中学受験ー算数解き方ポータル

不思議な休憩室

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2018年12月24日 (月)

列は全部で何通り？（今年　２０１８年　麻布中学）

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２つの記号〇、×を並べてできる列のうち、

次の条件にあてはまるものを考えます。

(条件)　○が３つ以上連続して並ぶことはない。

例えば,、○○×○○はこの条件にあてはまりますが、

○×○○○××は条件にあてはまりません。

このとき、次の問いに答えなさい。

（１）〇、×を合わせて１４個並べるとき、

　　×の個数が最も少なくなる列を１つ書きなさい。

（２）〇、×を合わせて１３個並べるとき、

　　×の個数が最も少なくなる列は全部で何通り考えられますか。

（３）〇、×を合わせて１２個並べるとき、

　　×の個数が最も少なくなる列は全部で何通り考えられますか。

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（１）

〇〇×〇〇×〇〇×〇〇×〇〇

（２）

〇〇×〇〇×〇〇×〇〇×〇

一番右の×を左にずらすと、

〇〇×〇〇×〇〇×〇×〇〇

右から２番目の×を左にずらすと、

〇〇×〇〇×〇×〇〇×〇〇

右から３番目の×を左にずらすと、

〇〇×〇×〇〇×〇〇×〇〇

一番左の×を左にずらすと、

〇×〇〇×〇〇×〇〇×〇〇

以上の５通り

（３）

〇〇×〇〇×〇〇×〇〇×・・・・・①

（２）と同様に右から順番に×をずらしていきます。

〇〇×〇〇×〇〇×〇×〇・・・・・②

〇〇×〇〇×〇〇××〇〇・・・・・③

〇〇×〇〇×〇×〇×〇〇・・・・・④

〇〇×〇〇××〇〇×〇〇・・・・・⑤

〇〇×〇×〇×〇〇×〇〇・・・・・⑥

〇〇××〇〇×〇〇×〇〇・・・・・⑦

〇×〇×〇〇×〇〇×〇〇・・・・・⑧

×〇〇×〇〇×〇〇×〇〇・・・・・⑨

右側が×〇になっている②の変化形が考えられます。

〇〇×〇〇×〇×〇〇×〇・・・・・⑩

〇〇×〇×〇〇×〇〇×〇・・・・・⑪

〇×〇〇×〇〇×〇〇×〇・・・・・⑫

左側が〇×になっている⑧の変化形が考えられます。

〇×〇〇×〇×〇〇×〇〇・・・・・⑬

〇×〇〇×〇〇×〇×〇〇・・・・・⑭

〇×〇〇×〇〇×〇〇×〇・・・・・⑭’これは⑫と同じなので不可

両側が〇〇×・・・・・×〇〇になっている

③～⑦の中６つの形でないのが、〇×〇〇×〇の対象形、

〇〇×〇×〇〇×〇×〇〇・・・・・⑮

この１５通りです。

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2018年12月21日 (金)

なぞり方は何通り？（２０１９年　海陽中等教育学校（特別給費））

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点線で辺がかかれた正方形について、

正方形の中に書かれた数字の本数だけ辺を線でなぞります。

たとえば・・・

などのようになります。

（１）

となっているとき、辺のなぞり方は６通りあります。

６通りすべて書いてください。

（２）

12184_2

上の図において、辺のなぞり方がちょうど１通りとなるような

(あ)と(い)の組合せをすべてあげてください。

たとえば(あ)が３で（い)が２のときは（３、２）のように答えること。

（３）

となっているとき、辺のなぞり方は何通りありますか。

（４）

となっているとき、辺のなぞり方は何通りありますか。

（５）

下の図において、(う)と(え)と(お)になぞることのできる数の組を入れます。

このような数の組をすべて考えると、

辺のなぞり方は全部で何通りありますか。

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解法例

（１）

（２）

（０、０）、（３、０）、（０、３）、（１、４）、（４、１）、（４、４）

（３）

左側の２本が中央の線をなぞらない３通りでは、

右側はそれぞれ３通りのなぞり方があるので、

３×３＝９通り

左側の２本が中央の線をなぞる３通りでは、

右側の残る１本のなぞり方は図のように３通りなので、

３×３＝９通り

全部で、９×２＝１８通り

（４）

３の正方形は図のように３通りのなぞり方があり、

一番左の場合、それに応じた２の正方形のなぞり方で、

１の正方形のなぞり方が決まり、

真ん中と、右の場合は１の正方形のなぞり方は決まっているので、

２の正方形のなぞり方は２通りずつ、

したがって、全部で９通りのなぞり方があります。

（５）

各辺はなぞるか、なぞらないかの２通りなので、

２×２×２×２×２×２×２×２×２×２

＝１０２４通り

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2018年8月10日 (金)

支払い方は何通り？（今年　２０１８年　サレジオ学院中学）

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Ａさんは、あるお店で買い物をしたら、

３８００円の代金を支払うことになりました。

Aさんは、１０００円札を３枚、

５００円玉を２枚、

１００円玉を６枚、

５０円玉を２枚、

１０円玉を１０枚持っています。

このとき、おつりの出ない支払い方は全部で何通りですか？

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①１０００×２＋５００×２＋１００×６＋５０×２＋１０×１０

②１０００×３＋１００×６＋５０×２＋１０×１０

③１０００×３＋５００×１＋１００×３

④１０００×３＋５００×１＋１００×２＋５０×２

⑤１０００×３＋５００×１＋１００×２＋５０×１＋１０×５

⑥１０００×３＋５００×１＋１００×２＋１０×１０

⑦１０００×３＋５００×１＋１００×１＋５０×２＋１０×１０

以上７通り

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2018年7月18日 (水)

はりつけ方は何通り？（今年　２０１８年　灘中学　２日目）

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図のような形をしたタイルがそれぞれ何枚かあります。

これらを裏返さずに、

壁に固定された枠の中にすき間なくぴったりはりつけます。

（１）　縦　５ｃｍ、横１０ｃｍ　の長方形の枠の中に、

　　４枚のタイルＡをはりつける方法は全部で何通りありますか。

（２）　１辺の長さが１０ｃｍの正方形の枠の中に、

　　４枚のタイルＡと２枚のタイルＢをはりつける方法は

　　全部で何通りありますか。

（３）　縦１０ｃｍ、横１５ｃｍの長方形の枠の中に、

　　２枚のタイルＢと２枚のタイルＣをはりつける方法は

　　全部で何通りありますか。

　　また、４枚のタイルＡと２枚のタイルＣをはりつける方法は

　　全部で何通りありますか。

（４）縦１０ｃｍ、　横２０ｃｍの長方形の枠の中に、

　　４枚のタイルＡと２枚のタイルＢと２枚のタイルＣをはりつけます。

　　このとき、２枚のタイルＣの置き方は全部で何通りありますか。

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（１）

左の正方形内にタイルAは２通り、

右の正方形内も２通りなので、

２×２＝４通り

（２）

Aの正方形内にタイルAを２つはりつけた場合、

Bの正方形内に残る２つのタイルAをはりつけると、

２×２＝４通り、

Cの正方形内にはりつける場合も４通り、

D内も４通り、

４×３＝１２通り、

次に、最初のタイルA２枚をB内に貼る場合を考えると、

B内とC内で４通り、

B内とD内で４通り、

４×２＝８通り、

C内とD内で、４通り、

全部で、１２＋８＋４＝２４通り

（３）

左の１０×１０の正方形内にタイルCは貼る方法は２通り、

タイルCとタイルBの左右を入れ替えれば２通りなので、

全部で４通り

左の正方形内は２通り、

右のタイルCは４通りなので、

２×４＝８通り、

左右を入れ替えてまた８通り、

タイルCを分ける貼り方が２通りあるので、

全部で、８×２＋２＝１８通り

（４）

左からタイルCをはりながら考えていきます。

１枚目のタイルCをAの位置に貼ると、

２枚目のタイルCは、

緑、黒、茶の正方形内で４通りの貼り方があり、

６通りの貼り方があります。

Aの位置のタイルCを右に９０°回転させて、直角を左上にすると、

やはりこの場合も６通り、

１枚目のタイルCをAの位置に貼ると、

２枚目のタイルCは茶の正方形内に４通りの貼り方があり、

１枚目のタイルCをAの位置に貼っても、

２枚目のタイルCは茶の正方形内に４通りの貼り方があります。

次に、タイルCを右に５ｃｍずらして、

茶の正方形内の４通りについて考えます。

１枚目のタイルCをAの位置に貼ると、

２枚目は２通り、

１枚目がAの位置でも、

２枚目は２通り、

１枚目をAの位置に貼ると２枚目は貼ることができません。

さらに５ｃｍ右にずらした場合を考えると、

茶の正方形内で２通りの貼り方が考えられるので、

全部で、６×２＋４×２＋２×２＋２＝２６通り

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2018年4月30日 (月)

何枚の写真を選び出しましたか？（第６回算数オリンピック、ファイナル問題より）

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６つの面が異なる色でぬり分けられた立方体が１個あります。

この立方体を、置く面や向きを変えて、

さまざまな角度から写真にとりました。

写真を現像して、

写っている面の色の種類が異なるものをすべて選び出しました。

もっとも多い場合、何枚の写真を選び出しましたか。　

例えば、下の写真の場合、

写っている色の種類が異なれば、異なる種類とします。

1_4

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１面だけが写っている写真では、

面の数と同じで６通り、

２面が写っている写真は、

辺の数と同じで１２通り、

３面が写っている写真では、

頂点の数と同じで８通り、

合計、６＋１２＋８＝２６枚

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2018年4月19日 (木)

選び方は何通り？（今年　２０１８年　筑波大学附属駒場中学）

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Ａと書かれたカードが何枚かと、

Ｂと書かれたカードが１枚、Ｃと書かれたカードが１枚あります。

これらのカードから何枚かを選ぶとき、

その選び方が何通りあるかを考えます。

例えば、Ａと書かれたカードが１枚のとき、

選んだカードに書かれた文字を（　）に書くことにすると、

カードの選び方は、

（A)（B)(C)(AB)(AC)(BC)(ABC)の７通りです。

次の問いに答えなさい。

なお、A と書かれたカードが２枚以上あるとき、それらは区別しません。

（１）Ａと書かれたカードが２枚のとき、選び方は何通りですか。

　　また、A と書かれたカードが３枚のとき、選び方は何通りですか。

（２）Ａと書かれたカードが１００枚のとき、選び方は何通りですか。

（３）Ａと書かれたカードが何枚のとき、

　　選び方がちょうど３０２３通りになりますか。

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（１）

Ａと書かれたカードが２枚のとき、

１枚→（A)(B)(C)

２枚→（AA)(AB)(AC)(BC)

３枚→（AAB)(AAC)(ABC)

４枚→（AABC）

１１通り

Ａと書かれたカードが３枚のとき、

１枚→（A)(B)(C)

２枚→（AA)(AB)(AC)(BC)

３枚→（AAA)（AAB)(AAC)(ABC)

４枚→（AAAB）（AAAC)(AABC)

５枚→（AAABC)

１５通り

（２）

Aが１枚のとき→Aが２枚のとき

７通り→１１通り・・・・・４通り増える

Aが２枚のとき→Aが３枚のとき

１１通り→１５通り・・・・・４通り増える

・・・・・

AがN枚のとき、

７＋（N－１）×４　通りになるので、

N＝１００のとき

７＋（１００－１）×４＝４０３通り

（３）

７＋（N－１）×４＝３０２３

（N－１）×４＝３０１６

N－1＝７５４

N＝７５５枚

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2018年4月10日 (火)

並べ方は何通り？（今年　２０１８年　開成中学）

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赤球、青球、黄球が２個ずつ６個あります。

同じ色の球がとなり合わないように

６個すべてを左から右ヘー列に並べます。

このような並べ方は何通りあるか求めなさい。

ただし、同じ色の球は区別しないことにします。

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一番左に赤球を置くと、

図のように１０通りの並べ方があるので、

並べ方は全部で、１０×３＝３０通り。

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