目次

立体の切り口

2017年11月26日 (日)

この立体の体積は?(豊島岡女子学園中学 2017年)

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下の図のような底面が正六角形で、

側面がすべて合同な長方形でできた立体があり、

底面積は324㎠、高さは12cmです。

この立体の6つの点A、B、C、D、E、Fを結んでできる立体Pを考えます。

このとき、次の各問いに答えなさい。


ただし、三角すいの体積は (底面積) ×(高さ) ÷3で求めることができます。

11261



(1)立体Pの体積は何立方cmですか。

(2)底面DEFから高さが4cmのところで底面と平行な面で立体Pを切った とき、

  底面DEFを含む立体の体積は何立方cmですか。

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11262

(1)全体から、△黄を底面とし、高さ12cmの三角すいを6つ引くと

立体Pの体積が求められます。

△黄は正六角形の1/6なので、

324÷6=54㎠

したがって、

P=324×12-54×12÷3×6=2592立方cm

(2)△赤は△黄と相似で、

各辺の長さは1/3なので、

1:1/3=3:1→面積比は3×3:1×1=9:1

54×1/9=6㎠

△青は△黄と相似で、

各辺の長さは2/3なので、

1:2/3=3:2→面積比は3×3:2×2=9:4

54×4/9=24㎠

求める立体の体積は、高さ4cmの正六角柱から、

高さ4cm、底面積6㎠の三角すい3つと、

高さ12cm、底面積54㎠の三角すいから

高さ8cm、底面積24㎠の三角すいを引いた円すい台3つを引きます。

324×4-6×4÷3×3+(216-24×8÷3)×3

=1296-(24+456)

=816立方cm

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2017年11月18日 (土)

四角すいを重ねると・・・(日本大学藤沢中学 2016年)

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図のように2つの四角すいがあります。

(立体ア)は底面が正方形で、側面が合同な二等辺三角形でできています。

正方形の1辺の長さは10cm、二等辺三角形の高さは13cm、

立体の高さは12cmです。

(立体イ)は、(立体ア)の辺の長さや高さをそれぞれ2倍にした立体です。

このとき、次の問いに答えなさい。

11181

(1) (立体ア)と(立体イ)の体積の比を、最も簡単な整数の比で表しなさい。

(2) (立体ア)と(立体イ)を組み合わせて、図のよ うな立体を作りました。

11182

  面ABCDと面EFGHは平行で、

  (立体イ)の頂点O'は面ABCDの対角線の交点に重なります。

  この立体の体積は何立方cmですか。

(3) (2)でできた立体を面CDJKをふくむ平面で切ったときにできる

  面の面積は何㎠ですか。

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(1)長さが2倍になると、

体積は2×2×2=8倍になるので、

体積比は、ア:イ=1:8

(2)四角すい、O'-IJKLは高さがアの1/2の四角すいです。

この四角すいの体積を、アとイからそれぞれ引けば、

求める体積になります。

O'-IJKL=5×5×6÷3=50立方cm

ア=10×10×12÷3=400立方cm

イ=20×20×24÷3=3200立方cm

求める体積=3200+400-50×2=3500立方cm

(3)切り口は図のように、等脚台形が2つ重なった形になります。

Bandicam_20171118_083528149_2

上の台形の高さは、13×1/2=6.5cm

下の台形の高さは、26×(24-6)/24=19.5cm

求める面積=(10+5)×6.5÷2+(20+5)×19.5÷2

=48.75+243.75

=292.5㎠

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2017年11月 2日 (木)

残された空間図形は?(駒場東邦中学 2017年)

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1辺の長さが4cmの立方体について、次のような[作業]を行います。

[作業]

①立方体の各辺を4等分します。

②1つの頂点に注目したとき、

 その頂点を端の点とする3つの辺上にある 分点(分ける点)のうち、

 頂点から最も離れている3つの分点を通る平面で切り取ります。

例えば、下の図は頂点Aに対し、

3点P Q Rを通る平面で切り取った図 です。

110211

110212_2

この「作業]を立方体の8個あるすべての頂点に対し、

同時に行った後に残る立体「あ」について考えます。

(1)立方体の面ABCD上にできる立体「あ」の面を

 解答用紙の図に斜線で示し、その面積を求めなさい。

110213

(2)三角形PQR上にできる立体「あ」の面を面「い」とします。

 ①面「い」の形の名前を答えなさい。

 ②(三角形PQRの面積):(面「い」の面積)を

   最も簡単な整数の比で求めな さい。

(3)立体「あ」の体積を求めなさい。

 ただし、角すいの体積は (底面積)×(高さ)÷3で求めることができます。

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(1)8個あるすべての頂点に作業を行ったのが下の図です。

Bandicam_20171102_090029483

Bandicam_20171102_094735612

ABCD上にできる「あ」の面は図のように正方形で、

対角線の長さが2cmなので、

面積は、2×2÷2=2㎠

(2)

①面「い」の形は図のように正六角形

Bandicam_20171102_090647776

②小さな正三角形の数を比べると、

△PQR:面「い」=9:6=3:2

(3)

下の図のように、8つの三角すいを取り除くと、

各辺で緑部分の三角すい2つ分を2回取り除くことになります。

Bandicam_20171102_094233191_2

重なった三角すい2つ分の体積は、

(1×1÷2×1÷3)×2=1/3立方cm

12の辺の合計は、1/3×12=4立方cm

したがって、求める「あ」の体積は、

4×4×4-3×3÷2×3÷3×8+4=32立方cm

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2017年10月25日 (水)

体積比、長さ比は?(広尾学園中学 2017年)

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下の図のような直方体ABCD-EFGHにおいて、

辺CG上にCQ:QG=3:2となる点をQとします。 

(1)三角錐ABDEの体積と直方体ABCD-EFGHの体積の比を求めなさい。

(2)直線AGが平面 BDEと交わる点をPとするとき、

  AP:PG を求めなさい。

(3)直線AQが平面BDEと交わる点をRとするとき、

  三角錐RBDGの体積と直方体ABCD-EFGHの体積の比を求めなさい。

10251

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(1)

10252

図のように三角錐ABDEは直方体の体積の1/2の1/3なので、

10253

三角錐ABDEの体積:直方体ABCD-EFGHの体積

=1/2×1/3:1=1/6:1=1:6

(2

図のようになるので、

10255

△黄と△緑は相似で、相似比は1:2

10256

したがって、AP:PG =1:2

(3)

三角錐RBDGは図のようになります。

10257

10258

△AREと△SRQは相似になり、

CGを5とすると、SQ=5+3=8 なので、

SR:RE=8:5

△DEBの高さ:△DRBの高さ=6.5:1.5=13:3

△DEBの面積:△DRBの面積=13:3

直方体から、三角錐ABDE、CDBG、EHGD、EFGBを取り除くと、

三角錐DEBGが残ります。

その体積比は、直方体の

1-1/6×4=2/6=1/3

三角錐RBDGはその3/13なので、

直方体の、1/3×3/13=1/13

三角錐RBDG:直方体ABCD-EFGH=1/13:1=1:13

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2017年9月17日 (日)

切り口の面積は?(2017年 東大寺学園中学)

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下の図は三角柱の展開図です。

三角形「あ」、「い」はどちらも直角二等辺三角形であり、

四角形「う」、「え」はどちらも対角線の長さが2cmの正方形です。

また、点P、Q、RはそれぞれAB、GH、DFの真ん中の点です。

この展開図を組み立ててできる三角柱と、

形も大きさも同 じものを粘土で作りました。

それを、3点P Q Rを含む平面で切断したときの

切り口の面積を求めなさい。

ただし、1辺の長さが1cmの正三角形の面積を0.43㎠とします。

9171

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切り口は図のように、正六角形の半分になります。

9172

PQの長さは正方形の対角線の長さの半分で1cm、

△黄は1辺1cmの正三角形なので、

切り口の面積は、

0.43×6÷2=1.29㎠

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2017年9月 9日 (土)

OP=PRの長さは何cm?(2017年 灘中学 1日目)

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下の図のような、

辺の長さがすべて10cmの四角すいO-ABCDがあります。

辺 OA、OB、OC上に点 P、Q、R を

(OPの長さ)=(ORの長さ)=( ? )cm

(OQの長さ)=6cm

となるようにとると、

3点P、Q、Rを通る平面上に点Dがあります。

OPとORの長さは何cmですか?

Bandicam_20170909_084145452

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P,Q、R、Dを通る平面は下図のようになります。

Bandicam20170909

AとCの方向から見ると、図のようになります。

9091

Qから底面に垂線を下し、交わる点をHとすると、

△DQHと△DPAは相似になり、

DH:DC=8:5

四角錐の高さを5とすると、QH=2となるので、

PとRの底面からの高さは、

2×5/8=1.25

OA=10cm なので、

OP=OR=10-10×1.25/5=7.5cm

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2017年6月17日 (土)

切り口の形は?(今年 2017年 東京農業大学第一高等学校中等部)

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図のような正四面体を、3点A、B、Cを 通る平面で切断します。

このとき、切断面の切り 口として正しいものを、

下の(ア)〜(オ)から1つ選び、記号で答えなさい。

3171
Bandicam20170617070701099

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Bandicam_20170617_070943328

(ア)

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2017年5月28日 (日)

切られる立方体はいくつ?(今年 2017年 筑波大学附属中学)

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同じ大きさの立方体を、

図のように64個積み重ねて大きな立方体をつくり、

その立方体を3つの頂点A、B、Cを通る平面で切ります。

その平面で切られる立方体の個数はいくつですか。


5281

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一番上の段の途中では、

図のように7個の立方体が切断されることがわかります。

Bandicam_20170528_093945823

2段目では5個

Bandicam_20170528_094009324

3段目では3個

Bandicam_20170528_094022416

一番下の段では、1個

Bandicam_20170528_094035434

合計、7+5+3+1=16個 です。

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2017年5月 9日 (火)

切り口の形は?(今年 2017年 高槻中学)

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図のような正六角形を底面とする六角柱があります。

この六角柱の頂点12点のうちAを含む4点を選び、

その4点を通る平面でこの六角柱の体積が半分になるように切断します。

Bandicam_20170509_073220350_2

(1)切り口が四角形となるようなA以外の3頂点の組をすべて答えなさい。

(2)四角形とならないときの切り口は何角形になりますか。

  また、そのときのA以外の3頂点の組をすべて答えなさい。

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(1)

Bandicam_20170509_073554518

EHJとCJL

Bandicam_20170509_073654702

DGJ

(2)

Bandicam_20170509_073448142

六角形になるのは、FIJとBJK

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2017年5月 2日 (火)

頂点Pを含む立体の体積は?(今年 2017年  渋谷教育学園幕張中学)

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図のような1辺の長さが8cmの立方体があり、

上の面の正方形の各辺の真ん中の点をそれぞれ点A、B、C、 D、

下の面の正方形の各辺の真ん中の点をそれぞれ点E、F、G、Hとします。

この立方体を、4つの点A D F Gを通る平面と、

4つの点B C E Hを通る平面とで同時に切ったとき、

頂点Pを含む立体の体積は何㎤ですか。

ただし、角すいの体積は、(底面積) × (高さ)+3で求められるものとします。

5021

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2つの平面で切り取られる立体は図のようになります。

5022

5023

緑部分は三角錐になるので、

大きい三角錐から上の三角錐を引いた立体2つ分を、

立方体の上半分から引くと、求める体積になります。

8×8×4-(8×8×1/2×8×1/3-4×4×1/2×4×1/3)×2

=256-(256/3-32/3)×2

=320/3

=106と2/3㎤

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