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上の図のように、点Oを中心とする円と、その円周上に点Ａ，Ｂあり、
ＯＡとＯＢは垂直です。
３点Ｐ，Ｑ，Ｒは、次のように円周上を動きます。
PはＡを出発して、反時計回りに動き、６分で円を１周します。
ＱはＢを出発して、反時計回りに動き、６分で円を２周します。
ＲはＡを出発して、時計回りに動き、６分で円を３周します。
Ｐ，Ｑ，Ｒは同時に動き始め、それぞれ一定の速さで円周上を動き、
６分後に３点とも止まります。
ＰとＱ、ＱとＲ、ＲとＰをまっすぐな線で結んで作った図形ＰＱＲについて、
次の問に答えなさい。
（１）
Ｐ，Ｑ，Ｒのうちの２点が重なり、
図形ＰＱＲが三角形ならないことが何度もあります。
初めて三角形にならないのは動き始めてから何秒後ですか？
また、２度目、３度目に三角形にならないのは、
動き始めてから、それぞれ何秒後ですか？
（２）
図形ＰＱＲが三角形で、その辺上に中心Ｏがあるのは、
動き始めてから何秒後ですか？
考えられるものをすべて答えなさい。
（３）
図形ＰＱＲが正三角形になるのは、動き始めて何秒後ですか？
考えられるものをすべて答えなさい。
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（１）Ｐ、Q、R の速さの比は、１：２：３
Pの分速を【１】としたとき、円の長さは、【１】×６＝【６】です。
図形PQRが初めて三角形にならないのは、ＱとＲが重なるときで
最初に、ＱとＲは、【６】の３/４離れているので、２点が出会うのは、
【６】×３/４÷（【２】＋【３】）＝０．９分後＝５４秒後
です。
２度目に三角形にならないのは、ＰとＲが重なるときで、
【６】÷（【１】＋【３】）＝１．５分後＝９０秒後
です。（PとＲが９０秒ごとに重なることがわかります）
３度目に三角形にならないのは、QがPに追いついたときか、
QとRが２度目に重なるときの、どちらかと考えられます。
QがPに追いつくのは、
【６】×３/４÷（【２】－【１】）＝４．５分後
QとＲが２度目に重なるのは、
０．９＋【６】÷（【２】＋【３】）＝２．１分後
なので、
３度目に三角形にならないのは、１２６秒後です。
（ＱとRが１．２分＝７２秒ごとに重なることがわかります）
（２）図形ＰＱＲの辺上に点Ｏがあるとき、その辺の２点は
点Ｏをはさんで真反対側（【３】離れたところ）にあります。
点Ｐと点Ｑが【３】離れるのは、最初の位置で【１．５】離れているので、
（【３】－【１．５】）÷（【２】－【１】）＝１．５分後＝９０秒後
です。（１）より、点Ｐと点Ｑが重なるのが４．５分後なので、
６分以内に、再び点Ｐと点Ｑが【３】離れた位置に来ることはありません。
また、（１）より、ＱとRが１．２分＝７２秒ごと、PとＲが９０秒ごとに重なるので、
重なってから ＱとRが３６秒後、ＰとＲが４５秒後に
【３】離れた位置になることがわかります。
点Ｐと点Ｒは、４５秒後、１３５秒後、２２５秒後、３１５秒後です。
点Ｑと点Ｒは、１８秒後、９０秒後、１６２秒後、２３４秒後、３０６秒後です。
ただし、９０秒後には三角形にならないので、答えは、
１８秒後、４５秒後、１３５秒後、１６２秒後、
２２５秒後、２３４秒後、３０６秒後、３１５秒後
です。
（３）正三角形ＰＱＲができるとき、３点は【２】ずつ離れた位置にいるので、
３点のうちの２点が【２】離れる時間を求め、
そのときに残りの１点が【２】離れている条件を満たすか調べます。
点Ｐと点Ｑが【２】離れる回数が少ないので、これを調べます。
最初に点Ｐと点Ｑは【１．５】離れているので、【２】になるのは、
（【２】－【１．５】）÷（【２】－【１】）＝０．５分後
です。
２回目に【２】離れるのは、点Ｑが点Ｐに追いついていったときで
最初に【４．５】離れていると見なせるので、
（【４．５】－【２】）÷（【２】－【１】）＝２．５分後
です。
３回目に【２】離れるのは、点Ｑが点Ｐを追い越して【２】離れたときで、
（【４．５】＋【２】）÷（【２】－【１】）＝６．５分後
なので、６分以上かかります。
よって、０．５分後と２．５分後の点Ｒの位置について調べてみると
０．５分後は、【３】×０．５＝【１．５】
２．５分後は、【３】×２．５＝【７．５】
の位置で、
１周【６】なので、２．５分後も点Aから【１．５】の位置とわかります。
０．５分後の３点の位置は、
点Pは点Ａから【０．５】、点Ｑは点Ｂから【１】→点Ａから【２．５】、
点Ｒは点Ａから【１．５】
２．５分後の３点の位置は、
点Pは点Ａから【２．５】、点Qは点Ｂから【５】→点Ａから【０．５】、
点Ｒは点Ａから【１．５】
なので、共に正三角形になります。（点Ｒだけ時計回りです）
よって、正三角形になるのは、３０秒後と１５０秒後の２回です。
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