目次

図形の移動

2019年8月28日 (水)

底面が動く水槽問題(慶應義塾湘南藤沢中等部 2018年)

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底面を水平のまま動かせる水そうがあります。

図のように最初の底面の位置は深さ60cmのAの ところにあります。

ここに水を一定の量ずつ入れ始めると同時に

毎分2cmの速さで底面を上げていったところ、

3分後の水面の高さは Aから8cm になりました。

(1) 水は毎分何しℓずつ入りますか。

(2) 水そうがいっぱいになるのは、水を入れ始めてから 何分後ですか。

(3) 水を入れ始めてから口分後に、底面の上がる速さを1/3にして、

  水を入れる量を2倍にした ところ、

  水を入れ始めてから 24分後に水そうがいっぱいになりました。

  口に入る数を求めなさい。

11171

Paper

 

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解法のヒント

底面は毎分2cmで上がりますから、

3分では、2×3=6cm上がります。

水は底面が動いても動かなくても、

底面上の水面の高さは毎分一定の量で増えていきます。

11173

3分後水面の高さはAから8cmの高さになったので、

底面から水面までは、8-6=2cm

Pce022s

 

解法例

(1)

40×25×2=2000立方cm=2ℓ

1分間に、2÷3=2/3ℓ

(2)

水は1分間に底面から、

2/3ℓ÷(40cm×25cm)=2/3cm上昇します。

△分で60cmになるとすると、

2×△+2/3×△=60

8/3×△=60

△=22.5分

(3)

□分間は、水面は1分間に

2+2/3=8/3cm上がります。

□分後~24分の間は、

2×1/3+2×2/3=2/3+4/3=6/3cm上がります。

下のようにの面積図にしてみると、

11172

1分間に8/3cmのままなら24分間で64cmなので、

白い部分の面積は4ということになり、

PQ=8/3-6/3=2/3 より、

QRの長さは、

4÷2/3=6となるので、

□=24-6=18分です。

6082

 

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682

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2019年5月14日 (火)

クモが捕らえられる虫はどこにいるかな?(麻布中学 2018年 )

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ある長方形があり、

頂点にいるクモが内部にいる虫を捕らえようとしています。

ただし、クモは一定の速さで移動し、虫は動かないものとします。

クモは、まず以下の規則で辺上を移動します。

虫に最も近い辺上の点(図1中の〇で表されて いる点)が一つだけあるとき、

その点まで辺上を最短経路で移動する。

10131

 

虫に最も近い辺上の点(図2、 図3中の〇で表されている点)が

複数あると き、それらのなかで最も早く着ける点のいずれかまで

辺上を最短経路で移動する。

10132

10133

 

こののち, クモは虫に向かってまっすぐ移動します。

例えば、図1、図2、図3の位置に虫がいるとき、

クモが移動を始めてから虫を捕らえるまでの動きは

それぞれ下図のようになります。

101311

101322

101333

 

クモの移動する速さは秒速10cmであるとして、

以下の問いに答えなさい。

(1)図4のように1辺の長さが10cmの正方形の頂点にクモがいるとします。

クモが1.5秒以内で捕らえることができるのは、

どのような範囲にいる虫ですか。

その範囲を斜線で示しなさい。

ただし、図中の点線は5cmごとに引いてあります。

10134

 

(2)図5のように、 縦の長さが10cm、

横の長さが20cmの長方形の頂点にクモが いるとします。

クモが2.5秒以内で捕らえることができるのは、

どのような範囲にいる虫ですか。

その範囲を斜線で示しなさい。

ただし、図中の点線は5cmごとに引いてあります。

10135_2

 

(3) (2)で示した斜線部分の範囲の面積を求めなさい。

 

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解法のヒント

2.5cmごとに線をひいて、

クモが行ける交点を〇、いけない交点を×で記入していきます、

101344_2

 

101355

Panda151587_640


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解法例

(1)

1013444

 

(2)

1013555

 

(3)

(5×5)×5+(5×5)×1/2+(5×5)×3/4

=(5×5)×(5+1/2+3/4)

=25×6.25

=156.25㎠

Panda151605_640

 

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682

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2019年3月13日 (水)

点Bの動いた道すじの長さは?(今年 2019年 栄光学園中学)

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半径10cmの円の内部に、

1辺の長さが10cmの正三角形ABCが図1のようにあります。

点Aをつけたまま、点Bが円周につくまで、

正三角形を回転させます(図2)。

2111

     図1                        図2

次に、点Bをつけたまま、点Cが円周につくまで回転させます。

このような回転を同 じ向きに繰り返していきます。

図1の位置からもとの位置に戻ってくるまで回転を6回繰り返したとき、

点Bの動いた道すじの長さを、四捨五入して小数第2位まで求めなさい。

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解法例

6085

Bは図のような軌跡になるので、

2112

10×2×3.14×(60×4)/360

=20×3.14×2/3

=41.8.7cm

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682

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2018年10月23日 (火)

円の面積は?(今年 2018年 お茶の水女子大学附属中学)

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1辺の長さが2cmの正三角形4枚を使って、

図のような立 体 ABCD を作りました。

10231

 

机の上で、図の立体を下の手順で順番にたおし、

机に接したすべての面が入る最も小さい円を1つかいたとき、

この円の面積は何㎠ですか。ただし, 円周率は3.14 とします。

手順

①図のように、BCDの面が下になるように机の上に立体を置く。

②辺BDを動かさないようにして、頂点Aが机につくようにたおす。

③辺ABを動かさないようにして、頂点Cが机につくようにたおす。

④辺BCを動かさないようにして、頂点Dが机につくようにたおす。

Paper

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解法のヒント

机に接した面は図のようになります。

10232

141

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解法例

正六角形の一部なので、

円はBを中心にした半径2cmの円になります。

10233

2×2×3.14=12.56㎠

41
 

 

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682

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2018年10月11日 (木)

中心0が通っ た道のりは?(今年 2018年 早稲田中学)

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図の地点Pから地点Qまで半径3cmの円が転がります。

円の中心0が通っ た道のりは何cmですか。

10111

2401

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解法のヒント

図のように転がっていきます。

10112_2

Apa0307s

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解法例


10112_3

△赤はいずれも正三角形なので、

黄色部分は中心角が30°の円弧になり、

緑部分は中心角120°の円弧になります。

円弧部分は、30×4+120=240°なので、

3×2×3.14×240/360+6×5

=4×3.14+30

=42.56cm

Apa300

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682

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2018年7月 9日 (月)

おうぎ形の回転(今年 2018年 学習院中等科)

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下の図は半径が6cm、半径にはさまれた角度が42度のおうぎ形を

点Aを中心として回転したものです。

このとき、次の問いに答えなさい。

7091

(1)おうぎ形を何度回転させたか求めなさい。

(2)色をつけた2つの部分アとイの面積の差を求めなさい。

  ただし、円周率を3.14とします。

(3)角ウの大きさを求めなさい。

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7092

(1)AOはAO'に回転したので、

∠AO'P=42°より、

回転した角度=∠OAO'=180-(42+76)=62°

(2)おうぎ形O'ABとおうぎ形AO'Oは△AO'Pが共通なので、

ア-イ=2つのおうぎ形の面積差となり、

6×6×3.14×62/360-6×6×3.14×42/360

=6×6×3.14×(62/360-42/360)

36×3.14×1/18

=2×3.14

=6.28㎠

(3)ACはABに回転したので、AC=AB

△ABCは二等辺三角形になり、∠BAC=62°より、

∠ABC=(180-62)÷2=59°

∠O'BA=(180-42)÷2=69°

∠ウ=180-(59+69)=52°

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682

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2018年7月 1日 (日)

Oが動いた軌跡は?(今年 2018年 春日部共栄中学)

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半径5cmで中心角が90°のおうぎ形OABが

図のように直線XY上にあります。

このおうぎ形が直線上をすべることなく回転して、

再び辺OAが直線XYに重なる まで転がります。


7011


(1)点Oが移動する道のりを図示しなさい。

(2)(1)で図示した道のりの長さを求めなさい。


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7011


(1)最後はイの位置から、Oを中心に90°右に回転するので、

Oは動きません。

したがって、Oの軌跡は図の赤線のようになります。

Bandicam_20180701_090601157_2
(2)AB間はおうぎ形の弧の長さの直線になるので、

軌跡の長さは、弧の3個分、円周の3/4になるので、

5×2×3.14×3/4=23.55cm

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682

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2018年5月16日 (水)

どんな図になりますか?(桐朋中学 2009年)

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1cmの方眼があります。

この方眼の上で、ある図形を右に1cm、

上に1cm動かしてできる図形と

もとの図形の重なった部分を黒くぬります。

たとえば、たての長さが2cm、横の長さが3cmの長方形を動かすと、

黒くぬる部分は図のようになります。

5161

(1)もとの図形が、次の①、②の太線で表された図形であるとき、

  黒くぬる部分の面積を求めなさい。

  ただし、円周率は3.14とします。

Bandicam_20180516_092741007

(2)黒くぬる部分が図1のようになるとき、

  元の図形を1つ図1にかきなさい。

Bandicam_20180516_092758729
(3)黒くぬる部分が図2のようになるとき、

  もとの図形が、三角形であるものと五角形であるものを

  それぞれ1つずつかきなさい。

Bandicam_20180516_092832706
Bandicam_20180516_092844366

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(1)

5162 5163

「右1cm、上1cm動かしたところに同じ図形を描いてみるといいね」

「①は台形だから、

(1.5+2)×1÷2=1.75c㎡

② は木の葉形の面積になるから、

 

(1×1×3.14÷4-1×1÷2)×2=0.57c㎡」

(2)

5164

「かけた?」

 

「水色はかけた」

(3)

「図2で黒と黄色の三角形を2つとも含む図形を考えればいいね」

5165

「黒は動かない、黄色はなくなる」

「それが手がかりになるかもね」

5166_2

5167_2

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682

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2018年5月15日 (火)

ア~ウにあてはまる数は?(今年 2018年 フェリス女学院中学)

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点Oを中心とする半径 4.5cmの大きい円の周上に点P、

半径3.6cmの小さい円の周上に点Qがあります。

はじめ3点O、P、Qは、図のように一直線上に並んでいます。

はじめの位置から点Pは反時計回りに大きい円の周上を、

点Qは時計回りに小さい円の周上を同時に出発して同じ速さで進み、

同時にはじめの位置に戻ったときに止ま ります。

次のア~ウにあてはまる数をそれぞれ求めなさい。

はじめてO、P、Qが一直線上に並ぶまでに

点Pが進む道のりは( ア )cmです。

三角形OPQ の面積が最も大きくなるとき、その面積は( イ )㎠であり、

このような場合は( ウ )回あります。

5151

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

半径の比が、4.5:3.6=5:4 なので、

同じ速さで、同じ時間に進む角度は、逆比になり4:5

一直線になるのは180°なので、

図のように、Pは4.5×2×3.14-80/360cm進み、

5152

ア=9×3.14×2/9=6.28cm

△OPQの面積が最大になるのは、

図のように、OPを底辺にした場合、

高さが最大になるのOQがOPに対して直角になったときで、

5153

イ=4.5×3.6÷2=8.1㎠

止まるときはQが5周、Pが4周しています。

Pが40°、80°、120°、160°、200°、

240°280°、320°、360°のときに

OQと90°(△OPQの面積が最大)と180°(一直線)を繰り返すので、

Pが1周目、5回直角

Pが2周目、4回直角

Pが3周目、5回直角

Pが4周目、4回直角 より、

ウ=18回




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682

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2018年4月 5日 (木)

斜線部分の面積は?(今年 2018年 函館ラ・サール中学)

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下の図のように、

直角三角形ABCを点Cを中心に時計回りに90°回転させました。

点Aが点A’、点Bが点B’に移るとき、

斜線部分の面積は何㎠ですか。

ただし、 円周率は3.14とします。


Bandicam_20180405_095416466

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4051_2

黄色部分を赤部分に移動すると、

求める面積は、中心角90°、半径5cmの扇形から、

中心角90°、半径3cmの扇形を引けばよいことになります。

5×5×3.14×1/4-3×3×3.14×1/4

=(25-9)×3.14×1/4

=4×3.14

=12.56㎠

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