目次

規則性

2017年11月22日 (水)

タイルの並べ方の規則性(桜蔭中学 2007年)

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A、B2種類のタイルがあります。このタイルを図のように並べます。

Pic_0331

(1)5周まで並べたとき、タイルA,タイルBはそれぞれ何枚あるか求めなさい。

「順番に考えてみようね」

「Aは1→2周が1枚、3→4周が9枚、これって5周は1辺が5枚になるから25枚じゃないかな?」

「そう、奇数周目のところで周数×周数の数になって次の偶数では変わらない」

「逆にBは偶数周目で周数×周数になって、奇数周では変わらない」

5周目には、タイルAの数=5×5=25枚

        タイルBの数=4×4=16枚

(2)A,Bがそれぞれ90枚ずつあります。

 できるだけ多くのタイルを使って図のように並べると、

 何周まで並べることができますか。

 また、そのとき余るタイルはそれぞれ何枚ですか。

「90枚以内で○×○になる最大の数をみつければいいね」

「Aは○が奇数だから、9×9、Bは偶数だから8×8だ」

「それぞれ90から引いて余りは・・・」

タイルA→ 90-81=9枚

タイルB→ 90-64=26枚

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(3) 25周までタイルA,Bを並べました。

 このとき、下図のように4枚のタイルに囲まれている部分に

 タイルCを入れていきます。必要なタイルCは何枚ですか。

Pic_0332

「また新しい規則性だ」

「どんな規則性?」

Kisoku014

「4、8、12、16・・・・・

4枚ずつ多くなっていくな」

「25周目では何枚?」

「3周目→4×1枚、4周目→4×2枚、5周目→4×3枚・・・だから、

25周目は4×(25-2)=92枚」

「4+8+12+・・・+92は?」

「ガウス算だ」

(4+92)×23÷2=1104枚

(4)タイルAとタイルBが同じ枚数あります。

 できるだけ多くのタイルを使って並べていったところ、

 タイルAの余りが45枚、タイルBの余りが14枚でした。

 最初にあったタイルAは何枚ですか。

「図にしてみたら?」

Pic_0333_2

「BとAの差は31枚?」

「Bは偶数の○×○、Aは奇数の□×□」

「○×○-□×□が31で○-□が1の○と□を見つけるんだ」

16×16-15×15=256-225=31

「16周目まで並べたわけだね」

225+45=270

「パズルみたいな問題だな」

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2017年11月12日 (日)

数並びの規則性は?(暁星中学 2017年)

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2, 0, 1, 7, 2, 2, 0, 0, 1, 1, 7, 7, 2, 2, 2, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 7, 7, 7, . . . . . .

141


このように、2、0、1、7の数がそれぞ れ1つずつ増えながら、

並んでいる数の列があります。

このとき、3番目の数は1で、7番目の数は0です。

次の問い に答えなさい。

(1)30番目の数は何ですか。

(2)1番目の数から6番目までの数を全部足すと、14になります。

  では、1番目から何番目の数を全部足すと、550に なりますか。

(3)2017番目の数は何ですか。

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(1)

1番目のブロック(2017)は4個×1=4個

2番目のブロック(22001177)は4個×2=8個

3番目のブロック(222000111777)は4個×3=12個

・・・・・・

ここまでで、4+8+12=24個なので、

30番目は4番目のブロックの6番目で、

(222200011117777)

0です。

(2)

1番目のブロック(2017)を全部足すと、

2+0+1+7=10

2番目のブロックは、10×2=20

3番目のブロックは、10×3=30

・・・・・

10×(1+2+3+・・・・・+N)=550 

となるNは10なので、

10ブロックの最後の数7は初めから数えて、

4+8+・・・・+40=44×10÷2=220番目です。

(3)

4×(1+2+3+・・・・・+N) が2017に近くなるNを考えます。

2017÷4=504.・・・・ なので、

1+2+3+・・・・N が504近くになるのは、

32×31÷2=496 で、

N=31 とすると、

31ブロックまでで、

4×496=1984個、数が並びます。

32ブロック目は、2が32個並んだ後0が32個並ぶので、

22・・・・・←(32個)→・・・・・2200000・・・・・

2017-1984=33個なので、

0です。

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2017年10月14日 (土)

円周形の周り の長さは?(2017年 函館ラ・サール中学)

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下の図1、図2のように、半径1cmの円を

となり同士がたがいに接するように並べます。

(どの円も接する円は2個とします。)

このとき、各円の円周で囲まれた部分を「円周形」と呼ぶことにします。

例えば、図1の色部分は円を4個並べたときの円周形

図2の色部分は円を8個並べたときの円周形です。

次の問いに答えなさい。ただし、円周率は3.14とします。

10141

(1)図1の円周形の周りの長さは何cmですか。

(2)円を6個並べたときの円周形の周りの長さは何cmですか。

(3)円を100個並べたときの円周形の周りの長さは何cmですか。

(4)円周形の周りの長さが314cmになるのは、

   円をいくつ並べたときですか。

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(1)円の中心を結ぶと、正方形になります。

Bandicam_20171014_085244367

円周形の周りの長さは、正方形の内側部分なので、

1×2×3.14×1/4×4=6.28cm

(2)円が5つなら正五角形の内側、

円が6つなら正六角形の内側、

7つなら正七角形の内側、

8つなら正八角形の内側部分になります。

Bandicam_20171014_085229829

内角の和は正方形から1つ角数が増えるごとに180°増えるので、

円の個数をNとすると、

円周形の周りの長さは下の式で表せます。

10142

N=6なら、

(360+360)÷360×6.28=12.56cm

(3)N=100なら

(360+180×96)÷360×6.28

=360×49÷360×6.28

=49×6.28

=307.72cm

(4){360+180×(N-4)}÷360=50

180×(N-4)=360×49

N-4=98

N=102個

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2017年7月 1日 (土)

白、黒、星のどれですか?(今年 2017年 大宮開成中学)

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図のように、白と黒と星の記号がある規則で並んでいます。


〇●☆●●〇〇●☆●●〇〇●☆●●〇〇●☆●●〇・・・・・

Apf0107s_2


(1)2017番目は白、黒、星のどれですか?

(2)200番目の黒は、全体の何番目ですか?

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(1)最初の〇●を除くと、次からは、

☆●●〇〇●の6個の繰り返しになります。

(2017-2)÷6=335 あまり5 なので、

〇●の後、☆●●〇〇●が335ブロック続いた最後の●は2012番目、

2017番目はそこから5つ目なので、

☆●●〇〇←白になります。

(2)最初の〇●←黒1個なので、残り199個

☆●●〇〇●の中に黒は3個入っているので、

199÷3=66 あまり1 より、

☆●●〇〇●が66ブロック続いたあとの、その次の黒が200番目です。

〇●+☆●●〇〇●×66=398個

したがって、●←この黒は400番目になります。●〇〇●

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2017年6月10日 (土)

正三角形は何個並んでいますか?(今年 2017年 中央大学附属横浜中学)

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下の図のように、1辺が7cmの正三角形を一直線上に

2cmずつ重なるように並べます。

図形の周の長さが141cmのとき、

正三角形は何個並んでいますか?

6101

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1個では21cm

2個では、(21+15×1)cm

3個では、(21+15×2)cm

4個では、(21+15×3)cm

・・・・

(141-21)÷15=8 より、

8+1=9個 並んだときです。




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2017年5月27日 (土)

数並びの規則性は?(今年 2017年 筑波大学附属駒場中学)

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図のように、同じ大きさの正三角形をしきつめて、

それぞれの三角形に規則的に1、2、3、4、...と数を書きこみます。

例えば、5は3段目の左から2番目の三角形に書かれています。

また、4段目の左から5番目の三角形に書かれている数は15です。

Bandicam_20170527_083754892

次の問いに答えなさい。

(1) 10段目の一番左にある三角形に書かれている数を答えなさい。

(2) 2017が書かれている三角形は、

  何段目の左から何番目の三角形ですか。

(3) しきつめられた図形の一部で、

  6個の正三角形からなる正六角 形に注目し、

  その中の6つの数のうち最も大きい数と、6つの数 の和を考えます。

  例えば、下図の太線で囲まれた正六角形において、

  6つの数のうち最も大きい数は15であり、6つの数の和は61です。

  6つの数の和が610であるとき、6つの数の中で最も大きい数を答えなさい。

Bandicam_20170527_083807014 

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右端の数は段数の平方数

左端の数は、段数×(段数-1)+1 になっています。

したがって、

(1)10×(10-1)+1=91

(2)45×45=2025 なので、

45段目を左端から調べていきます。

左端は、45×44+1=1981

2017-1981=36 なので、

△は37個、▽は36こあり、

45段目の、左から、37+36=73番目です。

(3)六角形の和は左端の数×6や

右端の平方数×6よりやや大きくなっています。

このことから見当をつけると、

10~11段目の六角形に和が610になるものがありそうです。

5271

10段目の左端の数は、10×9+1=91

これを含む六角形の和は、580

六角形を右に1つずらすと

その和が6増える規則性があることを発見するのがポイントです。

(610-580)÷6=5 なので、

右に5つずらすと、最大の数は、112+5=117になります。


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2017年4月30日 (日)

この図形の規則性は?(今年 2017年 開成中学)

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図1は、正方形で分割された長方形です。

ただし、正方形の中の数は

その正方形の1辺 の長さ (単位は cm) を表しています。

Bandicam_20170430_090833425

この分割された長方形から、以下のような手順にしたがって、

点を矢印つきの線 (以下では、この線を「矢印」ということにします)で

結んだ図形 (図4)を作り ます。

最後にできたこの図形 (図4) を

「長方形の分割を表す経路」ということにします。

【「長方形の分割を表す経路」を作る手順】

①図1のそれぞれの縦線の真ん中に点をとり、

  図2のように左にある点から順にA、B、C、・・・ と名前をつけます。

Zu2

②各正方形について、左の辺を含む縦線の真ん中の点から

  右の辺を含む縦線の真ん中の点へ向かう矢印をかき、

  その近くにその正方形の中の数を移します。(図3)
Zu3

③もとの長方形、正方形の辺の線をすべて消します。(図4)
Zu4

  矢印の近くに記入した数を「矢印に対応する数」ということにします。

(1)矢印に対応する数の間にはいくつかの法則があります。

  その1つは、1つの点に注目したとき、

  その点に入ってくる矢印に対応する数の和と、

  その点から出ていく矢印に対応する数の和は必ず等しくなることです。

  例えば図4で、点Cに入ってくる矢印B→C、A→Cに対応する数の和 3+16と、

  点Cから出ていく矢印C→D、C→Eに対応する数の和7+12は

  ともに19になります。

  この理由を表した文は、次の (い)、(ろ)のどちらですか?

(イ)1つの縦線と辺が重なっているすべての正方形について、

  その縦線の左側にある正方形の中の数の合計と

  右側にある正方形の中の数の合計が等しいから。

(ろ)1つの横線と辺が重なっているすべての正方形について、

  その横線の上側にある正方形の中の数の合計と

  下側にある正方形の中の数の合計が等しいから。


次に、図1とは別の、正方形で分割された長方形を考えます。

同じ手順にしたがってその長方形の分割を表す経路を作ると、

図5のようになりました。この図について、以下の問いに答えなさい。

Zu5_2

(2)空らんア~カ はそれぞれ矢印に対応する数を表しています。

  これらの空らんに当てはまる数を答えなさい。

(3)図5におけるもとの長方形の縦、横の長さを答えなさい。

(4)下のの長方形は(3)で縦、横の長さを求めたもとの長方形を表しています。

  この長方形に図5で表された正方形による分割をかきこみ、

  それぞれの正方形の中にその1辺の長さを表す数を書きなさい。

4301

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(1)縦線の左右で等しくなっているので、「い」

(2)図のように、CはAとBの和、FはDとEの差になっているので、

4303

ア=33-5=28

イ=7-5=2

エ=2+7=9

ウ=7+9=16

カ=9+16=25

オ=(33+28)-25=36

(3)縦=33+28=61cm

横=33+36=69cm

(4)
Kai

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2017年4月25日 (火)

つなげた図形の規則性は?(今年 2017年 芝中学)

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1辺が2cmの正方形を図のようにつなげて図形を作っていきます。

(1)印が108個ある図形のまわりの長さは何cmですか。

(2)図形の面積が1028㎠であるとき、印の数は何個ですか。

4251_3  

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(1)点の数と周りの辺の数が等しくなっています。

点の数が108個のとき、周りの辺の数も108なので、

その長さは、108×2=216cm

(2)小さい正方形は、1028÷4=257個あります。

右下の角の1個を除くと、たてと横の個数は等しくなり、

(257-1)÷2=128個

たてと横の辺の数は128+1=129個なので、

周りの辺の数=点の個数=129×4=516個

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2017年4月22日 (土)

いくつを表していますか?(今年 2017年 山手学院中学)

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次の図は、その右側の整数を表すこととします。

このとき、次の各問いに答えなさい。

4221

(1)次の図は、いくつを表していますか?

4222

(2)21を表す図を描いてください。

4223

(3)次の図が表す2つの数の和を表す図を描いてください。

4224

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3つごとに位が上がる3進法を表しているので、

4227

緑は3、

黄は3×3=9、

赤は3×3×3=27を表します。

(1)27+3+2=32

(2)9×2+3=21

4226

(3)31+11=42 なので、

4225

27+9+6=42


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2017年3月14日 (火)

A君は何周?、B君は何周?(今年 2017年 浅野中学)

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A君とB君は池の周りを次の規則に従って走ります。

1日目は、A君が1周、B君が1周します。

2日目は、A君が1周、B君が2周します。

3日目は、A君が2周、B君が1周します。

4日目は、A君が1周、B君が3周します。

5日目は、A君が2周、B君が2周します。

6日目は、A君が3周、B君が1周します。

7日目は、A君が1周、B君が4周します。

このとき、100日目は、A君は何周、B君は何周しますか?

720

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2人合わせて

2周が1日、

3周が2日、

4周が3日、

5周が4日、

100日目が含まれるのは、

1+2+3+4+・・・・・+14=105

105日目は2人合わせて、14+1=15周なので、

105日目は、A君が14周、B君が1周

100日目は、A君が14-5=9周、B君が1+5=6周

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2017年12月
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不思議な休憩室