目次

展開図

2018年7月22日 (日)

展開図を完成させましょう!(今年 2018年 雙葉中学)

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図1の立体の4つの面は、すべて合同な正三角形です。

この立体のそれぞれの面に1、2、3、4の数字を書きました。

ある方向から見ると図2、別の方向から見ると図3のようになりました。

図1

Bandicam_20180722_081036134

図2

7221

図3

7222

この立体の展開図を完成させましょう。

また、向きを考えて2、3、4の数字も書きましょう。

7224

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下の図は2つの解答例です。

7223  

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682

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2018年4月12日 (木)

長さの比は?(今年 2018年 大妻中学)

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底面が正方形である直方体ABCD-EFGHがあります。

図のように点Aから点Eまで側面に沿って

長さが最も短くなるように糸を2周巻きます。

その後、3点 A、C、Fを通る平面でこの直方体を

巻きついている糸とともに切ります。

点Bを含む立体に巻きついていた糸の長さと、

点Dを含む立体に巻きついていた糸の長さの比を

最も簡単な整数の比で求めなさい。

4121

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この直方体を横に広げると図のようになり、

最短距離の糸は赤線で示すように直線になります。

切り口は青線です。

6211

△AOCと△NOPは相似で、

ABの長さを2とすると、

AC:NP=4:5 より、AO:ON=4:5

△MSPと△ESFも相似で、

MP:EF=3:6=1:2 より、

MS:SE=1:2

△MRQと△ERF も相似で、

MQ:EF=1:6 より、

MR:RE=1:6

4+5=9、1+2=3、1+6=7 より、

比をそろえるために、AN=ME=9×7=63 とすると、

AO:ON=28:35

MS:SE=21:42

MR:RE=9:54

RS=21-9=12とわかります。

△AFC内の糸の長さは、28+12=40

それ以外の長さは、35+9+42=86

40:86=20:43

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2018年2月11日 (日)

この立体の体積は?(今年 2018年 開成中学)

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下の図はある立体の展開図です。

B、C、Dは一辺が 6cm の正方形、

A、E、F は直角二等辺三角形、 Gは正三角形です。

この立体の体積を求めなさい。

2111

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組み立てると下のような立体になるので、

Bandicam_20180211_092621119

体積は、

6×6×6-6×6×1/2×6×1/3=180立方cm

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2018年2月 8日 (木)

切断面の形と糸の動く範囲は?(今年、2018年 駒場東邦中学)

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図のような1辺の長さが6cmの正三角形が4つと、

正方形からできる四角錐O-ABCDについて

辺 AB、OB、CDの真ん中の点をそれぞれL、M、N とします。

281

ただ し、円周率は3.14として、次の問いに答え なさい。

(1)3点L、M、Nを含む平面でこの四角錐 を切り分けます。

 ①切断面はどのような図形か答えなさい。

 ②切断面の周の長さを答えなさい。

282

(2)頂点Oに長さ6cmの糸をつけます。

  もう片方の糸の先端が、

  この四角錐の表面上を動くことができる範囲について考えます。

 ①解答欄の展開図に動くことができる範囲をかき、斜線で示しなさい。

 ②動くことができる範囲の面積を求めなさい。

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(1)

Bandicam_20180208_084818704_2

Bandicam_20180208_084906570

①図のように等脚台形になります。

Bandicam_20180208_085030889

Bandicam_20180208_085053048

②周の長さは、図のように、

6+3×3=15cm

(2)

Bandicam_20180208_085638250

②面積は、

6×6×3.14×(60×4)/360=75.36㎠

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2018年1月10日 (水)

体積は2通り?(2018年度入試 海陽中等教育学校(特別給費))

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次の図は1辺5cmの正方形をつなぎ合わせた図形です。

これを、どの正方形も 重なることなくうまく組み立てると、

体積の異なる2種類の直方体が作れます。

それぞれの直方体の体積を求めなさい。

ただし、点線以外で折ってはいけないことと します。


1101

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1103

Bandicam_20180110_094329288

5×5×5×5=525㎠

1102

Bandicam_20180110_094441901

5×5×5×6=750㎠

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2017年8月24日 (木)

正しいさいころはどれ?(2017年 東京女学館中学)

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次の(ア)と(イ)のきまりにしたがって、オリジナルのさいころを作ります。

下の図の①~⑤の展開図の中で、

このさいころとして正しいものをすべて選んでください。

(ア) ◎の面は2つあり、それらは向かい合っている。

(イ) ○と☆の面は隣り合わない。


8241

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黄色の◎は隣り合ってしまいます。

緑の〇と☆も隣り合ってしまいます。

8242

したがって、正しいさいころは①と④です。

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2017年3月 3日 (金)

空いている面に入る数字は?(今年 2017年 栄光学園中学)

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図1は、あるサイコロを2方向から見た図です。

このサイコロの展開図が図2です。

図2の空いている面に入る数字を、向きも考えて書き入れてください。

なお、サイコロの向かい合う面の数の和は7です。

3031_2



3032


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①のサイコロの各頂点にA~Hまでの記号をつけます。

同様に展開図の各頂点にもA~Hの記号をつけますが、

立方体の一番遠い頂点のペアは、展開図では、

2つ並んだ正方形の対角線で結んだ頂点のペアに対応します。

3033

①の見え方から、1に対して2と3が書き込めます。

①を3の側にたおし、そのまま右に回転させると②になり、

1と2 位置がわかります。

②に対応する頂点にA~Hの記号を書き入れると、

展開図で、それに対応する4~6の位置関係がわかります。

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2016年11月30日 (水)

ひもの長さは?(慶應義塾湘南藤沢中等部 2012年)

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下の図の正六角柱ABCDEF-GHIJKL は底面が正六角形で

側面は正方形でできています。

図のように、この正六角柱の頂点H から

辺BC上の点M,辺EF上の点Nを通って頂点Kまで

長さが最も短くなるようにひもを張ります。

この正六角柱の表面積が48c㎡ のとき、このひもの長さを求めなさい。

Pic_3098q

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正六角柱の展開図を描くと下の図1のようになるので、

ひもの長さが最短となるのは、図1のように頂点H と頂点K を

一直線に結んだときです。

  Pic_3099a

 また、正六角形は、6個の正三角形から成るので、下の図2のように、

この展開図は、6個の正方形と12個の正三角形で

できていると考えることができます。

  Pic_3100a

立体の表面積が48c㎡ なので、

正方形1個と正三角形2個の面積の合計が8c㎡

ということがわかります。

 

また、下の図3のように、

  Pic_3101a_2

AD,BE,CF の交点Oは、HK上にあり、ちょうどまん中の点です。

(三角形OBHと三角形OEKが合同なので、OH=OK)

 

HKの長さを求めるには、OHの長さを求めればよいことになります。

 

下の図4のように、三角形OHPに注目します。

三角形OBHは二等辺三角形で、角OBH=150度なので、

角BOH=(180-150)÷2=15度 です。

Pic_3102a

同様に角AOP=15度なので、角HOP=60+15+15=90度

となります。

 

ここで、三角形OBHの面積は下の図5のように等積変形すると、

Pic_3103a

正方形の4分の1の面積に等しいことがわかります。

このことから、三角形OHPの面積は下の図6のように

  Pic_3104a

正方形1個 と 正三角形2個分の面積の和に等しいことがわかり、

面積は8c㎡ です。

 

OHの長さとOPの長さは等しいので、三角形OHPは直角二等辺

三角形で、面積が8c㎡ より、OHの長さを□cmとすると、

   □×□÷2=8

より、□=4cm とわかります。

 

よって、最短となるひもの長さ : HKの長さは、4×2=8cm

ということがわかります。

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2016年10月25日 (火)

この立体の展開図はどれ?(慶應義塾普通部 2011年)

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下の図1は立方体で、A,B,C は各辺のまん中の点です。

A,B,C を通る平面で立方体を切断すると、

図2の立体ができます。

1

図2の立体の展開図として正しいものを、

下の図3のア~エよりすべて選んでください。

2

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Bandicam_20161025_080222794

Bandicam_20161025_080246575

Bandicam_20161025_080301641

Bandicam_20161025_080334046

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2016年2月13日 (土)

何c㎡大きい?(今年、2016年 甲陽学院中学)

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1辺10cmの立方体の1つの頂点Aに、

長さ10cmの糸の一方のはしを固定します。

次に、Aのとなりの頂点Bに同じ長さの糸の一方のはしを固定し、

もう一方のはしPとQが到達できる範囲を考えます。

このとき、PもQも到達できない範囲の面積は、

PとQの両方が到達できる範囲の面積より何c㎡大きいですか 。

ただし、糸はいつも立方体の表面にあるものとします。

また、円周率は3.14とします。

1261

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両方が重なる部分を緑、両方ともとどかない部分を白とします。

PとQはそれぞれ3面を動き、残り2面には届きません。

3031

したがって、白い部分の合計は

2×(△+2×□+○)+2×(△+□)+2×△

緑部分は、2×○

その差は、2×(△+2×□+○)+2×(△+□)+2×△-2×○

=6×△+6×□=6×(△+□)

=6×(10×10-10×10×3.14×1/4)

=6×21.5=129c㎡

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