玉が反射する軌跡（大阪星光学院中学 2010年）
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１辺１０ｃｍの正方形ＡＢＣＤの囲いがあり、頂点Ｂから玉を打ち出すと、
一定の速度で囲いのＰ→Ｑ→Ｒ→Ｓ→Ｔ→Ｕ→・・・の順に反射をくり返しました。
玉がＡ，Ｂ，Ｃ，Ｄのいずれかの頂点にちょうど着いたところで止めます。
このとき、次の問に答えなさい。
（１）ＡＲの長さは４ｃｍでした。ＢＵの長さを求めなさい。
（２）上の図の青い部分の面積を求めなさい。
（３）玉はどの頂点で動きを止めるか答えなさい。
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（１）【反射するものは延長線を書く】のが解法のコツです。
頂点Ｂから発射された玉は、点Ｒの位置に移動するまで、
直線で表すと下の図１のようにＢＥの長さを移動したことになります。
ここで、
ＡＥの長さ＝ＢＣの長さ＋ＦＰの長さ＋ＡＲの長さ ＝１０＋１０＋４＝２４ｃｍ です。
同様にして、点Ｒから点Ｕまで移動した長さは、
下の図２のようにＲＨの長さになります。
すると、ＲＤの長さ＋ＴＧの長さ＋ＢＵの長さ＝２４ｃｍ になるので、
６＋１０＋ＢＵの長さ＝２４ｃｍ より、
ＢＵの長さ＝８ｃｍ とわかります。
（２）図３のようにＰＱとＳＴの交点を点Ｖ、ＢＰとＴＵの交点を点Ｗとすると、
三角形ＢＰＱ、三角形ＴＶＱ、三角形ＢＷＴは相似です。
四角形ＰＶＴＷの面積は、
三角形ＢＰＱの面積－（三角形ＴＶＱの面積＋三角形ＢＷＴの面積）
から求めることにします。
図１の三角形ＡＢＥと三角形ＡＱＲが相似なことを利用して
ＡＢ：ＡＥ＝ＡＱ：ＡＲ より、ＡＱ＝５/３ｃｍ と求められ、
同様に三角形ＡＱＲと三角形ＢＴＵが相似ことを使用して、
ＢＴ＝ＡＱ×２＝１０/３ｃｍ とわかるので、
ＱＴ＝１０－（５/３＋１０/３）＝５ｃｍ、ＢＱ＝２５/３ｃｍ となります。
よって、ＢＱ：ＢＴ：ＴＱ＝２５/３：１０/３：５＝５：２：３ より、
三角形ＢＰＱ、三角形ＢＷＴ、三角形ＴＶＱの相似比が５：２：３なので、
その面積比は、５×５：２×２：３×３＝２５：４：９ です。
求める四角形ＰＶＴＷの面積：三角形ＢＰＱの面積の面積比は、
２５－（４＋９）：２５＝１２：２５ なので、
四角形ＰＶＴＷの面積は、三角形ＢＰＱの面積の１２/２５、
すなわち、２５/３×１０÷２×１２/２５＝２０ｃ㎡ となります。
（３）三角形ＡＢＥにおいて、ＡＥ＝２４ｃｍであることから、
玉は下の図４のように反射をくり返していくので、
玉の動きが止まるのは、
２４ｃｍ×□＝１０（正方形の１辺）の倍数となるときです。
すると、２４×５＝１２０ｃｍ なので、
Ｂから発射された玉が、
辺ＡＤと辺ＢＣに５回目にぶつかるときに移動を止めることがわかります。
５回目というのは、下の図５のように（はね返る場所は適当でよい）
辺ＡＤ側ということがわかります。
では、頂点Ａ，Ｄのどちらで動きを止めるか調べると、
図４のように、Ａ→Ｄ→Ａ→Ｄ→Ａ→・・・の順に並び、
１２０ｃｍ移動するので、１辺１０ｃｍの正方形が１２個あり、
図５のように数字を書いていけば、
１２番目＝偶数番目なので、頂点Ａで動きを止めることがわかります。
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