目次

規則性

2017年7月 1日 (土)

白、黒、星のどれですか?(今年 2017年 大宮開成中学)

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図のように、白と黒と星の記号がある規則で並んでいます。


〇●☆●●〇〇●☆●●〇〇●☆●●〇〇●☆●●〇・・・・・

Apf0107s_2


(1)2017番目は白、黒、星のどれですか?

(2)200番目の黒は、全体の何番目ですか?

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(1)最初の〇●を除くと、次からは、

☆●●〇〇●の6個の繰り返しになります。

(2017-2)÷6=335 あまり5 なので、

〇●の後、☆●●〇〇●が335ブロック続いた最後の●は2012番目、

2017番目はそこから5つ目なので、

☆●●〇〇←白になります。

(2)最初の〇●←黒1個なので、残り199個

☆●●〇〇●の中に黒は3個入っているので、

199÷3=66 あまり1 より、

☆●●〇〇●が66ブロック続いたあとの、その次の黒が200番目です。

〇●+☆●●〇〇●×66=398個

したがって、●←この黒は400番目になります。●〇〇●

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2017年6月10日 (土)

正三角形は何個並んでいますか?(今年 2017年 中央大学附属横浜中学)

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下の図のように、1辺が7cmの正三角形を一直線上に

2cmずつ重なるように並べます。

図形の周の長さが141cmのとき、

正三角形は何個並んでいますか?

6101

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1個では21cm

2個では、(21+15×1)cm

3個では、(21+15×2)cm

4個では、(21+15×3)cm

・・・・

(141-21)÷15=8 より、

8+1=9個 並んだときです。




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2017年5月27日 (土)

数並びの規則性は?(今年 2017年 筑波大学附属駒場中学)

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図のように、同じ大きさの正三角形をしきつめて、

それぞれの三角形に規則的に1、2、3、4、...と数を書きこみます。

例えば、5は3段目の左から2番目の三角形に書かれています。

また、4段目の左から5番目の三角形に書かれている数は15です。

Bandicam_20170527_083754892

次の問いに答えなさい。

(1) 10段目の一番左にある三角形に書かれている数を答えなさい。

(2) 2017が書かれている三角形は、

  何段目の左から何番目の三角形ですか。

(3) しきつめられた図形の一部で、

  6個の正三角形からなる正六角 形に注目し、

  その中の6つの数のうち最も大きい数と、6つの数 の和を考えます。

  例えば、下図の太線で囲まれた正六角形において、

  6つの数のうち最も大きい数は15であり、6つの数の和は61です。

  6つの数の和が610であるとき、6つの数の中で最も大きい数を答えなさい。

Bandicam_20170527_083807014 

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右端の数は段数の平方数

左端の数は、段数×(段数-1)+1 になっています。

したがって、

(1)10×(10-1)+1=91

(2)45×45=2025 なので、

45段目を左端から調べていきます。

左端は、45×44+1=1981

2017-1981=36 なので、

△は37個、▽は36こあり、

45段目の、左から、37+36=73番目です。

(3)六角形の和は左端の数×6や

右端の平方数×6よりやや大きくなっています。

このことから見当をつけると、

10~11段目の六角形に和が610になるものがありそうです。

5271

10段目の左端の数は、10×9+1=91

これを含む六角形の和は、580

六角形を右に1つずらすと

その和が6増える規則性があることを発見するのがポイントです。

(610-580)÷6=5 なので、

右に5つずらすと、最大の数は、112+5=117になります。


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2017年4月30日 (日)

この図形の規則性は?(今年 2017年 開成中学)

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図1は、正方形で分割された長方形です。

ただし、正方形の中の数は

その正方形の1辺 の長さ (単位は cm) を表しています。

Bandicam_20170430_090833425

この分割された長方形から、以下のような手順にしたがって、

点を矢印つきの線 (以下では、この線を「矢印」ということにします)で

結んだ図形 (図4)を作り ます。

最後にできたこの図形 (図4) を

「長方形の分割を表す経路」ということにします。

【「長方形の分割を表す経路」を作る手順】

①図1のそれぞれの縦線の真ん中に点をとり、

  図2のように左にある点から順にA、B、C、・・・ と名前をつけます。

Zu2

②各正方形について、左の辺を含む縦線の真ん中の点から

  右の辺を含む縦線の真ん中の点へ向かう矢印をかき、

  その近くにその正方形の中の数を移します。(図3)
Zu3

③もとの長方形、正方形の辺の線をすべて消します。(図4)
Zu4

  矢印の近くに記入した数を「矢印に対応する数」ということにします。

(1)矢印に対応する数の間にはいくつかの法則があります。

  その1つは、1つの点に注目したとき、

  その点に入ってくる矢印に対応する数の和と、

  その点から出ていく矢印に対応する数の和は必ず等しくなることです。

  例えば図4で、点Cに入ってくる矢印B→C、A→Cに対応する数の和 3+16と、

  点Cから出ていく矢印C→D、C→Eに対応する数の和7+12は

  ともに19になります。

  この理由を表した文は、次の (い)、(ろ)のどちらですか?

(イ)1つの縦線と辺が重なっているすべての正方形について、

  その縦線の左側にある正方形の中の数の合計と

  右側にある正方形の中の数の合計が等しいから。

(ろ)1つの横線と辺が重なっているすべての正方形について、

  その横線の上側にある正方形の中の数の合計と

  下側にある正方形の中の数の合計が等しいから。


次に、図1とは別の、正方形で分割された長方形を考えます。

同じ手順にしたがってその長方形の分割を表す経路を作ると、

図5のようになりました。この図について、以下の問いに答えなさい。

Zu5_2

(2)空らんア~カ はそれぞれ矢印に対応する数を表しています。

  これらの空らんに当てはまる数を答えなさい。

(3)図5におけるもとの長方形の縦、横の長さを答えなさい。

(4)下のの長方形は(3)で縦、横の長さを求めたもとの長方形を表しています。

  この長方形に図5で表された正方形による分割をかきこみ、

  それぞれの正方形の中にその1辺の長さを表す数を書きなさい。

4301

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(1)縦線の左右で等しくなっているので、「い」

(2)図のように、CはAとBの和、FはDとEの差になっているので、

4303

ア=33-5=28

イ=7-5=2

エ=2+7=9

ウ=7+9=16

カ=9+16=25

オ=(33+28)-25=36

(3)縦=33+28=61cm

横=33+36=69cm

(4)
Kai

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2017年4月25日 (火)

つなげた図形の規則性は?(今年 2017年 芝中学)

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1辺が2cmの正方形を図のようにつなげて図形を作っていきます。

(1)印が108個ある図形のまわりの長さは何cmですか。

(2)図形の面積が1028㎠であるとき、印の数は何個ですか。

4251_3  

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(1)点の数と周りの辺の数が等しくなっています。

点の数が108個のとき、周りの辺の数も108なので、

その長さは、108×2=216cm

(2)小さい正方形は、1028÷4=257個あります。

右下の角の1個を除くと、たてと横の個数は等しくなり、

(257-1)÷2=128個

たてと横の辺の数は128+1=129個なので、

周りの辺の数=点の個数=129×4=516個

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2017年4月22日 (土)

いくつを表していますか?(今年 2017年 山手学院中学)

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次の図は、その右側の整数を表すこととします。

このとき、次の各問いに答えなさい。

4221

(1)次の図は、いくつを表していますか?

4222

(2)21を表す図を描いてください。

4223

(3)次の図が表す2つの数の和を表す図を描いてください。

4224

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3つごとに位が上がる3進法を表しているので、

4227

緑は3、

黄は3×3=9、

赤は3×3×3=27を表します。

(1)27+3+2=32

(2)9×2+3=21

4226

(3)31+11=42 なので、

4225

27+9+6=42


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2017年3月14日 (火)

A君は何周?、B君は何周?(今年 2017年 浅野中学)

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A君とB君は池の周りを次の規則に従って走ります。

1日目は、A君が1周、B君が1周します。

2日目は、A君が1周、B君が2周します。

3日目は、A君が2周、B君が1周します。

4日目は、A君が1周、B君が3周します。

5日目は、A君が2周、B君が2周します。

6日目は、A君が3周、B君が1周します。

7日目は、A君が1周、B君が4周します。

このとき、100日目は、A君は何周、B君は何周しますか?

720

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2人合わせて

2周が1日、

3周が2日、

4周が3日、

5周が4日、

100日目が含まれるのは、

1+2+3+4+・・・・・+14=105

105日目は2人合わせて、14+1=15周なので、

105日目は、A君が14周、B君が1周

100日目は、A君が14-5=9周、B君が1+5=6周

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2017年1月27日 (金)

ロボットはどう動く?(今年、2017年 京都市立西京高等学校附属中学)

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太郎さんのお父さんが「プログラム付きロボット」を

プレゼントに買って きてくれました。

この「プログラム付きロボット」は、

あらかじめ与えた条件 (プログラム)にしたがって、平面上を動きます。

また、プログラムとして、次の2つの条件を与えることができます。

<条件1> 次に進むマスへの方向

A: 進行方向に対して、まっすぐ進む。

B: 進行方向に対して、右へ120度曲がって進む。

C: 進行方向に対して、左へ120度曲がって進む。

<条件2 > 次のマスまで進むのにかかる時間

※ただし、<条件2>における時間は、1秒単位で与えるものとします。

《例》
プログラム <条件1>A一B一C  <条件2>5秒 で、

スタート地点に矢印の向きにおく。

このとき、ロボットは、スタート地点を出発 してから15秒後に

ゴール地点に着きます。

ま た、太線は15秒間の経路を表しています。

1271

(1) プログラム <条件1>AーCーBーB <条件2>1秒 で、

図のスタート地点に矢印の向きにおいたときの、

4秒間の経路と4秒後のゴール地点を

(例) にならって、解答用紙に書きな さい。

1272

(2)18秒後にスタート地点に初めて戻ってくるプログラムを作りました。

以下の空欄に入る記号または数字を答えなさい。

プログラム <条件1> Aー (   ) ー A ーBー (   )ー C  <条件2> (   )秒

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(1)

1273

(2)

1274

Aー(B)ーAーBー(B)ーC

3秒

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2017年1月 4日 (水)

何段、何列?(愛知淑徳中学 2014年) 

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Pic_4102a

上の表は、ある決まりに従って1から16までの整数を並べたものです。

同じ決まりに従って整数を並べていったとき、

次の問に答えなさい。

(1)2段の8列にある数はいくつですか。

(2)98は何段の何列にありますか。

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(1)こういった規則的な数の並びの場合、

まず、平方数(同じ数を2回かけた数)がどこにあるかを、考えてみます。

平方数は、下の表1の青い部分にあることがわかります。

    Pic_4103a

 4(2×2)は、2段の1列

 9(3×3)は、1段の3列

 16(4×4)は、4段の1列

 25(5×5)は、1段の5列

となっていて、

 偶数段の1列には、その数の平方数、

 1段の奇数列には、その数の平方数

があることがわかります。

 

2段の8列に近いのは、1段の8列ですが、偶数列なので、

1段の7列が、7×7=49 より、1段の8列は、50 で、

2段の8列にあるのは、51 と求められます。

 

(2)98に最も近い平方数は、10×10=100 で、

100が10段の1列にあり、そこから2個戻れば98なので、

98は、10段の3列にあります。

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2016年12月23日 (金)

うずまきの規則性は?(久留米大学附設中学 2010年) 

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1辺の長さが1cmの正六角形があって、

下の図のようにその周りをうず巻き状に正三角形でしきつめていきます。

Pic_1485q_2

正三角形①、②、③、④、⑤の1辺の長さは、

1cm、2cm、3cm、4cm、5cm です。

このとき、次の問に答えなさい。

 

(1)⑥、⑦、⑧、⑨、⑩、⑪、⑫の1辺の長さを求めなさい。

(2)何枚目かの正三角形をしきつめたところ、

    その正三角形の1辺の長さが200cmでした。

    しきつめた正三角形は何枚目ですか。

(3) (2)で求めた枚数の正三角形までしきつめたとき、

   それぞれの正三角形の1辺の長さの和、

     つまり、図の青線の長さを求めなさい。

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解答例

 (1)それぞれの正三角形の1辺の長さは、

①=1cm、②=2cm、③=3cm、④=4cm、⑤=5cm、

⑥=⑤+1+①=7cm

⑦=⑥+②=9cm

⑧=⑦+③=12cm

⑨=⑧+④=16cm

⑩=⑨+⑤=21cm

⑪=⑩+⑥=28cm

⑫=⑪+⑦=37cm

 

 (2)続けて調べ、200cmになるのが何枚目か調べます。

(1)より、正三角形の1辺の長さの求め方には、次のような

規則があることがわかります。

     Pic_1486a

このことを利用して、13枚目以降について、正三角形の

1辺の長さを調べていくと、

 ⑬=⑫+⑧=37+12=49cm

 ⑭=⑬+⑨=49+16=65cm

 ⑮=⑭+⑩=65+21=86cm

 ⑯=⑮+⑪=86+28=114cm

 ⑰=⑯+⑫=114+37=151cm

 ⑱=⑰+⑬=151+49=200cm

このように順次求めることができます。

 

よって、200cmの正三角形をしきつめるのは、18枚目

ということがわかります。

 

 (3)18枚目までの1辺の長さの和は、

1+2+3+4+5+7+9+12+16+21+28

 +37+49+65+86+114+151+200

810cm となります。

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