)   7秒後   10秒後

 【ムーン】 ・・・    6秒後   8秒後

の5回です。10秒後から16秒後にかけては、

 【スター】 ・・・ (10秒後)   13秒後   16秒後

 【ムーン】 ・・・    12秒後   14秒後

となっています。この規則正しい並びの数え方は色々ありますが、

2秒後の【ムーン】と4秒後【スター】の2回を除いて、

4秒後から10秒後の間で4回、10秒後から16秒後の間で4回のように、

下線を引いた4回ずつで考えると、

 (100-2)÷4=24あまり2

なので、6秒を24回くりかえし、あと2回(3秒後)になるので、

 4(最初の4秒)+6×24(回)+3=151秒後=2分31秒後

に100発目を見ることができます。

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2015年1月 6日 (火)

点が重なるまでに何秒かかる?(明治大学付属明治中学 2014年)

図のような周の長さが72cmの円の直径の両端に2点A,Bがあり,Bを出発点とする点Pと,Aを出発点とする2点Q,Rがあります。P,Q,Rはそれぞれ毎秒4cm,毎秒13cm,毎秒11cmの速さで矢印の方向に円周上を動き続けます。P,Q,Rが同時に出発してから,初めて同じ場所で重なるまでに何秒かかりますか。
1

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こたえ

QがPに追いつくまで、(72÷2)÷(13-4)=4秒 で、

その後、72÷9=8秒ごとに追いつきます。

したがって、PとQが重なる時間は、

4秒後、12秒後、20秒後、28秒後、36秒後、・・・・・

QとRが出会うまで、72÷(13+11)=3秒 で、

その後も3秒ごとに出会うので、

3秒後、6秒後、9秒後、12秒後、・・・・・

最初に共通するのは12秒後になります。

ちなみに、PとRが出会うまでも調べると、(72÷2)÷(4+11)=2.4秒 で、

その後は、72÷15=4.8秒ごとに出会うので、

2.4秒後、7.2秒後、12秒後、・・・・・

やはり最初に共通するのは12秒後になります。

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2014年11月21日 (金)

2つの噴水の周期は?(慶應義塾中等部 2014年)

ある池に  2つの噴水A,Bがあります。

噴水Aは、水を60秒間ふき出して、30秒間ふき出すのをやめ、以後これをくり返します。

噴水Bは、水を80秒間ふき出して、70秒間ふき出すのをやめ、以後これをくり返します。

このとき・・・・・・

(1)噴水A,Bが同時に水をふき出し始めてから、次に同時にふき出し始めるまでに、何分何秒かかりますか。

(2)噴水A,Bが同時に水をふき出し始めてから28分間で、2つの噴水が同時にふき出している時間の合計は何分何秒ですか。

Sstac032s

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(1)噴水Aは、60+30=90秒のサイクル、

噴水Bは、80+70=150秒のサイクル なので、

噴水A,Bが同時に水をふき出し始めてから、

次に同時にふき出し始めるまでにかかる時間は、

90と150の最小公倍数の450秒、すなわち、

7分30秒です。

 

(2)450秒間で、A,Bが同時に水をふき出している時間は、下の図1のように

 Pic_3972a

160秒間あります。

28分=28×60=1680秒 で、

1680÷450=3あまり330秒 なので、

28分間で、A,Bが同時に水をふき出している時間は、

160×3+60+50+30=620秒=10分20秒 です。

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