目次

旅人算

2017年10月12日 (木)

電車に追い越されたのは?(2017年 桐朋中学)

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A君は午後3時にP駅を出発し、線路沿いの道をQ駅まで歩きました。

電車は午後3時15分にP駅を出発し、

A君を追いこしてQ駅に到着しま した。

A君が電車に追いこされたのは、A君がQ駅に到着する3分前で した。

A君の歩く速さは毎分80m、電車の速さは毎分480mです。

(1)A君が電車に追いこされた時刻は何時何分ですか。

(2)P駅からQ駅までの道のりは何mですか。

(3)A君が途中から Q駅まで毎分240mの速さで走ったとすると、

  電車と同時にQ駅に到着することができます。

  走りはじめた時刻は何時何分何秒ですか。

Train_greenIlm19_aa01016s

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10121

(1)電車の出発した3時15分には、

A君は、80×15=1200m進んでいます。

電車がこの1200mを追いつくには、

1200÷(480-80)=3分かかるので、

追いつく時刻は、3時18分です。

(2)A君がQ駅に着いたのは、

3時18分+3分=3時21分 なので、

A君が歩いた道のり=PQ間の距離=80×21=1680m

(3)

10122

PQ間を電車は、1680÷480=3.5分で走行するので、

Q駅に電車がついた時刻は、3時18分30秒

A君が18.5分でQ駅に着くためには、

18.5分を全部走ると4440mなので、

歩く時間は、(4440-1680)÷160=17.25分

走り始めるのは、3時17分15秒です。

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2017年4月20日 (木)

公園の1周の距離は何m?(今年2017年 明治大学付属中野中学)

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A君とB君は公園を同じ場所から1周します。

A君は毎分70mの速さで、B君 は毎分84mの速さで歩きます。

A君が出発した2分30秒後にB君が出発して、

A君に追いついたのは2人がちようど1周したところでした。

この公園の1周の距離は何mですか。

1720

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A君は2分30秒で、70×2.5=175m進みます。

この175mをB君が追いつくには、

175÷(84-70)=12.5分かかります。

B君が進んだ距離=公園1周の距離は、

84×12.5=1050m

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2016年9月 8日 (木)

マラソンコースは1周何m?(2016年 筑波大学附属中学)

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次の図のようなマラソンコースを、

A、B、Cの3人は、同じ場所から同時にスタート し、何周か走ります。

Aは毎分60mで、Bは毎分45mで走ります。

Cが、A、Bと逆の向きにスタートし、

Aと2回目にすれ違ったのは、スタートしてから10分後で、

Bと3回目にすれ違ったのは、スタートしてから18分後でした。

マラソンコースは1周何mですか。

ただし、Cの速さは一定で、Bよりおそいものとします。

Ike2

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1周を□mとすると、

CはAと2人で2周して2回出会ったので、Cの速さは、

(2×□-60×10)÷10

CはBと2人で3周して3回出会ったので、Cの速さは、

(3×□-45×18)÷18

Cの速さは一定なので、

(2×□-60×10)÷10=(3×□-45×18)÷18

(□-300)÷5=(□-270)÷6

6×(□-300)=5×(□-270)

6×□-1800=5×□-1350

□=1800-1350=450

マラソンコースは、450m

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2016年9月 6日 (火)

学校に行く旅人算(高輪中学 2014年)

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太郎君は毎日同じ時刻に家を出て、学校|ご行きます。

72mで歩くと始業の時間に3分遅刻してしまいます。

また分速84mで歩くと始業の時間より2分早く着きます。

家から学校までの道のりは何mですか。

Bandicam_20151026_082714608

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図のように、分速84mで歩いたときに学校についた時刻には、

分速72mで歩いた場合、学校まで5分かかるところにいることになります。

1

この場所は、学校まで、72×5=360mのところです。

速さが84mと72mでは、1分間に84-72=12m 差がつきます。

360mの差は、360÷12=30分でついた差ですから、

学校までは、84×30=2520m です。

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2016年6月30日 (木)

点の移動と旅人算(2016年 筑波大学附属駒場中学)

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6301

上の図のように、点Oを中心とする円と、その円周上に点A,Bあり、

OAとOBは垂直です。

3点P,Q,Rは、次のように円周上を動きます。

PはAを出発して、反時計回りに動き、6分で円を1周します。

QはBを出発して、反時計回りに動き、6分で円を2周します。

RはAを出発して、時計回りに動き、6分で円を3周します。

P,Q,Rは同時に動き始め、それぞれ一定の速さで円周上を動き、

6分後に3点とも止まります。 

PとQ、QとR、RとPをまっすぐな線で結んで作った図形PQRについて、

次の問に答えなさい。 

(1)


P,Q,Rのうちの2点が重なり、

図形PQRが三角形
ならないことが何度もあります。

初めて三角形にならないのは
動き始めてから何秒後ですか?

また、2度目、3度目に三角形
にならないのは、

動き始めてから、それぞれ何秒後ですか?
 
 
(2)

図形PQRが三角形で、その辺上に中心Oがあるのは、

動き
始めてから何秒後ですか?

考えられるものをすべて答えなさい。


(3)

図形PQRが正三角形になるのは、動き始めて何秒後ですか?

考えられるものをすべて答えなさい。


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(1)P、Q、R の速さの比は、1:2:3
 
Pの分速を【1】としたとき、円の長さは、【1】×6=【6】です。
 
図形PQRが初めて三角形にならないのは、QとRが重なるときで
 
最初に、QとRは、【6】の3/4離れているので、2点が出会うのは、
 
【6】×3/4÷(【2】+【3】)=0.9分後=54秒後
 
です。
 
2度目に三角形にならないのは、PとRが重なるときで、
 
【6】÷(【1】+【3】)=1.5分後=90秒後
 
です。(PとRが90秒ごとに重なることがわかります)
 
3度目に三角形にならないのは、QがPに追いついたときか、
 
QとRが2度目に重なるときの、どちらかと考えられます。
 
QがPに追いつくのは、
 
【6】×3/4÷(【2】-【1】)=4.5分後
 
QとRが2度目に重なるのは、
 
0.9+【6】÷(【2】+【3】)=2.1分後
 
なので、
 
3度目に三角形にならないのは、126秒後です。
 
(QとRが1.2分=72秒ごとに重なることがわかります)
 
 
 
(2)図形PQRの辺上に点Oがあるとき、その辺の2点は
 
点Oをはさんで真反対側(【3】離れたところ)にあります。
 
点Pと点Qが【3】離れるのは、最初の位置で【1.5】離れているので、
 
(【3】-【1.5】)÷(【2】-【1】)=1.5分後=90秒後
 
です。(1)より、点Pと点Qが重なるのが4.5分後なので、
 
6分以内に、再び点Pと点Qが【3】離れた位置に来ることはありません
 
また、(1)より、QとRが1.2分=72秒ごと、PとRが90秒ごとに重なるので、
 
重なってから QとRが36秒後、PとRが45秒後に
 
【3】離れた位置になることがわかります。
 
点Pと点Rは、45秒後、135秒後、225秒後、315秒後です。
 
点Qと点Rは、18秒後、90秒後、162秒後、234秒後、306秒後です。
 
ただし、90秒後には三角形にならないので、答えは、
 
18秒後、45秒後、135秒後、162秒後、
 
225秒後、234秒後、306秒後、315秒後
 
です。
 
 
 
(3)正三角形PQRができるとき、3点は【2】ずつ離れた位置にいるので、
 
3点のうちの2点が【2】離れる時間を求め、
 
そのときに残りの1点が【2】離れている条件を満たすか調べます。
 
点Pと点Qが【2】離れる回数が少ないので、これを調べます。
 
最初に点Pと点Qは【1.5】離れているので、【2】になるのは、
 
(【2】-【1.5】)÷(【2】-【1】)=0.5分後
 
です。
 
2回目に【2】離れるのは、点Qが点Pに追いついていったときで
 
最初に【4.5】離れていると見なせるので、
 
(【4.5】-【2】)÷(【2】-【1】)=2.5分後
 
です。
 
3回目に【2】離れるのは、点Qが点Pを追い越して【2】離れたときで、
 
(【4.5】+【2】)÷(【2】-【1】)=6.5分後
 
なので、6分以上かかります。
 
よって、0.5分後と2.5分後の点Rの位置について調べてみると
 
0.5分後は、【3】×0.5=【1.5】
 
2.5分後は、【3】×2.5=【7.5】
 
の位置で、
 
1周【6】なので、2.5分後も点Aから【1.5】の位置とわかります。
 
0.5分後の3点の位置は、
 
点Pは点Aから【0.5】、点Qは点Bから【1】→点Aから【2.5】、
 
点Rは点Aから【1.5】
 
2.5分後の3点の位置は、
 
点Pは点Aから【2.5】、点Qは点Bから【5】→点Aから【0.5】、
 
点Rは点Aから【1.5】
 
なので、共に正三角形になります。(点Rだけ時計回りです)
 
よって、正三角形になるのは、30秒後と150秒後の2回です。
 

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2016年4月28日 (木)

長さが等しくなるのは何分後?(2016年 江戸川女子中学)

長さ10cmのろうそくAと長さ24cmのろうそくBに同時に火をつけます。

下のグラフは、火をつけてからの時間とろうそくの長さの関係を表しています。

ろうそくA、Bの残りの長さが等しくなるのは、火をつけてから何分後ですか?

4281

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4283

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2015年12月16日 (水)

重なるのは何分後?(2015年 世田谷学園中学)

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はじめ下の図のように、円周上に3点A、B、Cがあります。

その後、それぞれ一定の速さで矢印の方向に同時に円周上を回り始めます。

Aは8分、Bは 12分、Cは20分で1周します。 このとき、次の問いに答えなさい。

(1) 2点A、Bが初めて重なるのは、回り始めてから何分後ですか。

(2) 3点A、B、Cが初めて重なるのは、回り始めてから何分後ですか。

12161

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(1)

Aの速さは分速、360÷8=45°

Bの速さは分速、360÷12=30°

Cの速さは分速、360÷20=18°

AがBに追いつくのは、120÷(45-30)=8分後

(2)

Aが次にBに追いつくのは、

360÷(45-30)=24分後なので、

AとBが重なるのは、8分、32分、56分、80分、104分、128分・・・・・・

AがCに追いつくのは、

(360-72)÷(45-18)=10と2/3分後

以下、360÷(45-18)=13と1/3分後とに追いつくので、

2回目が24分後、

5回目が24+13と1/3×3=64分後

8回目が104分後なので、

104分後に3点が重なります。

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2015年10月26日 (月)

学校に行く旅人算(高輪中学 2014年)

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また分速84mで歩くと始業の時間より2分早く着きます。

家から学校までの道のりは何mですか。

Bandicam_20151026_082714608

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図のように、分速84mで歩いたときに学校についた時刻には、

分速72mで歩いた場合、学校まで5分かかるところにいることになります。

1

この場所は、学校まで、72×5=360mのところです。

速さが84mと72mでは、1分間に84-72=12m 差がつきます。

360mの差は、360÷12=30分でついた差ですから、

学校までは、84×30=2520m です。

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2015年8月12日 (水)

流水算と旅人算(Sapix マンスリーテストより)

「(1)までしかできなくて・・・」

川の上流に甲地が、下流に乙地があります。船Aが甲地を、船Bが乙地を同時に出発しました。船Aと船Bは出発してから20分後にはじめてすれちがい、その10分後に船Aが乙地に着きました。船Aの静水上を進む速さは分速60m、船Bの静水上を進む速さは分速75mです。

(1)甲地から乙地までの距離は何mですか?

(2)この川の流れの速さは分速何mですか?

(3)船Aと船Bは甲地、乙地に着くとすぐに折り返して、それぞれが出発した地点に向かいました。船Aと船Bが2度目にすれちがうのは、甲地から何mのところですか?

「まず図にしてみようね」

Zu1

「イメージしやすくなった」

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「川の流れの速さを

Nagare

で表してみると、20分後にはじめてすれちがったときは・・・」

Gif8121

 

「Aの速さは 60m+川の速さ、Bの速さは75m-川の速さ」

「向かい合って近づく旅人算だから、速さはA+B」

(60m+川の速さ)+(75m-川の速さ)=135m

「川の速さがなくなっちゃう」

「つまり静水上と同じ」

「20分だから135m×20分で2700m」

「(2)はその10分後に注目」

Gif8122

 

「10分後だからAは甲から乙まで30分で行ったわけだ」

「2700mをね」

「分速90m」

「静水上が60mなんだから?」

Nagare

「この川の流れの速さは、90-60で分速30mだ」

「(3)だけど、Bが甲地に着くのは出発してから何分後かな?」

Gif8123

 

「えーと、75mから川の流れを引いて45mだから、2700を45mで割って60分」

「そのときAはもう乙を折り返してきているね」

「折り返してから30分たってる」

「どのくらい進んでいる?」

「これも60mから30m引いて30m×30分だから900m」

「AとBの距離は?」

「2700-900で1800m」

「あとはまた向かい合う旅人算」

Nagare

「これは考えなくていいから・・・」

1800÷(60+75)=13と1/3分

Gif8124

 

「Bの下りの速さは?」

「75+30で105m、13と1/3分だから甲地から1400m」

「そうだね」

「これ流水算と旅人算が混ざってる」

「試験の大問はこうなってくるでしょ」

Ha

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2015年2月 7日 (土)

2015年、麻布中学の出題問題から、公園の旅人算

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公園内に図のようなコースがあります。

からは100m,からを通ってまでは200m,からは100m,からは100mです。

Aさんは一定の速さで歩き,の位置から出発して,コース上をあ→い→う→え→おの順に進みます。

Bさんは自転車に乗って分速280mで走り,の位置から出発してに進み,に着いたあとはえ→う→い→え→う→い・・・と池の周りを反時計回りに何度も周回します。

2人とも同時に出発したとして,次の間いに答えなさい。ただし,答えは整数または分数で書きなさい。

1527



(1)Aさんの速さは分速70mであるとします。

  ①2人が最初に出会うのは出発してから何分後ですか。

  ②2人が最後に出会うのは出発してから何分後ですか。

(2)AさんとBさんがちょうど3回出会うとき,

  Aさんの速さとして考えられるもののうち,最も速いのは分速何mですか。

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(1)

Aがに着く時間は、100÷70=10/7分→1と3/7分

Bがに着く時間は、300÷280=15/14分→1と1/14分

Bがに着いてもAはまだに着いていないので、Bはもう1周することになり、

2人の進むキョリの合計は、100+100+300+200=700m

出会うまでの時間を□分とすると、

70×□+280×□=700 で、

□=700÷(70+280)=2 より

2分後

Aがに着く時間は、300÷70=4と2/7分後

最初にBと会ってから、4と2/7-2=2と2/7=16/7分後 です。

最初に会ってから、次に会うまでに2人が進むキョリは池の周りの300m

その時間は、300÷(70+280)=6/7分

16/7分の間に2回会えることになり、

3回目まで、6/7×2=12/7分 なので、

出発してから、2+12/7=3と5/7分後になります。

(2)

BがAと3回会う最短距離は、池を2周してでAと会うときなので、

そのキョリは、100+300×2=700m

時間は、700÷280=5/2分

その時間でAはに着くことになるので、

その速さは、300÷5/2=120m/分

分速120mです。

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