目次

図形の移動

2017年6月22日 (木)

点Pと点Qの距離は?(今年 2017年 共立女子中学)

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下の図のように、四角形ABCDの辺上を半径2cmの円Xと、

半径1cmの円Yの中心が自由に動きます。

また、点Pと点Qはそれぞれ円X、円Y上の点です。

①2つの円の中心が点Aと点Bにあるとき、

  点Pと点Qの距離は何cm以上、何cm以下ですか。

②点Pと点Qが最も離れているとき、その距離は何cmですか。


6221

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6222

一番近いときでP2Q2no5cm以上

一番遠いときでP1Q1の11cm以下

6223

図の場合で、13cm

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2017年5月30日 (火)

円が動いた面積は?(今年 2017年 雙葉中学)

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半径3cmの円A、Bがあります。

下の図のように、円Aが円Bの円周にそって、

(あ)の位置から時計まわりにすべらずに回転して、

(い)の位置まで動きました。

(1)コンパスと定規を使って、円Aが通った部分を斜線で示しましょう。

(2)(1)の斜線部分の面積は何㎠ですか。 円周率は3.14です。

5301

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Bandicam_20170530_073126841_2

9×9×3.14×300/360-3×3×3.14×300/360+3×3×3.14

=(81-9)×  3.14×5/6+9×3.14

=(72×5/6+9)×3.14

=69×3.14

=216.66㎠

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2017年5月14日 (日)

5度目に集まるのは何秒後?(今年 2017年 青山学院中等部)

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図のような1辺の長さが1cmの正方形ABCDがあります。

4つの点P、Q、R、Sは、それぞれ預点A、B、C、Dを同時に出発し、

それぞれ1秒間に1cm、2cm、3cm、4cmの速さで

周上を矢印の方向に移動します。

4つの点が同じ頂点に集まるときがありますが

5度目に集まるのは出発してから何秒後ですか?

5141

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Pが頂点に来るのは、1秒後、2秒後、3秒後、・・・と整数秒後です。

Sは整数秒後には、必ずDに来ます。

したがって、4点がいっしょに集まる頂点はDになるので、

同時にDに来る時間を調べると、

   1  2  3  4  5  6  7  8  ・・・・ 秒

P  B  C  D  A  B  C  D  A  ・・・・

Q  D  B  D  B  D  B  D  B  ・・・・

R  B  A  D  C  B  A  D  C  ・・・・

S  D  D  D  D  D  D  D  D  ・・・・

1回目の3秒後の後は、4秒ごとにDで集まることがわかります。

1回目→3秒後

2回目→7秒後

3回目→11秒後

4回目→15秒後

5回目→19秒後

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2017年3月22日 (水)

直線ℓの上に出ている部分の面積は?(今年 2017年 芝浦工業大学中学)

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図のように、地面から45度領いた斜面に直角二等辺三角形があります。

この三角形が矢印の方向に毎秒1cmの速さで進みます。

図の状態から2秒後に、直線ℓの上に出ている部分の面積は何㎠ですか? 

3221

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図のように2cm、矢印の方向に移動するので、

3222

2×2÷2÷2= 1㎠

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2017年2月15日 (水)

正方形が通る範囲は?(今年 2017年 栄光学園中学)

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円周率は3.14とします。

一辺の長さが10cmの正方形の紙があります。

この正方形の内部のどこか1点にピンをさし、

その点を中心に紙を1回転させたときにこの紙が通過する範囲を考えます。

(1)下図において、点Oにピンをさすとき、

   正方形の紙の通過する範囲を図にかき、

   その範囲がわか るように斜線を引きなさい。

Bandicam_20170215_073159856

(2)正方形の紙が通過する範囲の面積が最も小さくなるのは、

   どこにピンをさしたときですか。ピンの 位置を黒丸( ● ) で示しなさい。

   また、そのときの面積を求めなさい。

(3)正方形の紙が通過する範囲の面積が

   314c㎡以下となるようにビンをさします。

   ピンをさすことができる範囲を図にかき、

   その範囲がわかるように斜線を引きなさい。

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(1)

Bandicam_20170215_075244073
(2)

Bandicam_20170215_080237555

Bandicam_20170215_080806453

円の半径を□とすると、

2×□×2×□÷2=100 なので、

□×□=50

正方形が通る範囲の円の面積は、

50×3.14=157c㎡

(3)

2153

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2017年2月 5日 (日)

2点PQが出会うのは何秒後?(今年、2017年 桜蔭中学)

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下の図は、AD=DH=16cm、 GH=12cmの直方体ABCD-EFGHで、

AF=20cmです。

2つの動く点PとQが同時に出発して、毎秒2cmの速さで、

点Pは長方形ADGFの周上を、点Qは三角形CDGの周上を次のように動きます。

点P:A→D→G→F→A→D→G→・・・・・・

点Q:G→D→C→G→D→・・・・・・

(1)2点P、Qが初めて出会うのは、2点が出発してから何秒後ですか。

(2)2点P、Qが4回目に出会うのは、2点が出発してから何分何秒後ですか。

Bandicam_20170205_095533049

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(1) AD<GDなので、 最初に出会うのはGD上です。

AD+GD=16+20=36cm

2点の速さは、毎秒2cmなので、

36÷(2+2)=9秒後です。

(2)2点が出会うのはGD上に限られるので、

PとQがGD上を移動する時間を調べます。

P

8~18

44~54

80~90

116~126

152~162

・・・・・

Q

0~10

24~34

48~58

72~82

96~106

120~130

・・・・・

時間が重なったところで出会っているので、

4回目は、Pが116~126 Qが120~130 のところ、

QがGに来た120秒後には、PはDから4秒後、

2×4=8cmの位置にいます。

したがって、出会うのは、

(20-8)÷(2+2)=3秒後なので、

120+3=123秒後=2分3秒後です。

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2017年1月27日 (金)

ロボットはどう動く?(今年、2017年 京都市立西京高等学校附属中学)

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太郎さんのお父さんが「プログラム付きロボット」を

プレゼントに買って きてくれました。

この「プログラム付きロボット」は、

あらかじめ与えた条件 (プログラム)にしたがって、平面上を動きます。

また、プログラムとして、次の2つの条件を与えることができます。

<条件1> 次に進むマスへの方向

A: 進行方向に対して、まっすぐ進む。

B: 進行方向に対して、右へ120度曲がって進む。

C: 進行方向に対して、左へ120度曲がって進む。

<条件2 > 次のマスまで進むのにかかる時間

※ただし、<条件2>における時間は、1秒単位で与えるものとします。

《例》
プログラム <条件1>A一B一C  <条件2>5秒 で、

スタート地点に矢印の向きにおく。

このとき、ロボットは、スタート地点を出発 してから15秒後に

ゴール地点に着きます。

ま た、太線は15秒間の経路を表しています。

1271

(1) プログラム <条件1>AーCーBーB <条件2>1秒 で、

図のスタート地点に矢印の向きにおいたときの、

4秒間の経路と4秒後のゴール地点を

(例) にならって、解答用紙に書きな さい。

1272

(2)18秒後にスタート地点に初めて戻ってくるプログラムを作りました。

以下の空欄に入る記号または数字を答えなさい。

プログラム <条件1> Aー (   ) ー A ーBー (   )ー C  <条件2> (   )秒

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(1)

1273

(2)

1274

Aー(B)ーAーBー(B)ーC

3秒

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2017年1月 7日 (土)

軌跡の長さと面積は?(2016年 洛星中学)

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一辺の長さが10cmのひし形ABCDがあり、

面積が96c㎡で、対角線 ACの長さが12cmです。

点Bを中心として、ひし形ABCDを180°時計回りに回転させるとき、

点Dの動く道のりは何cmですか。

また、△ACD の通過する部分の面積は何c㎡ですか。

12211_3

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Bandicam_20170107_090301408
Bandicam_20170107_090319480
Bandicam_20170107_090526640
Bandicam_20170107_090629106

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2016年11月10日 (木)

重なるのは何秒後?(東大寺学園中学 2015年)

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図のような長方形ABCDがあります。

点Pは頂点Aを出発して,長方形の周上を時計と逆回りでA→B→C→D→Aの順に,

点Qは頂点Aを出発して,長方形の周上を時計回りでA→D→C→B→Aの順に,

それぞれ一定の速さで一周するものとします。

2点P,Qが同時に頂点Aを出発してから5.2秒後に,点Pは辺BC上に,

点Qは辺DC上にあり,三角形APQが直角二等辺三角形になりました。

2点P,Qが重なるのはそれから何秒後ですか。
3041

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図のように、△APQにおいて角Pが直角になる場合、

APは常にAB=5cmより長く、PQは常にBC=4cmより短いので、

AP=PQなることはありません。

3042

△APQが直角二等辺三角形になるのは下の図のように、

角Qが直角になるときです。

3043

角○+角□=90°なので、

△黄と△緑は合同な直角三角形になります。

したがって、AD=QC=4cm になるので、

DQ=CP=1cm、PB=3cm になります。

Pは5+3=8cmを5.2秒で進んだので、秒速(8/5.2)cm

Qは4+1=5cmを5.2秒で進んだので、秒速(5/5.2)cm

2点が重なるまでのキョリは4+1=5cm なので、向かい合う旅人算で考えると、

2点が出会うまで、5÷(8/5.2+5/5.2)=2秒 です。

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2016年10月28日 (金)

対角線が通過する形は?(2015年 聖光学院中学)

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図1のように、1辺の長さが6cmの正方形ABCDと、

1辺の長さが3cmの正方形PQRSが、

点Sと点Aが重なり、辺AB上に点Rがあるように置かれています。

図1の状態から図2のように、点Qが点Bに重なるまで、

正方形PQRSが反時まわりにすべらないように回転するとき、

対角線QSが通過する部分を図示し、その部分の面積を求めなさい。

ただし、円周率は3.14とします。

Bandicam_20151011_085315049

Bandicam_20151011_085335380

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Bandicam_20161028_075806498

半径3cmの半円から、

緑部分と黄分を引けばいいわけです。

緑部分2つを合わせると、

対角線の長さが3cmの正方形になります。

3×3÷2=4.5c㎡

黄色部分のおうぎ形は、中心角90°で、

半径×半径が4.5になります。

したがって、求める面積は、

3×3×3.14×1/2-(4.5+4.5×3.14×1/4)

=(4.5-4.5×1/4)×3.14-4.5

=6.0975c㎡

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