目次

旅人算

2018年6月22日 (金)

何分で無くなりますか?(今年 2018年 早稲田中学)

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赤色ペンキ職人は、ある長い壁を一定の速さで赤色ペンキで塗り続けています。

一方、青色ペンキ職人は、

赤く塗られた部分の上を別の速さで青色ペンキで重ね て塗ります。

青色ペンキ職人2人で塗ると、5分で赤く塗られた部分が無くなり ます。

青色ペンキ職人3人で塗ると、3分で赤く塗られた部分が無くなります。

青色ペンキ職人4人で塗ると、何分で赤く塗られた部分が無くなりますか。


Ilm05_cb08010sMpsa12012

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これ何算でしょうか?

仕事算?

ニュートン算?

ここでは旅人算の要領で考えてみます。

6221

青1人の仕事スピードを①、赤のスピードを「赤」として、

すでに赤く塗られた赤とのキョリを□とすると、

青2人では5分で追いついたので、

□÷(①×2-赤)=5

青3人では3分で追いついたので、

□÷(①×3-赤)=3

5×(①×2-赤)=3×(①×3-赤)

⑩-5×赤=⑨-3×赤

①=2×赤

赤=1/2まる

□=5×1.5まる=7.5まる

青4人では、

7.5まる÷(①×4-1/2まる)

=7.5まる÷3.5まる

=2と1/7分

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682

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2018年2月26日 (月)

AからBまでの道のりは?(今年 2018年 海城中学)

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一郎君は毎分90mの速さで歩いて、

花子さんは毎分120mの速さで自転車に 乗って、

AからBに向かうことにしました。

花子さんはAを出発して、

AからBまでの道のりのちょうど1/3地点で忘れ物に気づいてAに戻り、

忘れ物を取ってすぐにBに向かいました。

一郎君は、花子さんがはじめにAを出発してから14分後にAを出発して、

花子さんと一度すれちがい、花子さんと同時にBに着きました。

(1)AからBまでの道のりを求めなさい。

(2)一郎君がAを出発してから花子さんとすれちがうまでに何分かかりましたか。

Ilm13_aa08004s2102cs

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2261

(1)

AからBまでの道のりを□mとすると、

(1+1/3×2)×□÷120=□÷90+14

5/3×□÷120=□÷90+14

(5×□)/360=(4×□)/360+14

□/360=14

□=5040m

(2)

AからBまでの1/3は、5040÷3=1680m

花子は14分間に、120×14=1680m進むので、

一郎が出発したのは、花子が忘れ物に気づいた1/3地点

すれ違う時間は、

1680÷(90+120)=8分後

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2017年11月15日 (水)

基本的な旅人算です!(函嶺白百合学園中学 2017年)

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1

1周1200mの道があります。

この道を、Aさんと Bさんは同じ方向にCさんは反対の方向に

3人とも同時に同じ場所から出発します。

CさんはAさんの2倍の速さで進み、

AさんとCさんは、出発してから 8分後にはじめて出会いました。

また、Aさんと Bさんの速さの比は1:3です。

このとき、次の問いに答えなさい。

(1)AさんとCさんがはじめて出会ったときまでにCさんは何m進みましたか。

(2)Aさんは1周するのに何分かかりますか。

(3)BさんとCさんがはじめて出会うのは出発してから何分何秒後ですか。

2122

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11155

(1)Aの速さを分速Amとすると、

Cの速さは分速(2×A)m

1分間で、A+2×A=3×Am近づき、

8分間で2人は1200m進んだので、

8×3×A=1200m

A=分速50m

C=分速100m

8分間でCは、8×100=800m進みました。

(2)Aは1周するのに、

1200÷50=24分 かかります。

(3)Bの分速は、50×3=150m

BとCが出会うまで、

1200÷(150+100)=4.8分なので、

4分と48秒です。

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2017年10月12日 (木)

電車に追い越されたのは?(2017年 桐朋中学)

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A君は午後3時にP駅を出発し、線路沿いの道をQ駅まで歩きました。

電車は午後3時15分にP駅を出発し、

A君を追いこしてQ駅に到着しま した。

A君が電車に追いこされたのは、A君がQ駅に到着する3分前で した。

A君の歩く速さは毎分80m、電車の速さは毎分480mです。

(1)A君が電車に追いこされた時刻は何時何分ですか。

(2)P駅からQ駅までの道のりは何mですか。

(3)A君が途中から Q駅まで毎分240mの速さで走ったとすると、

  電車と同時にQ駅に到着することができます。

  走りはじめた時刻は何時何分何秒ですか。

Train_greenIlm19_aa01016s

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10121

(1)電車の出発した3時15分には、

A君は、80×15=1200m進んでいます。

電車がこの1200mを追いつくには、

1200÷(480-80)=3分かかるので、

追いつく時刻は、3時18分です。

(2)A君がQ駅に着いたのは、

3時18分+3分=3時21分 なので、

A君が歩いた道のり=PQ間の距離=80×21=1680m

(3)

10122

PQ間を電車は、1680÷480=3.5分で走行するので、

Q駅に電車がついた時刻は、3時18分30秒

A君が18.5分でQ駅に着くためには、

18.5分を全部走ると4440mなので、

歩く時間は、(4440-1680)÷160=17.25分

走り始めるのは、3時17分15秒です。

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2017年4月20日 (木)

公園の1周の距離は何m?(今年2017年 明治大学付属中野中学)

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A君とB君は公園を同じ場所から1周します。

A君は毎分70mの速さで、B君 は毎分84mの速さで歩きます。

A君が出発した2分30秒後にB君が出発して、

A君に追いついたのは2人がちようど1周したところでした。

この公園の1周の距離は何mですか。

1720

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A君は2分30秒で、70×2.5=175m進みます。

この175mをB君が追いつくには、

175÷(84-70)=12.5分かかります。

B君が進んだ距離=公園1周の距離は、

84×12.5=1050m

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2016年9月 8日 (木)

マラソンコースは1周何m?(2016年 筑波大学附属中学)

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次の図のようなマラソンコースを、

A、B、Cの3人は、同じ場所から同時にスタート し、何周か走ります。

Aは毎分60mで、Bは毎分45mで走ります。

Cが、A、Bと逆の向きにスタートし、

Aと2回目にすれ違ったのは、スタートしてから10分後で、

Bと3回目にすれ違ったのは、スタートしてから18分後でした。

マラソンコースは1周何mですか。

ただし、Cの速さは一定で、Bよりおそいものとします。

Ike2

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1周を□mとすると、

CはAと2人で2周して2回出会ったので、Cの速さは、

(2×□-60×10)÷10

CはBと2人で3周して3回出会ったので、Cの速さは、

(3×□-45×18)÷18

Cの速さは一定なので、

(2×□-60×10)÷10=(3×□-45×18)÷18

(□-300)÷5=(□-270)÷6

6×(□-300)=5×(□-270)

6×□-1800=5×□-1350

□=1800-1350=450

マラソンコースは、450m

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2016年9月 6日 (火)

学校に行く旅人算(高輪中学 2014年)

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太郎君は毎日同じ時刻に家を出て、学校|ご行きます。

72mで歩くと始業の時間に3分遅刻してしまいます。

また分速84mで歩くと始業の時間より2分早く着きます。

家から学校までの道のりは何mですか。

Bandicam_20151026_082714608

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図のように、分速84mで歩いたときに学校についた時刻には、

分速72mで歩いた場合、学校まで5分かかるところにいることになります。

1

この場所は、学校まで、72×5=360mのところです。

速さが84mと72mでは、1分間に84-72=12m 差がつきます。

360mの差は、360÷12=30分でついた差ですから、

学校までは、84×30=2520m です。

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2016年6月30日 (木)

点の移動と旅人算(2016年 筑波大学附属駒場中学)

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6301

上の図のように、点Oを中心とする円と、その円周上に点A,Bあり、

OAとOBは垂直です。

3点P,Q,Rは、次のように円周上を動きます。

PはAを出発して、反時計回りに動き、6分で円を1周します。

QはBを出発して、反時計回りに動き、6分で円を2周します。

RはAを出発して、時計回りに動き、6分で円を3周します。

P,Q,Rは同時に動き始め、それぞれ一定の速さで円周上を動き、

6分後に3点とも止まります。 

PとQ、QとR、RとPをまっすぐな線で結んで作った図形PQRについて、

次の問に答えなさい。 

(1)


P,Q,Rのうちの2点が重なり、

図形PQRが三角形
ならないことが何度もあります。

初めて三角形にならないのは
動き始めてから何秒後ですか?

また、2度目、3度目に三角形
にならないのは、

動き始めてから、それぞれ何秒後ですか?
 
 
(2)

図形PQRが三角形で、その辺上に中心Oがあるのは、

動き
始めてから何秒後ですか?

考えられるものをすべて答えなさい。


(3)

図形PQRが正三角形になるのは、動き始めて何秒後ですか?

考えられるものをすべて答えなさい。


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(1)P、Q、R の速さの比は、1:2:3
 
Pの分速を【1】としたとき、円の長さは、【1】×6=【6】です。
 
図形PQRが初めて三角形にならないのは、QとRが重なるときで
 
最初に、QとRは、【6】の3/4離れているので、2点が出会うのは、
 
【6】×3/4÷(【2】+【3】)=0.9分後=54秒後
 
です。
 
2度目に三角形にならないのは、PとRが重なるときで、
 
【6】÷(【1】+【3】)=1.5分後=90秒後
 
です。(PとRが90秒ごとに重なることがわかります)
 
3度目に三角形にならないのは、QがPに追いついたときか、
 
QとRが2度目に重なるときの、どちらかと考えられます。
 
QがPに追いつくのは、
 
【6】×3/4÷(【2】-【1】)=4.5分後
 
QとRが2度目に重なるのは、
 
0.9+【6】÷(【2】+【3】)=2.1分後
 
なので、
 
3度目に三角形にならないのは、126秒後です。
 
(QとRが1.2分=72秒ごとに重なることがわかります)
 
 
 
(2)図形PQRの辺上に点Oがあるとき、その辺の2点は
 
点Oをはさんで真反対側(【3】離れたところ)にあります。
 
点Pと点Qが【3】離れるのは、最初の位置で【1.5】離れているので、
 
(【3】-【1.5】)÷(【2】-【1】)=1.5分後=90秒後
 
です。(1)より、点Pと点Qが重なるのが4.5分後なので、
 
6分以内に、再び点Pと点Qが【3】離れた位置に来ることはありません
 
また、(1)より、QとRが1.2分=72秒ごと、PとRが90秒ごとに重なるので、
 
重なってから QとRが36秒後、PとRが45秒後に
 
【3】離れた位置になることがわかります。
 
点Pと点Rは、45秒後、135秒後、225秒後、315秒後です。
 
点Qと点Rは、18秒後、90秒後、162秒後、234秒後、306秒後です。
 
ただし、90秒後には三角形にならないので、答えは、
 
18秒後、45秒後、135秒後、162秒後、
 
225秒後、234秒後、306秒後、315秒後
 
です。
 
 
 
(3)正三角形PQRができるとき、3点は【2】ずつ離れた位置にいるので、
 
3点のうちの2点が【2】離れる時間を求め、
 
そのときに残りの1点が【2】離れている条件を満たすか調べます。
 
点Pと点Qが【2】離れる回数が少ないので、これを調べます。
 
最初に点Pと点Qは【1.5】離れているので、【2】になるのは、
 
(【2】-【1.5】)÷(【2】-【1】)=0.5分後
 
です。
 
2回目に【2】離れるのは、点Qが点Pに追いついていったときで
 
最初に【4.5】離れていると見なせるので、
 
(【4.5】-【2】)÷(【2】-【1】)=2.5分後
 
です。
 
3回目に【2】離れるのは、点Qが点Pを追い越して【2】離れたときで、
 
(【4.5】+【2】)÷(【2】-【1】)=6.5分後
 
なので、6分以上かかります。
 
よって、0.5分後と2.5分後の点Rの位置について調べてみると
 
0.5分後は、【3】×0.5=【1.5】
 
2.5分後は、【3】×2.5=【7.5】
 
の位置で、
 
1周【6】なので、2.5分後も点Aから【1.5】の位置とわかります。
 
0.5分後の3点の位置は、
 
点Pは点Aから【0.5】、点Qは点Bから【1】→点Aから【2.5】、
 
点Rは点Aから【1.5】
 
2.5分後の3点の位置は、
 
点Pは点Aから【2.5】、点Qは点Bから【5】→点Aから【0.5】、
 
点Rは点Aから【1.5】
 
なので、共に正三角形になります。(点Rだけ時計回りです)
 
よって、正三角形になるのは、30秒後と150秒後の2回です。
 

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2016年4月28日 (木)

長さが等しくなるのは何分後?(2016年 江戸川女子中学)

長さ10cmのろうそくAと長さ24cmのろうそくBに同時に火をつけます。

下のグラフは、火をつけてからの時間とろうそくの長さの関係を表しています。

ろうそくA、Bの残りの長さが等しくなるのは、火をつけてから何分後ですか?

4281

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4283

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2015年12月16日 (水)

重なるのは何分後?(2015年 世田谷学園中学)

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はじめ下の図のように、円周上に3点A、B、Cがあります。

その後、それぞれ一定の速さで矢印の方向に同時に円周上を回り始めます。

Aは8分、Bは 12分、Cは20分で1周します。 このとき、次の問いに答えなさい。

(1) 2点A、Bが初めて重なるのは、回り始めてから何分後ですか。

(2) 3点A、B、Cが初めて重なるのは、回り始めてから何分後ですか。

12161

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(1)

Aの速さは分速、360÷8=45°

Bの速さは分速、360÷12=30°

Cの速さは分速、360÷20=18°

AがBに追いつくのは、120÷(45-30)=8分後

(2)

Aが次にBに追いつくのは、

360÷(45-30)=24分後なので、

AとBが重なるのは、8分、32分、56分、80分、104分、128分・・・・・・

AがCに追いつくのは、

(360-72)÷(45-18)=10と2/3分後

以下、360÷(45-18)=13と1/3分後とに追いつくので、

2回目が24分後、

5回目が24+13と1/3×3=64分後

8回目が104分後なので、

104分後に3点が重なります。

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