中学受験ー算数解き方ポータル

不思議な休憩室

＝１６４０㎠

2019年10月 8日 (火) ゲーム, 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, 平面図形, クイズ, パズル, 図形の移動 | 固定リンク | コメント (0)

2019年8月28日 (水)

底面が動く水槽問題（慶應義塾湘南藤沢中等部２０１８年）

----------------------------------------------------

底面を水平のまま動かせる水そうがあります。

図のように最初の底面の位置は深さ６０ｃｍのＡのところにあります。

ここに水を一定の量ずつ入れ始めると同時に

毎分２ｃｍの速さで底面を上げていったところ、

３分後の水面の高さはＡから８ｃｍになりました。

（１）　水は毎分何しℓずつ入りますか。

（２）　水そうがいっぱいになるのは、水を入れ始めてから何分後ですか。

（３）　水を入れ始めてから口分後に、底面の上がる速さを１/３にして、

　　水を入れる量を２倍にしたところ、

　　水を入れ始めてから２４分後に水そうがいっぱいになりました。

　　口に入る数を求めなさい。

----------------------------------------------------

解法のヒント

底面は毎分２ｃｍで上がりますから、

３分では、２×３＝６ｃｍ上がります。

水は底面が動いても動かなくても、

底面上の水面の高さは毎分一定の量で増えていきます。

３分後水面の高さはＡから８ｃｍの高さになったので、

底面から水面までは、８－６＝２ｃｍ

解法例

（１）

４０×２５×２＝２０００立方ｃｍ＝２ℓ

１分間に、２÷３＝２/３ℓ

（２）

水は１分間に底面から、

２/３ℓ÷（４０ｃｍ×２５ｃｍ）＝２/３ｃｍ上昇します。

△分で６０ｃｍになるとすると、

２×△＋２/３×△＝６０

８/３×△＝６０

△＝２２．５分

（３）

□分間は、水面は１分間に

２＋２/３＝８/３ｃｍ上がります。

□分後～２４分の間は、

２×１/３＋２×２/３＝２/３＋４/３＝６/３ｃｍ上がります。

下のようにの面積図にしてみると、

１分間に８/３ｃｍのままなら２４分間で６４ｃｍなので、

白い部分の面積は４ということになり、

ＰＱ＝８/３－６/３＝２/３　より、

ＱＲの長さは、

４÷２/３＝６となるので、

□＝２４－６＝１８分です。

----------------------------------------------------

下のファミリーページにもどうぞ！ ↓

不思議な休憩室

2019年8月28日 (水) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, クイズ, パズル, 立体図形, 図形の移動, 水そう | 固定リンク | コメント (0)

2019年5月14日 (火)

クモが捕らえられる虫はどこにいるかな？（麻布中学２０１８年）

----------------------------------------------------

ある長方形があり、

頂点にいるクモが内部にいる虫を捕らえようとしています。

ただし、クモは一定の速さで移動し、虫は動かないものとします。

クモは、まず以下の規則で辺上を移動します。

虫に最も近い辺上の点(図1中の〇で表されている点）が一つだけあるとき、

その点まで辺上を最短経路で移動する。

虫に最も近い辺上の点(図２、図３中の〇で表されている点)が

複数あるとき、それらのなかで最も早く着ける点のいずれかまで

辺上を最短経路で移動する。

こののち, クモは虫に向かってまっすぐ移動します。

例えば、図１、図２、図３の位置に虫がいるとき、

クモが移動を始めてから虫を捕らえるまでの動きは

それぞれ下図のようになります。

クモの移動する速さは秒速１０ｃｍであるとして、

以下の問いに答えなさい。

（１）図４のように１辺の長さが１０ｃｍの正方形の頂点にクモがいるとします。

クモが１．５秒以内で捕らえることができるのは、

どのような範囲にいる虫ですか。

その範囲を斜線で示しなさい。

ただし、図中の点線は５ｃｍごとに引いてあります。

（２）図５のように、縦の長さが１０ｃｍ、

横の長さが２０ｃｍの長方形の頂点にクモがいるとします。

クモが２．５秒以内で捕らえることができるのは、

どのような範囲にいる虫ですか。

その範囲を斜線で示しなさい。

ただし、図中の点線は５ｃｍごとに引いてあります。

（３）　（２）で示した斜線部分の範囲の面積を求めなさい。

----------------------------------------------------

解法のヒント

２．５ｃｍごとに線をひいて、

クモが行ける交点を〇、いけない交点を×で記入していきます、

101344_2

Panda151587_640

----------------------------------------------------

解法例

（１）

（２）

（３）

（５×５）×５＋（５×５）×１/２＋（５×５）×３/４

＝（５×５）×（５＋１/２＋３/４）

＝２５×６．２５

＝１５６．２５㎠

----------------------------------------------------

下のファミリーページにもどうぞ！ ↓

2019年5月14日 (火) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, 平面図形, クイズ, パズル, 図形の移動 | 固定リンク | コメント (0)

2019年3月13日 (水)

点Ｂの動いた道すじの長さは？（今年　２０１９年　栄光学園中学）

----------------------------------------------------

半径１０ｃｍの円の内部に、

１辺の長さが１０ｃｍの正三角形ＡＢＣが図１のようにあります。

点Ａをつけたまま、点Ｂが円周につくまで、

正三角形を回転させます(図２)。

2111

　　　　　図１　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　図２

次に、点Ｂをつけたまま、点Ｃが円周につくまで回転させます。

このような回転を同じ向きに繰り返していきます。

図１の位置からもとの位置に戻ってくるまで回転を６回繰り返したとき、

点Ｂの動いた道すじの長さを、四捨五入して小数第２位まで求めなさい。

----------------------------------------------------

解法例

Ｂは図のような軌跡になるので、

１０×２×３．１４×（６０×４）/３６０

＝２０×３．１４×２/３

＝４１．８.７ｃｍ

----------------------------------------------------

下のファミリーページにもどうぞ！ ↓

2019年3月13日 (水) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, クイズ, パズル, 図形の移動 | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

2018年10月23日 (火)

円の面積は？（今年　２０１８年　お茶の水女子大学附属中学）

----------------------------------------------------

１辺の長さが２ｃｍの正三角形４枚を使って、

図のような立体ＡＢＣＤを作りました。

机の上で、図の立体を下の手順で順番にたおし、

机に接したすべての面が入る最も小さい円を１つかいたとき、

この円の面積は何㎠ですか。ただし, 円周率は３．１４とします。

手順

①図のように、ＢＣＤの面が下になるように机の上に立体を置く。

②辺ＢＤを動かさないようにして、頂点Ａが机につくようにたおす。

③辺ＡＢを動かさないようにして、頂点Ｃが机につくようにたおす。

④辺ＢＣを動かさないようにして、頂点Ｄが机につくようにたおす。

----------------------------------------------------

解法のヒント

机に接した面は図のようになります。

----------------------------------------------------

解法例

正六角形の一部なので、

円はＢを中心にした半径２ｃｍの円になります。

２×２×３．１４＝１２．５６㎠

----------------------------------------------------

下のファミリーページにもどうぞ！ ↓

2018年10月23日 (火) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, クイズ, パズル, 立体図形, 図形の移動 | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

2018年10月11日 (木)

中心０が通った道のりは？（今年　２０１８年　早稲田中学）

----------------------------------------------------

図の地点Ｐから地点Ｑまで半径３ｃｍの円が転がります。

円の中心０が通った道のりは何ｃｍですか。

----------------------------------------------------

解法のヒント

図のように転がっていきます。

10112_2

Apa0307s

----------------------------------------------------

解法例

△赤はいずれも正三角形なので、

黄色部分は中心角が３０°の円弧になり、

緑部分は中心角１２０°の円弧になります。

円弧部分は、３０×４＋１２０＝２４０°なので、

３×２×３．１４×２４０/３６０＋６×５

＝４×３．１４＋３０

＝４２．５６ｃｍ

----------------------------------------------------

下のファミリーページにもどうぞ！ ↓

2018年10月11日 (木) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, クイズ, パズル, 図形の移動 | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

2018年7月 9日 (月)

おうぎ形の回転（今年　２０１８年　学習院中等科）

----------------------------------------------------

下の図は半径が６ｃｍ、半径にはさまれた角度が４２度のおうぎ形を

点Ａを中心として回転したものです。

このとき、次の問いに答えなさい。

7091

（１）おうぎ形を何度回転させたか求めなさい。

（２）色をつけた２つの部分アとイの面積の差を求めなさい。

　　ただし、円周率を３．１４とします。

（３）角ウの大きさを求めなさい。

----------------------------------------------------

（１）AOはAO'に回転したので、

∠AO'P＝４２°より、

回転した角度＝∠OAO'＝１８０－（４２＋７６）＝６２°

（２）おうぎ形O'ABとおうぎ形AO'Oは△AO'Pが共通なので、

ア－イ＝２つのおうぎ形の面積差となり、

６×６×３．１４×６２/３６０－６×６×３．１４×４２/３６０

＝６×６×３．１４×（６２/３６０－４２/３６０）

＝３６×３．１４×１/１８

＝２×３．１４

＝６．２８㎠

（３）ACはABに回転したので、AC＝AB

△ABCは二等辺三角形になり、∠BAC=６２°より、

∠ABC＝（１８０－６２）÷２＝５９°

∠O'BA＝（１８０－４２）÷２＝６９°

∠ウ＝１８０－（５９＋６９）＝５２°

----------------------------------------------------

下のファミリーページにもどうぞ！ ↓

スマートホンアプリ「立方体の切り口はどんな形？」（ネット環境でのＦｌａｓｈアニメーション）

2018年7月 9日 (月) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, 平面図形, クイズ, パズル, 円と扇形, 図形の移動 | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

2018年7月 1日 (日)

Oが動いた軌跡は？（今年　２０１８年　春日部共栄中学）

----------------------------------------------------

半径５ｃｍで中心角が９０°のおうぎ形OABが

図のように直線ＸＹ上にあります。

このおうぎ形が直線上をすべることなく回転して、

再び辺ＯＡが直線ＸＹに重なるまで転がります。

（１）点Oが移動する道のりを図示しなさい。

（２）（１）で図示した道のりの長さを求めなさい。

----------------------------------------------------

（１）最後はイの位置から、Oを中心に９０°右に回転するので、

Oは動きません。

したがって、Oの軌跡は図の赤線のようになります。

（２）AB間はおうぎ形の弧の長さの直線になるので、

軌跡の長さは、弧の３個分、円周の３/４になるので、

５×２×３．１４×３/４＝２３．５５ｃｍ

----------------------------------------------------

下のファミリーページにもどうぞ！ ↓

スマートホンアプリ「立方体の切り口はどんな形？」（ネット環境でのＦｌａｓｈアニメーション）

2018年7月 1日 (日) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, 平面図形, クイズ, パズル, 円と扇形, 図形の移動 | 固定リンク | コメント (0) | トラックバック (0)

2018年5月16日 (水)

どんな図になりますか？（桐朋中学　２００９年）

----------------------------------------------------

１ｃｍの方眼があります。

この方眼の上で、ある図形を右に１ｃｍ、

上に１ｃｍ動かしてできる図形と

もとの図形の重なった部分を黒くぬります。

たとえば、たての長さが２ｃｍ、横の長さが３ｃｍの長方形を動かすと、

黒くぬる部分は図のようになります。

（１）もとの図形が、次の①、②の太線で表された図形であるとき、

　　黒くぬる部分の面積を求めなさい。

　　ただし、円周率は３．１４とします。

（２）黒くぬる部分が図１のようになるとき、

　　元の図形を１つ図１にかきなさい。

（３）黒くぬる部分が図２のようになるとき、

　　もとの図形が、三角形であるものと五角形であるものを

　　それぞれ１つずつかきなさい。

----------------------------------------------------

（１）

「右１ｃｍ、上１ｃｍ動かしたところに同じ図形を描いてみるといいね」

「①は台形だから、

（１．５＋２）×１÷２＝１．７５ｃ㎡

② は木の葉形の面積になるから、

（１×１×３．１４÷４－１×１÷２）×２＝０．５７ｃ㎡」

（２）

「かけた？」

「水色はかけた」

（３）

「図２で黒と黄色の三角形を２つとも含む図形を考えればいいね」

「黒は動かない、黄色はなくなる」

「それが手がかりになるかもね」

----------------------------------------------------

下のファミリーページにもどうぞ！ ↓

スマートホンアプリ「立方体の切り口はどんな形？」（ネット環境でのＦｌａｓｈアニメーション）