目次

グラフ

2019年7月 8日 (月)

ゲームをしたのは何回?(今年 2019年 桜蔭 中学)

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3人の中から1人の勝者が決まるゲームのトーナ メントを考えます。

ゲームは必ず3人で行います。

このトーナメントに参加する子どもたちに1から 順に番号をふります。

番号の小さい順に3人ずつ 組み、 1回戦を行います。

3人の組にならない子どもは2人以下とし、そのまま2回戦に進みます。

2回戦以降も同じように組を作ってゲームを行います。

例えば、1番から 11番の参加者 11人でトーナメントをするとき、

図1のように1回戦はa、b、cの3回ゲームを行い、

10 番と11番の子どもはそのまま準決勝に進みます。

そのあと d、eの2回ゲームを行うと 優勝者が1人決まります。

図1

2061

(1)1番から81番の参加者 81人で1回戦を図2のように行うと、

優勝者が1人決まるまでに、合計何回のゲームが行われますか?

図2

2062

 

(2) 1番から235番の参加者235人でトーナメントを行うと、

優勝者が1人決まるまでに 合計何回のゲームが行われますか?

(3)優勝者が1人決まるまでに合計 24 回ゲームが行われたとき、

トーナメントの決勝、準決勝は 図3のようになりました。

このときのトーナメントの参加者は何人ですか?

図3

2063

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解法例

106

 

(1)

81÷3=27

27÷3=9

9÷3=3

3÷3=1

27+9+3+1=40回

(2)

235÷3=78・・・・・1

(78+1)÷3=26・・・・・1

(26+1)÷3=9

9÷3=3

3÷3=1

78+26+9+3+1=117回

(3)

逆に考えていきます。

(2+1)÷3=1

7÷3=2・・・・・1

この7が1+6か2+5なのか調べます。

1+6の場合、

(6+1)÷3=2・・・・・1

その前は、

(   )÷3=6・・・・・1 なので、

(  )=19

19=18+1 か 17+2 となって、

いずれの場合も24ゲームを上回ってしまい不適当、

したがって、

(5+2)÷3=2・・・・・1 なので、

その前は、

(  )÷3=5・・・・・2 より

(  )=17

17=16+1 か 15+2 ですが、

24ゲームになるのは、16+1なので、

(16+1)÷3=5・・・・・2

その前は、

(  )÷3=16・・・・・1 より、

(  )=49人

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682

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2019年5月26日 (日)

兄が歩く速さを変えたのはいつ?(筑波大学附属中学 2019年)

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弟は一定の速さで家から学校まで歩きます。

兄は弟が出発してから8分後に家を出発して一定の速さで歩きましたが,

途中で一度歩く速さを7/4倍に変えて学校まで歩きました。

すると,弟が出発してから 40 分後に,兄は弟に追いつき,

弟より2分早く学校に到着し ました。

このとき,弟が家を出発してからの時間と二人の間の距離の関係は,

下の図のよ うになります。

後の問いに答えなさい。

5261

(1) 家から学校までの距離は何 m ですか。

(2) 兄が歩く速さを変えたのは,弟が家を出発してから何分後ですか。

Ilm03_ba03002s

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(1)

弟が家を出発してから45分後に兄は学校に到着しました。

それから2分後に弟は学校に到着したので、

100mを2分で進んだことになり、

速さは分速100÷2=50mです。

学校までは45+2=47分かかったので、

50×47=2350m です。

(2)

兄の変速後の速さは、

5分で弟と100mの差がついたので、

1分間では 100÷5=20m

分速 50+20=70m です。

変速前の速さは、

分速 70÷7/4=40m

弟が家を出発してから40分後に追いついたので、

家から、50×40=2000m の地点です。

兄は2000mを40-8=32分で進んだので、

面積図で表すと下の図のようになります。

5262

ア=240÷30=8分で、

弟が家を出発してから、

8+8=16分後です。

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682

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2018年7月27日 (金)

すいそうとグラフの関係は?(今年 2018年 本郷中学)

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図1のような直方体を2つ合わせた形の水そうがあります。

この水そうを長 方形の板で底面に垂直に仕切り、

(ア)の部分に高さが10cmの鉄の円柱を置きました。

今、(ア)の部分の真上から一定の割合で水を注ぎ入れます。

水を注ぎ始めてから水そうがいっぱいになるまでの時間と

(ア)の部分の水の深さの関係をグラフで表すと図2のようになります。

このとき、次の問いに答えなさい。

ただし、仕切りの厚さは考えないものとします。

図1

Bandicam_20180727_075146434_2

図2

Bandicam_20180727_075124145

(1)水は毎分何cmの割合で注がれていますか。

(2) 図1のXはいくつですか。

(3)鉄の円柱の底面積は何㎠ですか。

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(1)仕切りを超えて水面が10cm上がるのに

458-358=100分かかったので、

毎分 100×50×10÷100=500㎤

(2)鉄の円柱の上面から、

20-10=10cm水面が上がるのに

98-48=50分かかったので、

(ア)=500×50÷10÷50=(50)cm

(3)鉄の円柱の上面から水面が10cm上がるのに50分

底面積は、500×50÷10=2500㎠

円柱の高さまで水面が上がるのに48分なので、

底面積は、500×48÷10=2400㎠

鉄の円柱の底面積=2500-2400=100㎠

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682

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2017年7月27日 (木)

面積とグラフの関係は?(今年 2017年  桐蔭学園中学校男子部)

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【図1】のような辺ADの長さが8cmである長方形ABCDがあります。

辺BC上に点Eをとります。

点Pは長方形ABCDの辺上を毎秒1cmの速さで、

点Aを出発し、点Bを通って、点Cまで動くとします。

また、【図2】は、点Pが点Aを出発してから点Cに着くまでの

時間と三角形APEの面積の関係を表したものです。

このとき、次の問いに答えなさい。

7271

(1)辺ABの長さは何cmですか。

(2)BEの長さは何cmですか。

(3)【図2】の(ア) (イ)にあてはまる数は、それぞれいくつですか。

(4) 三角形APEの面積が8㎠になるのは、

  点Pが点Aを出発してから何秒後ですか。すべて答えなさい。

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(1)Bは、PがAからEまで動く中で、

△APEが最大になるときなので、9㎠のとき、

つまり、6秒後なので、6cmです。

(2)9×2÷6=3cm

(3)アはPがEに来たときで、ア=6+3=9秒後

イはPがCに来たときで、(8-3)×6÷2=15㎠

(4)△APEが8㎠になるときは図のように3回あります。

7272

1回目→8×2÷3=5と1/3秒後

2回目→8×2÷6=2と2/3cmなので、

      6+(3-2と2/3)=6と1/3秒後

3回目→9+2と2/3=11と2/3秒後

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2016年11月16日 (水)

液体の温度は何度になる?(筑波大学附属中学 2014年)

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温度を上げるときの割合は常に一定で、

温度を下げるときの割合も常に一定に行える装置があります。

この装置にある液体を入れ、

時間とともに液体の温度がどのように変化するかを下のグラフに表しました。

グラフ中の点Aの液体の温度は何度になりますか。

1_2

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温度は、1分で1.5°上がり、1°下がります。

20分から60分の40分で、温度を上げ続ければ、

1.5×40=60°上がるところ、

実際は50-45=5°しか上がらなかったわけです。

1分上げる代わりに1分下げれば、1.5+1=2.5°下がるので、

(60-5)÷2.5=22分下げる時間があったことになります。

22分で22°下がったので、

Aの温度は、45-22=23° です。

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2015年12月20日 (日)

1秒後の三角形APDの面積は?(2015年 白百合学園中学)

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図のような台形ABCDがあります。

点Pは毎秒2cmの速さで点Aを出発し、辺上を動きます。

(1)点PがA→B→C→Dの順に動いたとき、

   点 Pが点Aを出発してx秒後の三角形APDの面積をyc㎡ と すると、

   下のグラフのような結果が得られました。

   このときア、イにあてはまる数を求めなさい。

(2)点Pが(1)のように動いたとき、1秒後の三角形APDの面積を求めなさい。

12211

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アはPがBに着いたときなので、

5÷2=2.5秒後です。

△ABDの面積は12c㎡なので、

6×CD÷2=12 より、

CD=4cm

7秒後にCに着いているので、

イ=7+4÷2=9秒後

12212_3

1秒後のPは2cm進んでいるので、AP=2cm

△ABHと△緑は相似なので、

AB:AH=5:4 より、

AI=2×4/5=1.6cm

△APDの面積=6×1.6÷2=4.8c㎡

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2015年10月 4日 (日)

長さと面積は?(渋谷教育学園渋谷中学 2011年)

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下の図1のような台形ABCD (ABとCDは平行)があります。

ABとEF が垂直となるようにAB上に点E,DC上に点F をとります。

また、点Pは毎秒1cmの速さでEF上を点E から点F に向かって動きます。

 Pic_2674q

下の図2は、

点Pが点E を出発してからの三角形APDの面積の変化の様子を表したグラフです。

       Pic_2675q

下の図3は、点Pが点E を出発してからの三角形APD、三角形BPC の

それぞれの面積の和の変化の様子を表したグラフです。

       Pic_2676q

EF の長さを8cmとして、次の問に答えなさい。

(1)AE,DF の長さをそれぞれ求めなさい。

(2)EB,FC の長さをそれぞれ求めなさい。

(3)点Pが点E を出発してから、2秒後のときの点をG,

   4秒後のときの点をH とします。

   AHとDG とが交わった点を I とするとき、三角形 IGH の面積を求めなさい。

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(1)図2のグラフより、2秒ごとに三角形APDの面積が3c㎡ずつ増えているので、

0秒のとき(点Pが点E にいるとき)は 三角形AED =12c㎡

8秒のとき(点Pが点F にいるとき)は、三角形AFD =24c㎡

とわかります。

EF =8cm なので、

AE×8÷2=12 → AE=3cm

DF×8÷2=24 → DF=6cm とわかります。

 

(2)図2と図3のグラフより、三角形BPCの時間ごとの面積は、

2秒後・・・24-15=9c㎡

4秒後・・・28-18=10c㎡

6秒後・・・32-21=11c㎡

とわかり、2秒ごとに1c㎡ずつ増えるので、

0秒のとき、三角形BECの面積=8c㎡

8秒のとき、三角形BFCの面積=12c㎡

とわかります。

 

EF=8cmなので、

BE×8÷2=8 → BE=2cm

CF×8÷2=12 → CF=3cm とわかります。

 

(3)三角形 IGHの面積の求め方ですが、

いろいろ解き方はあると思いますので、ここでは一例として、

次のような解き方でやってみます。

三角形 IGH は、三角形AGH の面積を A I : I H の比に分ければ求められます。

三角形AGHの面積は、GH=2cm、

高さAE = 3cm なので、2×3÷2=3c㎡ です。

次に、A I : I H を求めます。

点H がEF のまん中の点で、AE=CF=3cmなので、

AH を延ばすと点C と交わります。

また、点Gは、EFを1:3に分ける点で、BE=2cm、DF=6cmなので、

DGを延ばすと点B と交わり、

下の図4のように、三角形 IAB と三角形 ICD を作ることができます。

Pic_2677a

三角形 IAB と三角形 ICD は、ABとCDが平行なので、相似で、

AI : IC = AB : CD = 5 : 9 です。

また、AH : HC = AE : CF = 1 : 1 です。

よって、線ACに関して比をそろえると、

AH : HC = 7 : 7とすればよく、

AI : IH : HC = 5 : 2 : 7 となります。

よって、三角形 IGH の面積は、三角形AGHの7分の2で、

3×2/7=6/7(c㎡) です。

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2015年8月10日 (月)

水泳大会の順位は?(東京学芸大学附属竹早中学 2014年)

校内水泳大会で学級対抗りレーを行いました。下のグラフは、A組とB組について、スタートしてからの時間と泳いだ距離との関係を表したものです。リレーは25mプールで、1人が25mずつ4人泳いで争われます。

このとき、次の問いに答えなさい。

(1)A組とB組のどちらが勝ちましたか。

(2)スタートしてからゴールするまで、何回順位が入れかわっていますか。

(3)B組が第1泳者から第2泳者ヘバトンタッチをしたとき、A組はB組よりも何m先、

   または何m後にいましたか。

810

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---------------------------------------------------

(1)B組が早く100mに達したので、B組です。

(2)グラフは2回交差しているので、順位は2回入れ替わっています。

(3)25mでは2秒差がついているので、

おくれたA組はB組より、25÷20×2=2.5m後にいました。

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2015年4月 6日 (月)

時間と距離は?(2015年 工学院大学附属中学)

太郎くんと花子さんは、同時にA地を出発して、B地に向かいました。

花子さんは、はじめに時速4kmで歩き、途中から時速60kmのタクシーに乗りました。

太郎くんは時速20kmの自転車で行きました。

B地へは、花子さんが太郎くんより10分早く着きました。

グラフはそのときの様子を表したものです。このとき、次の問いに答えなさい。

406

(1)花子さんは、A地を出発してから何分後にタクシーに乗りましたか。

(2)太郎くんが花子さんに追いぬかれるのはA地から何kmのところですか。

(3)A地からB地までは何kmありますか。

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4062

(1)A地から3kmのところなので、

ア=3km÷時速4km=3/4時間=45分

(2)45分=3/4時間で自転車は、時速20km×3/4時間=15km進みます。

花子と太郎の差は15-3=12km なので、

追いつく時間は、12km÷(60-20)=3/10時間=18分

ア~イが18分なので、スタートから45+18=1時間3分です。

エ=時速20km×1時間3分=21km

(3)10分間で自転車は、時速20km×1/6時間=10/3km進むので、

花子がB地に着いたとき、オ=10/3kmの差がついていたことになります。

エから同時にスタートして10/3kmの差がつく時間を(カ)とすると、

60×カ-20×カ=10/3

カ=10/3÷40=1/12時間=5分

15分間に自転車は、時速20km×1/4時間=5km進むので、

AB間の距離は、21+5=26kmです。

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2015年3月20日 (金)

2015年(聖セシリア女子中学)グラフから速さを求める!

家から4km離れた駅へ行きます。家からバス停までは一定の速さで歩き、バス停でバスを5分待って乗りました。バスは一定の速さで走り、途中停車することなく駅に着きました。家を出てから15分後に忘れ物に気がついたお母さんが車で同じ道を通って一定の速さで追いかけたところ、バスより3分早く駅に着きました。下のグラフはその時の様子を表したものです。次の各問いに答えなさい。

320

(1)歩く速さは分速何mですか。

(2)バスの走る速さは時速何kmですか。

(3)お母さんがバスを追いこしたのは、家から何mのところですか。

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(1)10分で800m歩いたので、分速は 800÷10=80m

(2)23-(10+5)=8分で、4-0.8=3.2km進むので、

分速 3.2÷8=0.4km → 時速 0.4×60=24km

(3)車の速さは、分速 4000m÷(20-15)=800m

最初のバスとの差は800m、

バスに追いつくまでにかかった時間は、800÷(800-400)=2分

2分間に車は、800×2=1600m進むので、家から1600mのところです。

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