中学受験ー算数解き方ポータル

不思議な休憩室

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2018年12月24日 (月)

列は全部で何通り？（今年　２０１８年　麻布中学）

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２つの記号〇、×を並べてできる列のうち、

次の条件にあてはまるものを考えます。

(条件)　○が３つ以上連続して並ぶことはない。

例えば,、○○×○○はこの条件にあてはまりますが、

○×○○○××は条件にあてはまりません。

このとき、次の問いに答えなさい。

（１）〇、×を合わせて１４個並べるとき、

　　×の個数が最も少なくなる列を１つ書きなさい。

（２）〇、×を合わせて１３個並べるとき、

　　×の個数が最も少なくなる列は全部で何通り考えられますか。

（３）〇、×を合わせて１２個並べるとき、

　　×の個数が最も少なくなる列は全部で何通り考えられますか。

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（１）

〇〇×〇〇×〇〇×〇〇×〇〇

（２）

〇〇×〇〇×〇〇×〇〇×〇

一番右の×を左にずらすと、

〇〇×〇〇×〇〇×〇×〇〇

右から２番目の×を左にずらすと、

〇〇×〇〇×〇×〇〇×〇〇

右から３番目の×を左にずらすと、

〇〇×〇×〇〇×〇〇×〇〇

一番左の×を左にずらすと、

〇×〇〇×〇〇×〇〇×〇〇

以上の５通り

（３）

〇〇×〇〇×〇〇×〇〇×・・・・・①

（２）と同様に右から順番に×をずらしていきます。

〇〇×〇〇×〇〇×〇×〇・・・・・②

〇〇×〇〇×〇〇××〇〇・・・・・③

〇〇×〇〇×〇×〇×〇〇・・・・・④

〇〇×〇〇××〇〇×〇〇・・・・・⑤

〇〇×〇×〇×〇〇×〇〇・・・・・⑥

〇〇××〇〇×〇〇×〇〇・・・・・⑦

〇×〇×〇〇×〇〇×〇〇・・・・・⑧

×〇〇×〇〇×〇〇×〇〇・・・・・⑨

右側が×〇になっている②の変化形が考えられます。

〇〇×〇〇×〇×〇〇×〇・・・・・⑩

〇〇×〇×〇〇×〇〇×〇・・・・・⑪

〇×〇〇×〇〇×〇〇×〇・・・・・⑫

左側が〇×になっている⑧の変化形が考えられます。

〇×〇〇×〇×〇〇×〇〇・・・・・⑬

〇×〇〇×〇〇×〇×〇〇・・・・・⑭

〇×〇〇×〇〇×〇〇×〇・・・・・⑭’これは⑫と同じなので不可

両側が〇〇×・・・・・×〇〇になっている

③～⑦の中６つの形でないのが、〇×〇〇×〇の対象形、

〇〇×〇×〇〇×〇×〇〇・・・・・⑮

この１５通りです。

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2018年7月18日 (水)

はりつけ方は何通り？（今年　２０１８年　灘中学　２日目）

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図のような形をしたタイルがそれぞれ何枚かあります。

これらを裏返さずに、

壁に固定された枠の中にすき間なくぴったりはりつけます。

（１）　縦　５ｃｍ、横１０ｃｍ　の長方形の枠の中に、

　　４枚のタイルＡをはりつける方法は全部で何通りありますか。

（２）　１辺の長さが１０ｃｍの正方形の枠の中に、

　　４枚のタイルＡと２枚のタイルＢをはりつける方法は

　　全部で何通りありますか。

（３）　縦１０ｃｍ、横１５ｃｍの長方形の枠の中に、

　　２枚のタイルＢと２枚のタイルＣをはりつける方法は

　　全部で何通りありますか。

　　また、４枚のタイルＡと２枚のタイルＣをはりつける方法は

　　全部で何通りありますか。

（４）縦１０ｃｍ、　横２０ｃｍの長方形の枠の中に、

　　４枚のタイルＡと２枚のタイルＢと２枚のタイルＣをはりつけます。

　　このとき、２枚のタイルＣの置き方は全部で何通りありますか。

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（１）

左の正方形内にタイルAは２通り、

右の正方形内も２通りなので、

２×２＝４通り

（２）

Aの正方形内にタイルAを２つはりつけた場合、

Bの正方形内に残る２つのタイルAをはりつけると、

２×２＝４通り、

Cの正方形内にはりつける場合も４通り、

D内も４通り、

４×３＝１２通り、

次に、最初のタイルA２枚をB内に貼る場合を考えると、

B内とC内で４通り、

B内とD内で４通り、

４×２＝８通り、

C内とD内で、４通り、

全部で、１２＋８＋４＝２４通り

（３）

左の１０×１０の正方形内にタイルCは貼る方法は２通り、

タイルCとタイルBの左右を入れ替えれば２通りなので、

全部で４通り

左の正方形内は２通り、

右のタイルCは４通りなので、

２×４＝８通り、

左右を入れ替えてまた８通り、

タイルCを分ける貼り方が２通りあるので、

全部で、８×２＋２＝１８通り

（４）

左からタイルCをはりながら考えていきます。

１枚目のタイルCをAの位置に貼ると、

２枚目のタイルCは、

緑、黒、茶の正方形内で４通りの貼り方があり、

６通りの貼り方があります。

Aの位置のタイルCを右に９０°回転させて、直角を左上にすると、

やはりこの場合も６通り、

１枚目のタイルCをAの位置に貼ると、

２枚目のタイルCは茶の正方形内に４通りの貼り方があり、

１枚目のタイルCをAの位置に貼っても、

２枚目のタイルCは茶の正方形内に４通りの貼り方があります。

次に、タイルCを右に５ｃｍずらして、

茶の正方形内の４通りについて考えます。

１枚目のタイルCをAの位置に貼ると、

２枚目は２通り、

１枚目がAの位置でも、

２枚目は２通り、

１枚目をAの位置に貼ると２枚目は貼ることができません。

さらに５ｃｍ右にずらした場合を考えると、

茶の正方形内で２通りの貼り方が考えられるので、

全部で、６×２＋４×２＋２×２＋２＝２６通り

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2018年4月19日 (木)

選び方は何通り？（今年　２０１８年　筑波大学附属駒場中学）

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Ａと書かれたカードが何枚かと、

Ｂと書かれたカードが１枚、Ｃと書かれたカードが１枚あります。

これらのカードから何枚かを選ぶとき、

その選び方が何通りあるかを考えます。

例えば、Ａと書かれたカードが１枚のとき、

選んだカードに書かれた文字を（　）に書くことにすると、

カードの選び方は、

（A)（B)(C)(AB)(AC)(BC)(ABC)の７通りです。

次の問いに答えなさい。

なお、A と書かれたカードが２枚以上あるとき、それらは区別しません。

（１）Ａと書かれたカードが２枚のとき、選び方は何通りですか。

　　また、A と書かれたカードが３枚のとき、選び方は何通りですか。

（２）Ａと書かれたカードが１００枚のとき、選び方は何通りですか。

（３）Ａと書かれたカードが何枚のとき、

　　選び方がちょうど３０２３通りになりますか。

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（１）

Ａと書かれたカードが２枚のとき、

１枚→（A)(B)(C)

２枚→（AA)(AB)(AC)(BC)

３枚→（AAB)(AAC)(ABC)

４枚→（AABC）

１１通り

Ａと書かれたカードが３枚のとき、

１枚→（A)(B)(C)

２枚→（AA)(AB)(AC)(BC)

３枚→（AAA)（AAB)(AAC)(ABC)

４枚→（AAAB）（AAAC)(AABC)

５枚→（AAABC)

１５通り

（２）

Aが１枚のとき→Aが２枚のとき

７通り→１１通り・・・・・４通り増える

Aが２枚のとき→Aが３枚のとき

１１通り→１５通り・・・・・４通り増える

・・・・・

AがN枚のとき、

７＋（N－１）×４　通りになるので、

N＝１００のとき

７＋（１００－１）×４＝４０３通り

（３）

７＋（N－１）×４＝３０２３

（N－１）×４＝３０１６

N－1＝７５４

N＝７５５枚

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2018年4月10日 (火)

並べ方は何通り？（今年　２０１８年　開成中学）

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赤球、青球、黄球が２個ずつ６個あります。

同じ色の球がとなり合わないように

６個すべてを左から右ヘー列に並べます。

このような並べ方は何通りあるか求めなさい。

ただし、同じ色の球は区別しないことにします。

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一番左に赤球を置くと、

図のように１０通りの並べ方があるので、

並べ方は全部で、１０×３＝３０通り。

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2018年4月 6日 (金)

ぬる方法は何通りありますか？（巣鴨中学　２０１７年）

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図の立体のすべての面に１色ずつ選んで色をぬるとき、

次の各問いに答えなさい。

ただし、立体のすべての面は形の異なる面で、

どのとなり合う面も同じ色でぬってはいけないものとします。

（１）図の立体の６つの面を赤、青、黄の

　　　３色すべてを使ってぬる方法は何通りありますか。

（２）図の立体の６つの面を赤、青、黄、緑の

　　　４色すべてを使ってぬる方法は何通りありますか。

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（１）上下を赤にすると、サイドは青黄青黄、黄青黄青の２通り

上下を青、黄にする場合も同様に２通りずつなので、

全部で、２×３＝６通り

（２）上面を赤にすると、

①サイドが青黄青黄、黄青黄青、下面が緑の２通り

②サイドが青緑青緑、緑青緑青、下面が黄の２通り

③サイドが青緑青黄、青黄青緑、緑青黄青、黄青緑青、

　下面が赤の４通り

④サイドが緑黄緑黄、黄緑黄緑、下面が青の２通り

⑤サイドが緑黄緑青、緑青緑黄、黄緑青緑、青緑黄緑、

　下面が赤の４通り

⑥サイドが黄緑黄青、黄青黄緑、緑黄青黄、青黄緑黄、

　下面が赤の４通り

以上の１８通り

上面が青、緑、黄のときも同様に１８通りなので、

全部で、１８×４＝７２通り

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2017年3月29日 (水)

何通りありますか？（今年　２０１７年　足立学園中学）

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1から9までの番号が書いてある9個の玉が袋に入っています。

この袋から玉を1個取り出して番号を確認したら袋に戻す作業を何回か行います。

次の各問いに答えなさい。

(1) この作業を2回行ったとき、2回の番号の差が3であるのは何通りありますか。

(2) この作業を3回行ったとき、3回の番号の積が奇数となるのは何通りありますか。

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（１）

1回目が１のとき、２回目は４

２のとき、２回目は５

３のとき、２回目は６

４のとき、２回目は１か７の２通り

５のとき、２回目は２か８の２通り

６のとき、２回目は３か９の２通り

７のとき、２回目は４

８のとき、２回目は５

９のとき、２回目は６

合計、３＋３×２＋３＝１２通り

（２）

１回でも偶数が入ってしまうと奇数にはならないので、

３回とも奇数を取り出す場合の数を考えます。

奇数は１～９の中に５つあるので、

１回目も２回目も３回目も５通りずつなので、

５×５×５＝１２５通りです。

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2017年2月14日 (火)

ぬり分け方は何通り？　（渋谷教育学園渋谷中学　2014年)

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赤、青、緑、黄、紫の５色の絵の具があります。

このうちから何色か使って、下の図の①～⑤の部分をすべてぬり分けようと思います。

ただし、それぞれの部分は、この５色のうちの１色だけでぬり、

となり合った部分は違う色をぬることとします。

このとき、次の問に答えなさい。

　　 Pic_4052q

（１）赤、青、緑の３色すべてを使ってぬり分けるとき、何通りのぬり方がありますか。

（２）赤、青、緑、黄の４色すべてを使ってぬり分けるとき、何通りのぬり方がありますか。

（３）全部で何通りのぬり方がありますか。

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（１）⑤の部分を赤とすると、②と③の部分は、⑤ととなり合っているので、

下の図１－１、１－２の２通りのぬり方になります。

（この時点で３色すべてを使っています）

　　 Pic_4053a

図１－１のとき、①には赤か青、④には赤か緑が入るので、

２×２＝４通りのぬり方があり、

同様に図１－２のときも４通りのぬり方があります。

⑤を赤とすると、４×２＝８通りのぬり方があり、

青、緑のときも同様なので、赤、青、緑の３色をすべて使うと、

８×３＝２４通り のぬり方があります。

（２）５か所を４色でぬるので、どこかとどこかが同じ色にしなければなりません。

同じ色にする場所として考えられるのは、

　①と③、①と④、①と⑤、②と④、④と⑤

の５通りがあります。

たとえば、①と③を同じ色にするとき、

①、②、④、⑤ を４色でぬる方法を考えればよく、

　４×３×２×１＝２４通り

があります。

同じ色をぬる場所が変わっても、同様に２４通りとなるので、

赤、青、緑、黄の４色すべてを使うと、２４×５＝１２０通り のぬり方があります。

（３）５色すべてを使うと、５×４×３×２×１＝１２０通りのぬり方があります。

４色を使ってぬるとき、５色から４色を選ぶ方法は５通りあるので、

（２）より、１２０×５＝６００通りのぬり方があります。

３色を使ってぬるとき、５色から３色を選ぶ方法は、

除く２色の選び方と等しく、４＋３＋２＋１＝１０通りあるので、

（１）より、２４×１０＝２４０通りのぬり方があります。

１色だけ、２色だけでぬることはできません。

（②、③、⑤の部分は必ず３色必要）

よって、１２０＋６００＋２４０＝９６０通り のぬり方があります。

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2017年1月 4日 (水)

何段、何列？（愛知淑徳中学　2014年）　

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Pic_4102a

上の表は、ある決まりに従って１から１６までの整数を並べたものです。

同じ決まりに従って整数を並べていったとき、

次の問に答えなさい。

（１）２段の８列にある数はいくつですか。

（２）９８は何段の何列にありますか。

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（１）こういった規則的な数の並びの場合、

まず、平方数（同じ数を２回かけた数）がどこにあるかを、考えてみます。

平方数は、下の表１の青い部分にあることがわかります。

　　　　 Pic_4103a

　４（２×２）は、２段の１列

　９（３×３）は、１段の３列

　１６（４×４）は、４段の１列

　２５（５×５）は、１段の５列

となっていて、

　偶数段の１列には、その数の平方数、

　１段の奇数列には、その数の平方数

があることがわかります。

２段の８列に近いのは、１段の８列ですが、偶数列なので、

１段の７列が、７×７＝４９より、１段の８列は、５０で、

２段の８列にあるのは、５１と求められます。

（２）９８に最も近い平方数は、１０×１０＝１００で、

１００が１０段の１列にあり、そこから２個戻れば９８なので、

９８は、１０段の３列にあります。

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2016年11月30日 (水)

ひもの長さは？（慶應義塾湘南藤沢中等部　2012年）

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下の図の正六角柱ＡＢＣＤＥＦ－ＧＨＩＪＫＬは底面が正六角形で

側面は正方形でできています。

図のように、この正六角柱の頂点Ｈから

辺ＢＣ上の点Ｍ，辺ＥＦ上の点Ｎを通って頂点Ｋまで

長さが最も短くなるようにひもを張ります。

この正六角柱の表面積が４８ｃ㎡のとき、このひもの長さを求めなさい。

Pic_3098q

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正六角柱の展開図を描くと下の図１のようになるので、

ひもの長さが最短となるのは、図１のように頂点Ｈと頂点Ｋを

一直線に結んだときです。

　　 Pic_3099a

　また、正六角形は、６個の正三角形から成るので、下の図２のように、

この展開図は、６個の正方形と１２個の正三角形で

できていると考えることができます。

　　 Pic_3100a

立体の表面積が４８ｃ㎡なので、

正方形１個と正三角形２個の面積の合計が８ｃ㎡

ということがわかります。

また、下の図３のように、

　　 Pic_3101a_2

ＡＤ，ＢＥ，ＣＦの交点Ｏは、ＨＫ上にあり、ちょうどまん中の点です。

（三角形ＯＢＨと三角形ＯＥＫが合同なので、ＯＨ＝ＯＫ）

ＨＫの長さを求めるには、ＯＨの長さを求めればよいことになります。

下の図４のように、三角形ＯＨＰに注目します。

三角形ＯＢＨは二等辺三角形で、角ＯＢＨ＝１５０度なので、

角ＢＯＨ＝（１８０－１５０）÷２＝１５度です。

Pic_3102a

同様に角ＡＯＰ＝１５度なので、角ＨＯＰ＝６０＋１５＋１５＝９０度

となります。

ここで、三角形ＯＢＨの面積は下の図５のように等積変形すると、

Pic_3103a

正方形の４分の１の面積に等しいことがわかります。

このことから、三角形ＯＨＰの面積は下の図６のように

　　 Pic_3104a

正方形１個と正三角形２個分の面積の和に等しいことがわかり、

面積は８ｃ㎡です。

ＯＨの長さとＯＰの長さは等しいので、三角形ＯＨＰは直角二等辺

三角形で、面積が８ｃ㎡より、ＯＨの長さを□ｃｍとすると、

　　　□×□÷２＝８

より、□＝４ｃｍとわかります。

よって、最短となるひもの長さ：ＨＫの長さは、４×２＝８ｃｍ

ということがわかります。

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