目次

場合の数

2017年10月 6日 (金)

移動の場合の数は?(2017年 東邦大学付属東邦中学)

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図のような、同じ大きさの正三角形を4つあわせてできる

立体ABCDがあります。

点Pは、はじめに頂点Aにあり、

となりあう3つの点のうち1つを選んで移動します。

次に移動した先の点から、それにとなりあう3つの点のうち

1つを選んで移動します。

このように、となりあう3つの点のうち1つを選んで移動することをくり返します。

このとき、次の問いに答えなさい。

Bandicam_20171006_090119883

(1)点Pが4回移動するとき、

  移動の仕方は全部で何通りあるか求めなさい。

(2)点Pが最も少ない回数の移動で、

  他の頂点をすべて通ってから頂点Aに戻る移動の仕方は
.
  全部で何通りあるか求めなさい。

(3)点Pが4回移動するとき、

  最後に点PがAでない頂点にあるような移動の仕方は

  全部で何通りあるか求めなさい。

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(1)3通りが4回なので、

3×3×3×3=81通り

(2)A→B、C、Dの3通り、

B、C、DそれぞれからAに戻らない行き方は2通り、

4回目はAに戻る1とおりなので、

3×2×1=6通り

(3)1回目はBCD

2回目は、ACD、ABD、ABC

3回目は、BCD、ABD、ABC、BCD、ACD、ABC、BCD、ACD、ABDなので、

A→6通り、B→7通り、C→7通り、D→7通り

4回目は、A以外Aに行けないので、選択肢は2通りなので、

6×3+7×2+7×2+7×2=60通り

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2017年9月22日 (金)

整数は何個できますか?(2017年 京都産業大学附属中学)

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次のような6枚のカードがあります。

9221

Hpsd1201cs

この6枚のカードから3枚を取り出して並べ、

3けたの整数をつくります。

次の問いに答えなさい。

(1)3けたの整数は何個できますか。

(2)3けたの偶数は何個できますか。

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(1)

100の位が1の場合

1→10の位が1のとき→1の位は3通り

1→10の位が2のとき→1の位は3通り

1→10の位が3のとき→1の位は2通り

100の位が2の場合

2→10の位が1のとき→1の位は3通り

2→10の位が2のとき→1の位は2通り

2→10の位が3のとき→1の位は2通り

100の位が3の場合

3→10の位が1のとき→1の位は2通り

3→10の位が2のとき→1の位は2通り

合計19通り

(2)

1の位は2に決るので、

100の位は3通り←10の位が1のとき←2

100の位は2通り←10の位が2のとき←2

100の位は2通り←10の位が3のとき←2

合計7通り

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2017年4月27日 (木)

何通りの道順がある?(今年 2017年 専修大学松戸中学)

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A地点とB地点の間には、下の図のような道があります。

これらの道を通ってA地点からB地点まで行く とき、

同じ地点を通らずに行く方法は通り何ありますか?


4271


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4272

赤い道を通る場合は、2通り、

真ん中の道を通る場合は、2×2=4通り、

下の道を通る場合も、2×2=4通り なので、

合計、2+4+4=10通り

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2017年4月16日 (日)

何通りの立体ができる?(今年、2017年 駒場東邦中学)

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同じ大きさの立方体の面どうしをはり合わせてできる立体を考えます。

例えば、2個の立方体を使うと1通り、

3個の立方体を使うと2通りの立体が考えられます。

では、4個の立方体を使うと何通りの立体が考えられますか。

Bandicam_20170203_102959330

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Bandicam_20170203_101751425

Bandicam_20170203_101818365

Bandicam_20170203_101835022

Bandicam_20170203_101923736

Bandicam_20170203_101956779

Bandicam_20170203_102247989

Bandicam_20170203_102621195

Bandicam_20170203_102647468

この8通りです。                  

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2017年3月29日 (水)

何通りありますか?(今年 2017年 足立学園中学)

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1から9までの番号が書いてある9個の玉が袋に入っています。

この袋から玉を1個取り出して番号を確認したら袋に戻す作業を何回か行います。

次の各問いに答えなさい。

(1) この作業を2回行ったとき、2回の番号の差が3であるのは何通り ありますか。

(2) この作業を3回行ったとき、3回の番号の積が奇数となるのは何通りありますか。

3291

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(1)

1回目が1のとき、2回目は4

2のとき、2回目は5

3のとき、2回目は6

4のとき、2回目は1か7の2通り

5のとき、2回目は2か8の2通り

6のとき、2回目は3か9の2通り

7のとき、2回目は4

8のとき、2回目は5

9のとき、2回目は6

合計、3+3×2+3=12通り

(2)

1回でも偶数が入ってしまうと奇数にはならないので、

3回とも奇数を取り出す場合の数を考えます。

奇数は1~9の中に5つあるので、

1回目も2回目も3回目も5通りずつなので、

5×5×5=125通りです。

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2017年2月18日 (土)

面の値はいくつ?(今年 2017年 筑波大学附属駒場中学)

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立方体の各頂点に0または1をおきます。

立方体のそれぞれの面について、

頂点においた4つの数の和を 『面の値』ということにし、

6個の『面の値』の合計を考えます。

例えば、1個の1と7個の0を下図のように頂点においたとき、

2181

『面の値』が1である面が3個、 0である面が3個なので、

6個の『面の値』の合計は3です。

次の問いに答えなさい。

(1) 6個の『面の値』の合計が6になりました。

(ア) 1をおいた頂点は何個ありますか。

(イ)『面の値』が奇数である面は何個ありますか。

   考えられる個数をすべて答えなさい。

(2)6個の『面の値』の合計が12になりました。

   8個の頂点への0と1のおき方は何通りありますか。

   ただし、立方体を動かすと重なるものや、

   鏡にうつすと重なるものは同じおき方とします。

   例えば、下の例1、例2はそれぞれ同じおき方です。

2182

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(1)

(ア)頂点1つの値は3回たされるので、

6=1×3+1×3 より、

1がおかれた頂点は2つです。

(イ)

2185

1の頂点が並んだときは、

面の値が1の面は、図のように2面

1の頂点が対角線のときは、

面の値が1の面は、4面

1の頂点が一番遠いときは、

面の値が1の面は、6面

(2)

2183

図のように、6通り

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2017年2月14日 (火)

ぬり分け方は何通り? (渋谷教育学園渋谷中学 2014年)

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赤、青、緑、黄、紫の5色の絵の具があります。

このうちから何色か使って、下の図の①~⑤の部分をすべてぬり分けようと思います。

ただし、それぞれの部分は、この5色のうちの1色だけでぬり、

となり合った部分は違う色をぬることとします。

 このとき、次の問に答えなさい。

  Pic_4052q

(1)赤、青、緑の3色すべてを使ってぬり分けるとき、何通りのぬり方がありますか。

 (2)赤、青、緑、黄の4色すべてを使ってぬり分けるとき、何通りのぬり方がありますか。

(3)全部で何通りのぬり方がありますか。

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(1)⑤の部分を赤とすると、②と③の部分は、⑤ととなり合っているので、

下の図1-1、1-2 の2通りのぬり方になります。

(この時点で3色すべてを使っています)

  Pic_4053a

図1-1のとき、①には赤か青、④には赤か緑が入るので、

2×2=4通り のぬり方があり、

同様に図1-2のときも4通り のぬり方があります。

⑤を赤とすると、4×2=8通り のぬり方があり、

青、緑のときも同様なので、赤、青、緑の3色をすべて使うと、

8×3=24通り のぬり方があります。

 

(2)5か所を4色でぬるので、どこかとどこかが同じ色にしなければなりません。

同じ色にする場所として考えられるのは、

 ①と③、①と④、①と⑤、②と④、④と⑤

の 5通り があります。

たとえば、①と③を同じ色にするとき、

①、②、④、⑤ を4色でぬる方法を考えればよく、

 4×3×2×1=24通り

があります。

同じ色をぬる場所が変わっても、同様に24通りとなるので、

赤、青、緑、黄の4色すべてを使うと、24×5=120通り のぬり方があります。

 

(3)5色すべてを使うと、5×4×3×2×1=120通り のぬり方があります。

4色を使ってぬるとき、5色から4色を選ぶ方法は 5通りあるので、

(2)より、120×5=600通り のぬり方があります。

3色を使ってぬるとき、5色から3色を選ぶ方法は、

除く2色の選び方と等しく、4+3+2+1=10通り あるので、

(1)より、24×10=240通り のぬり方があります。

1色だけ、2色だけでぬることはできません。

(②、③、⑤の部分は必ず3色必要)

よって、120+600+240=960通り のぬり方があります。

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2017年1月31日 (火)

最短の道順は何通り?(今年、2017年 甲陽学院中学 2日目)

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図のように、立方体ABCD-EFGHの6つの面が

それぞれ4つの小さい正方形に分けられています。

これらの正方形の辺を通って頂点Aから頂点Gまで行く道順を考えます。

Bandicam_20170131_083238326

 

(1)立方体ABCD-EFGHの辺だけを通って行く最短の道順は何通りありますか。

(2)最短の道順は全部で何通りありますか。

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(1)BからGに行く道順は2通りなので、

Aから、B、D、Eを通ってGに行く行き方は、

3×2=6通り

(2)

1311

AとGの中間点、青ってGまで行く行き方は

3×3=9通り、

他の中間点赤もすべて9通りなので、

全部で、6×9=54通り

 

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2016年12月13日 (火)

図形の形は何通り?(芝中学 2016年)

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0043_2

 
4×4の碁盤の目の上に碁石を置いて、
その碁石を結んでできる図形を考えます。
上の図1は、たて2cm、横4cmの長方形を表しています。
また、碁盤の線と線の間は均等で2cmで、
同じ形でも碁石を置く場所が違うものは区別します。
 
このとき、次の問に答えなさい。
 
(1)碁石を4個置くとき、正方形は何通りできますか。
 
(2)碁石を3個置くとき、面積が10c㎡の直角三角形は何通りできますか。

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解答
 
 (1)下の図2の正方形が9通り、図3の正方形が4通りでき、
 

   0044_2  

下の図4の正方形が1通り、図5が4通りでき、

    0045

下の図6の正方形が1通り、図7が1通りでき、

    0046

全部で、9+4+1+4+2=20通り の正方形ができます。

 

 (2)図6の正方形の面積は、6×6-2×4÷2×4個=20c㎡

なので、下の図8の直角三角形の面積は、20÷2=10c㎡ で、

    0047

図8の直角三角形が4通り、図8から1マス横にずれた図9の
 
直角三角形も4通り できます。
 
同様に、図7についても10c㎡の直角三角形を4+4=8通り
 
できるので、10c㎡の直角三角形は、
 
 4+4+4+4=16通り
 
できます。

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2016年7月11日 (月)

直線による円の分割(東京学芸大学附属小金井中学 2006年)

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円の中に直線を引いていくと、

引いた直線によって円の内部が分割されていきます。

直線を1本、2本、3本と増やすと、

それぞれ下の図1、図2、図3のように分かれます。

(1)線を4本引いて、

     円をもっとも多くの部分に分けるように図4に直線を引いてください。

(2)線を5本引いて、

     円をもっとも多くの部分に分けると何個に分けることができますか。

(3)線を8本引いて、円をもっとも多くの部分に分けると、

     何個の部分に分けることができますか。

Bandicam20160711

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----------------------------------------------------


Bandicam_20160711_094651112 Bandicam_20160711_094702728 Bandicam_20160711_094712584 Bandicam_20160711_094717178 Bandicam_20160711_094726858

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