目次

点の移動

2015年12月 1日 (火)

玉が反射する軌跡(大阪星光学院中学 2010年)

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1辺10cmの正方形ABCDの囲いがあり、頂点Bから玉を打ち出すと、

一定の速度で囲いのP→Q→R→S→T→U→・・・の順に反射をくり返しました。

玉がA,B,C,Dのいずれかの頂点にちょうど着いたところで止めます。

このとき、次の問に答えなさい。

Pic_1337q

(1)ARの長さは4cmでした。BUの長さを求めなさい。

(2)上の図の青い部分の面積を求めなさい。

(3)玉はどの頂点で動きを止めるか答えなさい。

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(1)【反射するものは延長線を書く】のが解法のコツです。

頂点Bから発射された玉は、点Rの位置に移動するまで、

直線で表すと下の図1のようにBEの長さを移動したことになります。

Pic_1338a_3

ここで、

AEの長さ=BCの長さ+FPの長さ+ARの長さ =10+10+4=24cm です。

同様にして、点Rから点Uまで移動した長さは、

下の図2のようにRHの長さになります。

Pic_1339a_2

すると、RDの長さ+TGの長さ+BUの長さ=24cm になるので、

6+10+BUの長さ=24cm より、

BUの長さ=8cm とわかります。

(2)図3のようにPQとSTの交点を点V、BPとTUの交点を点Wとすると、

三角形BPQ、三角形TVQ、三角形BWTは相似です。 

四角形PVTWの面積は、

三角形BPQの面積-(三角形TVQの面積+三角形BWTの面積)

から求めることにします。

   Pic_1340a

図1の三角形ABEと三角形AQRが相似なことを利用して

AB:AE=AQ:AR より、AQ=5/3cm と求められ、

同様に三角形AQRと三角形BTUが相似ことを使用して、

BT=AQ×2=10/3cm とわかるので、

QT=10-(5/3+10/3)=5cmBQ=25/3cm となります。

よって、BQ:BT:TQ=25/3:10/3:5=5:2:3 より、

三角形BPQ、三角形BWT、三角形TVQの相似比が5:2:3なので、

その面積比は、5×5:2×2:3×3=25:4:9 です。

求める四角形PVTWの面積:三角形BPQの面積の面積比は、

25-(4+9):25=12:25 なので、

四角形PVTWの面積は、三角形BPQの面積の12/25

すなわち、25/3×10÷2×12/25=20c㎡ となります。

(3)三角形ABEにおいて、AE=24cmであることから、

玉は下の図4のように反射をくり返していくので、

玉の動きが止まるのは、

24cm×□=10(正方形の1辺)の倍数となるときです。

Pic_1341a

すると、24×5=120cm なので、

Bから発射された玉が、

辺ADと辺BCに5回目にぶつかるときに移動を止めることがわかります。

5回目というのは、下の図5のように(はね返る場所は適当でよい)

Pic_1342a

辺AD側ということがわかります。

では、頂点A,Dのどちらで動きを止めるか調べると、

図4のように、A→D→A→D→A→・・・の順に並び、

120cm移動するので、1辺10cmの正方形が12個あり、

図5のように数字を書いていけば

12番目=偶数番目なので、頂点Aで動きを止めることがわかります。

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