中学受験ー算数解き方ポータル

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2018年4月17日 (火)

この回転体の体積は？（今年　２０１８年　駒場東邦中学）

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下の四角形ＡＢＣＤを直線　ℓ　を軸として

１回転してできる立体の体積は何立方ｃｍか求めなさい。

なお、ＡＣ＝ＢＣでＢＣとＤＡはそれぞれＡＣに垂直な直線です。

ＢＣ、ＤＡの長さはそれぞれ１５ｃｍ、１０ｃｍで円周率は３．１４とします。

ただし、円錐の体積は (底面積)×(高さ)÷３で求められます。

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このように、円すいを２つ重ねた立体になります。

重なった部分を引くことになりますが、

下図のように、△黄と△緑は相似で、

相似比は△黄：△緑＝１０：１５＝２：３　より、

AH＝６ｃｍ、CH＝９ｃｍになります。

１０×１０×３．１４×１５÷３－６×６×３．１４×９÷３

＋

１５×１５×３．１４×１５÷３－６×６×３．１４×６÷３

＝（５００×３．１４－１０８×３．１４）＋（１１２５×３．１４－７２×３．１４）

＝３９２×３．１４＋１０５３×３．１４

＝１４４５×３．１４

＝４５３７．３立方ｃｍ

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2017年2月25日 (土)

表面積の比は？（今年　２０１７年　城北中学）

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図のような方眼に２つの図形ア、イをかき、

この２つの図形をＡＢを軸にして回転させて２つの立体をつくったとき、

アを回転させた立体とイを回転させた立体の表面積の比は□：□です。

ただし、方眼の１めもりを１ｃｍとします。

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Bandicam_20170225_080403238

アの上面と下面は、

４×４×３．１４なので、１６×２×３．１４＝３２×３．１４

側面は、４×２×３．１４×２＝１６×３．１４

アの表面積の合計＝４８×３．１４

イの上面と中段面を合わせて、

６×６×３．１４

下面も同じなので、６×６×３．１４×２＝７２×３．１４

側面の上半分は、４×２×３．１４×２＝１６×３．１４

側面の下半分は、６×２×３．１４×２＝２４×３．１４

イの表面積の合計＝１１２×３．１４

ア：イ＝４８：１１２＝３：７

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2016年1月 8日 (金)

図形の回転と体積（甲陽学院中学　２０１０年）

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１辺の長さが１ｃｍの正方形４つを組み合わせてできる，以下の５つの図形があります。

428

それぞれの図形において，次の条件を満たすような軸のまわりに図形を１回転させてできる立体をすべて考えます。
　ア．軸は図形の辺と重なっている。
　イ．軸およびその延長は図形の内部を通らない。
円周率を3.14として，次の問いに答えなさい。

(1)立体は全部で何種類できますか。向きを変えて同じになる立体は同じ種類とみなします。

（2）体積が最大の立体，２番目に大きい立体はそれぞれ何立法ｃｍですか。

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2015年11月12日 (木)

回転させてできる立体の体積は？（工学院大学附属中学　２０１４年）

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図のような平行四辺形ＡＢＣＤがあり、

辺ＢＣの長さは４ｃｍ、面積は２０ｃ㎡です。

この平行四辺形ＡＢＣＤを、直線ＡＤのまわりに１回転させてできる立体の体積は

何立方ｃｍですか？ただし、円周率は３．１４とします。

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中学入試算数、よく出る問題はこれ！

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今年、２０１５年に出た中学入試算数問題！

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2015年11月 5日 (木)

回転体の体積と表面積は？（２０１５年　大妻中学）

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図のように１辺の長さが１ｃｍの正方形を４個つなぎあわせました。

この図形を軸のまわりに１回転させて立体を作ります。

（１）この立体の体積は何立方ｃｍですか。

（２）この立体の表面積は何ｃ㎡ですか。

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2015年4月 7日 (火)

立体の体積は？（２０１５年　大宮開成中学）

図のような平行四辺形を短い方の対角線を軸として１回転させた立体の体積は

何立方cmですか。ただし、円周率は３．１４とします。

4071

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回転させると図のような円すい台を２つ重ねた立体になります。

Capture_2015_04_07_07_58_13_156

真ん中の重なった部分の円の半径は、相似比より１．５ｃｍ

体積＝（３×３×３．１４×６÷３－１．５×１．５×３．１４×３÷３）×２

＝（１８×３．１４－２．２５×３．１４）×２

＝１５．７５×３．１４×２

＝９８．９１立法ｃｍ

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2014年12月24日 (水)

平行四辺形が回転すると・・・（高槻中学　2012年）　

直線Ｌと直線Ｍは垂直に交わっています。

また、下の図のように平行四辺形ＡＢＣＤがあります。

このとき、次の問に答えなさい。

　　 Pic_3207q

（１）平行四辺形ＡＢＣＤを直線Ｍのまわりに１回転させてできる立体Ｐの体積を求めなさい。

（２）平行四辺形ＡＢＣＤを直線Ｌのまわりに１回転させてできる立体Ｑと立体Ｐの体積の比をもっとも簡単な整数の比で表しなさい。

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（１）平行四辺形ＡＢＣＤを直線Ｍのまわりに１回転させると、

下の図１の三角形ＯＡＢが回転してできる円すいと

三角形ＢＣＤが回転してできる円すいは、合同なので、

　 Pic_3208a_2

求める体積は、長方形ＯＡＤＢを直線Ｍのまわりに１回転させてできる

円柱の体積と等しくなり、立体Ｐの体積は、

　４×４×３．１４×３＝４８×３．１４＝１５０．７２（ｃ㎥）

となります。

（２）平行四辺形ＡＢＣＤを直線Ｌの周りに１回転させたときにできる立体の体積は、

辺ＣＤをのばして直線Ｌとの交点をＥとしたとき、

下の図２のように三角形ＯＣＥを直線Ｌの周りに１回転させた円すいから、

三角形ＡＤＥ，ＯＢＡを直線Ｌの周りに１回転させた円すいを除いたもので、

Pic_3209a

立体Ｑの体積は、

　６×６×３．１４×８÷３－３×３×３．１４×４÷３×２個

＝（６×６×８－３×３×４×２）×３．１４÷３

＝（３６－９）×８×３．１４÷３

＝７２×３．１４となります。

立体Ｐの体積＝４８×３．１４

立体Ｑの体積＝７２×３．１４なので、

立体Ｐの体積　：　立体Ｑの体積　＝　４８　：　７２　

　＝　２　：　３ となります。

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2014年7月25日 (金)

回転体の体積は？（春日部共栄中学　２０１４年　改題）

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直角三角形ABCを、

直線（ア）を軸として１回転させたときにできる立体の体積を求めなさい。

1_2

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回転させると図のようになります。

Capture_2014_07_25_10_10_04_109

下の三角錐は立体で埋まっていますが、

上の三角錐はくぼんでいるので、その分円柱から引いて体積を求めます。

３×３×３．１４×４－３×３×３．１４×３×１/３

＝（３×３×４－３×３）×３．１４

＝２７×３．１４

＝８４．７８立方ｃｍ

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