目次

立体の切り口

2018年6月18日 (月)

Aを含む立体の体積は?(今年 2018年 大阪星光学院中学)

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下の図は、1辺が1cmの立方体を4個積み重ねてできた立体です。

3点B、D、Fを通る平面でこの立体を切断するとき、

切断された立体のうち点Aを含む立体の体積は何立方cmですか。

6181

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図のように全体から三角すいを3個引きます。

Bandicam_20180618_104143147

1×1×1×4-(1×1÷2×1÷3)×3

=4-1/2

=3.5立方cm

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682

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2018年5月30日 (水)

切り口の図形は?(今年 2018年  芝浦工業大学柏中学)

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同じ大きさの立方体5つからなる図のような立体をつくりました。

この立体をP、Q、Rを通る平面で切ったとき、

切り口の図形で正しいものは、次のア~エのどれになりますか?

5301

Bandicam_20180530_082659679

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5302

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682

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2018年5月28日 (月)

三角形APQ の面積の何倍?(吉祥女子中学 2017年)

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図の直方体を3点A,P、Q、通る平面で切断したとき、

切り口は図のような四角形 APQCになりました。

この切り口の図形の面積は、三角形APQ の面積の何倍ですか。

5281

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5282

△PHQと△EHGは相似で、相似比は1:2なので、

EGはPQの2倍です。

EG=AC なので、

PQ=ARとなるRをAC上にとると、RはACの中点になります。

すると、

△APQの面積=△QARの面積=△QRCの面積 となり、

四角形APQCの面積は△APQの3倍です。

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682

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2018年2月11日 (日)

この立体の体積は?(今年 2018年 開成中学)

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下の図はある立体の展開図です。

B、C、Dは一辺が 6cm の正方形、

A、E、F は直角二等辺三角形、 Gは正三角形です。

この立体の体積を求めなさい。

2111

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組み立てると下のような立体になるので、

Bandicam_20180211_092621119

体積は、

6×6×6-6×6×1/2×6×1/3=180立方cm

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2018年2月 8日 (木)

切断面の形と糸の動く範囲は?(今年、2018年 駒場東邦中学)

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図のような1辺の長さが6cmの正三角形が4つと、

正方形からできる四角錐O-ABCDについて

辺 AB、OB、CDの真ん中の点をそれぞれL、M、N とします。

281

ただ し、円周率は3.14として、次の問いに答え なさい。

(1)3点L、M、Nを含む平面でこの四角錐 を切り分けます。

 ①切断面はどのような図形か答えなさい。

 ②切断面の周の長さを答えなさい。

282

(2)頂点Oに長さ6cmの糸をつけます。

  もう片方の糸の先端が、

  この四角錐の表面上を動くことができる範囲について考えます。

 ①解答欄の展開図に動くことができる範囲をかき、斜線で示しなさい。

 ②動くことができる範囲の面積を求めなさい。

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(1)

Bandicam_20180208_084818704_2

Bandicam_20180208_084906570

①図のように等脚台形になります。

Bandicam_20180208_085030889

Bandicam_20180208_085053048

②周の長さは、図のように、

6+3×3=15cm

(2)

Bandicam_20180208_085638250

②面積は、

6×6×3.14×(60×4)/360=75.36㎠

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2018年1月20日 (土)

切断される立方体の個数は?(今年、2018年 浦和明の星女子中学)

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1辺の長さが1cmである小さな立方体をいくつか組み合わせて、

直方体を作ります。

(ア) 図1のような3辺の長さがそれぞれ2cm、2cm、3cmの直方体を作り、

  3つの頂点A、B、C を通る平面で切断します。

  このとき、切断される小さな立方体の個数を答えなさい。

図1

1201

(イ)図2のような3辺の長さがそれぞれ4cm、4cm、6cmの直方体を作り、

  3つの頂点D、E、F を通る平面で切断します。

  このとき、切断される小さな立方体の個数を答えなさい。

図2

1203

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(ア)

Bandicam_20180120_080648466

一番上の段は図のように3個、

Bandicam_20180120_080814630_2

2段目も3個、

Bandicam_20180120_080924769

一番下の段は1個

Bandicam_20180120_081019378

合計、3+3+1=7個

(イ)

上の段から順番に数えていきますが、

2段目が難しいですね。

Bandicam_20180120_162931174_2

1段目➡7個

2段目➡9個

3段目➡5個

4段目➡3個

5段目➡3個

6段目➡1個

合計、7+9+5+3+3+1=28個

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2017年12月31日 (日)

立方体の切断と体積(東邦大学付属東邦中学 2017)

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図のような、1辺の長さが6cmの立方体ABCDEFGHがあります。

また、点Mは辺AEを2等分する点です。

このとき、次の問いに答えなさい。

Bandicam_20171231_081526574
(1)3点A、C、Fを通る平面でこの立方体を切り分けたとき、

  点Hを含む立体の体積を求めなさい。

(2)(1)で体積を求めた立体を、3点D、F、Mを通る平面で切り分けたとき、

  点Aを含む立体の面の数を求めなさい。

(3)(2)で面の数を求めた立体の体積を求めなさい。

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(1)

Bandicam_20171231_081704836

立方体からオレンジ部分の三角すいを引きます。

6×6×6-6×6÷2×6÷3=180立方cm

(2)

Bandicam_20171231_082358094

切り口DMFNと切り口ACFにはさまれた立体になるので、

面は7つです。

(3)この立体の体積は、底面を長方形AMNCとして、

高さが正方形の対角線の1/2となる四角すい2つ分になります。

対角線の長さを□cmとすると、

この立体の体積=3×□×□/2÷3×2=□×□

□×□=6×6×2=72立方cm

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2017年12月20日 (水)

直方体の切断(渋谷教育学園渋谷中学 2017年)

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下の図のように、ABとBCの長さが6cm、

AEの長さが24cmの直方体ABCDーEFGHがあります。

辺BC、CDのまん中の点をそれぞれM、Nとします。

12201_2

(1)3点M、N、Hを通る平面でこの直方体を切った場合、

  切り口はどのような図形になり ますか。

(2)3点M、N、Eを通る平面でこの直方体を切った場合、

  この3点M、N、Eを通る平面と辺 BFとが交わった点から

  Fまでの長さは何cmですか。

(3)3点M、N、Eを通る平面でこの直方体を切ったとき、

  頂点Aをふくむ方の立体の体積は何立方cmですか。

  ただし、すい体の体積は、「(底面積) × (高さ) ÷3」で

  求めることができます。

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(1)

M、N、H.、を通る平面はFも通るので、

図のように等脚台形になります、

12202

(2)

Fの方から見ると、M、N、Eを通る平面は

辺BFをPで切断するので、

△黄と△緑は相似になり、相似比は1:2になります。

12203

したがって、PF=24×2/3=16cm

(3)

図のように、Aを含む立体は

三角すいE-PQRと

直方体ABCD-RPSQから、三角すい台CMN-SQPを引いた立体を

たしたものになります。

12204

6×6÷2×16÷3+

6×6×8-(6×6÷2×16÷3-3×3÷2×8÷3)

=96+288-(96-12)

=300立方cm

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2017年12月18日 (月)

立方体は何個?(2018年度入試 海陽中等教育学校(特別給費))

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1辺が1cmの透明な立方体を図のように縦8個、横6個、

高さ4個となるように規則正しく直方体となるように積み上げました。

12181

(1)2つの頂点AとBを通るようにレーザー光線で直線を引いたとき、

  直線が内部を 通る立方体は何個ありますか。

  ただし、頂点や辺のみを通る場合は内部を通らない ものとします。

(2)3つの頂点A、C、Dを通る平面で切ったとき、

  2つの立体に分けられる立方体は何個ありますか。

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(1)図のように緑のレーザー光線は、

1段目ではAから数えて2個目で下の段に入っていきます。

Bandicam_20171218_084527050

その間、3個の立方体を貫いています。

2段目では、Aから2~4個目までを通過しています。

Bandicam_20171218_084827330

その間、やはり3個の立方体を貫いています。

Bandicam_20171218_084933905

レーザー光線は直方体の中心を通過するので、

3段目、4段目も同様に3個ずつの立方体を貫きます。

したがって、内部をレーザー光線が通る立方体は、

3×4=12個です。

(2)

Bandicam_20171218_085215308

Bandicam_20171218_085248923

図のように1段目では、

オレンジ線と青線が通る立体がきり分けられるので、

12182

21個

2段目では

Bandicam_20171218_085355960

12183

15個

3段目では、

12184

9個

4段目では

Bandicam_20171218_085532960

3個

合計、21+15+9+3=48個

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2017年11月26日 (日)

この立体の体積は?(豊島岡女子学園中学 2017年)

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下の図のような底面が正六角形で、

側面がすべて合同な長方形でできた立体があり、

底面積は324㎠、高さは12cmです。

この立体の6つの点A、B、C、D、E、Fを結んでできる立体Pを考えます。

このとき、次の各問いに答えなさい。


ただし、三角すいの体積は (底面積) ×(高さ) ÷3で求めることができます。

11261



(1)立体Pの体積は何立方cmですか。

(2)底面DEFから高さが4cmのところで底面と平行な面で立体Pを切った とき、

  底面DEFを含む立体の体積は何立方cmですか。

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11262

(1)全体から、△黄を底面とし、高さ12cmの三角すいを6つ引くと

立体Pの体積が求められます。

△黄は正六角形の1/6なので、

324÷6=54㎠

したがって、

P=324×12-54×12÷3×6=2592立方cm

(2)△赤は△黄と相似で、

各辺の長さは1/3なので、

1:1/3=3:1→面積比は3×3:1×1=9:1

54×1/9=6㎠

△青は△黄と相似で、

各辺の長さは2/3なので、

1:2/3=3:2→面積比は3×3:2×2=9:4

54×4/9=24㎠

求める立体の体積は、高さ4cmの正六角柱から、

高さ4cm、底面積6㎠の三角すい3つと、

高さ12cm、底面積54㎠の三角すいから

高さ8cm、底面積24㎠の三角すいを引いた円すい台3つを引きます。

324×4-6×4÷3×3+(216-24×8÷3)×3

=1296-(24+456)

=816立方cm

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