看板の方向と距離は？（筑波大学附属駒場中学 ２０１９年）

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０から２０４８までの数がひとつずつ書かれた、２０４９本の看板があります。 

これらの看板 [０]、 [１]、[２] ・・・・[２０４８] を、

この順で、東西にまっすぐのびる長さ１ｋｍの道路に、

１本ずつ立てる工事を行います。

まず、西の端に [０]、東の端に [１] の看板を立てます。

続いて、次のように工事１、工事２、工事３、・・・・工事１１を行います。

工事１： [０] と [１] の看板のちょうど中間地点に、[２] の看板を立てます。

工事２：工事１までで立てた看板のちょうど中間地点に、

西から順に [３]、[４] の看板を立てます。

工事３：工事２までで立てた看板のちょうど中間地点に、

西から順に [５]、.[６]、[７]、[８] の看板を立てます。

同じように、前の工事までで立てた看板のちょうど中間地点すべてに、

西から順に新しい看板を立てる工事を続け、

工事１１で [２０４８] の看板まで立てました。

このとき、[Ｏ]の看板と [２]の看板の間の距離は １/２ｋｍ、

[O]の看板と [３] の看板の間の距離は１/４ｋｍです。

（１）[０] の看板と [３１] の看板の間の距離は何ｋｍですか。

（２）[３１] の看板から東西どちらに何ｋｍ進めば、

    [２０１９] の看板に着きますか。方角と進んだ距離を答えなさい。

（３）この道路を[０]の看板から東へ進みながら、

   看板の個数を数えていきます。

   ちょうど、２０１９個目の看板にかかれた数は何ですか。

    ただし、[０]の看板を１個目と数えます。

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解法例

（１）

工事２で、２×２＋１＝５本

工事３で、２×２×２＋１＝９本

工事４で、２×２×２×２＋１＝１７本

工事５で、２×２×２×２×２＋１＝３３本

の看板が立つので、

このとき、[３１]の看板は東から４本目で、

[０]からの距離は、（３２－３）/３２＝２９/３２ｋｍ

（２）

工事５までで、[３１]の東側には３本の看板が立っています。

工事６→３×２＝６本

工事７→６×２＝１２本

工事８→１２×２＝２４本

工事９→２４×２＝４８本

工事１０→４８×２＝９６本

工事１１→９６×２＝１９２本

[２０１９]の看板は、東から数えて、

（２０４８－２０１９）×２＋１＝５９本目

[３１]から１９２－５９＝１３３の距離があるので、

[３１]から東に１３３/２０４８ｋｍ

（３）

[２０１９]は東から数えて、

２０４９－２０１９＋１＝３１番目です。

[２０１９]の東側には３０本の看板が立っています。

看板は工事ごとに２倍－１本ずつ増えるので、

工事６から考えると、

２×２×２×２×２＝３２より

[６４]から東側を調べると、

工事６

６４　　　１

工事７

６４　１２８　１

工事８

６４　２５５　１２８　２５６　１

工事９

６４　５０９　２５５　５１０　１２８　５１１　２５６　５１２　１

工事１０

６４〇５０９〇２５５〇５１０〇１２８〇５１１〇２５６〇５１２〇１

一番右の〇＝１０２４

工事１１

６４×〇×５０９×〇×２５５×〇×５１０×〇×１２８×〇×５１１×〇×２５６×〇×５１２×〇×１

一番右の×＝２０４８

右から３１番目は６４の次の〇になるので、

１０２４－７＝１０１７

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看板の方向と距離は？（今年 ２０１９年 筑波大学附属駒場中学）

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０から２０４８までの数がひとつずつ書かれた、２０４９本の看板があります。

これらの看板 [０]、 [１]、[２] ・・・・[２０４８] を、

この順で、東西にまっすぐのびる長さ１ｋｍの道路に、

１本ずつ立てる工事を行います。

まず、西の端に [０]、東の端に [１] の看板を立てます。

続いて、次のように工事１、工事２、工事３、・・・・工事１１を行います。

工事１： [０] と [１] の看板のちょうど中間地点に、[２] の看板を立てます。

工事２：工事１までで立てた看板のちょうど中間地点に、

西から順に [３]、[４] の看板を立てます。

工事３：工事２までで立てた看板のちょうど中間地点に、

西から順に [５]、.[６]、[７]、[８] の看板を立てます。

同じように、前の工事までで立てた看板のちょうど中間地点すべてに、

西から順に新しい看板を立てる工事を続け、

工事１１で [２０４８] の看板まで立てました。

このとき、[Ｏ]の看板と [２]の看板の間の距離は １/２ｋｍ、

[O]の看板と [３] の看板の間の距離は１/４ｋｍです。

（１）[０] の看板と [３１] の看板の間の距離は何ｋｍですか。

（２）[３１] の看板から東西どちらに何ｋｍ進めば、

    [２０１９] の看板に着きますか。方角と進んだ距離を答えなさい。

（３）この道路を[０]の看板から東へ進みながら、

   看板の個数を数えていきます。

.   ちょうど、２０１９個目の看板にかかれた数は何ですか。

    ただし、[０]の看板を１個目と数えます。

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解法例

（１）

工事２で、２×２＋１＝５本

工事３で、２×２×２＋１＝９本

工事４で、２×２×２×２＋１＝１７本

工事５で、２×２×２×２×２＋１＝３３本

の看板が立つので、

このとき、[３１]の看板は東から４本目で、

[０]からの距離は、（３２－３）/３２＝２９/３２ｋｍ

（２）

工事５までで、[３１]の東側には３本の看板が立っています。

工事６→３×２＝６本

工事７→６×２＝１２本

工事８→１２×２＝２４本

工事９→２４×２＝４８本

工事１０→４８×２＝９６本

工事１１→９６×２＝１９２本

[２０１９]の看板は、東から数えて、

（２０４８－２０１９）×２＋１＝５９本目

[３１]から１９２－５９＝１３３の距離があるので、

[３１]から東に１３３/２０４８ｋｍ

（３）

[２０１９]は東から数えて、

２０４９－２０１９＋１＝３１番目です。

[２０１９]の東側には３０本の看板が立っています。

看板は工事ごとに２倍－１本ずつ増えるので、

工事６から考えると、

２×２×２×２×２＝３２より

[６４]から東側を調べると、

工事６

６４　　　１

工事７

６４　１２８　１

工事８

６４　２５５　１２８　２５６　１

工事９

６４　５０９　２５５　５１０　１２８　５１１　２５６　５１２　１

工事１０

６４〇５０９〇２５５〇５１０〇１２８〇５１１〇２５６〇５１２〇１

一番右の〇＝１０２４

工事１１

６４×〇×５０９×〇×２５５×〇×５１０×〇×１２８×〇×５１１×〇×２５６×〇×５１２×〇×１

一番右の×＝２０４８

右から３１番目は６４の次の〇になるので、

１０２４－７＝１０１７

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使うタイルは何枚？（今年 ２０１８年 慶應義塾中等部）

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同じ大きさの正三角形のタイルが １４０ 枚あります。

このタイルをすき間なく並べて、正三角形また は正六角形をつくります。

[図1]、[図2] はそれぞれ４枚、６枚のタイルを使ってつくった例です。

（１）できるだけ大きな正三角形をつくるとき、タイルは全部で何枚使いますか。

（２）できるだけ多くのタイルを使って、正三角形と正六角形を１つずつつくるとき、

　　正三角形を つくるのに使うタイルは何枚ですか？

　　正六角形をつくるのに使うタイルは何枚ですか？

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（１）

正三角形は１辺が１つ大きくなるごとに、

１、３、５、７、９・・・・枚ずつタイルが増えていきます。

使うタイルは、

１＋３＋５＋７＋９＋・・・・　と増えていくので、

１辺が１のとき使うタイルは、

２×１÷２＝１枚

１辺が２のとき、

４×２÷２＝４

１辺が３のとき、

６×３÷２＝９枚

・・・・・

２×１÷２＝２×１×１÷２＝１×１

４×２÷２＝２×２×２÷２＝２×２

６×３÷２＝２×３×３÷２＝３×３

・・・・・

１辺が１２では

１２×１２＝１４４　より、１４０枚を超えてしまうので、

１辺は最大で１１になり、

タイルは、１１×１１＝１２１枚使います。

（２）

正六角形では１辺が１のとき、

１×６枚

１辺が２のとき

３×６＝１８枚増え、

１辺が３のとき、

５×６＝３０枚増え

１辺が４のとき、

７×６＝４２枚

１辺が５のとき、

９×６＝５４枚増えるので、

６＋１８＋３０＋４２＋５４＝１５０枚　より１４０枚を超えてしまうので、

６枚、２４枚、５４枚、９６枚の４つの場合だけ考えます。

残る枚数は、

６枚→１４０－６＝１３４枚・・・・・①

２４枚→１４０－２４＝１１６枚・・・・・②

５４枚→１４０－５４＝８６枚・・・・・③

９６枚→１４０－９６＝４４枚・・・・・④

正三角形を作るには、（１辺×１辺）の枚数が必要なので、

使わない枚数は、

①→１３４－（１１×１１）＝１３枚

②→１１６－（１０×１０）＝１６枚

③→８６－（９×９）＝５枚

④→４４－（６×６）＝８枚

したがって、一番タイルを多く使うのは③の場合で、

正三角形に８１枚、正六角形に５４枚です。

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○×○×○×はいくつ？（今年 ２０１８年 自修館中学）

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次のカンタロウ君とシュウ子さんの会話を読んで、各問いに答えなさい。

カンタロウ「○と×だけを使って数字を表す暗号を作ったんだ。」 ①

シュウ子「どんな暗号なの？」

カンタロウ「×が０、○が１、○×が２、○○が３、○××が４、・・・

             という記号を使った暗号だよ。」

シュウ子「なるほど、規則性がわかったかもしれないわ。

           　５は（ア）じゃない?」

カンタロウ「おっ、正解。じゃあ、１３ はどうなるでしょう？」

シュウ子「全部○になった次の数字は記号が増えるから・・・、（イ）ね。」

カンタロウ「これまた正解。この暗号は解読できてしまったみたいだね。」

シュウ子「じゃあ、私が○と×に◎を加えて

            　新たな数字を表す暗号を作るわ。」

カンタロウ「どうなるの？」

シュウ子「×が０、○が１、◎が２、○×が３、○○が４、○◎が５、

 ◎×が６、◎○が７、◎◎が８、○××が９、・・・よ。

           さて、このとき ２９ はどうなるでしょう。 」

カンタロウ「ちょっといきなり難しいなあ。えーっと・・・、（ウ）でどうかな？」

シュウ子「さすが、正解よ。ちなみに、

           私の誕生日は西暦◎◎×◎×◎○年◎月◎◎○日な の。」 ②

カンタロウ「これは解読するのに時間がかかるな。」

（１）（ア）と（イ）に当てはまる記号をそれぞれ答えなさい。

（２）下線部①において、○×○×○×は

    　どんな数を表しているか答えなさい。

（３）（ウ）に当てはまる記号を答えなさい。

（４）下線部②において、シュウ子さんの誕生日はいつか答えなさい。

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（１）

ア➡〇×〇

イ➡〇〇×〇

（２）

２が〇×

４が〇××

８が〇×××

１６が〇××××

３２が〇×××××

なので、

〇×〇×〇×＝〇×××××＋〇×××＋〇×　より、

３２＋８＋２＝４２

（３）

３が〇×

９が〇××

２７が〇×××

なので、

２９＝２７＋２より、

〇×××＋◎＝〇××◎

（４）

２１８７＝３×３×３×３×３×３×３＝〇×××××××

より、

２１８６＝◎◎◎◎◎◎◎

◎◎×××××＝２１８６－２４２（◎◎◎◎◎）＝１９４４

◎◎×◎◎◎◎＝１９４４＋８０（◎◎◎◎）＝２０２４

◎◎×◎×××＝２０２４－２６（◎◎◎）＝１９９８

◎◎×◎×◎〇＝１９９８＋７（◎〇）＝２００５

２００５年２月２５日

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何個の○をぬることができますか？ （今年 ２０１８年 城北中学）

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５０個の○が円形に並んでいます。

図のように、まず１つの○に色をぬり、

次にその●から時計回りに６個進んで止まり、そこにある○をぬります。

さらにその●から 時計回りに６個進んで止まり、

そこにある○をぬり、以下同じ作業を くり返していきます。

すでに色がぬられた●に止まったときに終了とするとき、

何個の○をぬることができますか？

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1周目は、５０÷６＝８あまり２より、

８＋１＝９個の〇に色をぬることができます。

２周目は、図の０をのぞく●の２つ手前の８個の〇（黄）に

色をぬることができます。

３周目は●の４つ手前の〇（赤）８個に色をぬることができ、

最後に０の●に止まり終了します。

したがって、色をぬることができた〇は

９＋８×２＝２５個です。

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タイルの並べ方の規則性（桜蔭中学 2007年）

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Ａ、Ｂ２種類のタイルがあります。このタイルを図のように並べます。

（１）５周まで並べたとき、タイルＡ，タイルＢはそれぞれ何枚あるか求めなさい。

「順番に考えてみようね」

「Aは１→２周が１枚、３→４周が９枚、これって５周は１辺が５枚になるから２５枚じゃないかな？」

「そう、奇数周目のところで周数×周数の数になって次の偶数では変わらない」

「逆にBは偶数周目で周数×周数になって、奇数周では変わらない」

５周目には、タイルＡの数＝５×５＝２５枚

　　　　　　　　タイルＢの数＝４×４＝１６枚

（２）Ａ，Ｂがそれぞれ９０枚ずつあります。

　できるだけ多くのタイルを使って図のように並べると、

　何周まで並べることができますか。

　また、そのとき余るタイルはそれぞれ何枚ですか。

「９０枚以内で○×○になる最大の数をみつければいいね」

「Aは○が奇数だから、９×９、Bは偶数だから８×８だ」

「それぞれ９０から引いて余りは・・・」

タイルＡ→　９０－８１＝９枚

タイルＢ→　９０－６４＝２６枚

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（３） ２５周までタイルＡ，Ｂを並べました。

　このとき、下図のように４枚のタイルに囲まれている部分に

　タイルＣを入れていきます。必要なタイルＣは何枚ですか。

「また新しい規則性だ」

「どんな規則性？」

「４、８、１２、１６・・・・・

４枚ずつ多くなっていくな」

「２５周目では何枚？」

「３周目→４×１枚、４周目→４×２枚、５周目→４×３枚・・・だから、

２５周目は４×（２５－２）＝９２枚」

「４＋８＋１２＋・・・＋９２は？」

「ガウス算だ」

（４＋９２）×２３÷２＝１１０４枚

（４）タイルＡとタイルＢが同じ枚数あります。

　できるだけ多くのタイルを使って並べていったところ、

　タイルＡの余りが４５枚、タイルＢの余りが１４枚でした。

　最初にあったタイルＡは何枚ですか。

「図にしてみたら？」

「BとAの差は３１枚？」

「Bは偶数の○×○、Aは奇数の□×□」

「○×○－□×□が３１で○－□が１の○と□を見つけるんだ」

１６×１６－１５×１５＝２５６－２２５＝３１

「１６周目まで並べたわけだね」

２２５＋４５＝２７０

「パズルみたいな問題だな」

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数並びの規則性は？（暁星中学 ２０１７年）

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2, 0, 1, 7, 2, 2, 0, 0, 1, 1, 7, 7, 2, 2, 2, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 7, 7, 7, . . . . . .



このように、２、０、１、７の数がそれぞ れ１つずつ増えながら、

並んでいる数の列があります。

このとき、３番目の数は１で、７番目の数は０です。

次の問い に答えなさい。

（１）３０番目の数は何ですか。

（２）１番目の数から６番目までの数を全部足すと、１４になります。

  では、１番目から何番目の数を全部足すと、５５０に なりますか。

（３）２０１７番目の数は何ですか。

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（１）

１番目のブロック（２０１７）は４個×１＝４個

２番目のブロック（２２００１１７７）は４個×２＝８個

３番目のブロック（２２２０００１１１７７７）は４個×３＝１２個

・・・・・・

ここまでで、４＋８＋１２＝２４個なので、

３０番目は４番目のブロックの６番目で、

（２２２２００００１１１１７７７７）

０です。

（２）

１番目のブロック（２０１７）を全部足すと、

２＋０＋１＋７＝１０

２番目のブロックは、１０×２＝２０

３番目のブロックは、１０×３＝３０

・・・・・

１０×（１＋２＋３＋・・・・・＋N）＝５５０　

となるNは１０なので、

１０ブロックの最後の数７は初めから数えて、

４＋８＋・・・・＋４０＝４４×１０÷２＝２２０番目です。

（３）

４×（１＋２＋３＋・・・・・＋N）　が２０１７に近くなるNを考えます。

２０１７÷４＝５０４．・・・・　なので、

１＋２＋３＋・・・・N　が５０４近くになるのは、

３２×３１÷２＝４９６　で、

N＝３１　とすると、

３１ブロックまでで、

４×４９６＝１９８４個、数が並びます。

３２ブロック目は、２が３２個並んだ後０が３２個並ぶので、

２２・・・・・←（３２個）→・・・・・２２０００００・・・・・

２０１７－１９８４＝３３個なので、

０です。

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円周形の周り の長さは？（２０１７年 函館ラ・サール中学）

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下の図１、図２のように、半径１ｃｍの円を

となり同士がたがいに接するように並べます。

(どの円も接する円は２個とします。)

このとき、各円の円周で囲まれた部分を「円周形」と呼ぶことにします。

例えば、図１の色部分は円を４個並べたときの円周形

図２の色部分は円を８個並べたときの円周形です。

次の問いに答えなさい。ただし、円周率は３．１４とします。

（１）図１の円周形の周りの長さは何ｃｍですか。

（２）円を６個並べたときの円周形の周りの長さは何ｃｍですか。

（３）円を１００個並べたときの円周形の周りの長さは何ｃｍですか。

（４）円周形の周りの長さが３１４ｃｍになるのは、

　　　円をいくつ並べたときですか。

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（１）円の中心を結ぶと、正方形になります。

円周形の周りの長さは、正方形の内側部分なので、

１×２×３．１４×１/４×４＝６．２８ｃｍ

（２）円が５つなら正五角形の内側、

円が６つなら正六角形の内側、

７つなら正七角形の内側、

８つなら正八角形の内側部分になります。

内角の和は正方形から１つ角数が増えるごとに１８０°増えるので、

円の個数をNとすると、

円周形の周りの長さは下の式で表せます。

N＝６なら、

（３６０＋３６０）÷３６０×６．２８＝１２．５６ｃｍ

（３）N＝１００なら

（３６０＋１８０×９６）÷３６０×６．２８

＝３６０×４９÷３６０×６．２８

＝４９×６．２８

＝３０７．７２ｃｍ

（４）｛３６０＋１８０×（N－４）｝÷３６０＝５０

１８０×（N－４）＝３６０×４９

N－４＝９８

N＝１０２個

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白、黒、星のどれですか？（今年 ２０１７年 大宮開成中学）

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図のように、白と黒と星の記号がある規則で並んでいます。

〇●☆●●〇〇●☆●●〇〇●☆●●〇〇●☆●●〇・・・・・



（１）２０１７番目は白、黒、星のどれですか？

（２）２００番目の黒は、全体の何番目ですか？

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（１）最初の〇●を除くと、次からは、

☆●●〇〇●の６個の繰り返しになります。

（２０１７－２）÷６＝３３５　あまり５　なので、

〇●の後、☆●●〇〇●が３３５ブロック続いた最後の●は２０１２番目、

２０１７番目はそこから５つ目なので、

☆●●〇〇←白になります。●

（２）最初の〇●←黒１個なので、残り１９９個

☆●●〇〇●の中に黒は３個入っているので、

１９９÷３＝６６　あまり１　より、

☆●●〇〇●が６６ブロック続いたあとの、その次の黒が２００番目です。

〇●＋☆●●〇〇●×６６＝３９８個

したがって、☆●←この黒は４００番目になります。●〇〇●

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正三角形は何個並んでいますか？（今年 ２０１７年 中央大学附属横浜中学）

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下の図のように、１辺が７ｃｍの正三角形を一直線上に

２ｃｍずつ重なるように並べます。

図形の周の長さが１４１ｃmのとき、

正三角形は何個並んでいますか？

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１個では２１ｃｍ

２個では、（２１＋１５×１）ｃｍ

３個では、（２１＋１５×２）ｃｍ

４個では、（２１＋１５×３）ｃｍ

・・・・

（１４１－２１）÷１５＝８　より、

８＋１＝９個　並んだときです。

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