目次

グラフ

2016年11月16日 (水)

液体の温度は何度になる?(筑波大学附属中学 2014年)

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温度を上げるときの割合は常に一定で、

温度を下げるときの割合も常に一定に行える装置があります。

この装置にある液体を入れ、

時間とともに液体の温度がどのように変化するかを下のグラフに表しました。

グラフ中の点Aの液体の温度は何度になりますか。

1_2

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温度は、1分で1.5°上がり、1°下がります。

20分から60分の40分で、温度を上げ続ければ、

1.5×40=60°上がるところ、

実際は50-45=5°しか上がらなかったわけです。

1分上げる代わりに1分下げれば、1.5+1=2.5°下がるので、

(60-5)÷2.5=22分下げる時間があったことになります。

22分で22°下がったので、

Aの温度は、45-22=23° です。

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2015年12月20日 (日)

1秒後の三角形APDの面積は?(2015年 白百合学園中学)

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図のような台形ABCDがあります。

点Pは毎秒2cmの速さで点Aを出発し、辺上を動きます。

(1)点PがA→B→C→Dの順に動いたとき、

   点 Pが点Aを出発してx秒後の三角形APDの面積をyc㎡ と すると、

   下のグラフのような結果が得られました。

   このときア、イにあてはまる数を求めなさい。

(2)点Pが(1)のように動いたとき、1秒後の三角形APDの面積を求めなさい。

12211

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アはPがBに着いたときなので、

5÷2=2.5秒後です。

△ABDの面積は12c㎡なので、

6×CD÷2=12 より、

CD=4cm

7秒後にCに着いているので、

イ=7+4÷2=9秒後

12212_3

1秒後のPは2cm進んでいるので、AP=2cm

△ABHと△緑は相似なので、

AB:AH=5:4 より、

AI=2×4/5=1.6cm

△APDの面積=6×1.6÷2=4.8c㎡

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2015年10月 4日 (日)

長さと面積は?(渋谷教育学園渋谷中学 2011年)

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下の図1のような台形ABCD (ABとCDは平行)があります。

ABとEF が垂直となるようにAB上に点E,DC上に点F をとります。

また、点Pは毎秒1cmの速さでEF上を点E から点F に向かって動きます。

 Pic_2674q

下の図2は、

点Pが点E を出発してからの三角形APDの面積の変化の様子を表したグラフです。

       Pic_2675q

下の図3は、点Pが点E を出発してからの三角形APD、三角形BPC の

それぞれの面積の和の変化の様子を表したグラフです。

       Pic_2676q

EF の長さを8cmとして、次の問に答えなさい。

(1)AE,DF の長さをそれぞれ求めなさい。

(2)EB,FC の長さをそれぞれ求めなさい。

(3)点Pが点E を出発してから、2秒後のときの点をG,

   4秒後のときの点をH とします。

   AHとDG とが交わった点を I とするとき、三角形 IGH の面積を求めなさい。

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(1)図2のグラフより、2秒ごとに三角形APDの面積が3c㎡ずつ増えているので、

0秒のとき(点Pが点E にいるとき)は 三角形AED =12c㎡

8秒のとき(点Pが点F にいるとき)は、三角形AFD =24c㎡

とわかります。

EF =8cm なので、

AE×8÷2=12 → AE=3cm

DF×8÷2=24 → DF=6cm とわかります。

 

(2)図2と図3のグラフより、三角形BPCの時間ごとの面積は、

2秒後・・・24-15=9c㎡

4秒後・・・28-18=10c㎡

6秒後・・・32-21=11c㎡

とわかり、2秒ごとに1c㎡ずつ増えるので、

0秒のとき、三角形BECの面積=8c㎡

8秒のとき、三角形BFCの面積=12c㎡

とわかります。

 

EF=8cmなので、

BE×8÷2=8 → BE=2cm

CF×8÷2=12 → CF=3cm とわかります。

 

(3)三角形 IGHの面積の求め方ですが、

いろいろ解き方はあると思いますので、ここでは一例として、

次のような解き方でやってみます。

三角形 IGH は、三角形AGH の面積を A I : I H の比に分ければ求められます。

三角形AGHの面積は、GH=2cm、

高さAE = 3cm なので、2×3÷2=3c㎡ です。

次に、A I : I H を求めます。

点H がEF のまん中の点で、AE=CF=3cmなので、

AH を延ばすと点C と交わります。

また、点Gは、EFを1:3に分ける点で、BE=2cm、DF=6cmなので、

DGを延ばすと点B と交わり、

下の図4のように、三角形 IAB と三角形 ICD を作ることができます。

Pic_2677a

三角形 IAB と三角形 ICD は、ABとCDが平行なので、相似で、

AI : IC = AB : CD = 5 : 9 です。

また、AH : HC = AE : CF = 1 : 1 です。

よって、線ACに関して比をそろえると、

AH : HC = 7 : 7とすればよく、

AI : IH : HC = 5 : 2 : 7 となります。

よって、三角形 IGH の面積は、三角形AGHの7分の2で、

3×2/7=6/7(c㎡) です。

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2015年8月10日 (月)

水泳大会の順位は?(東京学芸大学附属竹早中学 2014年)

校内水泳大会で学級対抗りレーを行いました。下のグラフは、A組とB組について、スタートしてからの時間と泳いだ距離との関係を表したものです。リレーは25mプールで、1人が25mずつ4人泳いで争われます。

このとき、次の問いに答えなさい。

(1)A組とB組のどちらが勝ちましたか。

(2)スタートしてからゴールするまで、何回順位が入れかわっていますか。

(3)B組が第1泳者から第2泳者ヘバトンタッチをしたとき、A組はB組よりも何m先、

   または何m後にいましたか。

810

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(1)B組が早く100mに達したので、B組です。

(2)グラフは2回交差しているので、順位は2回入れ替わっています。

(3)25mでは2秒差がついているので、

おくれたA組はB組より、25÷20×2=2.5m後にいました。

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2015年4月 6日 (月)

時間と距離は?(2015年 工学院大学附属中学)

太郎くんと花子さんは、同時にA地を出発して、B地に向かいました。

花子さんは、はじめに時速4kmで歩き、途中から時速60kmのタクシーに乗りました。

太郎くんは時速20kmの自転車で行きました。

B地へは、花子さんが太郎くんより10分早く着きました。

グラフはそのときの様子を表したものです。このとき、次の問いに答えなさい。

406

(1)花子さんは、A地を出発してから何分後にタクシーに乗りましたか。

(2)太郎くんが花子さんに追いぬかれるのはA地から何kmのところですか。

(3)A地からB地までは何kmありますか。

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4062

(1)A地から3kmのところなので、

ア=3km÷時速4km=3/4時間=45分

(2)45分=3/4時間で自転車は、時速20km×3/4時間=15km進みます。

花子と太郎の差は15-3=12km なので、

追いつく時間は、12km÷(60-20)=3/10時間=18分

ア~イが18分なので、スタートから45+18=1時間3分です。

エ=時速20km×1時間3分=21km

(3)10分間で自転車は、時速20km×1/6時間=10/3km進むので、

花子がB地に着いたとき、オ=10/3kmの差がついていたことになります。

エから同時にスタートして10/3kmの差がつく時間を(カ)とすると、

60×カ-20×カ=10/3

カ=10/3÷40=1/12時間=5分

15分間に自転車は、時速20km×1/4時間=5km進むので、

AB間の距離は、21+5=26kmです。

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2015年3月20日 (金)

2015年(聖セシリア女子中学)グラフから速さを求める!

家から4km離れた駅へ行きます。家からバス停までは一定の速さで歩き、バス停でバスを5分待って乗りました。バスは一定の速さで走り、途中停車することなく駅に着きました。家を出てから15分後に忘れ物に気がついたお母さんが車で同じ道を通って一定の速さで追いかけたところ、バスより3分早く駅に着きました。下のグラフはその時の様子を表したものです。次の各問いに答えなさい。

320

(1)歩く速さは分速何mですか。

(2)バスの走る速さは時速何kmですか。

(3)お母さんがバスを追いこしたのは、家から何mのところですか。

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(1)10分で800m歩いたので、分速は 800÷10=80m

(2)23-(10+5)=8分で、4-0.8=3.2km進むので、

分速 3.2÷8=0.4km → 時速 0.4×60=24km

(3)車の速さは、分速 4000m÷(20-15)=800m

最初のバスとの差は800m、

バスに追いつくまでにかかった時間は、800÷(800-400)=2分

2分間に車は、800×2=1600m進むので、家から1600mのところです。

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2015年1月17日 (土)

今年(2015年)はこんな問題が!正方形の移動(浦和明の星女子中学)

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1辺の長さが4cmの正方形Aと1辺の長さが2cmの正方形Bがあります。

この2つの正方形が22cm離れた2つの壁の間を、90秒間、往復を繰り返します。

AとBは、下の図のような状態から出発し、

それぞれの正方形の対称の中心が2.5cm離れた直線の上にあるように動きます。

下のグラフは、動きだしてからの時間と、

出発した側の壁から正方形の対称の中心までの距離の関係を表したものです。

(1)2つの正方形の速さをそれぞれ答えなさい。

    また、グラフの[ア]にあてはまる数を答えなさい。

(2)動きだしてから何秒後に、2つの正方形の重なった部分がはじめてなくなりますか。

(3)2つの正方形が重なっている時間の合計は何秒間ですか。

1

2

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(1)

Aは20-2=18cmのキョリを36÷2=18秒で移動したので、

秒速、18÷18=1cm です。

Bは21-1=20cmのキョリを20÷2=10秒で移動したので、

秒速、20÷10=2cm です。

アはAが40-36=4秒間で移動したキョリなので、1cm×4秒=4cm

ア=2cm+4cm=[ 6 ] cm

(2)重ならない状態になるまでBの中心は4cmAより前に進みます。

AとBの速さの差は2-1=1cm なので、

4÷1=4秒後に重ならなくなります。

(3)途中でAとBが重なるとき、Bの中心はAに対し6cm移動しています。

すれ違うときは、6÷(2+1)=2秒、

BがAを追い越すときは、6÷(2-1)=6秒 かかるので、

グラフより、すれ違った回数は6回なので、

2×6=12秒

追い越したのは1回で6秒、

最初と最後は4秒なので、4×2=8秒

12+6+8=26秒間 となります。

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2015年1月 7日 (水)

図形移動とグラフの関係は?(筑波大学附属駒場中学 2009年)

まっすぐな線の上に、70cm離れた2点A,Bと、1辺10cmの正方形があります。

はじめ、図1のように、正方形の1つの頂点はAの位置にあります。

正方形は図2のように、Aの位置にあった頂点がBの位置にくるまで、

1つの辺をまっすぐな線につけたまま毎秒1cmの速さで矢印の方向に移動します。

  

まっすぐな線の上に、たての長さが20cmの長方形をいくつか置いて、

正方形を移動させると、途中で長方形と重なるときがあります。

このとき、次の問に答えなさい。

(1)横の長さが15cmの長方形を下の図3のように置き、正方形を動かしました。

動き始めてからの、長方形に重なっていない正方形の部分の面積を

図4のグラフに表しなさい。

横の目盛りは時間(秒)、縦の目盛りは面積(c㎡)です。

  

(2)いくつかの長方形を置き、正方形を動かしました。

下の図5は、動き始めてからの、長方形に重なっていない正方形の部分の面積をグラフにしたものです。

ただし、置いた長方形の縦の長さはすべて20cmですが、横の長さは同じとは限りません。

 

(ア)正方形が最初の長方形と重なり始めてから、最後の長方形と重ならなくなるまでに何秒かかりますか。

(イ)まっすぐな線の上に、どのような長方形が、どの位置に置いてありますか。上の図6に長方形を描きなさい。 

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(1)下の図7のように正方形が①→②→③→④の順に長方形と重なっていきます。

 

①の位置まで20秒、②の位置まで30秒、③の位置まで35秒、

④の位置まで45秒  かかり、その変化を図8のように表せます。

(2)グラフから正方形の動きを読み取ってみましょう。

(ア)下の図9より、①の5秒のところで最初の長方形と重なり始め、

⑪の65秒の時点で最後の長方形と重ならなくなることがわかります。 

よって、65-5=60秒かかります。

 

(イ)下の図9から、図10のように長方形が並んでいることがわかります。

④と⑤のところで、20cm~25cmにかけて長方形がないことに注意しましょう。

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2014年11月14日 (金)

液体の温度は何度になる?(筑波大学附属中学 2014年)

温度を上げるときの割合は常に一定で、

温度を下げるときの割合も常に一定に行える装置があります。

この装置にある液体を入れ、

時間とともに液体の温度がどのように変化するかを下のグラフに表しました。

グラフ中の点Aの液体の温度は何度になりますか。

1_2

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温度は、1分で1.5°上がり、1°下がります。

20分から60分の40分で、温度を上げ続ければ、

1.5×40=60°上がるところ、

実際は50-45=5°しか上がらなかったわけです。

1分上げる代わりに1分下げれば、1.5+1=2.5°下がるので、

(60-5)÷2.5=22分下げる時間があったことになります。

22分で22°下がったので、

Aの温度は、45-22=23° です。

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2014年10月29日 (水)

水量と時間の関係をグラフで!(慶應義塾中等部 2014年)

2つの貯水タンク A,B があります。

2つの貯水タンクからはそれぞれ一定の割合で水が放出されていますが、

貯水タンク内の水量が 300L になるとすぐに、

それぞれ一定の割合で、10時間続けて水が補給されます。

ただし、水を補給している間も水は放出されているものとします。

下の図は、現在の時刻からの経過時間と、

各貯水タンク内の貯水量の関係を表したものです。次の問に答えなさい。

  Pic_4044q_3

(1)15時間後から25時間後の間では、水は毎時何L の割合で補給されていますか。

(2)貯水タンク A への3度目の補給が始まる15時間前に、貯水タンク B への初めての補給が始まりました。2つの貯水タンク A,B の水量が2度目に等しくなるのは、現在から測って 何時間後ですか。

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(1)A は15時間で 600L 放出されているので、

1時間に40Lの割合で水が放出されていることがわかります。

一方、15時間から25時間の間の10時間で、1200L 増えているので、

1時間に120L の割合で増えています。

40L の放出があるにもかかわらず、120L の割合で増えているので、

40+120=160L の割合で補給されていることになります。

 

(2)グラフの続きを描くと、下の図1のようになり、

Pic_4045a

タンクA に3回目に補給が始まるのが 95時間後なので、

タンクB に補給が始まるのは 80時間後になり、

A,B の水量が2度目に等しくなるのは、図1のP のところです。

下の図2の青い三角形が相似なことから、

Pについて、時間を求めることができそうです。

Pic_4046a

まず、図2のQのところの時間は、

80時間で1740-300=1440L  減っているので、

1740-1500=240L

減るのにかかる時間は、

80 : 1440 = □ : 240  より、

□=80×240÷1440=40/3(時間)とわかります。

次に、Pのところの水量は、1500-300=1200L を

25-40/3 : 80-55 = 35/3 : 25=7 : 15 に分けるので、

1200÷(7+15)×15 + 300=9000/11+300

=12300/11(L) とわかります。

P の水量が 12300/11(L)なので、Pの時間を考えると

Aは30時間で1200L 減っているので、

1500-12300/11=4200/11(L)減るのにかかる時間は、

30 : 1200 = □ : 4200/11 より、

□=105/11=9と6/11(時間)とわかるので、

P の時間は、105/11+25=34と6/11(時間) と求められます。

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