目次

図形の移動

2017年3月22日 (水)

直線ℓの上に出ている部分の面積は?(今年 2017年 芝浦工業大学中学)

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図のように、地面から45度領いた斜面に直角二等辺三角形があります。

この三角形が矢印の方向に毎秒1cmの速さで進みます。

図の状態から2秒後に、直線ℓの上に出ている部分の面積は何㎠ですか? 

3221

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図のように2cm、矢印の方向に移動するので、

3222

2×2÷2÷2= 1㎠

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2017年2月15日 (水)

正方形が通る範囲は?(今年 2017年 栄光学園中学)

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円周率は3.14とします。

一辺の長さが10cmの正方形の紙があります。

この正方形の内部のどこか1点にピンをさし、

その点を中心に紙を1回転させたときにこの紙が通過する範囲を考えます。

(1)下図において、点Oにピンをさすとき、

   正方形の紙の通過する範囲を図にかき、

   その範囲がわか るように斜線を引きなさい。

Bandicam_20170215_073159856

(2)正方形の紙が通過する範囲の面積が最も小さくなるのは、

   どこにピンをさしたときですか。ピンの 位置を黒丸( ● ) で示しなさい。

   また、そのときの面積を求めなさい。

(3)正方形の紙が通過する範囲の面積が

   314c㎡以下となるようにビンをさします。

   ピンをさすことができる範囲を図にかき、

   その範囲がわかるように斜線を引きなさい。

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(1)

Bandicam_20170215_075244073
(2)

Bandicam_20170215_080237555

Bandicam_20170215_080806453

円の半径を□とすると、

2×□×2×□÷2=100 なので、

□×□=50

正方形が通る範囲の円の面積は、

50×3.14=157c㎡

(3)

2153

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2017年2月 5日 (日)

2点PQが出会うのは何秒後?(今年、2017年 桜蔭中学)

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下の図は、AD=DH=16cm、 GH=12cmの直方体ABCD-EFGHで、

AF=20cmです。

2つの動く点PとQが同時に出発して、毎秒2cmの速さで、

点Pは長方形ADGFの周上を、点Qは三角形CDGの周上を次のように動きます。

点P:A→D→G→F→A→D→G→・・・・・・

点Q:G→D→C→G→D→・・・・・・

(1)2点P、Qが初めて出会うのは、2点が出発してから何秒後ですか。

(2)2点P、Qが4回目に出会うのは、2点が出発してから何分何秒後ですか。

Bandicam_20170205_095533049

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(1) AD<GDなので、 最初に出会うのはGD上です。

AD+GD=16+20=36cm

2点の速さは、毎秒2cmなので、

36÷(2+2)=9秒後です。

(2)2点が出会うのはGD上に限られるので、

PとQがGD上を移動する時間を調べます。

P

8~18

44~54

80~90

116~126

152~162

・・・・・

Q

0~10

24~34

48~58

72~82

96~106

120~130

・・・・・

時間が重なったところで出会っているので、

4回目は、Pが116~126 Qが120~130 のところ、

QがGに来た120秒後には、PはDから4秒後、

2×4=8cmの位置にいます。

したがって、出会うのは、

(20-8)÷(2+2)=3秒後なので、

120+3=123秒後=2分3秒後です。

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2017年1月27日 (金)

ロボットはどう動く?(今年、2017年 京都市立西京高等学校附属中学)

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太郎さんのお父さんが「プログラム付きロボット」を

プレゼントに買って きてくれました。

この「プログラム付きロボット」は、

あらかじめ与えた条件 (プログラム)にしたがって、平面上を動きます。

また、プログラムとして、次の2つの条件を与えることができます。

<条件1> 次に進むマスへの方向

A: 進行方向に対して、まっすぐ進む。

B: 進行方向に対して、右へ120度曲がって進む。

C: 進行方向に対して、左へ120度曲がって進む。

<条件2 > 次のマスまで進むのにかかる時間

※ただし、<条件2>における時間は、1秒単位で与えるものとします。

《例》
プログラム <条件1>A一B一C  <条件2>5秒 で、

スタート地点に矢印の向きにおく。

このとき、ロボットは、スタート地点を出発 してから15秒後に

ゴール地点に着きます。

ま た、太線は15秒間の経路を表しています。

1271

(1) プログラム <条件1>AーCーBーB <条件2>1秒 で、

図のスタート地点に矢印の向きにおいたときの、

4秒間の経路と4秒後のゴール地点を

(例) にならって、解答用紙に書きな さい。

1272

(2)18秒後にスタート地点に初めて戻ってくるプログラムを作りました。

以下の空欄に入る記号または数字を答えなさい。

プログラム <条件1> Aー (   ) ー A ーBー (   )ー C  <条件2> (   )秒

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(1)

1273

(2)

1274

Aー(B)ーAーBー(B)ーC

3秒

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2017年1月 7日 (土)

軌跡の長さと面積は?(2016年 洛星中学)

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一辺の長さが10cmのひし形ABCDがあり、

面積が96c㎡で、対角線 ACの長さが12cmです。

点Bを中心として、ひし形ABCDを180°時計回りに回転させるとき、

点Dの動く道のりは何cmですか。

また、△ACD の通過する部分の面積は何c㎡ですか。

12211_3

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Bandicam_20170107_090301408
Bandicam_20170107_090319480
Bandicam_20170107_090526640
Bandicam_20170107_090629106

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2016年11月10日 (木)

重なるのは何秒後?(東大寺学園中学 2015年)

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図のような長方形ABCDがあります。

点Pは頂点Aを出発して,長方形の周上を時計と逆回りでA→B→C→D→Aの順に,

点Qは頂点Aを出発して,長方形の周上を時計回りでA→D→C→B→Aの順に,

それぞれ一定の速さで一周するものとします。

2点P,Qが同時に頂点Aを出発してから5.2秒後に,点Pは辺BC上に,

点Qは辺DC上にあり,三角形APQが直角二等辺三角形になりました。

2点P,Qが重なるのはそれから何秒後ですか。
3041

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図のように、△APQにおいて角Pが直角になる場合、

APは常にAB=5cmより長く、PQは常にBC=4cmより短いので、

AP=PQなることはありません。

3042

△APQが直角二等辺三角形になるのは下の図のように、

角Qが直角になるときです。

3043

角○+角□=90°なので、

△黄と△緑は合同な直角三角形になります。

したがって、AD=QC=4cm になるので、

DQ=CP=1cm、PB=3cm になります。

Pは5+3=8cmを5.2秒で進んだので、秒速(8/5.2)cm

Qは4+1=5cmを5.2秒で進んだので、秒速(5/5.2)cm

2点が重なるまでのキョリは4+1=5cm なので、向かい合う旅人算で考えると、

2点が出会うまで、5÷(8/5.2+5/5.2)=2秒 です。

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2016年10月28日 (金)

対角線が通過する形は?(2015年 聖光学院中学)

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図1のように、1辺の長さが6cmの正方形ABCDと、

1辺の長さが3cmの正方形PQRSが、

点Sと点Aが重なり、辺AB上に点Rがあるように置かれています。

図1の状態から図2のように、点Qが点Bに重なるまで、

正方形PQRSが反時まわりにすべらないように回転するとき、

対角線QSが通過する部分を図示し、その部分の面積を求めなさい。

ただし、円周率は3.14とします。

Bandicam_20151011_085315049

Bandicam_20151011_085335380

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Bandicam_20161028_075806498

半径3cmの半円から、

緑部分と黄分を引けばいいわけです。

緑部分2つを合わせると、

対角線の長さが3cmの正方形になります。

3×3÷2=4.5c㎡

黄色部分のおうぎ形は、中心角90°で、

半径×半径が4.5になります。

したがって、求める面積は、

3×3×3.14×1/2-(4.5+4.5×3.14×1/4)

=(4.5-4.5×1/4)×3.14-4.5

=6.0975c㎡

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2016年8月14日 (日)

巻き終わるまでにかかった時間と長さは?(慶應義塾湘南藤沢中等部 2007年)

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点O を中心とする半径6cmの円板を3分の1に切った板が あります。

この板を下の図A のように、OPが地面と平行になる ように点Oで壁に固定して、

長さ20cmのひもPQをぶら下げます。

いま、点Oを中心として、毎秒20°の速さで反時計回りにこの板を回転させて、

ひもをたるまないように巻き取っていきます。

円周率を3として、次の問に答えなさい。

    Pic_26021q

(1)ひもを巻き終わるまでにかかった時間を求めなさい。

(2)ひもを巻き終わるまでに点Qが動いた長さを求めなさい。

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円周率が3と指定されていることに注意しましょう。

(1)板の弧の長さは、6×2×3×120/360=12cm です。

板の半径をOPとOR とすると、板が反時計回りに回転すると、

ひもPQは、まず、下の図1のように240°回転してPO、ORの部分に巻き取られ、

     Pic_2603a

残りがRQの部分の8cmになります。

弧PRの長さが12cmなので、

弧の長さの2/3回転すれば完全に巻き取ることができ、

図1の状態から、120°の2/3の80度回転すればよく、

最初の状態から、240+80=320°

回転すれば巻き終わります。

毎秒20°回転するので、かかる時間は、320÷20=16秒

と求められます。

 

(2)まず板が90度回転して、点Qは下の図2の状態になります。

  Pic_2604a

点Qが動いた長さ(赤い点線)は、6×2×3×90/360=9cmで、

次に点Qは、図2から下の図3の状態まで60度回転しても動きません。

 Pic_2605a

図3の状態から、図1の状態まで、下の図4のように点Qが動き、

 Pic_2606a

この移動した長さも、同様に9cmです。

図4からは点Qは上へ8cm動くのみなので、

ひもを巻き終わるまでに点Qが動いた長さは、

  9+9+8=26cm です。

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2016年6月28日 (火)

出発してから何秒後?(2016年 渋谷教育学園幕張中学)

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図1のように、周の長さが60cmの円ばんがあり、

中心の点Oに、時計回りに動く針がついています。

この針の先端の点Pは、円ばんの周上の点Aから動き始めて、

30秒で1周するように、一定の速さで周上を動き続けます。

図2のように、この円ばんを点A(P)が直線と重なるように置き、

点Pが点Aを出発するのと同時に、直線上を図2の右方向に、

秒速8cmの速さですべらないように転がします。

そして、点Aと点Pが再び同時に直線と重なったとき、円ばんを止めます。

円ばんが転がるときも、針は円ばん上を30秒で1周する速さで動きます。

6283

(1)点Pが再び直線と重なるのは、点Aを出発してから何秒後ですか?

(2)円ばんが止まるのは、転がり始めてから何秒後ですか?

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6284

(1)円ばんが1秒間に8cm移動すると、

直線の赤い部分と円周の赤い部分は長さが同じなので、

A点は最初の位置から図のように8cm回転しています。

点Pは円周上を秒速、60÷30=2cmの速さで移動するので、

1秒間では2cm、点Aから青い部分だけ進んでいます。

1秒間では、8+2=10cm回転したことになるので、

60÷10=6秒で、最初の直線上に来ることになります。

(2)6秒後に点AはPの、2×6=12cm後ろにあります。

点Aがちょうど1周遅れになり、点Pと重なるのは、

60÷12=5より、

6×5=30秒後です。

 

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2016年6月22日 (水)

重なっている部分の面積は?(2016年 神戸女学院中学部)

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6220

図形Bを固定したまま、図形Aを図の位置から

毎秒1cmの速さで直線に沿って矢印の方向に動かします。

動かし始めてから13秒後に、

2つの図形が重なっている部分の面積は何c㎡ですか?

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13秒後の重なった部分は図のようになります。

6221

その面積は、

3×3×2+1×2×2+3×4= 34c㎡

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