目次

回転体

2017年2月25日 (土)

表面積の比は?(今年 2017年 城北中学)

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図のような方眼に2つの図形ア、イをかき、

この2つの図形をABを軸にして回転させて2つの立体をつくったとき、

アを回転させた立体とイを回転させた立体の表面積の比は□:□です。

ただし、方眼の1めもりを1cmとします。

Bandicam201

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Bandicam_20170225_080403238

アの上面と下面は、

4×4×3.14なので、16×2×3.14=32×3.14

側面は、4×2×3.14×2=16×3.14

アの表面積の合計=48×3.14

イの上面と中段面を合わせて、

6×6×3.14

下面も同じなので、6×6×3.14×2=72×3.14

側面の上半分は、4×2×3.14×2=16×3.14

側面の下半分は、6×2×3.14×2=24×3.14

イの表面積の合計=112×3.14

ア:イ=48:112=3:7

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2016年1月 8日 (金)

図形の回転と体積(甲陽学院中学 2010年)

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1辺の長さが1cmの正方形4つを組み合わせてできる,以下の5つの図形があります。

428

それぞれの図形において,次の条件を満たすような軸のまわりに図形を1回転させてできる立体をすべて考えます。
 ア.軸は図形の辺と重なっている。
 イ.軸およびその延長は図形の内部を通らない。
円周率を3.14として,次の問いに答えなさい。

(1)立体は全部で何種類できますか。向きを変えて同じになる立体は同じ種類とみなします。

(2)体積が最大の立体,2番目に大きい立体はそれぞれ何立法cmですか。

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2015年11月12日 (木)

回転させてできる立体の体積は?(工学院大学附属中学 2014年)

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図のような平行四辺形ABCDがあり、

辺BCの長さは4cm、面積は20c㎡です。

この平行四辺形ABCDを、直線ADのまわりに1回転させてできる立体の体積は

何立方cmですか?ただし、円周率は3.14とします。

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2015年11月 5日 (木)

回転体の体積と表面積は?(2015年 大妻中学)

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図のように1辺の長さが1cmの正方形を4個つなぎあわせました。

この図形を軸のまわりに1回転させて立体を作ります。

(1)この立体の体積は何立方cmですか。

(2)この立体の表面積は何c㎡ですか。

Bandicam_20151105_082422365

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2015年4月 7日 (火)

立体の体積は?(2015年 大宮開成中学)

図のような平行四辺形を短い方の対角線を軸として1回転させた立体の体積は

何立方cmですか。ただし、円周率は3.14とします。

4071

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回転させると図のような円すい台を2つ重ねた立体になります。

Capture_2015_04_07_07_58_13_156

真ん中の重なった部分の円の半径は、相似比より1.5cm

体積=(3×3×3.14×6÷3-1.5×1.5×3.14×3÷3)×2

=(18×3.14-2.25×3.14)×2

=15.75×3.14×2

=98.91立法cm

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2014年12月24日 (水)

平行四辺形が回転すると・・・(高槻中学 2012年) 

直線Lと直線Mは垂直に交わっています。

また、下の図のように 平行四辺形ABCD があります。

このとき、次の問に答えなさい。

  Pic_3207q

(1)平行四辺形ABCDを直線Mのまわりに1回転させてできる立体Pの体積を求めなさい。

(2)平行四辺形ABCDを直線Lのまわりに1回転させてできる立体Qと立体Pの体積の比をもっとも簡単な整数の比で表しなさい。

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(1)平行四辺形ABCDを直線Mのまわりに1回転させると、

下の図1の三角形OABが回転してできる円すいと

三角形BCDが回転してできる円すいは、合同なので、

 Pic_3208a_2

求める体積は、長方形OADBを直線Mのまわりに1回転させてできる

円柱の体積と等しくなり、立体Pの体積は、

  4×4×3.14×3=48×3.14=150.72(c㎥)

となります。

 

(2)平行四辺形ABCDを直線Lの周りに1回転させたときにできる立体の体積は、

辺CDをのばして直線Lとの交点をE としたとき、

下の図2のように三角形OCE を直線Lの周りに1回転させた円すいから、

三角形ADE,OBAを直線Lの周りに1回転させた円すいを除いたもので、

Pic_3209a

立体Qの体積は、

  6×6×3.14×8÷3-3×3×3.14×4÷3×2個

=(6×6×8-3×3×4×2)×3.14÷3

=(36-9)×8×3.14÷3

=72×3.14   となります。

立体Pの体積=48×3.14

立体Qの体積=72×3.14   なので、

立体Pの体積 : 立体Qの体積 = 48 : 72 

                                           = 2 : 3    となります。

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2014年7月25日 (金)

回転体の体積は?(春日部共栄中学 2014年 改題)

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直角三角形ABCを、

直線(ア)を軸として1回転させたときにできる立体の体積を求めなさい。

1_2

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回転させると図のようになります。

Capture_2014_07_25_10_10_04_109

下の三角錐は立体で埋まっていますが、

上の三角錐はくぼんでいるので、その分円柱から引いて体積を求めます。

3×3×3.14×4-3×3×3.14×3×1/3

=(3×3×4-3×3)×3.14

=27×3.14

=84.78立方cm

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2014年4月 3日 (木)

回転体

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Kai1

三角形ABCは辺ABと辺ACの長さが等しい二等辺三角形です。

(1)三角形ABCを、直線アを軸として1回転させたときにできる立体の表面積は何c㎡ですか?

(2)三角形ABCを、直線イを軸として1回転させたときにできる立体の表面積は何c㎡ですか?

1_2

親子の解法例

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中学受験算数問題  図形の回転(栄東中)

面の回転と体積(巣鴨中学 受験算数問題2009)

回転図形の比較(本郷中学 受験算数問題 2008年)

回転体の表面積(Sapix 10月マンスリーテストより)

八角形の面積と回転(立教新座中学 2006年 算数入試問題)

立方体の回転(開智中学 算数入試問題 2010年)

回転体の体積は?(中学受験算数 深さを間違えた問)

図形の回転と体積(甲陽学院中学 2010年)

体積は何倍になるか?(洛南高等学校附属中学 2010年)

回転体の表面積(開智中学 2011年)

2012年度の開成中学算数問題(開成中学 2012年)

回転体の体積(灘中学 2011年1日目)

Sの字を回転させた体積(白百合学園中学 2010年)

回転体の体積比較(洛南高等学校附属中学 2010年)

立方体の中の三角形形の回転(市川中学 2012年)

2017年8月
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