目次

数列

2015年10月 7日 (水)

並び方にどんな規則が?(2015年 大妻多摩中学)

大妻多摩中学のホームページには、2011年以降の入試問題と解答が掲載されています。その中から2015年に出題された、規則性を考えさせる、ちょっとユニークな問題をご紹介しましょう。

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次のように,500以下の整数のうち,3の倍数を除いたものが並んでいます。

1,2,4,5,7,8,10,11,13,14,・・・・・・,500

このとき,次の問いに答えなさい。

(1) 小さい方から数えて55番目の数はいくつですか。

(2) 並んでいるすべての数の和はいくつですか。

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(1)

1と2、4と5、7と8、・・・・・のように、

3の倍数で区切った、(奇数 偶数)の2つの数をブロックとして考えます。

2つの数の和を数列としてみると、

3、9、15、21、27、・・・・ のように6ずつ増えていきます。

1ブロックを3、2ブロックを9、3ブロックを15・・・とすると、

(Nブロック×6-3)でその和がわかります。

1番目→1、2番目→2、2番目÷2=1ブロック

3番目→4、4番目→5、4番目÷2=2ブロック

5番目→7、6番目→8、6番目÷2=3ブロック

となっているので、

55番目と56番目は、56番目÷2=28ブロック です。

したがって、その和は、28×6-3=165

55番目の数は、(165-1)÷2=82 になります。

(2)

500の前の3の倍数は、498なので、

最後のブロックは、499、500 です。

最初の1と最後の500の和は501、

2番目の2と最後の1つ前の499の和も501、

・・・・・・

となるので、501がいくつできるか考えます。

3の倍数は、500÷3=166あまり2 なので、166個

並んでいる数の個数は、500-166=334個

501は、334÷2=167個できるので、

すべての数の和は、501×167=83667 です。

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2015年1月17日 (土)

200番目の数はいくつ?(第8回ジュニア算数オリンピック、トライアル問題より)

2004年のジュニア算数オリンピックは第8回目になります。

下の数列は、3番目以降がすべて直前の2つの数の差になっています。

200番目の数はいくつになりますか?

8、2004、1996、8、1988、1980、8、・・・・・・

Hpsb1301cs

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①1,4,7,・・・番目はすべて8,

②2,5,8,・・・番目は2004,1988,1972,…と16ずつ減っていき,

③3,6,9,・・・番目も1996,1980,1964,…と、

やはり16ずつ減っていきます。

200÷3=66あまり2より,200番目は②のグループの

66+1=67番目とわかるので,

2004 - 16 ×(67-1)=948 となります。

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2014年8月17日 (日)

どんな規則?(早稲田実業中等部 2008年)

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ある規則にしたがって次のように数が並んでいます。

 1段目 1
 2段目 3 5
 3段目 7 9 11
 4段目 13 15 17 19
 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・
 ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・


ある段に並んでいるすべての数をたしたら,3375になりました。

その段は何段目ですか。

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Capture_2014_08_17_07_16_05_661

Capture_2014_08_17_07_16_15_628

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2014年7月11日 (金)

タイル並べの規則性問題(大妻中学 2013年)

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下の図のように、白、赤、青のタイルを

1行目は 白1枚

2行目は 左から白、赤、青の3枚

3行目は 左から白、赤、青、白、赤の5枚

というように、白、赤、青の順番に並べていきます。

Pic_3923q

このとき、次の問に答えなさい。

(1)10行目の1番右のタイルは何色ですか。

(2)1行目から14行目までタイルを並べたとき、青色のタイルは全部で何枚ありますか。

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(1)一番右のタイルは、白→青→赤→白→青→赤→ ・・・となっているので、

10行目の一番右のタイルは、です。

(2)下の図1のように 5行目を加え、

Pic_3924a

【白】を数えてみると、1行目から、1、1,2、3,3,4,5,5,6・・・

となることに気付きます。

【青】も2行目から同様に並びます。

14行目の一番右のタイルは青色で、

 1+1+2+3+3+4+・・・+8+9

=4+10+16+22+9

61枚

のタイルがあることになります。

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2014年5月24日 (土)

数列の規則

Mspe0106cs_2

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Suretu_4 

ある規則にしたがって数がならんでいます。

はじめから数えて100番目の数はいくつですか?

「できたけど、解答とやり方が違ってる」

「解答では差を並べた数列を作ってるね」

Suretu2

「差が3ずつ増えていくんだろ」

「そう、そしてそれを99個並べる」

Suretu3

「差の3が98個あるから、それに2をたせばいいのか」

3×98+2=296

「これが2番目の数列の99番目の数」

「そうか、あとはガウス算」

(2+296)×99個÷2=14751

「最初の1を忘れないで」

「答え14752、こっちの方が簡単だった」

「簡単だったって、どうやったの?」

Suretu4

「①番目は1×1、②番目は2×2、③番目は3×3、④番目は4×4・・・に同じだ、と思ったら、微妙にちがう。それに・・・」

Suretu5

「5番目からはどんどん離れていっちゃう。ダメかなと思ったけど・・・」

Suretu6

「その差をだしてみたら、増え方に規則性があった・・・」

Suretu7

「最初だけ1少なくなるけど、あとは1ずつ増えていく。100番目では97増えるわけ。で1~97を全部たして、最初の1を引いたら4752になった」

100×100+4752=14752

「ずいぶんと回りくどいね」

「だから時間がかかった」

「試験ではちょっとね・・・」

「そう思う」

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規則性(SAPIX6月マンスリー算数問題より)

正方形の一辺の長さ(中学受験 算数問題 女子学院2009)

数列の規則性(SAPIX 標準テストより)

分数の性質(浅野中学 受験算数問題 2003年)

規則性のある数列(筑波大学附属駒場中学 受験算数問題 2009年)

規則的な数の並び(巣鴨中学 算数入試問題 2005年)

等差数列(中学受験算数 規則性)

数の個数と和(海城中学 2005年 算数入試問題 規則性)

○○番目にくる数字は?(中学受験算数 規則性)

規則的な数字の並び方(中学受験算数 規則性)

規則性の基本問題(日本女子大学附属中学 2010年)

何段目ですか?(早稲田実業学校中等部 2008年)

どんな規則性?(自修館中等教育学校 2010年)

数並びの規則性(東京電機大学中学 2010年)

並んだ数の規則性(埼玉栄中学 2010年)

3の入っている数字(南山中学 2010年)

どんな規則性?(早稲田実業中等部 2008年)

どんな順序で並んでいる?(中村中学 2010年)

記号の並び方(神戸女学院中等部 2010年)

1と2だけの数(甲南中学 2008年)

並び方の規則性(鎌倉女学院中学 2010年)

どんな規則性が見つかりますか?(慶應義塾湘南藤沢中等部 2011年)

規則性の難問 数の並び(桜蔭中学 2012年)

数の並びの規則性(女子学院中学 2010年)

毎年どこかの中学で出題される三角数の法則(栄東中学 2012年)

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