目次

立体の切り口

2017年3月 5日 (日)

Dを含む方の立体の体積は?(今年 2017年 早稲田中学)

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図は1辺の長さが6cmの立方体です。

この立方体を3つの点A、B、Cを通 る平面で切り分けます。

点Dを含む方の立体の体積は何立方cmですか?

3051

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切口は図のようになります。

Bandicam_20170222_082831068

同じ立方体を2つ並べてみると、

Dを含まない方の立体は、

大きな三角錐から小さな三角錐を切り取った立体になることがわかります。

△黄と△緑は相似で、両方とも直角二等辺三角形。

△赤と△青も相似で、

IH:HF=4:2=2:1 より

FG=3cm になるので、

3052

Dを含まない方の立体の体積は、

6×6÷2×(6+3)÷3-2×2÷2×3÷3=52立方cm

求める体積は、

6×6×6-52=164立方cm

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2017年1月18日 (水)

AP、AQの長さは?(今年、2017年 甲陽学院中学)

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図1は1辺が1cmの立方体ABCD-EFGHと

それと同じ大きさの立方体4つの計5つでできています。

図1において、それぞれの黒丸印の3点を通る平面で

立方体ABCD-EFGHを切断するとき、

その平面は辺AB上の点P辺AD上の点Qを通ります。

このとき、AP、AQの長さはそれぞれ何cmになりますか?

Bandicam_20170118_094740178

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1181

図のように、Pは ABの真ん中を通るので、

AP=1/2cm

図のように3点を通る平面は、EHの真ん中を通るので、

1182

〇印の点と上の黒丸を結ぶと、 この線は

AD上で 、ADの中点とDの真ん中を通ります。

1183

したがって、AQ=3/4cm

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2016年11月18日 (金)

水の体積は何立方cm?(2016年 洛星中学)

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0025_35952

上の図のように、1辺の長さが12cmで、

上の口が開いている立方体の容器があり、

●印のついた頂点を結ぶ三角形の形の仕切りが入っています。

この容器に上から水を注ぎ、

水の高さが6cmになるまで入れました。

このとき容器に入っている水の体積は何立方cmですか?

ただし、容器と仕切りの厚さは考えないものとし、
仕切りは水を通さないものとします。

また、三角すいの体積は、底面積×高さ÷3 で求められます。

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0026
上の図1の黄色い部分の体積は、
 
大きい三角すいから小さい三角すいを除けばよいので、
 
 12×12÷2×12÷3 - 6×6÷2×6÷3 = 252c㎥
 
と求められ、入っている水の体積は、
 
 12×12×6-252=612c㎥
 
とわかります。
 

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2016年10月25日 (火)

この立体の展開図はどれ?(慶應義塾普通部 2011年)

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下の図1は立方体で、A,B,C は各辺のまん中の点です。

A,B,C を通る平面で立方体を切断すると、

図2の立体ができます。

1

図2の立体の展開図として正しいものを、

下の図3のア~エよりすべて選んでください。

2

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Bandicam_20161025_080222794

Bandicam_20161025_080246575

Bandicam_20161025_080301641

Bandicam_20161025_080334046

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2016年10月 7日 (金)

この立体図形の体積は?(世田谷学園中学 2014年)

Pic_4121q

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Pic_4121q

上の図は、1辺の長さが12cmの立方体です。

(1)4つの頂点A,C,F,H を結んでできる立体の体積を求めなさい。

(2)立方体の各面の対角線の交点を頂点とする立体の体積を求めなさい。

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 (1)求める立体は、下の図1のようになり、

     Pic_4122a

立方体から、三角すいA-EFH 4個分の体積を除けばよく、

 12×12×12 - 12×12÷2×12÷3×4個

=12×12×(12-8)=144×4

576c㎥

となります。

 

 (2)求める立体は、下の図2の立体PQRSTU で、

      Pic_4123a

この立体は、面QRST を底面とする 2つの四角すい

P-QRST と U-QRST を合わせたもので、

それぞれの高さは、立方体の1辺の長さの半分の 6cm、

四角形QRST の面積は、正方形ABCD の半分の 72c㎡

なので、この立体の体積は、

 72×6÷3×2個=288c㎥

と求められます。

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2016年8月22日 (月)

切断すると表面積は?(吉祥女子中学 2010年)

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図のように立方体を点線部分で分けて、

同じ形の直方体を3つ作ります。

3つの直方体の表面積の合計は、

もとの立方体の表面積の何倍ですか。

Bandicam2016082209

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Bandicam_20160822_091419562

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2016年8月17日 (水)

重なった立方体の切り口は?(久留米大学附設中学 2012年)

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下の図のように、1辺の長さが 6cmの立方体の上に、1辺の長さが 3cmの立方体を置きます。3点A,B,C を通る平面でこの立体を切ったとき、次のような立体の体積を求めなさい。ただし、点A,B,D は頂点、点C は辺の中点で、点A から点Dまで結ぶ辺は一直線になっています。

     Pic_3462q

(1)小さい方の立方体で、この平面より下側の部分

(2)大きい方の立方体で、この平面より下側の部分

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(1)まず、同一平面上にある点A と点B, 点A と点C を

下の図1のように直線で結ぶと、3点A,B,C を通る平面は

図1の点E,F を通ることがわかります。

     Pic_3463a

ここで、点B と点F を結ぶと、下の図2のように点G を通ることがわかります。

 

     Pic_3464a

 

すると、求める体積は、図2の三角すい台EGP-AFQ となります。

三角すいB-EGP と 三角すいB-AFQ の相似比が 1:2 なので

2つの三角すいの体積比は、1×1×1 : 2×2×2 = 1 : 8 で、

三角すい台 EGP-AFQ の体積は、三角すいB-EGP の7倍で、

1.5×1.5÷2×3÷3×7=63/8(立法cm)

と求められます。

(2)頂点B から、FC と平行に線を引くと、下の図3のように頂点H で交わります。

     Pic_3465a_2

求める体積は、大きい立方体から三角すい台BHR-FCS を除いたものになります。

求め方は(1)と同様にすれば求めることができますが、

また違う方法を考えてみると、三角すい台BHR-FCS が

(1)の三角すい台EGP-AFQ と相似であることに注目して、

相似比が 1:2 より、体積比は、1:8 なので、

三角すい台BHR-FCS の体積は、 63/8 × 8 =63立法cmとなります。

よって、求める体積は、6×6×6 - 63 = 153立法cm です。

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2016年8月11日 (木)

切断された個数は?(2015年 市川中学)

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図のように、同じ大きさの立方体を16個積み重ねて直方体をつくりました。

図の3点A、B、Cを通る平面でこの立体を切ります。

このとき、切断された立方体の個数は何個ですか。

3291

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図のように、切断された立方体と、切断されなかった立方体は同数で、

8個です。

Capture_2015_03_29_08_26_47_62

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2016年7月22日 (金)

立体の展開図はどれ?(慶應義塾普通部 2011年)

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下の図1は立方体で、A,B,C は各辺のまん中の点です。

A,B,C を通る平面で立方体を切断すると、図2の立体ができます。

Bandicam20160722075237242

図2の立体の展開図として正しいものを、

下の図3のア~エよりすべて選んでください。
Blonde160653

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2016年6月20日 (月)

切断された個数は?(2015年 市川中学)

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図のように、同じ大きさの立方体を16個積み重ねて直方体をつくりました。

図の3点A、B、Cを通る平面でこの立体を切ります。

このとき、切断された立方体の個数は何個ですか。

6201

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図のように、切断された立方体と、切断されなかった立方体は同数で、

8個です。

Capture_2015_03_29_08_26_47_62

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