目次

入れ方、並べ方、取り出し方

2019年9月 3日 (火)

ラグビーワールドカップの総試合数は?(城北中学 過年度改題)

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日本でのラグビーワールドカップが始まります。

参加チームは全部で20チーム。

最初に5チームずつ4グループで総当たりの予選リーグを行い,

勝敗やトライ数などによって勝ち点を決め、各リーグ内で1位から5位までの順位を決めます。

次に,各リーグの上位2チームによる決勝トーナメントを行い,優勝チームを決めます。

この大会の総試合数は何試合になりますか?

3位決定戦もありますよ!

1226zu1

Rugby40781_1280

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予選リーグは5チームから2チーム取り出す場合の数なので、

 5×4

ーーーーー =10試合

 2×1 

4グループなので、

10×4=40試合

決勝トーナメント進出チームは

2×4=8チーム

1チームが優勝するまでに7チームが負けるので7試合

3位決定戦が1試合あるので、7+1=8試合

全部で、40+8=48試合

Rugby1210840_1920

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682

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2018年12月24日 (月)

列は全部で何通り?(今年 2018年 麻布中学)

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2つの記号〇、×を並べてできる列のうち、

次の条件にあてはまるものを考 えます。

(条件) ○が3つ以上連続して並ぶことはない。

Apf0107s

例えば,、○○×○○はこの条件にあてはまりますが、

○×○○○××は条件にあてはまりません。

このとき、次の問いに答えなさい。

(1)〇、×を合わせて14個並べるとき、

  ×の個数が最も少なくなる列を1つ書き なさい。

(2)〇、×を合わせて13個並べるとき、

  ×の個数が最も少なくなる列は全部で何通り考えられますか。

(3)〇、×を合わせて12個並べるとき、

  ×の個数が最も少なくなる列は全部で何通り考えられますか。

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(1)

〇〇×〇〇×〇〇×〇〇×〇〇

(2)

〇〇×〇〇×〇〇×〇〇×

一番右の×を左にずらすと、

〇〇×〇〇×〇〇××

右から2番目の×を左にずらすと、

〇〇×〇〇×××

右から3番目の×を左にずらすと、

〇〇××××

一番左の×を左にずらすと、

××××

以上の5通り

(3)

〇〇×〇〇×〇〇×〇〇×・・・・・①

(2)と同様に右から順番に×をずらしていきます。

〇〇×〇〇×〇〇××〇・・・・・②

〇〇×〇〇×〇〇××〇・・・・・③

〇〇×〇〇×××〇・・・・・④

〇〇×〇〇×××〇・・・・・⑤

〇〇××××〇・・・・・⑥

〇〇××××〇・・・・・⑦

××××〇・・・・・⑧

××××〇・・・・・⑨

右側が×〇になっている②の変化形が考えられます。

〇〇×〇〇×××〇・・・・・⑩

〇〇××××〇・・・・・⑪

××××〇・・・・・⑫

左側が〇×になっている⑧の変化形が考えられます。

××××〇・・・・・⑬

××××〇・・・・・⑭

××××〇・・・・・⑭’これは⑫と同じなので不可

両側が〇〇×・・・・・×〇になっている

③~⑦の中6つの形でないのが、〇××〇の対象形、

〇〇×〇×××〇・・・・・⑮

この15通りです。

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682

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2018年7月18日 (水)

はりつけ方は何通り?(今年 2018年 灘中学 2日目)

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図のような形をしたタイルがそれぞれ何枚かあります。

これらを裏返 さずに、

壁に固定された枠の中にす き間なくぴったりはりつけます。

7181

 

(1) 縦 5cm、横10cm の長方形の枠 の中に、

  4枚のタイルAをはりつける方法は全部で 何通りありますか。

(2) 1辺の長さが 10cmの正方形の枠の中に、

  4枚のタイルAと2枚のタイルBをはりつける方法は

  全部で何 通りありますか。

(3) 縦 10cm、横15cm の長方形の枠の中に、

  2枚のタイルBと2枚のタイルCをはりつける方法は

  全部で 何通りありますか。

  また、4枚のタイルAと2枚のタイルCをはりつける方法は

  全部で 何通りありますか。

(4) 縦10cm、 横20cmの長方形の枠の中に、

  4枚のタイルAと2枚のタイルBと2枚のタイルCをはりつけます。

  このとき、2枚のタイルCの置き方は全部で何通りありますか。

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(1)

Bandicam_20180718_084931570

左の正方形内にタイルAは2通り、

右の正方形内も2通りなので、

2×2=4通り

(2)

Bandicam_20180718_085741970

Aの正方形内にタイルAを2つはりつけた場合、

Bの正方形内に残る2つのタイルAをはりつけると、

2×2=4通り、

Cの正方形内にはりつける場合も4通り、

D内も4通り、

4×3=12通り、

次に、最初のタイルA2枚をB内に貼る場合を考えると、

B内とC内で4通り、

B内とD内で4通り、

4×2=8通り、

C内とD内で、4通り、

全部で、12+8+4=24通り

(3)

Bandicam_20180718_090318759

左の10×10の正方形内にタイルCは貼る方法は2通り、

タイルCとタイルBの左右を入れ替えれば2通りなので、

全部で4通り

Bandicam_20180718_090514986

左の正方形内は2通り、

右のタイルCは4通りなので、

2×4=8通り、

左右を入れ替えてまた8通り、

Bandicam_20180718_090642727

タイルCを分ける貼り方が2通りあるので、

全部で、8×2+2=18通り

(4)

左からタイルCをはりながら考えていきます。

Bandicam_20180718_091339845

1枚目のタイルCをAの位置に貼ると、

2枚目のタイルCは、

緑、黒、茶の正方形内で4通りの貼り方があり、

6通りの貼り方があります。

Aの位置のタイルCを右に90°回転させて、直角を左上にすると、

やはりこの場合も6通り、

Bandicam_20180718_091558425

1枚目のタイルCをAの位置に貼ると、

2枚目のタイルCは茶の正方形内に4通りの貼り方があり、

Bandicam_20180718_091649917

1枚目のタイルCをAの位置に貼っても、

2枚目のタイルCは茶の正方形内に4通りの貼り方があります。

Bandicam_20180718_091945767

次に、タイルCを右に5cmずらして、

茶の正方形内の4通りについて考えます。

1枚目のタイルCをAの位置に貼ると、

2枚目は2通り、

Bandicam_20180718_092053380

1枚目がAの位置でも、

2枚目は2通り、

Bandicam_20180718_092148237

1枚目をAの位置に貼ると2枚目は貼ることができません。

Bandicam_20180718_092336222

さらに5cm右にずらした場合を考えると、

茶の正方形内で2通りの貼り方が考えられるので、

全部で、6×2+4×2+2×2+2=26通り

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682

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2018年4月19日 (木)

選び方は何通り?(今年 2018年 筑波大学附属駒場 中学)

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Aと書かれたカードが何枚かと、

Bと書かれたカードが1枚、Cと書かれたカードが1枚あります。

これらの カードから何枚かを選ぶとき、

その選び方が何通りあるかを考えます。

例えば、Aと書かれたカードが1枚のとき、

選んだカードに書かれた文字を( )に書くことにすると、

カード の選び方は、

(A)(B)(C)(AB)(AC)(BC)(ABC)の7通りです。

次の問いに答えなさい。

なお、A と書かれたカードが2枚以上あるとき、それらは区別しません。

(1)Aと書かれたカードが2枚のとき、選び方は何通りですか。

  また、A と書かれたカードが3枚のとき、選び方は何通りですか。

(2)Aと書かれたカードが100枚のとき、選び方は何通りですか。

(3)Aと書かれたカードが何枚のとき、

  選び方がちょうど3023通りになりますか。

Play072s

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(1)

Aと書かれたカードが2枚のとき、

1枚→(A)(B)(C)

2枚→(AA)(AB)(AC)(BC)

3枚→(AAB)(AAC)(ABC)

4枚→(AABC)

11通り

Aと書かれたカードが3枚のとき、

1枚→(A)(B)(C)

2枚→(AA)(AB)(AC)(BC)

3枚→(AAA)(AAB)(AAC)(ABC)

4枚→(AAAB)(AAAC)(AABC)

5枚→(AAABC)

15通り

(2)

Aが1枚のとき→Aが2枚のとき

7通り→11通り・・・・・4通り増える

Aが2枚のとき→Aが3枚のとき

11通り→15通り・・・・・4通り増える

・・・・・

AがN枚のとき、

7+(N-1)×4 通りになるので、

N=100のとき

7+(100-1)×4=403通り

(3)

7+(N-1)×4=3023

(N-1)×4=3016

N-1=754

N=755枚

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2018年4月10日 (火)

並べ方は何通り?(今年 2018年 開成中学)

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赤球、青球、黄球が2個ずつ6個あります。

同じ色の球がとなり合わないように

6個すべてを左から右ヘー列に並べます。

このような 並べ方は何通りあるか求めなさい。

ただし、同じ色の球は区別しないことにします。

Ball149

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4101

一番左に赤球を置くと、

図のように10通りの並べ方があるので、

並べ方は全部で、10×3=30通り。

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2018年4月 6日 (金)

ぬる方法は何通りありますか?(巣鴨中学 2017年)

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図の立体のすべての面に1色ずつ選んで色をぬるとき、

次の各問いに答えなさい。

ただし、立体のすべての面は形の異なる面で、

どのとなり合う面も同じ色でぬってはいけないものとします。

(1)図の立体の6つの面を赤、青、黄の

   3色すべてを使ってぬる方法は何通りありますか。

(2)図の立体の6つの面を赤、青、黄、緑の

   4色すべてを使ってぬる方法は何通りありますか。

Bandicam_20180406_083800230

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(1)上下を赤にすると、サイドは青黄青黄、黄青黄青の2通り

上下を青、黄にする場合も同様に2通りずつなので、

全部で、2×3=6通り

(2)上面を赤にすると、

①サイドが青黄青黄、黄青黄青、下面が緑の2通り

②サイドが青緑青緑、緑青緑青、下面が黄の2通り

③サイドが青緑青黄、青黄青緑、緑青黄青、黄青緑青、

 下面が赤の4通り

④サイドが緑黄、黄緑黄緑、下面が青の2通り

⑤サイドが緑黄緑青、緑青緑黄、黄緑青緑、青緑黄緑、

 下面が赤の4通り

⑥サイドが黄緑黄青、黄青黄緑、緑黄青黄、青黄緑黄、

 下面が赤の4通り

以上の18通り

上面が青、緑、黄のときも同様に18通りなので、

全部で、18×4=72通り


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2017年3月29日 (水)

何通りありますか?(今年 2017年 足立学園中学)

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1から9までの番号が書いてある9個の玉が袋に入っています。

この袋から玉を1個取り出して番号を確認したら袋に戻す作業を何回か行います。

次の各問いに答えなさい。

(1) この作業を2回行ったとき、2回の番号の差が3であるのは何通り ありますか。

(2) この作業を3回行ったとき、3回の番号の積が奇数となるのは何通りありますか。

3291

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(1)

1回目が1のとき、2回目は4

2のとき、2回目は5

3のとき、2回目は6

4のとき、2回目は1か7の2通り

5のとき、2回目は2か8の2通り

6のとき、2回目は3か9の2通り

7のとき、2回目は4

8のとき、2回目は5

9のとき、2回目は6

合計、3+3×2+3=12通り

(2)

1回でも偶数が入ってしまうと奇数にはならないので、

3回とも奇数を取り出す場合の数を考えます。

奇数は1~9の中に5つあるので、

1回目も2回目も3回目も5通りずつなので、

5×5×5=125通りです。

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2017年2月14日 (火)

ぬり分け方は何通り? (渋谷教育学園渋谷中学 2014年)

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赤、青、緑、黄、紫の5色の絵の具があります。

このうちから何色か使って、下の図の①~⑤の部分をすべてぬり分けようと思います。

ただし、それぞれの部分は、この5色のうちの1色だけでぬり、

となり合った部分は違う色をぬることとします。

 このとき、次の問に答えなさい。

  Pic_4052q

(1)赤、青、緑の3色すべてを使ってぬり分けるとき、何通りのぬり方がありますか。

 (2)赤、青、緑、黄の4色すべてを使ってぬり分けるとき、何通りのぬり方がありますか。

(3)全部で何通りのぬり方がありますか。

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(1)⑤の部分を赤とすると、②と③の部分は、⑤ととなり合っているので、

下の図1-1、1-2 の2通りのぬり方になります。

(この時点で3色すべてを使っています)

  Pic_4053a

図1-1のとき、①には赤か青、④には赤か緑が入るので、

2×2=4通り のぬり方があり、

同様に図1-2のときも4通り のぬり方があります。

⑤を赤とすると、4×2=8通り のぬり方があり、

青、緑のときも同様なので、赤、青、緑の3色をすべて使うと、

8×3=24通り のぬり方があります。

 

(2)5か所を4色でぬるので、どこかとどこかが同じ色にしなければなりません。

同じ色にする場所として考えられるのは、

 ①と③、①と④、①と⑤、②と④、④と⑤

の 5通り があります。

たとえば、①と③を同じ色にするとき、

①、②、④、⑤ を4色でぬる方法を考えればよく、

 4×3×2×1=24通り

があります。

同じ色をぬる場所が変わっても、同様に24通りとなるので、

赤、青、緑、黄の4色すべてを使うと、24×5=120通り のぬり方があります。

 

(3)5色すべてを使うと、5×4×3×2×1=120通り のぬり方があります。

4色を使ってぬるとき、5色から4色を選ぶ方法は 5通りあるので、

(2)より、120×5=600通り のぬり方があります。

3色を使ってぬるとき、5色から3色を選ぶ方法は、

除く2色の選び方と等しく、4+3+2+1=10通り あるので、

(1)より、24×10=240通り のぬり方があります。

1色だけ、2色だけでぬることはできません。

(②、③、⑤の部分は必ず3色必要)

よって、120+600+240=960通り のぬり方があります。

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2017年1月 4日 (水)

何段、何列?(愛知淑徳中学 2014年) 

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Pic_4102a

上の表は、ある決まりに従って1から16までの整数を並べたものです。

同じ決まりに従って整数を並べていったとき、

次の問に答えなさい。

(1)2段の8列にある数はいくつですか。

(2)98は何段の何列にありますか。

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(1)こういった規則的な数の並びの場合、

まず、平方数(同じ数を2回かけた数)がどこにあるかを、考えてみます。

平方数は、下の表1の青い部分にあることがわかります。

    Pic_4103a

 4(2×2)は、2段の1列

 9(3×3)は、1段の3列

 16(4×4)は、4段の1列

 25(5×5)は、1段の5列

となっていて、

 偶数段の1列には、その数の平方数、

 1段の奇数列には、その数の平方数

があることがわかります。

 

2段の8列に近いのは、1段の8列ですが、偶数列なので、

1段の7列が、7×7=49 より、1段の8列は、50 で、

2段の8列にあるのは、51 と求められます。

 

(2)98に最も近い平方数は、10×10=100 で、

100が10段の1列にあり、そこから2個戻れば98なので、

98は、10段の3列にあります。

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2016年11月30日 (水)

ひもの長さは?(慶應義塾湘南藤沢中等部 2012年)

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下の図の正六角柱ABCDEF-GHIJKL は底面が正六角形で

側面は正方形でできています。

図のように、この正六角柱の頂点H から

辺BC上の点M,辺EF上の点Nを通って頂点Kまで

長さが最も短くなるようにひもを張ります。

この正六角柱の表面積が48c㎡ のとき、このひもの長さを求めなさい。

Pic_3098q

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正六角柱の展開図を描くと下の図1のようになるので、

ひもの長さが最短となるのは、図1のように頂点H と頂点K を

一直線に結んだときです。

  Pic_3099a

 また、正六角形は、6個の正三角形から成るので、下の図2のように、

この展開図は、6個の正方形と12個の正三角形で

できていると考えることができます。

  Pic_3100a

立体の表面積が48c㎡ なので、

正方形1個と正三角形2個の面積の合計が8c㎡

ということがわかります。

 

また、下の図3のように、

  Pic_3101a_2

AD,BE,CF の交点Oは、HK上にあり、ちょうどまん中の点です。

(三角形OBHと三角形OEKが合同なので、OH=OK)

 

HKの長さを求めるには、OHの長さを求めればよいことになります。

 

下の図4のように、三角形OHPに注目します。

三角形OBHは二等辺三角形で、角OBH=150度なので、

角BOH=(180-150)÷2=15度 です。

Pic_3102a

同様に角AOP=15度なので、角HOP=60+15+15=90度

となります。

 

ここで、三角形OBHの面積は下の図5のように等積変形すると、

Pic_3103a

正方形の4分の1の面積に等しいことがわかります。

このことから、三角形OHPの面積は下の図6のように

  Pic_3104a

正方形1個 と 正三角形2個分の面積の和に等しいことがわかり、

面積は8c㎡ です。

 

OHの長さとOPの長さは等しいので、三角形OHPは直角二等辺

三角形で、面積が8c㎡ より、OHの長さを□cmとすると、

   □×□÷2=8

より、□=4cm とわかります。

 

よって、最短となるひもの長さ : HKの長さは、4×2=8cm

ということがわかります。

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