目次

立体図形

2017年12月12日 (火)

すき間部分の体積は?(中央大学附属中学 2017年)

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図のように、底面の半径が6cm、高さが24cmの円柱を、

1辺が24cmの正方形の板からはみ出ないように4つ並べ、

その真ん中に1つ積み上げ ました。

次の問いに答えなさい。ただし、円周率は3.14とします。

Bandicam_20171212_085642167

(1)5つの円柱と板で囲まれてできたすき間の部分の体積は

  何立方cmですか。

(2)5つの円柱を真上から見たとき、

  見える部分の面積は何㎠ですか。

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すき間の形は図のようになるので、

面積は1辺12cmの正方形から、

半径6cmの円を引いて求められます。

Bandicam_20171212_090410272

(1)

(12×12-6×6×3.14)×24=743.04立方cm

(2)

見える部分は、すき間部分がふさがった状態なので、

(12×12-6×6×3.14)+6×6×3.14×4=483.12㎠

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2017年12月 4日 (月)

①~⑧の面に接する文字は?(大阪教育大学附属平野中学 2017年)

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図1のようなマス目の上を、スタートからゴールに向けて、

文字が書かれた立方体を マス目に合わせて順番に転がします。

図2は、スタートとゴールの位置に立方体がある様子を示しています。

このとき、立方体を転がし

①~⑧の面に接する文字はそれぞれ何ですか。

図1

12042
図2

12041

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それぞれの文字の対面を調べてみます。

イは②では右側、

③で上、④⑤で左、⑥で下、⑦⑧で右、

ゴールでは下になるので、対面はガ

ロは①で手前、②で下、③で右、④で上、⑤⑥⑦で前、

⑧で下、ゴールでは左になるので、対面はル

コは①で下、②③④で後ろ、⑤で上、⑥で左、⑦で下、

⑧で後ろ、ゴールでも後ろなので、対面はサ

イ-ガ、ロ-ル、コ-サ が対面どうしになります。

①はコが下、

②はロが下

③はイが上になるので、ガが下

⑧はルが上なので、ロが下

⑦はサが上なので、コが下、

④はロが上なので、ルが下

⑤はコがうえなので、サが下

⑥はガが上なので、イが下

①~⑧まで順番に、

コロガルサイコロ

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2017年11月26日 (日)

この立体の体積は?(豊島岡女子学園中学 2017年)

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下の図のような底面が正六角形で、

側面がすべて合同な長方形でできた立体があり、

底面積は324㎠、高さは12cmです。

この立体の6つの点A、B、C、D、E、Fを結んでできる立体Pを考えます。

このとき、次の各問いに答えなさい。


ただし、三角すいの体積は (底面積) ×(高さ) ÷3で求めることができます。

11261



(1)立体Pの体積は何立方cmですか。

(2)底面DEFから高さが4cmのところで底面と平行な面で立体Pを切った とき、

  底面DEFを含む立体の体積は何立方cmですか。

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11262

(1)全体から、△黄を底面とし、高さ12cmの三角すいを6つ引くと

立体Pの体積が求められます。

△黄は正六角形の1/6なので、

324÷6=54㎠

したがって、

P=324×12-54×12÷3×6=2592立方cm

(2)△赤は△黄と相似で、

各辺の長さは1/3なので、

1:1/3=3:1→面積比は3×3:1×1=9:1

54×1/9=6㎠

△青は△黄と相似で、

各辺の長さは2/3なので、

1:2/3=3:2→面積比は3×3:2×2=9:4

54×4/9=24㎠

求める立体の体積は、高さ4cmの正六角柱から、

高さ4cm、底面積6㎠の三角すい3つと、

高さ12cm、底面積54㎠の三角すいから

高さ8cm、底面積24㎠の三角すいを引いた円すい台3つを引きます。

324×4-6×4÷3×3+(216-24×8÷3)×3

=1296-(24+456)

=816立方cm

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2017年11月23日 (木)

見えているサイコロの目は?(山梨学院中学 2017年)

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展開図が(図1)のようなさいころを

(図2)のように机の上に向きを変えずに積み上げて

立体をつくっていきます。

たとえば、2段は4個のさいころを使っています。

この とき、次の各問いに答えなさい。

図1

11232

図2

11231

(1)4段の立体で使うさいころの個数は何個ですか。

(2)36個のさいころで何段の立体ができますか。

(3)4段の立体を真上から見たとき、

  見えているすべてのさいころの目を足すといく つになりますか。

(4)5段の立体を周りから見たとき、2の目は何個見えていますか。

(5)5段の立体を周りから見たとき、

  見えているすべてのさいころの目を足すといく つになりますか。

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(1)1段目→1個

2段目→3個

3段目→5個

4段目→7個

1+3+5+7=16個

(2)1段は→1×1=1個

2段は→2×2=4個

3段は→3×3=9個

4段は→4×4=16個

36=6×6なので、6段

(3)1の目が7つ見えているので、7

(4)5の裏側の2の目は

5段では、1+2+3+4+5=15個見えています。

(5)1の目→9個×1=9

2の目→15個×2=30

3の目→15個×3=45

4の目→15個×4=60

5の目→15個×5=75

9+30+45+60+75=219

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2017年11月18日 (土)

四角すいを重ねると・・・(日本大学藤沢中学 2016年)

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図のように2つの四角すいがあります。

(立体ア)は底面が正方形で、側面が合同な二等辺三角形でできています。

正方形の1辺の長さは10cm、二等辺三角形の高さは13cm、

立体の高さは12cmです。

(立体イ)は、(立体ア)の辺の長さや高さをそれぞれ2倍にした立体です。

このとき、次の問いに答えなさい。

11181

(1) (立体ア)と(立体イ)の体積の比を、最も簡単な整数の比で表しなさい。

(2) (立体ア)と(立体イ)を組み合わせて、図のよ うな立体を作りました。

11182

  面ABCDと面EFGHは平行で、

  (立体イ)の頂点O'は面ABCDの対角線の交点に重なります。

  この立体の体積は何立方cmですか。

(3) (2)でできた立体を面CDJKをふくむ平面で切ったときにできる

  面の面積は何㎠ですか。

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(1)長さが2倍になると、

体積は2×2×2=8倍になるので、

体積比は、ア:イ=1:8

(2)四角すい、O'-IJKLは高さがアの1/2の四角すいです。

この四角すいの体積を、アとイからそれぞれ引けば、

求める体積になります。

O'-IJKL=5×5×6÷3=50立方cm

ア=10×10×12÷3=400立方cm

イ=20×20×24÷3=3200立方cm

求める体積=3200+400-50×2=3500立方cm

(3)切り口は図のように、等脚台形が2つ重なった形になります。

Bandicam_20171118_083528149_2

上の台形の高さは、13×1/2=6.5cm

下の台形の高さは、26×(24-6)/24=19.5cm

求める面積=(10+5)×6.5÷2+(20+5)×19.5÷2

=48.75+243.75

=292.5㎠

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2017年11月10日 (金)

底面積と水面の高さは?(フェリス女学院中学 2017年)

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図1のように、体積が1立方cmの立方体を

すきまなく55個積み重ねてできる立体があ ります。

また、1辺の長さが5cmより長い立方体の水そうに

水面の高さが2.5cmま で水が入っています。

この水そうに、この立体をゆっくり入れます。

Bandicam20171110085023570

(1)この立体の、面積が25㎠の面が水そうの底に重なるように入れると、

水そうの底からの水面の高さが3.5cmになりました。

水そうの底の面積は何㎠ですか。

Bandicam20171110085036319

(2)この立体を図2のようにたおし、

面積が15㎠の面が水そうの底に重なるように入れると、

水そうの底からの水面の高さは何cmになりますか。

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(1)

11101

立体の底面積は下から順に

25㎠、16㎠、9㎠、4㎠、1㎠ です。

立体を入れたところ、水面が1cm上がったので、

黄+緑=緑+赤=25+16+9+4×1/2=52立方cmより、

水そうの底面積=52÷1=52㎠

(2)

11102

水の量は、52×2.5=130立方cm

1段目までの水の量=37×1=37立方cm

2段目までは、37+38=75立方cm

3段目までは、75+40=115立方cm

残の水の量は、130-115=15立方cm なので、

あと、15÷43=15/43cm高くなり、

水面の高さは、3と15/43cm

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2017年11月 2日 (木)

残された空間図形は?(駒場東邦中学 2017年)

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1辺の長さが4cmの立方体について、次のような[作業]を行います。

[作業]

①立方体の各辺を4等分します。

②1つの頂点に注目したとき、

 その頂点を端の点とする3つの辺上にある 分点(分ける点)のうち、

 頂点から最も離れている3つの分点を通る平面で切り取ります。

例えば、下の図は頂点Aに対し、

3点P Q Rを通る平面で切り取った図 です。

110211

110212_2

この「作業]を立方体の8個あるすべての頂点に対し、

同時に行った後に残る立体「あ」について考えます。

(1)立方体の面ABCD上にできる立体「あ」の面を

 解答用紙の図に斜線で示し、その面積を求めなさい。

110213

(2)三角形PQR上にできる立体「あ」の面を面「い」とします。

 ①面「い」の形の名前を答えなさい。

 ②(三角形PQRの面積):(面「い」の面積)を

   最も簡単な整数の比で求めな さい。

(3)立体「あ」の体積を求めなさい。

 ただし、角すいの体積は (底面積)×(高さ)÷3で求めることができます。

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----------------------------------------------------

(1)8個あるすべての頂点に作業を行ったのが下の図です。

Bandicam_20171102_090029483

Bandicam_20171102_094735612

ABCD上にできる「あ」の面は図のように正方形で、

対角線の長さが2cmなので、

面積は、2×2÷2=2㎠

(2)

①面「い」の形は図のように正六角形

Bandicam_20171102_090647776

②小さな正三角形の数を比べると、

△PQR:面「い」=9:6=3:2

(3)

下の図のように、8つの三角すいを取り除くと、

各辺で緑部分の三角すい2つ分を2回取り除くことになります。

Bandicam_20171102_094233191_2

重なった三角すい2つ分の体積は、

(1×1÷2×1÷3)×2=1/3立方cm

12の辺の合計は、1/3×12=4立方cm

したがって、求める「あ」の体積は、

4×4×4-3×3÷2×3÷3×8+4=32立方cm

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2017年10月25日 (水)

体積比、長さ比は?(広尾学園中学 2017年)

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下の図のような直方体ABCD-EFGHにおいて、

辺CG上にCQ:QG=3:2となる点をQとします。 

(1)三角錐ABDEの体積と直方体ABCD-EFGHの体積の比を求めなさい。

(2)直線AGが平面 BDEと交わる点をPとするとき、

  AP:PG を求めなさい。

(3)直線AQが平面BDEと交わる点をRとするとき、

  三角錐RBDGの体積と直方体ABCD-EFGHの体積の比を求めなさい。

10251

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----------------------------------------------------

(1)

10252

図のように三角錐ABDEは直方体の体積の1/2の1/3なので、

10253

三角錐ABDEの体積:直方体ABCD-EFGHの体積

=1/2×1/3:1=1/6:1=1:6

(2

図のようになるので、

10255

△黄と△緑は相似で、相似比は1:2

10256

したがって、AP:PG =1:2

(3)

三角錐RBDGは図のようになります。

10257

10258

△AREと△SRQは相似になり、

CGを5とすると、SQ=5+3=8 なので、

SR:RE=8:5

△DEBの高さ:△DRBの高さ=6.5:1.5=13:3

△DEBの面積:△DRBの面積=13:3

直方体から、三角錐ABDE、CDBG、EHGD、EFGBを取り除くと、

三角錐DEBGが残ります。

その体積比は、直方体の

1-1/6×4=2/6=1/3

三角錐RBDGはその3/13なので、

直方体の、1/3×3/13=1/13

三角錐RBDG:直方体ABCD-EFGH=1/13:1=1:13

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2017年10月20日 (金)

この直方体の体積は?(國學院大學久我山中学 2016年)

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下の図のような直方体があります。

「あ」、「い」、「う」の各面を底面としたとき、

それぞれの側面積は38㎠、25㎠、23㎠です。

この直方体の体積は何立方cmですか。

10201

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----------------------------------------------------

10202

「あ」の面の辺の長さを図のようにA、Bとすると、

6×(2×A+2×B)=38・・・・・①

2×A×B+2×6×B=25・・・・・②

2×A×B+2×6×A=23・・・・・③

②-③

12×B-12×A=2

B-A=1/6・・・・・④

①より

A+B=19/6・・・・・⑤

④+⑤

2×B=20/6

B=20/12=5/3

A=3/2

A×B=3/2×5/3=5/2

直方体の体積=5/2×6=15立方cm

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2017年10月19日 (木)

表面積の差は?(2017年 岡山学芸館清秀中学)

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下の図1の立体は、1辺が2cmの立方体を27個組み合わせたものです。

図1

Bandicam_20171019_082417258

図2の立体は、図1の立体のいちばん下の段と真ん中の段から、

中央の列の立方体を3個ずつ、合わせて6個を取りのぞいたものです。

図2

Bandicam_20171019_082556532

また、図3の立体は、図1の立体から各面の真ん中にある立方体を1個ずつ、

合わせて6個を取りのぞいたものです。

図3

Bandicam_20171019_082852945

ただし、取りのぞいた後に残った立方体が、

下に落ち ることはないものとします。

図2の立体と図3の立体を比べたとき、

表面の面積の合計(表面積)はどちらの立体が何㎠大きいですか。

ただし、立体の下側の面もふくみます。

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図2

上面→4×9=36㎠

下面→くぼんだ面も含めて、4×9=36㎠

左面→4×9=36㎠

右面→4×9=36㎠

前面→4×7=28㎠

後ろ面→4×7=28㎠

隠れた面→4×6×2=48㎠

合計=36×4+28×2+48=248㎠

図3

前後左右上下面→4×9×6=216㎠

凹んだ隠れた面→4×4×6=96㎠

合計=216+96=312㎠

図3-図2=312-248=64㎠

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