目次

図形の移動

2018年10月23日 (火)

円の面積は?(今年 2018年 お茶の水女子大学附属中学)

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1辺の長さが2cmの正三角形4枚を使って、

図のような立 体 ABCD を作りました。

10231

 

机の上で、図の立体を下の手順で順番にたおし、

机に接したすべての面が入る最も小さい円を1つかいたとき、

この円の面積は何㎠ですか。ただし, 円周率は3.14 とします。

手順

①図のように、BCDの面が下になるように机の上に立体を置く。

②辺BDを動かさないようにして、頂点Aが机につくようにたおす。

③辺ABを動かさないようにして、頂点Cが机につくようにたおす。

④辺BCを動かさないようにして、頂点Dが机につくようにたおす。

Paper

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解法のヒント

机に接した面は図のようになります。

10232

141

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解法例

正六角形の一部なので、

円はBを中心にした半径2cmの円になります。

10233

2×2×3.14=12.56㎠

41
 

 

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682

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2018年10月11日 (木)

中心0が通っ た道のりは?(今年 2018年 早稲田中学)

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図の地点Pから地点Qまで半径3cmの円が転がります。

円の中心0が通っ た道のりは何cmですか。

10111

2401

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解法のヒント

図のように転がっていきます。

10112_2

Apa0307s

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解法例


10112_3

△赤はいずれも正三角形なので、

黄色部分は中心角が30°の円弧になり、

緑部分は中心角120°の円弧になります。

円弧部分は、30×4+120=240°なので、

3×2×3.14×240/360+6×5

=4×3.14+30

=42.56cm

Apa300

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682

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2018年7月 9日 (月)

おうぎ形の回転(今年 2018年 学習院中等科)

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下の図は半径が6cm、半径にはさまれた角度が42度のおうぎ形を

点Aを中心として回転したものです。

このとき、次の問いに答えなさい。

7091

(1)おうぎ形を何度回転させたか求めなさい。

(2)色をつけた2つの部分アとイの面積の差を求めなさい。

  ただし、円周率を3.14とします。

(3)角ウの大きさを求めなさい。

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7092

(1)AOはAO'に回転したので、

∠AO'P=42°より、

回転した角度=∠OAO'=180-(42+76)=62°

(2)おうぎ形O'ABとおうぎ形AO'Oは△AO'Pが共通なので、

ア-イ=2つのおうぎ形の面積差となり、

6×6×3.14×62/360-6×6×3.14×42/360

=6×6×3.14×(62/360-42/360)

36×3.14×1/18

=2×3.14

=6.28㎠

(3)ACはABに回転したので、AC=AB

△ABCは二等辺三角形になり、∠BAC=62°より、

∠ABC=(180-62)÷2=59°

∠O'BA=(180-42)÷2=69°

∠ウ=180-(59+69)=52°

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682

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2018年7月 1日 (日)

Oが動いた軌跡は?(今年 2018年 春日部共栄中学)

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半径5cmで中心角が90°のおうぎ形OABが

図のように直線XY上にあります。

このおうぎ形が直線上をすべることなく回転して、

再び辺OAが直線XYに重なる まで転がります。


7011


(1)点Oが移動する道のりを図示しなさい。

(2)(1)で図示した道のりの長さを求めなさい。


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7011


(1)最後はイの位置から、Oを中心に90°右に回転するので、

Oは動きません。

したがって、Oの軌跡は図の赤線のようになります。

Bandicam_20180701_090601157_2
(2)AB間はおうぎ形の弧の長さの直線になるので、

軌跡の長さは、弧の3個分、円周の3/4になるので、

5×2×3.14×3/4=23.55cm

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682

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2018年5月16日 (水)

どんな図になりますか?(桐朋中学 2009年)

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1cmの方眼があります。

この方眼の上で、ある図形を右に1cm、

上に1cm動かしてできる図形と

もとの図形の重なった部分を黒くぬります。

たとえば、たての長さが2cm、横の長さが3cmの長方形を動かすと、

黒くぬる部分は図のようになります。

5161

(1)もとの図形が、次の①、②の太線で表された図形であるとき、

  黒くぬる部分の面積を求めなさい。

  ただし、円周率は3.14とします。

Bandicam_20180516_092741007

(2)黒くぬる部分が図1のようになるとき、

  元の図形を1つ図1にかきなさい。

Bandicam_20180516_092758729
(3)黒くぬる部分が図2のようになるとき、

  もとの図形が、三角形であるものと五角形であるものを

  それぞれ1つずつかきなさい。

Bandicam_20180516_092832706
Bandicam_20180516_092844366

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(1)

5162 5163

「右1cm、上1cm動かしたところに同じ図形を描いてみるといいね」

「①は台形だから、

(1.5+2)×1÷2=1.75c㎡

② は木の葉形の面積になるから、

 

(1×1×3.14÷4-1×1÷2)×2=0.57c㎡」

(2)

5164

「かけた?」

 

「水色はかけた」

(3)

「図2で黒と黄色の三角形を2つとも含む図形を考えればいいね」

5165

「黒は動かない、黄色はなくなる」

「それが手がかりになるかもね」

5166_2

5167_2

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682

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2018年5月15日 (火)

ア~ウにあてはまる数は?(今年 2018年 フェリス女学院中学)

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点Oを中心とする半径 4.5cmの大きい円の周上に点P、

半径3.6cmの小さい円の周上に点Qがあります。

はじめ3点O、P、Qは、図のように一直線上に並んでいます。

はじめの位置から点Pは反時計回りに大きい円の周上を、

点Qは時計回りに小さい円の周上を同時に出発して同じ速さで進み、

同時にはじめの位置に戻ったときに止ま ります。

次のア~ウにあてはまる数をそれぞれ求めなさい。

はじめてO、P、Qが一直線上に並ぶまでに

点Pが進む道のりは( ア )cmです。

三角形OPQ の面積が最も大きくなるとき、その面積は( イ )㎠であり、

このような場合は( ウ )回あります。

5151

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半径の比が、4.5:3.6=5:4 なので、

同じ速さで、同じ時間に進む角度は、逆比になり4:5

一直線になるのは180°なので、

図のように、Pは4.5×2×3.14-80/360cm進み、

5152

ア=9×3.14×2/9=6.28cm

△OPQの面積が最大になるのは、

図のように、OPを底辺にした場合、

高さが最大になるのOQがOPに対して直角になったときで、

5153

イ=4.5×3.6÷2=8.1㎠

止まるときはQが5周、Pが4周しています。

Pが40°、80°、120°、160°、200°、

240°280°、320°、360°のときに

OQと90°(△OPQの面積が最大)と180°(一直線)を繰り返すので、

Pが1周目、5回直角

Pが2周目、4回直角

Pが3周目、5回直角

Pが4周目、4回直角 より、

ウ=18回




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682

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2018年4月 5日 (木)

斜線部分の面積は?(今年 2018年 函館ラ・サール中学)

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下の図のように、

直角三角形ABCを点Cを中心に時計回りに90°回転させました。

点Aが点A’、点Bが点B’に移るとき、

斜線部分の面積は何㎠ですか。

ただし、 円周率は3.14とします。


Bandicam_20180405_095416466

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4051_2

黄色部分を赤部分に移動すると、

求める面積は、中心角90°、半径5cmの扇形から、

中心角90°、半径3cmの扇形を引けばよいことになります。

5×5×3.14×1/4-3×3×3.14×1/4

=(25-9)×3.14×1/4

=4×3.14

=12.56㎠

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2018年2月 8日 (木)

切断面の形と糸の動く範囲は?(今年、2018年 駒場東邦中学)

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図のような1辺の長さが6cmの正三角形が4つと、

正方形からできる四角錐O-ABCDについて

辺 AB、OB、CDの真ん中の点をそれぞれL、M、N とします。

281

ただ し、円周率は3.14として、次の問いに答え なさい。

(1)3点L、M、Nを含む平面でこの四角錐 を切り分けます。

 ①切断面はどのような図形か答えなさい。

 ②切断面の周の長さを答えなさい。

282

(2)頂点Oに長さ6cmの糸をつけます。

  もう片方の糸の先端が、

  この四角錐の表面上を動くことができる範囲について考えます。

 ①解答欄の展開図に動くことができる範囲をかき、斜線で示しなさい。

 ②動くことができる範囲の面積を求めなさい。

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(1)

Bandicam_20180208_084818704_2

Bandicam_20180208_084906570

①図のように等脚台形になります。

Bandicam_20180208_085030889

Bandicam_20180208_085053048

②周の長さは、図のように、

6+3×3=15cm

(2)

Bandicam_20180208_085638250

②面積は、

6×6×3.14×(60×4)/360=75.36㎠

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2018年1月22日 (月)

点が動く範囲とその面積は?(今年、2018年 灘中学 2日目)

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図1は1辺の長さが8cmの立方体です。

また、I、J、K、Lは各辺の真ん中の点です。

点Pが面AEFB上にあり、点Qが面DHGC上にあるとき、

P、Qを直線で結びその真ん中の点をMとすると、

Mは 4点I、J K Lを通る平面上にあります。

図1

1227

点Pが面AEFB上で点Eからちょうど8cm離れたところを動き、

点Qは面DHGC上で点Gからちようど8cm離れたところを動きます。

このとき、PQの真ん中の点Mが動くことのできる部分を、

例にならって図2にかき入れなさい。

そしてその面積を求めなさい。



1221

図2

1222

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点Mの軌跡のイメージは図のようになります。

1229

PをAに固定してQを動かすとMの軌跡は図のようになります。

1223

次に、PをFに固定してQを動かすとMの軌跡は図のようになります。

1224

次に、QをCに固定してPを動かすとMの軌跡は図のようになります。

1225

次に、QをHに固定してPを動かすとMの軌跡は図のようになります。

1226

色部分がMの動ける範囲で、面積は正方形の半分の32㎠です。.

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2018年1月 7日 (日)

底にくる目の数は?(淑徳与野中学 2017年)

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図のように、さいころを矢印の向きにAまでころがします。

Aにきたとき、底の目の数はいくつですか。

ただし、さいころの向かい合う目の和は7になっています。


1071

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図のように、上面が2になるので、

底の面は5です。

1072

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