目次

立体の切り口

2019年6月30日 (日)

切断面の形は?(開成中学 2019年)

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次の図のような直方体 ABCD-EFGH があります。

また、辺 CD、EF、GC 上にそれぞれ点 P、Q、R があり、

DP=8cm、PC=12cm、EQ=4cm、CR=9cmが成り立っています。

2021

 

 

3点P、Q、R を通る平面でこの直方体を切断し、

切断したときにできる切り口の図形をXとします。

図形 X を前から見ると(面 ABFE に垂直な方向から見ると)、

面積が228㎠の図形に見えます。

図形X を上から見ると(面 ABCD に垂直な方向から見ると)、

面積が 266㎠の図形に見えます。

2022

 

 

このとき、次の問いに答えなさい。

(1) 図形 X は何角形ですか。

(2) 直方体の高さ(辺 AE の長さ)は何cm ですか。

(3) 直方体の奥行き(辺 AD の長さ)は何cm ですか。

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解法例

106

(1)切り口は図のような六角形です。

2023

(2)前から見ると下の図のように見えます。

2027

TQとPRは平行なので、

△TEQと△RCPは相似になり、

TE=4×3/4=3cm

六角形ATQFRP=228㎠なので、

AE=□cmとすると、

20×□-(4×3÷2+12×9÷2)=228

20×□-60=228

20×□=288

AE=□=14.4cm

(3)下の図のように、直方体の上に三角すいを考えると

2025

△TEQと△ODPは相似なので、

OD=8×3/4=6cm

△ODSと△TASも相似なので、

OD:TA=6:(14.4-3)=6:11.4=10:19より、

DS:SA=10:19

2026

上から見ると、△緑どうしも相似になるので、

DP:FQ=8:16=1:2より、

DS:BU=10:20

20×(⑩+⑲)-(8×⑩÷2+16×⑳÷2)=266

580まる-200まる=266

380まる=266

①=0.7

AD=29まる=0.7×29=20.3cm

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682

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2019年5月29日 (水)

立方体の切り口は?(本郷中学 2018年)

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図のような1辺の長さが3cmの立方体があります。

点Iは辺GH上、点JはDH上にあり、 GI=DJ=1cmです。

10301

 

この立方体を、3点A、F、Jを通る平面で切ったとき、

点Eを含む立体 をKとします。

このとき、次の問いに答えなさい。

(1)立体Kの表面のうち、

  もとの立方体の表面に 含まれる部分の面積は何㎠ですか。

(2)この立方体の展開図は下図のようになります 。

10304

 

  (1)で求めた部分を色部分で表します。

   残りの部分に色をつけてください。

(3)立体Kの体積は何立方cmですか。

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解法例

立方体の切り口は図のようになります。

10302_2

(1)

左面→3×3÷2=4.5㎠

右面→2×2÷2=2㎠

奥の面→9-1×3÷2=7.5㎠

下面→9-1×3÷2=7.5㎠

求める面積=7.5×2+4.5+2=21.5㎠

(2)

立方体の一番離れている頂点どうしは、

展開図では2つ並んだ正方形の対角線の位置に来ます。

したがって、各頂点は下の図のようになります。

10305

切り口を線で結ぶと、(1)の面積は図のようになります。

10306

(3)

AJとFIとEHを延長すると1点で交わります。

10303

大きな三角すいから立方体からはみ出た三角すいを引きます。

3×3÷2×9÷3-2×2÷2×6÷3

13.5-4

=9.5立方cm

6082

 

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682

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2019年2月23日 (土)

切り口の面積比は?(今年 2019年 麻布中学)

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同じ高さの直方体の形をした白いもちと赤いもちがあります。

下図のように赤いもちの上に白いもちを重ねて立方体を作ります。

2点P、Qはそれぞれ2辺AB、CD上の点で、

AP:PB=4:3、CQ=QD です。

3点P、Q、Rを通る平面で立方体を切断したとき、

切り口の図形の白い部分と赤い部分の面積の比を、

最も簡単な整数の比で答えなさい。

ただし、白いもちはどのように切っても切り口の色は必ず白になり、

赤いもちはどのように切っても切り口の色は必ず赤になります。

2042

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解法例

切り口は図のようになります。

2045

白は平行四辺形ですが、

赤は△緑だけ面積が小さくなることがわかります。

2044

△APTと△BPUは相似で、相似比は4:3

PTの長さを4とすると、PU=3

△REFと△QCSと△QDOは合同、

△REFと△RBPは相似で、相似比は1:2

△ODTと△PBUも相似で、相似比は1:2になります。

したがって、OTはPUの1/2で、1.5です。

QF=1.5+4=5.5

白と赤の高さは同じで、□とすると、

白い切り口の面積は、5.5×□

赤い切り口の面積は、5.5×□-1.5×□÷2

面積比は、

白:赤=5.5:4.75=22:19

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682

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2019年2月11日 (月)

切断面の形は?(今年 2019年 開成中学)

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次の図のような直方体 ABCD-EFGH があります。

また、辺 CD、EF、GC 上にそれぞれ点 P、Q、R があり、

DP=8cm、PC=12cm、EQ=4cm、CR=9cmが成り立っています。

2021

 

3点P、Q、R を通る平面でこの直方体を切断し、

切断したときにできる切り口の図形をXとします。

図形 X を前から見ると(面 ABFE に垂直な方向から見ると)、

面積が228㎠の図形に見えます。

図形X を上から見ると(面 ABCD に垂直な方向から見ると)、

面積が 266㎠の図形に見えます。

2022

 

このとき、次の問いに答えなさい。

(1) 図形 X は何角形ですか。

(2) 直方体の高さ(辺 AE の長さ)は何cm ですか。

(3) 直方体の奥行き(辺 AD の長さ)は何cm ですか。

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----------------------------------------------------

解法例

106

(1)切り口は図のような六角形です。

2023

(2)前から見ると下の図のように見えます。

2027

TQとPRは平行なので、

△TEQと△RCPは相似になり、

TE=4×3/4=3cm

六角形ATQFRP=228㎠なので、

AE=□cmとすると、

20×□-(4×3÷2+12×9÷2)=228

20×□-60=228

20×□=288

AE=□=14.4cm

(3)下の図のように、直方体の上に三角すいを考えると

2025

△TEQと△ODPは相似なので、

OD=8×3/4=6cm

△ODSと△TASも相似なので、

OD:TA=6:(14.4-3)=6:11.4=10:19より、

DS:SA=10:19

2026

上から見ると、△緑どうしも相似になるので、

DP:FQ=8:16=1:2より、

DS:BU=10:20

20×(⑩+⑲)-(8×⑩÷2+16×⑳÷2)=266

580まる-200まる=266

380まる=266

①=0.7

AD=29まる=0.7×29=20.3cm

 

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682

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2018年11月14日 (水)

切られる立方体はいくつ?(筑波大学附属中学 2017年)

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同じ大きさの立方体を、

図のように64個積み重ねて大きな立方体をつくり、

その立方体を3つの頂点A、B、Cを通る平面で切ります。

その平面で切られる立方体の個数はいくつですか。


5281

Paper
 

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解法のヒント

一番上の段の途中では、

図のように7個の立方体が切断されることがわかります。

Bandicam_20170528_093945823

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解法例

2段目では5個

Bandicam_20170528_094009324

3段目では3個

Bandicam_20170528_094022416

一番下の段では、1個

Bandicam_20170528_094035434

合計、7+5+3+1=16個 です。

6082

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682

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2018年11月 8日 (木)

点Dを含む立体の体積は?(今年 2018年 芝中学)

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1辺が3cmの立方体を下の図の様に

辺を3等分した点A、Bと頂 点Cを結んで切ります。

DEの長さは何cmですか。

また、点Dを含む立体の体積は何立方cmですか。

11081_2

解法のヒントと解法例は下にスクロールしてください!

51

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解法のヒント

切り口は図のようになります。

11082

EAとBCは平行になります。

11083

△AEFと△BCGは相似になり、

----------------------------------------------------

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解法例

CG:GB=3:2=EF:FA

EF=1×3/2=1.5cm

DE=1.5cm

11083

Dを含む立体は図のように、

底辺がAPQDE、頂点がCの五角すいと、

底辺がBRQDS、頂点がCの五角すいと、

底辺がEDS、頂点がCの三角すいでできています。

11084

高さはいずれも3cmなので、

(3×3-1×1.5÷2)×3÷3×2+

1.5×1.5÷2×3÷3

=8.25×2+1.125

=17.625立方cm

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682

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2018年10月30日 (火)

立方体の切り口は?(今年 2018年 本郷中学)

----------------------------------------------------

図のような1辺の長さが3cmの立方体があります。

点Iは辺GH上、点JはDH上にあり、 GI=DJ=1cmです。

10301

この立方体を、3点A、F、Jを通る平面で切ったとき、

点Eを含む立体 をKとします。

このとき、次の問いに答えなさい。

(1)立体Kの表面のうち、

  もとの立方体の表面に 含まれる部分の面積は何㎠ですか。

(2)この立方体の展開図は下図のようになります 。

10304

  (1)で求めた部分を色部分で表します。

   残りの部分に色をつけてください。

(3)立体Kの体積は何立方cmですか。

Paper

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----------------------------------------------------

解法のヒント

立方体の切り口は図のようになります。

10302

6083

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

解法例

10302_2

(1)

左面→3×3÷2=4.5㎠

右面→2×2÷2=2㎠

奥の面→9-1×3÷2=7.5㎠

下面→9-1×3÷2=7.5㎠

求める面積=7.5×2+4.5+2=21.5㎠

(2)

立方体の一番離れている頂点どうしは、

展開図では2つ並んだ正方形の対角線の位置に来ます。

したがって、各頂点は下の図のようになります。

10305

切り口を線で結ぶと、(1)の面積は図のようになります。

10306

(3)

AJとFIとEHを延長すると1点で交わります。

10303

大きな三角すいから立方体からはみ出た三角すいを引きます。

3×3÷2×9÷3-2×2÷2×6÷3

13.5-4

=9.5立方cm

6082

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682

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2018年10月16日 (火)

立体アの体積の何倍?(今年 2018年 東大寺学園中学)

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立体アは各面の対角線(例えば AB)の長さが2cmの立方体、

立体イは4つの面がすべて1辺の長さが2cmの正三角形である三角 すい、

立体ウは底面が1辺の長さが2cmの正方形で、

4つの側面がすべて1辺の長さが2cm の正三角形である四角すいです。

立体イの体積、立体ウの体積は、立体アの体積のそれぞれ何倍ですか。

10161

Bandicam_20181016_173401851

Bandicam_20181016_173449880

Paper

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

解法のヒント

立方体から赤い4つの部分を切り取ると・・・

Bandicam_20181016_121225255

残るのはイの正四面体です。

このイの正四面体を図のように2段に積んでみると・・・

Bandicam_20181016_115833166

Bandicam_20181016_115843727

Bandicam_20181016_115855915

真ん中の空間部分の形は???

141

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----------------------------------------------------

解法例

 Bandicam_20181016_172946418

立方体の1辺を1とすると、

赤い部分の1つ分の体積は、

1×1×1/2×1×1/3=1/6

真ん中の立体イの体積は、

1×1×1-1/6×4=1/3

したがって、イはアの1/3倍です。

正四面体1つの体積を1とすると、

Bandicam_20181016_115819228

正四面体の1辺が2倍になった正四面体全体の体積は、

Bandicam_20181016_115855915_2

2×2×2=8倍になるので、

真ん中の空間部分の体積は、

8-1×4=4

真ん中の空間部分の形は・・・

Bandicam_20181016_115901246

正八面体ですね!

Bandicam_20181016_115924112

立体ウはこの半分なので、

体積は、4÷2=2

イの正四面体の2倍の体積なので、

1/3×2=2/3

したがって、ウはアの2/3倍です。

5802

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682

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2018年6月18日 (月)

Aを含む立体の体積は?(今年 2018年 大阪星光学院中学)

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下の図は、1辺が1cmの立方体を4個積み重ねてできた立体です。

3点B、D、Fを通る平面でこの立体を切断するとき、

切断された立体のうち点Aを含む立体の体積は何立方cmですか。

6181

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

図のように全体から三角すいを3個引きます。

Bandicam_20180618_104143147

1×1×1×4-(1×1÷2×1÷3)×3

=4-1/2

=3.5立方cm

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682

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2018年5月30日 (水)

切り口の図形は?(今年 2018年  芝浦工業大学柏中学)

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同じ大きさの立方体5つからなる図のような立体をつくりました。

この立体をP、Q、Rを通る平面で切ったとき、

切り口の図形で正しいものは、次のア~エのどれになりますか?

5301

Bandicam_20180530_082659679

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5302

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682

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