目次

規則性

2017年3月14日 (火)

A君は何周?、B君は何周?(今年 2017年 浅野中学)

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A君とB君は池の周りを次の規則に従って走ります。

1日目は、A君が1周、B君が1周します。

2日目は、A君が1周、B君が2周します。

3日目は、A君が2周、B君が1周します。

4日目は、A君が1周、B君が3周します。

5日目は、A君が2周、B君が2周します。

6日目は、A君が3周、B君が1周します。

7日目は、A君が1周、B君が4周します。

このとき、100日目は、A君は何周、B君は何周しますか?

720

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2人合わせて

2周が1日、

3周が2日、

4周が3日、

5周が4日、

100日目が含まれるのは、

1+2+3+4+・・・・・+14=105

105日目は2人合わせて、14+1=15周なので、

105日目は、A君が14周、B君が1周

100日目は、A君が14-5=9周、B君が1+5=6周

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2017年1月27日 (金)

ロボットはどう動く?(今年、2017年 京都市立西京高等学校附属中学)

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太郎さんのお父さんが「プログラム付きロボット」を

プレゼントに買って きてくれました。

この「プログラム付きロボット」は、

あらかじめ与えた条件 (プログラム)にしたがって、平面上を動きます。

また、プログラムとして、次の2つの条件を与えることができます。

<条件1> 次に進むマスへの方向

A: 進行方向に対して、まっすぐ進む。

B: 進行方向に対して、右へ120度曲がって進む。

C: 進行方向に対して、左へ120度曲がって進む。

<条件2 > 次のマスまで進むのにかかる時間

※ただし、<条件2>における時間は、1秒単位で与えるものとします。

《例》
プログラム <条件1>A一B一C  <条件2>5秒 で、

スタート地点に矢印の向きにおく。

このとき、ロボットは、スタート地点を出発 してから15秒後に

ゴール地点に着きます。

ま た、太線は15秒間の経路を表しています。

1271

(1) プログラム <条件1>AーCーBーB <条件2>1秒 で、

図のスタート地点に矢印の向きにおいたときの、

4秒間の経路と4秒後のゴール地点を

(例) にならって、解答用紙に書きな さい。

1272

(2)18秒後にスタート地点に初めて戻ってくるプログラムを作りました。

以下の空欄に入る記号または数字を答えなさい。

プログラム <条件1> Aー (   ) ー A ーBー (   )ー C  <条件2> (   )秒

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(1)

1273

(2)

1274

Aー(B)ーAーBー(B)ーC

3秒

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2017年1月 4日 (水)

何段、何列?(愛知淑徳中学 2014年) 

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Pic_4102a

上の表は、ある決まりに従って1から16までの整数を並べたものです。

同じ決まりに従って整数を並べていったとき、

次の問に答えなさい。

(1)2段の8列にある数はいくつですか。

(2)98は何段の何列にありますか。

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(1)こういった規則的な数の並びの場合、

まず、平方数(同じ数を2回かけた数)がどこにあるかを、考えてみます。

平方数は、下の表1の青い部分にあることがわかります。

    Pic_4103a

 4(2×2)は、2段の1列

 9(3×3)は、1段の3列

 16(4×4)は、4段の1列

 25(5×5)は、1段の5列

となっていて、

 偶数段の1列には、その数の平方数、

 1段の奇数列には、その数の平方数

があることがわかります。

 

2段の8列に近いのは、1段の8列ですが、偶数列なので、

1段の7列が、7×7=49 より、1段の8列は、50 で、

2段の8列にあるのは、51 と求められます。

 

(2)98に最も近い平方数は、10×10=100 で、

100が10段の1列にあり、そこから2個戻れば98なので、

98は、10段の3列にあります。

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2016年12月23日 (金)

うずまきの規則性は?(久留米大学附設中学 2010年) 

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1辺の長さが1cmの正六角形があって、

下の図のようにその周りをうず巻き状に正三角形でしきつめていきます。

Pic_1485q_2

正三角形①、②、③、④、⑤の1辺の長さは、

1cm、2cm、3cm、4cm、5cm です。

このとき、次の問に答えなさい。

 

(1)⑥、⑦、⑧、⑨、⑩、⑪、⑫の1辺の長さを求めなさい。

(2)何枚目かの正三角形をしきつめたところ、

    その正三角形の1辺の長さが200cmでした。

    しきつめた正三角形は何枚目ですか。

(3) (2)で求めた枚数の正三角形までしきつめたとき、

   それぞれの正三角形の1辺の長さの和、

     つまり、図の青線の長さを求めなさい。

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解答例

 (1)それぞれの正三角形の1辺の長さは、

①=1cm、②=2cm、③=3cm、④=4cm、⑤=5cm、

⑥=⑤+1+①=7cm

⑦=⑥+②=9cm

⑧=⑦+③=12cm

⑨=⑧+④=16cm

⑩=⑨+⑤=21cm

⑪=⑩+⑥=28cm

⑫=⑪+⑦=37cm

 

 (2)続けて調べ、200cmになるのが何枚目か調べます。

(1)より、正三角形の1辺の長さの求め方には、次のような

規則があることがわかります。

     Pic_1486a

このことを利用して、13枚目以降について、正三角形の

1辺の長さを調べていくと、

 ⑬=⑫+⑧=37+12=49cm

 ⑭=⑬+⑨=49+16=65cm

 ⑮=⑭+⑩=65+21=86cm

 ⑯=⑮+⑪=86+28=114cm

 ⑰=⑯+⑫=114+37=151cm

 ⑱=⑰+⑬=151+49=200cm

このように順次求めることができます。

 

よって、200cmの正三角形をしきつめるのは、18枚目

ということがわかります。

 

 (3)18枚目までの1辺の長さの和は、

1+2+3+4+5+7+9+12+16+21+28

 +37+49+65+86+114+151+200

810cm となります。

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2016年10月26日 (水)

対角線が通過する正方形は何個?(渋谷教育学園幕張中学 2012年)

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図のように、正方形のマスをたてに3個、

よこに5個並べて長方形を作作ります。

この長方形の1本の対角線は、斜線のの7個のマスを通過します。

次の各問いに答えなさい。

13

(1)

正方形のマスをたてに7個、

よこに11個並べた長方形を作るとき、

この長方形の対角線は、何個のマスを通過しますか。

 

(2)

正方形のマスをたてに39個、

よこに51個並べた長方形を作るとき、

この長方形の対角線は、何個のマスを通過しますか。

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bandicam-2016-10-26-07-21-15-827 bandicam-2016-10-26-07-21-30-296 bandicam-2016-10-26-07-22-03-846 bandicam-2016-10-26-07-22-34-163 bandicam-2016-10-26-07-22-46-147 bandicam-2016-10-26-07-22-58-580

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2016年10月18日 (火)

何本のマッチ棒が必要?(2015年 立教女学院中学)

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図のように(矢印の方向に)正方形を作っていく場合を考えます。

(1)1辺の長さがマッテ棒1本分の正方形を25個作るには,

何本のマッチ棒が必要ですか。?

P3191

(2)マッチ棒が134本あるとき、

1辺の長さがマッチ棒1本分の正方形は何個作ることができますか。

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図のように、1辺が1の正方形の場合は、1×4=4本

1辺が2の正方形の場合は、2×6=12本

1辺が3の正方形の場合は、3×8=24本

P3192

と、1辺の本数×(1辺の本数×2+2)のように規則的に増えていきます。

1辺が4本では、4×(4×2+2)=40本

(1)25個では1辺に5本使われているので、

5×(5×2+2)=60本になります。

(2)1辺に8本で、

8×(8×2+2)=144本になります。

514

それより、144-134=10本少ないので、

図のように5個正方形は少なくなり、

8×8-5=59個 です。

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2016年8月 2日 (火)

コインを多く持っているのはどちら?(麻布中学 2013年)

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コインがたくさんあり、そこからA君とB君の2人が交互にコインを取っていきます。

1回目はA君が1枚、2回目はB君が3枚、3回目はA君が5枚、

4回目はB君が7枚、5回目はA君が9枚、・・・・・・というように、

2人は自分が前に取った枚数より4枚多くコインを取ります。

何回か取った後、2人の持っているコインの枚数を比べたところ、差が31枚でした。

コインを多く持っているのはどちらですか。

また、その人が最後に取ったコインは何枚ですか。

42

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    ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦

A君  1      5       9     13

B君    3       7      11  

①回目→Aが1枚多い

②回目→Bが2枚多い

③回目→Aが3枚多い

④回目→Bが4枚多い

⑤回目→Aが5枚多い

⑥回目→Bが6枚多い

⑦回目→Aが7枚多い

Aが奇数枚多くなり、Bは偶数枚多くなるので、

31枚多くなるのは、31回目で、A君になります。

コインを取る数は、何回目×2-1 で求められるので、

31回目では、31×2-1=61枚 です。

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2016年6月10日 (金)

図形並べの規則性は?(函館ラ・サール中学 2009年)

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たて1cm、横2cmの長方形の紙を

下の図のように規則的にならべていきます。このとき、次の問に答えなさい。

Pic_1663q

(1)6番目の図形の周囲の長さ(図の太線部分)を求めなさい。

(2)図形の周囲の長さが150cmになるのは何番目の図形ですか。

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こたえ

(1)太線の長さは、下の図1のように、

図形がぴったり入る長方形の周りの長さに等しいことがわかります。

 Pic_16641a

 1番目は、1cm×2cmの長方形の周りの長さ

 2番目は、3cm×4cmの長方形の周りの長さ

 3番目は、5cm×6cmの長方形の周りの長さ

 4番目は、7cm×8cmの長方形の周りの長さ

として、規則的に測ることができるので、

 6番目は、11cm×12cmの長方形の周りの長さと等しく、

       (11+12)×2=46cm となります。

 

(2)□番目の長方形が、(たて+横)×2=150cm

となるので、たて+横=75cm とわかります。

さらに、たてと横の差は1cmなので、たて=37cm、横=38cm

となります。

番号と横の長さは、2倍の関係になっているので、

太線の長さが150cmになるのは、38÷2=19番目 です。

 

<別解>

 (1)1番目の長方形の周囲の長さは、6cmです。

2番目以降の図形の周囲の長さは、下の図2のように、図形を

青線部分と黄色線部分に分けて考えると、

Pic_16632a

黄色い線の長さは6cmで、青線部分の長さはそれぞれ

 2番目・・・2×4

 3番目・・・4×4

 4番目・・・6×4

となるので、6番目の図形の青線部分に当たる長さは、

 10×4=40cm となります。

よって、6番目の図形の周囲の長さは、

 青線部分+黄色線部分=40+6=46cm です。

 

(2)□番目の図形の周囲の長さは、(□-1)×2×4+6

として求めることができるので、

 (□-1)×2×4+6=150cm となるのは、

 □=19 より、19番目です。

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2016年5月25日 (水)

口のタイルは何枚ある?(2016年 昭和女子大学附属昭和中学)

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○と口と×は、同じ大きさの正方形のタイルです。
 
これらを図のように、
 
ある規則に したがって全体の形が正方形になるように並べました。
5253
 
10番目の図の中に口のタイルは何枚ありますか?


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5番目は図のように並びます。

Bandicam_20160525_083729558
1番目

タイル→1×1
○→1×1

2番目

タイル→2×2
○→1×1
×→1×1

3番目

タイル→3×3
○→2×2
×→1×1

4番目

タイル→4×4
○→2×2
×→2×2

5番目

タイル→5×5
○→3×3
×→2×2

6番目

タイル→6×6
○→3×3
×→3×3

・・・・・・・・
10番目

タイル→10×10
○→5×5
×→5×5  なので、

□=100-25×2=50個

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2016年5月18日 (水)

10番目まで足した合計は? (2016年 山手学院中学)

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5183
 
図1のように長方形のテープに1から順に整数を書きました。

これを図2のように3つの数ごとに折り曲げ、図3のように重ねました。

例えば、左側の数の上から2番 目の数は6です。このとき、

(1) 左側の数の上から10番目はいくつですか?

(2)真ん中の数を上から10番目まで足した合計はいくつですか?

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(1)1、6、7、12、13、18、19、24、25、30

なので、30

(2)2より3つずつ増えていきます。

2、5、8、11、14、17、20、23、26、29

したがって、(2+29)×10÷2=155

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