目次

比例

2019年5月 7日 (火)

かかった時間と速さは?(開成中学 2019年)

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K君は,自宅からおばさんの家まで, スイカ2つを一人で運ぶつもりでした。

ところが、弟のS君が「ぼくも手伝う!」と言ったので,次のようにしました。

1) K君とS君がそれぞれスイカを1つずつ持って、同時に自宅を出発する。

2) K君の方がS君より進む速さが速いので,おばさんの家に先に着く。

  そこで,すぐにスイカを置いて,S君に出会うまで引き返す。

3) K君は,S君に出会ったらすぐにS君からスイカを受け取り、

  すぐにおばさんの家に向かう。

ここで,K君の進む速さは

スイカを2つ持っているときは毎分60m,

スイカを1つ持っているときは 毎分80m,

スイカを持っていないときは 毎分100m です。

スイカ2つを運び終えたK君がおばさんの家で休んでいると,

後から追いかけてきたS君が到着しました。

S君「おにいちゃん、ぼく、役に立った?」

K君「もちろんだよ! ぼくが一人で運ぶつもりだったけど、

  そうするのに比べて15/16倍の時間で運び終えられたからね。

    ありがとう!」

S君「ほんと!? よかった!」

次の問いに答えなさい。

(1) K君が一度目におばさんの家に着いてから、

  二度目におばさんの家に着くまでの時間は、

  K君がはじめに一人でスイカ2つを運ぶのにかかると考えていた時間の

  何倍ですか。

(2) 引き返したK君がS君に出会った地点から,おばさんの家までの距離は,

  自宅からおばさんの家までの距離の何倍ですか。

(3) S君がスイカを1つ持って進む速さは毎分何 m ですか。

4275

 

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解法例

5071

(1)

はじめに考えていた

K君が一人でスイカを2つ運ぶ時間を⑯とすると、

実際は、自宅⇒おばさん⇒引き返しS君と出会い⇒おばさん、

にかかった時間は⑮です。

スイカ2つとスイカ1つでは

速さの比は、60:80=3:4

かかる時間の比は逆比で、4:3

スイカ1つでおばさんの家まで、

4:3=⑯:?

?=⑫

おばさん⇒S君⇒おばさん の時間は

⑮-⑫=③

したがって、3/16 倍になります。

(2)

おばさん⇒S君 にかかった時間を4とすると、

S君⇒おばさん にかかった時間は5

4+5=9 が③に当たることになるので

⑫は36

したがって、5/36 倍です。

(3)

KくんがSくんに出会うまでにかかった時間は、

36+4=40

進んだ距離は逆比で、

K君:S君=40:31

S君の速さは、80×31/40=62 より、

毎分62mです。

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682

 

 

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2019年4月28日 (日)

はじめに取り出した水の量は何L ?(筑波大学附属中学 2019年)

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水そうに水が 14 L 入っています。

はじめに水そうからある量の水を取り出し,

続けて水そうに残っている水のーを取り出したところ,

水そうには6L の水が残りました。

はじめに取り出した水の量は何L ですか。

Suisou_fish

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解法例

4283

図のように、残りの水の1/5は、

6÷4=1.5L

残りの水は、

1.5÷1/5=7.5L

最初に取り出した水の量は、

14-7.5=6.5L

682

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2018年9月21日 (金)

歯車Bは何回転しますか?(今年 2018年 逗子開成中学)

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歯数が35の歯車Aと

歯数が45の歯車Bがしっかりとかみ合って回っています。

歯車Aは10分間に216回の割合で回転します。

歯車Aが15分間回転すると、歯車Bは何回転しますか。

Haguruma588

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歯車Aは10分で216回転するので、

15分では、216×3/2=324回転します。

歯数は、A:B=35:45=7:9 なので、

Bの回転数は、Aの7/9倍 より、

324×7/9=252回転

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682

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2018年7月 4日 (水)

太朗君が持っていたコインの枚数は?(今年 2018年 麻布中学)

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太朗君と次朗君がコインを何枚か持っています。

最初、太朗君の持っている枚数は次朗君の1. 5倍でした。

その後、次朗君が太朗君にコインを40枚わたしたところ、

太朗君の持っている枚数は次朗君の 3.5倍になりました。

最初に太朗君が持っていたコインの枚数は何枚でしたか?

42

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最初のコインの枚数比は、

次朗:太朗=1:1.5=2:3

コインを渡した後は、

次朗:太朗=1:3.5=2:7

全体の枚数は変わらないので、比の合計を45でそろえると、

次朗:太朗=2:3=18:27
次朗:太朗=2:7=10:35

18-10=8が40枚に当たることがわかります。

7041

したがって、最初の太朗の枚数は、

40×27/8=135枚

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682

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2018年6月10日 (日)

ア、イ に当てはまる数は?(今年 2018年 清風南海中学)

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図のように、仕切りのある立方体の水そうがあります。

点A、Bは各辺の真ん中の点で、それぞれの仕切りは側面に平行です。

仕切りで分けられた4つの部分に同じ量の水を入れたところ、

どの部分からも水はあふれませんでした。

水面の高さの比は、低いものから順に、3:4:9:アとなりました。

図のイには1より大きい数が当てはまるとき、

ア、イ に当てはまる数を答えなさい。

ただし、仕切りの厚さは考えないものとします。

6101

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6102

面積の大きい順に、赤、緑、黄、青とすると、

水面の高さは、赤:緑=3:4なので、

面積の比は逆比になり、4:3 より、

ONは共通なので、SN:NR=4:3

PBの長さをacmとすると、

(a+1):(a-1)=4:3

4×a-4=3×a+3

a=7cm となるので、

立方体の1辺は7×2=14cmになります。

PL=8cm、LQ=6cm

赤と黄の水面比は、3:9=1:3 なので、

SK:KP=3:1となり、

SK=14×3/4=10.5cm より、

イ=10.5-7=3.5

黄と青の面積比は、8:6=4:3 なので、

青の水面比は、9×4/3=12・・・・ア

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682

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2018年3月21日 (水)

すべて植え終わるのに何分かかる?(今年 2018年 鴎友学園女子中学)

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ある本数の苗があります。

この苗を、A、B、Cの3人が10分交代で1人ずつ

学校の畑に植える作業をしようとすると、次のようになります。

ただし、最後に作業をする人は、

10分たっていなくても作業を終えることにします。

ア➡A,B,C,A,B,C,・・・の順に植えると、

  最後にBが5分植えたところですべて植え終わります。

イ➡B,C,A,B,C,A,・・・の順に植えると、

  すべて植え終わるのに アのときよりも6分長くかかります。

ウ➡ C,A,B,C,A,B,・・・の順に植えると、

  すべて植え終わるのに アのときよりも5分長くかかります。

また、A、B、Cが1分間に植える本数はそれぞれ一定であるものとします。

Sli066s

(1)Bが1分間で植える苗の本数と
、Cが1分間で植える苗の本数の比を、

  最も簡単な整数の比で表しなさい。

(2)Aが1分間で植える苗の本数と
、Cが1分間で植える苗の本数の比を、

  最も簡単な整数の比で表しなさい。

(3)Aだけで苗を植えると、すべて植え終わるのに1時間34分かかりま す。

  A、B、Cの3人が同時に苗を植えると、

  すべて植え終わるのに何分かかりますか。

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3人の順番がどうでも、3人が10分ずつ仕事をすると、

30分ごとの苗の本数は同じになります。

アもイもウも3人ずつ作業をして、最後に、

アは、A×10+B×5→15分

イは、B×10+C×10+A×1→21分

ウは、C×10+A×10→20分 かかったことになります。

(1)アとウを比べると、

A×10は同じなので、

B×5=C×10 となり、

B:C=10:5=2:1

(2)イのB×10はC×20なので、

C×20+C×10+A×1=C×10+A×10 より、

C×20=A×9

A:C=20:9

(3)仕事量の比が、A:B:C=20:18:9 なので、

1分間の仕事量を、A:B:C=1/9:1/10:1/20 とすると、

1時間34分=94分 より、

1/9×94÷(1/9+1/10+1/20)

=94/9÷47/180

=40分

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2018年2月23日 (金)

流れの速さは?(今年 2018年 女子学院中学)

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1周200mの流れるプールがあります。

J子さんは流れにそって、 G子さんは流れに逆らって

同じ地点から同時に泳ぎ始めました。

泳ぎ始めてから2人が最初に出会うまでに泳いだ道のりの差は52mです。

流れのないプールではJ子さんは毎分80m、

G子さんは毎分70mの速さで 泳ぎます。

2人が最初に出会ったのは泳ぎ始めてから何分何 秒後ですか?

また、流れの速さは毎分 何mですか?。



2231

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2232

G+J=200m

J-G=52m なので、

G=(200-52)÷2=74m

J=74+52=126m

速さの比は、J:G=126:74=63:37

泳ぎの速さの比は、J:G=80:70=8:7

流れの速さを□とすると、

(8+□):(7-□)=63:37

37×(8+□)63×(7-□)

296+37×□=441-63×□

100×□=145

□=1.45

流れの速さは毎分、1.45×10=14.5m

2人が出会ったのは、

126÷(80+14.5)=1と1/3分後

1分20秒後です。


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2017年11月16日 (木)

20%の食塩水を何g入れましたか?(洗足学園中学 2017年)

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ビーカーAに16%の食塩水400gが入っています。

Aから食塩水100gを 取り出し、Aに水を100g入れてよくかき混ぜ、

次にAから食塩水200gを取り出し、

Aに水を200g入れてよくかき混ぜました。

最後にAから食塩水を何gか取り出し、

取り出した量と同じ量の20%の食塩水をAに入れて

よくかき混ぜたところ13%の食塩水になりました。

20%の食塩水を何g入れましたか。

Sst055s

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天びん図で表すと、最初の場合は、

残った濃度16%の食塩水300gと、水100gを混ぜたことになり、

水の濃度を0%と考えると、

水:16%の食塩水=100g:300g=1:3 なので、

天びんの長さは逆比の、3:1になるので、

食塩水の濃度は、12%になります。

11161

次は、残った12%の食塩水200gと

水200gを混ぜるので、

図のように重さの比は、1:1なので、

天びんの長さも1:1になり、

できた食塩水は6%です。

最後にできた食塩水は13%なので、

6%と20%の真ん中になり、

天びんの長さは、1:1 なので、

食塩水の重さも同じになり、

残った量と加えた量が同じになるのは、

取り出した量が200gの場合なので、

20%の食塩水は200gです。

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2017年10月 8日 (日)

玉の個数の合計は?(2017年 駒場東邦中学)

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大きい箱と小さい箱に玉が入っていて、

玉の個数の比は5:3です。

小さ い箱から15個の玉を取り出して大きい箱に入れたところ、

玉の個数の比が3:1になりました。

大きい箱と小さい箱に入っている玉の個数の合計はいくつですか?

Cardboard_openCardboard_open_2

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玉の個数の合計は変わらないので、

比の合計を合わせてみると、

最初→大:小=5:3・・・・・5+3=8

移動後→大:小=3:1=6:2・・・・・6+2=8

小から大へ1移動したことがわかります。

この1が15個に当たるので、

個数の合計は、15×8=120個

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2017年10月 3日 (火)

面積の比と長さは?(2017年 世田谷学園中学)

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下の図のように、2つの正方形ア、イが重なった図形があります。

色部分は正方形で、その面積はアの1/4、 イの9/16にあたります。

太線で囲まれた図形の面積は172㎠です。

1031

(1)2つの正方形ア、イの面積の比を、最も簡単な整数で答えなさい。

(2)色部分の正方形の1辺の長さは何cmですか。

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----------------------------------------------------

1032

色部分の正方形の面積を⑨とすると、

区分けされた部分の面積比は図のようになり、

(1)ア:イ=36:16=9:4

(2)172㎠=43マルなので、

色部分の面積=172×9/43=36㎠

36=6×6 より、

1辺の長さは6cm

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