中学受験ー算数解き方ポータル

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2018年7月22日 (日)

展開図を完成させましょう！（今年　２０１８年　雙葉中学）

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図１の立体の４つの面は、すべて合同な正三角形です。

この立体のそれぞれの面に１、２、３、４の数字を書きました。

ある方向から見ると図２、別の方向から見ると図３のようになりました。

図１

図２

図３

この立体の展開図を完成させましょう。

また、向きを考えて２、３、４の数字も書きましょう。

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下の図は２つの解答例です。

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2018年4月12日 (木)

長さの比は？（今年　２０１８年　大妻中学）

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底面が正方形である直方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨがあります。

図のように点Ａから点Ｅまで側面に沿って

長さが最も短くなるように糸を２周巻きます。

その後、３点Ａ、Ｃ、Ｆを通る平面でこの直方体を

巻きついている糸とともに切ります。

点Ｂを含む立体に巻きついていた糸の長さと、

点Ｄを含む立体に巻きついていた糸の長さの比を

最も簡単な整数の比で求めなさい。

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この直方体を横に広げると図のようになり、

最短距離の糸は赤線で示すように直線になります。

切り口は青線です。

△AOCと△NOPは相似で、

ABの長さを２とすると、

AC：NP＝４：５　より、AO：ON＝４：５

△MSPと△ESFも相似で、

MP：EF＝３：６＝１：２　より、

MS：SE＝１：２

△MRQと△ERF　も相似で、

MQ：EF＝１：６　より、

MR：RE＝１：６

４＋５＝９、１＋２＝３、１＋６＝７　より、

比をそろえるために、AN＝ME＝９×７＝６３　とすると、

AO：ON＝２８：３５

MS：SE＝２１：４２

MR：RE＝９：５４

RS＝２１－９＝１２とわかります。

△AFC内の糸の長さは、２８＋１２＝４０

それ以外の長さは、３５＋９＋４２＝８６

４０：８６＝２０：４３

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2018年2月11日 (日)

この立体の体積は？（今年　２０１８年　開成中学）

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下の図はある立体の展開図です。

Ｂ、Ｃ、Ｄは一辺が６ｃｍの正方形、

Ａ、Ｅ、Ｆは直角二等辺三角形、Ｇは正三角形です。

この立体の体積を求めなさい。

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組み立てると下のような立体になるので、

体積は、

６×６×６－６×６×１/２×６×１/３＝１８０立方ｃｍ

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2018年2月 8日 (木)

切断面の形と糸の動く範囲は？（今年、２０１８年　駒場東邦中学）

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図のような１辺の長さが６ｃｍの正三角形が４つと、

正方形からできる四角錐Ｏ－ＡＢＣＤについて

辺ＡＢ、ＯＢ、ＣＤの真ん中の点をそれぞれＬ、Ｍ、Ｎ　とします。

ただし、円周率は３．１４として、次の問いに答えなさい。

（１）３点Ｌ、Ｍ、Ｎを含む平面でこの四角錐を切り分けます。

　①切断面はどのような図形か答えなさい。

　②切断面の周の長さを答えなさい。

（２）頂点Ｏに長さ６ｃｍの糸をつけます。

　　もう片方の糸の先端が、

　　この四角錐の表面上を動くことができる範囲について考えます。

　①解答欄の展開図に動くことができる範囲をかき、斜線で示しなさい。

　②動くことができる範囲の面積を求めなさい。

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（１）

①図のように等脚台形になります。

②周の長さは、図のように、

６＋３×３＝１５ｃｍ

（２）

①

②面積は、

６×６×３．１４×（６０×４）/３６０＝７５．３６㎠

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2018年1月10日 (水)

体積は２通り？（２０１８年度入試　海陽中等教育学校（特別給費））

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次の図は１辺５ｃｍの正方形をつなぎ合わせた図形です。

これを、どの正方形も重なることなくうまく組み立てると、

体積の異なる２種類の直方体が作れます。

それぞれの直方体の体積を求めなさい。

ただし、点線以外で折ってはいけないこととします。

1101

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①

５×５×５×５＝５２５㎠

②

５×５×５×６＝７５０㎠

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2017年8月24日 (木)

正しいさいころはどれ？（２０１７年　東京女学館中学）

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次の(ア)と(イ)のきまりにしたがって、オリジナルのさいころを作ります。

下の図の①～⑤の展開図の中で、

このさいころとして正しいものをすべて選んでください。

（ア）　◎の面は２つあり、それらは向かい合っている。

（イ）　○と☆の面は隣り合わない。

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黄色の◎は隣り合ってしまいます。

緑の〇と☆も隣り合ってしまいます。

したがって、正しいさいころは①と④です。

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2017年3月 3日 (金)

空いている面に入る数字は？（今年　２０１７年　栄光学園中学）

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図１は、あるサイコロを２方向から見た図です。

このサイコロの展開図が図２です。

図２の空いている面に入る数字を、向きも考えて書き入れてください。

なお、サイコロの向かい合う面の数の和は７です。

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①のサイコロの各頂点にA～Hまでの記号をつけます。

同様に展開図の各頂点にもA～Hの記号をつけますが、

立方体の一番遠い頂点のペアは、展開図では、

２つ並んだ正方形の対角線で結んだ頂点のペアに対応します。

3033

①の見え方から、１に対して２と３が書き込めます。

①を３の側にたおし、そのまま右に回転させると②になり、

１と２位置がわかります。

②に対応する頂点にA～Hの記号を書き入れると、

展開図で、それに対応する４～６の位置関係がわかります。

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2016年11月30日 (水)

ひもの長さは？（慶應義塾湘南藤沢中等部　2012年）

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下の図の正六角柱ＡＢＣＤＥＦ－ＧＨＩＪＫＬは底面が正六角形で

側面は正方形でできています。

図のように、この正六角柱の頂点Ｈから

辺ＢＣ上の点Ｍ，辺ＥＦ上の点Ｎを通って頂点Ｋまで

長さが最も短くなるようにひもを張ります。

この正六角柱の表面積が４８ｃ㎡のとき、このひもの長さを求めなさい。

Pic_3098q

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正六角柱の展開図を描くと下の図１のようになるので、

ひもの長さが最短となるのは、図１のように頂点Ｈと頂点Ｋを

一直線に結んだときです。

　　 Pic_3099a

　また、正六角形は、６個の正三角形から成るので、下の図２のように、

この展開図は、６個の正方形と１２個の正三角形で

できていると考えることができます。

　　 Pic_3100a

立体の表面積が４８ｃ㎡なので、

正方形１個と正三角形２個の面積の合計が８ｃ㎡

ということがわかります。

また、下の図３のように、

　　 Pic_3101a_2

ＡＤ，ＢＥ，ＣＦの交点Ｏは、ＨＫ上にあり、ちょうどまん中の点です。

（三角形ＯＢＨと三角形ＯＥＫが合同なので、ＯＨ＝ＯＫ）

ＨＫの長さを求めるには、ＯＨの長さを求めればよいことになります。

下の図４のように、三角形ＯＨＰに注目します。

三角形ＯＢＨは二等辺三角形で、角ＯＢＨ＝１５０度なので、

角ＢＯＨ＝（１８０－１５０）÷２＝１５度です。

Pic_3102a

同様に角ＡＯＰ＝１５度なので、角ＨＯＰ＝６０＋１５＋１５＝９０度

となります。

ここで、三角形ＯＢＨの面積は下の図５のように等積変形すると、

Pic_3103a

正方形の４分の１の面積に等しいことがわかります。

このことから、三角形ＯＨＰの面積は下の図６のように

　　 Pic_3104a

正方形１個と正三角形２個分の面積の和に等しいことがわかり、

面積は８ｃ㎡です。

ＯＨの長さとＯＰの長さは等しいので、三角形ＯＨＰは直角二等辺

三角形で、面積が８ｃ㎡より、ＯＨの長さを□ｃｍとすると、

　　　□×□÷２＝８

より、□＝４ｃｍとわかります。

よって、最短となるひもの長さ：ＨＫの長さは、４×２＝８ｃｍ

ということがわかります。

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2016年10月25日 (火)

この立体の展開図はどれ？（慶應義塾普通部　2011年）

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下の図１は立方体で、Ａ，Ｂ，Ｃは各辺のまん中の点です。

Ａ，Ｂ，Ｃを通る平面で立方体を切断すると、

図２の立体ができます。

図２の立体の展開図として正しいものを、

下の図３のア～エよりすべて選んでください。

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Bandicam_20161025_080222794

Bandicam_20161025_080246575

Bandicam_20161025_080301641

Bandicam_20161025_080334046

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