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下の図のように立方体を積み重ねて大きな立方体を作りました。
黒い円は、上と正面と横からそれぞれ向かいの面まで
穴を通したものです。
このとき、穴が開いていない立方体はいくつありますか。
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図のように上の段は1個
真ん中の段は2個
下の段は1個
合計4個
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下図は１辺の差さが７ｃｍの立法体で、この立方体の面ＡＢＣＤにおいて図１斜線部の位置に面ＥＦＧＨまでつきぬける直方体の穴を３つあけます。ただし、図１の点線は等間隔に引いてあります。
さらに、同じように面ＡＥＦＢにおいて、下図斜線部の位置に面ＤＨＧＣまでつきぬける直方体の穴を３つあけます。
（１）この穴のあいた立体の体積を求めなさい。
さらに、同じように面ＢＦＧＣにおいて、下図斜線部の位置に面ＡＥＨＤまでつきぬける直方体の穴を３つあけます。
（２）この立体の体積を求めなさい。
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１辺の長さが６ｃｍの立方体があります。
正面から見たとき図１の灰色の部分になるように
四角柱の形の穴を反対側の面まであけます。
次に、ま横から見たとき図２の灰色の部分になるように
側面に垂直に元の立体の反対側の面までくり抜き穴をあけます。
このとき、次の問に答えなさい。図の目盛りは１ｃｍです。
（１）できた立体の体積は、もとの立方体の体積より何立方ｃｍ小さいですか。
（２）できた立体の表面積を求めなさい。
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（１）正面からの穴と、ま横からの穴は、図３のように重なります。
重なった黄色い部分の体積は、２ｃｍ×２ｃｍ×１ｃｍ＝４立法ｃｍ
なので、立方体からくり抜かれた体積は、
２×２×６×２－４＝４４立法ｃｍ なので、できた立体の体積は、
元の立方体の体積より ４４立法ｃｍ小さいことになります。
（２）立方体の内部の面積は、図３のくり抜かれた部分を
前後、左右、上下から見て求めます。すると図４，５，６のようになります。
青い部分が表面積となりますので、その面積を求めると、
図４：（２×６－２×１）×２＝２０ｃ㎡
図５：（２×６－２×１）×２＝２０ｃ㎡
図６：２×２×５×２＝４０ｃ㎡
それぞれ２面ずつあることに注意して、合計で８０ｃ㎡ です。
立方体の表面は、くり抜かれた面が４面、そのままの面が２面で、
（６×６－２×２）×４＋６×６×２＝１２８＋７２＝２００ｃ㎡
です。
よって、できた立体の表面積は、
８０＋２００＝２８０ｃ㎡ となります。
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下の図は１辺が４ｃｍの立方体で、マス目はすべて１辺１ｃｍの正方形です。
青色部分のところを、反対面までまっすぐくり抜いて立体を作りました。
この立体の体積は何立方ｃｍですか？
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各段の残る個数を数えていきます。
１段目→１３個
２段目→１０個
３段目→１１個
４段目→１３個
合計４７個なので、４７立方ｃｍ
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たて８ｃｍ、横１０ｃｍ、高さ１２ｃｍの直方体の形をした
図１のような材木があります。
この材木を真上から、
下の図２の青色部分をまっすぐに下の面までくり抜いて穴をあけました。
次に、真正面から、
下の図３の青色部分をまっすぐに裏の面までくり抜いて穴をあけました。
穴をあけた後の材木の体積を求めなさい。
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最初の状態の材木の体積は、
１２×８×１０＝９６０ｃ㎥ です。
まず、図２のように真上から真下へ長方形の穴をあけると、
６×４×１２＝２８８ｃ㎥ の体積が減るので、
９６０－２８８＝６７２ｃ㎥ の体積になります。
次に、図３の直角三角形の穴を正面から裏へあけると、
どうなるか考えてみましょう。
下の図５のように、図２の下にすぐ図３を描くと、
直角三角形の穴があけられるのは、黄色い部分ということがわかります。
この部分にあく穴の体積は、
４×８÷２×（２ｃｍ＋２ｃｍ）＝６４ｃ㎥ と求められ、
材木の体積は、
６７２－６４＝６０８ｃ㎥ となることがわかります。
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１辺の長さが６ｃｍの立方体があります。
下の図のように、このき立方体のすべての面のちょうど真ん中に、
１辺の長さ２ｃｍの正方形を底面とする高さ６ｃｍの四角柱の穴をあけます。
このような立体の体積は何立方ｃｍですか？
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くりぬいた四角柱はちょうど真ん中なので、
２×２×２の立方体が図のように残ることになります。
一番上と一番下の段がそれぞれ８個
真ん中の段が４個なので、
全部で２０個残ります。
体積は、２×２×２×２０＝１６０立方ｃｍ
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125個の小立方体でできた立方体があります（図Ａ）。
この立方体から何個かの小立方体を反対側の面までつきぬけるように抜きとりました。（図B）の黒の部分が抜きとったあとです。
（図B）の立体には何個の小立方体が残っていますか。
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手前から輪切りのように、１列ずつ考えていきます。
①２０個
②１０個
③１４個
④１１個
⑤２０個
２０＋１０＋１４＋１１＋２０＝７５個
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125個の小立方体でできた立方体があります（図Ａ）。
この立方体から何個かの小立方体を反対側の面までつきぬけるように抜きとりました。（図B）の黒の部分が抜きとったあとです。
（図B）の立体には何個の小立方体が残っていますか。
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手前から輪切りのように、１列ずつ考えていきます。
①２０個
②１０個
③１４個
④１１個
⑤２０個
２０＋１０＋１４＋１１＋２０＝７５個
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図は1辺の長さが１ｃｍの立方体を２７個積み重ねてできた立体で、
この立体の影をつけた部分を面に垂直に反対側まで押し出して取り除きます。
このとき、残った立体の表面積は何ｃ㎡ですか？
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１段目で３つの面が見えるのは４つなので、３×４＝１２ｃ㎡
１段目で４つの面が見えるのは４つなので、４×４＝１６ｃ㎡
２段目は４つの面が見える４個だけなので、４×４＝１６ｃ㎡
３段目は１段目と同じなので、
全部で、１２×２＋１６×２＋１６＝７２ｃ㎡
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１辺４ｃｍの立方体の各面の中心の点を結んで立体Ａを作ります。
下の図１は、立体Ａの１つの面を表しています。
（１）立体Ａの面の数を答えなさい。
（２）円形の穴の開いた板を用意し、その穴に立体Ａを回転させずに通します。
次のとき、穴の面積は最低何ｃ㎡必要か答えなさい。
（ア）元の立方体の面と板が平行になるように立体Ａを通すとき
（イ）立体Ａの面と板が平行になるように穴を通すとき
なお、必要ならば、１辺１ｃｍの正三角形の３つの頂点を通る円の面積が、
半径１ｃｍの円の面積の３分の１であることを用いなさい。
また、円周率は３．１４とします。
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（１）立方体の各面の中心を結んでできる立体Ａは、正八面体と呼ばれるもので、
下の図１のように「８面」あります。
（２）（ア） 板の穴に立方体の面と平行に立体Ａを通すとき、
穴を通る最も大きい部分は、図１の正方形ＡＢＣＤで、
穴を通る図は、下の図２のようになります。
この穴の面積は、半径２ｃｍの円の面積で、
２×２×３．１４＝１２．５６ｃ㎡ です。
（２）（イ） 図１の三角形ＡＢＥ，ＣＤＦの面を真上から見ると、
下の図３のように見ることができます。
ＡＣ，ＢＤ，ＥＦの交点をＯとすると、Ｏを中心として
下の図４のように円を描くことができます。
（Ｏを通り三角形ＡＢＥ、ＣＤＦをつらぬく直線を軸として立体Ａを回転させることでできる円です）
板と三角形ＡＢＥ，ＣＤＦが平行な状態で穴を通すときに必要な最小の面積の円は、
この６点ＡＦＢＣＥＤが通る円です。
六角形ＡＦＢＣＥＤは正六角形なので、
この円の面積は、問題文の条件から、
辺ＡＢの長さを半径とする円の面積の３分の１ということになります。
図２より、ＡＢの長さを□ｃｍとすると、
□×□÷２＝４×４÷４
なので、□×□＝８ です。
よって、求める円の面積は、
□×□×３．１４÷３＝２５．１２÷３
＝８と２８/７５ ｃ㎡ となります。
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