目次

展開図

2017年3月 3日 (金)

空いている面に入る数字は?(今年 2017年 栄光学園中学)

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図1は、あるサイコロを2方向から見た図です。

このサイコロの展開図が図2です。

図2の空いている面に入る数字を、向きも考えて書き入れてください。

なお、サイコロの向かい合う面の数の和は7です。

3031_2



3032


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①のサイコロの各頂点にA~Hまでの記号をつけます。

同様に展開図の各頂点にもA~Hの記号をつけますが、

立方体の一番遠い頂点のペアは、展開図では、

2つ並んだ正方形の対角線で結んだ頂点のペアに対応します。

3033

①の見え方から、1に対して2と3が書き込めます。

①を3の側にたおし、そのまま右に回転させると②になり、

1と2 位置がわかります。

②に対応する頂点にA~Hの記号を書き入れると、

展開図で、それに対応する4~6の位置関係がわかります。

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2016年11月30日 (水)

ひもの長さは?(慶應義塾湘南藤沢中等部 2012年)

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下の図の正六角柱ABCDEF-GHIJKL は底面が正六角形で

側面は正方形でできています。

図のように、この正六角柱の頂点H から

辺BC上の点M,辺EF上の点Nを通って頂点Kまで

長さが最も短くなるようにひもを張ります。

この正六角柱の表面積が48c㎡ のとき、このひもの長さを求めなさい。

Pic_3098q

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正六角柱の展開図を描くと下の図1のようになるので、

ひもの長さが最短となるのは、図1のように頂点H と頂点K を

一直線に結んだときです。

  Pic_3099a

 また、正六角形は、6個の正三角形から成るので、下の図2のように、

この展開図は、6個の正方形と12個の正三角形で

できていると考えることができます。

  Pic_3100a

立体の表面積が48c㎡ なので、

正方形1個と正三角形2個の面積の合計が8c㎡

ということがわかります。

 

また、下の図3のように、

  Pic_3101a_2

AD,BE,CF の交点Oは、HK上にあり、ちょうどまん中の点です。

(三角形OBHと三角形OEKが合同なので、OH=OK)

 

HKの長さを求めるには、OHの長さを求めればよいことになります。

 

下の図4のように、三角形OHPに注目します。

三角形OBHは二等辺三角形で、角OBH=150度なので、

角BOH=(180-150)÷2=15度 です。

Pic_3102a

同様に角AOP=15度なので、角HOP=60+15+15=90度

となります。

 

ここで、三角形OBHの面積は下の図5のように等積変形すると、

Pic_3103a

正方形の4分の1の面積に等しいことがわかります。

このことから、三角形OHPの面積は下の図6のように

  Pic_3104a

正方形1個 と 正三角形2個分の面積の和に等しいことがわかり、

面積は8c㎡ です。

 

OHの長さとOPの長さは等しいので、三角形OHPは直角二等辺

三角形で、面積が8c㎡ より、OHの長さを□cmとすると、

   □×□÷2=8

より、□=4cm とわかります。

 

よって、最短となるひもの長さ : HKの長さは、4×2=8cm

ということがわかります。

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2016年10月25日 (火)

この立体の展開図はどれ?(慶應義塾普通部 2011年)

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下の図1は立方体で、A,B,C は各辺のまん中の点です。

A,B,C を通る平面で立方体を切断すると、

図2の立体ができます。

1

図2の立体の展開図として正しいものを、

下の図3のア~エよりすべて選んでください。

2

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Bandicam_20161025_080222794

Bandicam_20161025_080246575

Bandicam_20161025_080301641

Bandicam_20161025_080334046

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2016年2月13日 (土)

何c㎡大きい?(今年、2016年 甲陽学院中学)

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1辺10cmの立方体の1つの頂点Aに、

長さ10cmの糸の一方のはしを固定します。

次に、Aのとなりの頂点Bに同じ長さの糸の一方のはしを固定し、

もう一方のはしPとQが到達できる範囲を考えます。

このとき、PもQも到達できない範囲の面積は、

PとQの両方が到達できる範囲の面積より何c㎡大きいですか 。

ただし、糸はいつも立方体の表面にあるものとします。

また、円周率は3.14とします。

1261

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両方が重なる部分を緑、両方ともとどかない部分を白とします。

PとQはそれぞれ3面を動き、残り2面には届きません。

3031

したがって、白い部分の合計は

2×(△+2×□+○)+2×(△+□)+2×△

緑部分は、2×○

その差は、2×(△+2×□+○)+2×(△+□)+2×△-2×○

=6×△+6×□=6×(△+□)

=6×(10×10-10×10×3.14×1/4)

=6×21.5=129c㎡

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2016年1月 4日 (月)

いくつの辺を切れば?(桜蔭中学 2007年)

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Bandicam_20160104_073957438

上の図は表面が同じ大きさの正五角形12個からなる立体で正十二面体です。

この立体の辺をカッターで切り、開いて平面にすることを考えます。

そのとき、辺以外は切らないものとし、

切り開いてできたものは2枚以上に分かれていないようにします。

いくつの辺を切ればよいですか?

たとえば、図1の場合、3つの辺を切ると右の2つの形のようになります。

Bandicam_20160104_074206183Bandicam_20160104_074446588

下の図のように4つの辺を切ると2枚に分かれるので条件にあいません。

Bandicam_20160104_074458474

よって切る辺の数は3です。

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図のように展開します。

Bandicam_20160104_073905808

立体の1辺を切り開いて平面にすると、展開図上では2辺になるので、

展開図のまわりの辺の数を数え、2で割ったものが切る辺の数になります。

したがって、

38÷2=19

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2015年11月17日 (火)

サイコロの展開図は?(成蹊中学 2014年)

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それぞれの面に1から6までの数字が書かれたサイコロがあります。

ただし,向かい合う面の数字はたがいに逆さまに書かれていて,

それらの和は7です。

図2はこのサイコロの展開図です。

「あ」、「い」の面に数字の向きが正しくなるように,数字を入れてください。

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2015年10月25日 (日)

展開図ではどこに表示されるかな?(東京都市大学等々力中学 2013年)

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図1のように立方体の面に、「T」、「C」、「U」の3文字を、

1つずつ書き入れました。

10262


この立方体を次のように展開したとき、

「C」はどの面に、どの向きで表示されるでしょうか?

10263

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展開図で、立方体に対応する頂点は、次のように考えると見つけやすくなります。

図1でTの右上の頂点から一番はなれた頂点はCの左下に、

図1でUの右下の頂点から一番はなれた頂点はCの左上になるので、

10264

Cは図のように表示されます。

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2015年8月29日 (土)

この展開図を組み立てると?(学習院女子中等科 2010年)

図1のような紙を折って、図2のような直方体の箱を作ります。

このとき、上の面は一部重なります。紙の厚さは考えないものとし、

次の問に答えなさい。図1の ・ は4cm間隔で並んでいます。

  Pic_2206q

(1)図1の紙を折って箱を組み立てたとき、

図1で点P と重なるすべての ・ を ○ で囲みなさい。

(2)図1の紙を組み立てたときに、紙が3枚重なる部分の面積を求めなさい。

(3)図2の点A,Bを通り、上の面に垂直な平面で箱を切って、2つに分けます。

このとき、点Pを含む部分は、元の紙(図1)ではどの部分になるか、

図1に描きなさい。

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 (1)図1より、点Pは、点Bがある方から12cm、

点A から20-12=8cm の位置とわかります。

 

このことから、点Pと重なるのは、下の図4の2つの点となります。

  Pic_2207a

 (2)紙の重なり方は、下の図5のようになります。

        Pic_2208a

3枚の紙が重なる部分は、図5の黄色い部分で、その面積は、

 12×12÷2+8×8÷2=104c㎡ です。

 

 (3)点A,Bを結んだ線で立体を切るとき、真上から見ると、

下の図6のようになります。

        Pic_2209a

これを展開すると、下の図7の黄色い部分が点Pを含む部分です。

   Pic_2210a

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2015年8月22日 (土)

あいている所に入る数字は?(大宮開成中 2014年)

下の図はサイコロの展開図です。

サイコロは向かいあった面の数の和が7になります。

あいている所にあてはまる数字を入れてください。

P8221

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P8222

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2015年8月15日 (土)

この立体の体積は?( 清風南海中学 2014年)

図は、ある立体の展開図です。

三角形ABL、BCD、KHIはそれぞれ直角二等辺三角形であり、

四角形BDGL、DEFG、LGHKはそれぞれ1辺が6cmの正方形です。

この立体の体積は何立方cmですか。

815

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この立体を組み立てると、図のように、立方体から

直角二等辺三角形を底面とし、

高さが6cmの三角すいを切り取った立体になります。

Capture_2015_08_15_04_17_08_734

したがって、求める体積は、

6×6×6-6×6×1/2×6×1/3

=36×6-36

=36×5

=180立方cm

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