目次

立体図形

2018年7月27日 (金)

すいそうとグラフの関係は?(今年 2018年 本郷中学)

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図1のような直方体を2つ合わせた形の水そうがあります。

この水そうを長 方形の板で底面に垂直に仕切り、

(ア)の部分に高さが10cmの鉄の円柱を置きました。

今、(ア)の部分の真上から一定の割合で水を注ぎ入れます。

水を注ぎ始めてから水そうがいっぱいになるまでの時間と

(ア)の部分の水の深さの関係をグラフで表すと図2のようになります。

このとき、次の問いに答えなさい。

ただし、仕切りの厚さは考えないものとします。

図1

Bandicam_20180727_075146434_2

図2

Bandicam_20180727_075124145

(1)水は毎分何cmの割合で注がれていますか。

(2) 図1のXはいくつですか。

(3)鉄の円柱の底面積は何㎠ですか。

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(1)仕切りを超えて水面が10cm上がるのに

458-358=100分かかったので、

毎分 100×50×10÷100=500㎤

(2)鉄の円柱の上面から、

20-10=10cm水面が上がるのに

98-48=50分かかったので、

(ア)=500×50÷10÷50=(50)cm

(3)鉄の円柱の上面から水面が10cm上がるのに50分

底面積は、500×50÷10=2500㎠

円柱の高さまで水面が上がるのに48分なので、

底面積は、500×48÷10=2400㎠

鉄の円柱の底面積=2500-2400=100㎠

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682

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2018年7月22日 (日)

展開図を完成させましょう!(今年 2018年 雙葉中学)

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図1の立体の4つの面は、すべて合同な正三角形です。

この立体のそれぞれの面に1、2、3、4の数字を書きました。

ある方向から見ると図2、別の方向から見ると図3のようになりました。

図1

Bandicam_20180722_081036134

図2

7221

図3

7222

この立体の展開図を完成させましょう。

また、向きを考えて2、3、4の数字も書きましょう。

7224

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下の図は2つの解答例です。

7223  

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2018年6月26日 (火)

2つ組み合わせてできる立体は?(今年 2018年 お茶の水女子大学附属中学)

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下の図は正方形1つと正三角形2つ、台形2つでできた、

ある立体の展開図です。

Bandicam_20180626_080836764

この立体を2つ組み合わせてできる立体の見取図を

次のアからエの中から一つ選び、その記号を書きなさい。

Bandicam_20180626_080912074

Bandicam_20180626_080923890

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6261

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2018年6月18日 (月)

Aを含む立体の体積は?(今年 2018年 大阪星光学院中学)

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下の図は、1辺が1cmの立方体を4個積み重ねてできた立体です。

3点B、D、Fを通る平面でこの立体を切断するとき、

切断された立体のうち点Aを含む立体の体積は何立方cmですか。

6181

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図のように全体から三角すいを3個引きます。

Bandicam_20180618_104143147

1×1×1×4-(1×1÷2×1÷3)×3

=4-1/2

=3.5立方cm

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2018年6月10日 (日)

ア、イ に当てはまる数は?(今年 2018年 清風南海中学)

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図のように、仕切りのある立方体の水そうがあります。

点A、Bは各辺の真ん中の点で、それぞれの仕切りは側面に平行です。

仕切りで分けられた4つの部分に同じ量の水を入れたところ、

どの部分からも水はあふれませんでした。

水面の高さの比は、低いものから順に、3:4:9:アとなりました。

図のイには1より大きい数が当てはまるとき、

ア、イ に当てはまる数を答えなさい。

ただし、仕切りの厚さは考えないものとします。

6101

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6102

面積の大きい順に、赤、緑、黄、青とすると、

水面の高さは、赤:緑=3:4なので、

面積の比は逆比になり、4:3 より、

ONは共通なので、SN:NR=4:3

PBの長さをacmとすると、

(a+1):(a-1)=4:3

4×a-4=3×a+3

a=7cm となるので、

立方体の1辺は7×2=14cmになります。

PL=8cm、LQ=6cm

赤と黄の水面比は、3:9=1:3 なので、

SK:KP=3:1となり、

SK=14×3/4=10.5cm より、

イ=10.5-7=3.5

黄と青の面積比は、8:6=4:3 なので、

青の水面比は、9×4/3=12・・・・ア

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2018年6月 4日 (月)

ペンキは全部で何缶必要?(今年 2018年 大妻嵐山中学)

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図のように、はみ出ることなく下から上に重なって

地面においてある立 方体があります。

下から立方体の1辺の長さが3m、2m、1.5mです。

この立方体の表面全部を黄色のペンキでぬります。

ペンキは1缶で1㎡ ぬることができます。

ペンキは全部で何缶必要ですか。

ただし、立体どうしが重なっている部分と、地面についている部分はぬりません。

Bandicam_20180604_085720347

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前後、左右は

1.5×1.5+2×2+3×3=15.25 なので、

15.25×4=61

上面は、3×3=9 なので、

合計、61+9=70

ペンキは、70÷1=70缶必要です。

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2018年5月30日 (水)

切り口の図形は?(今年 2018年  芝浦工業大学柏中学)

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同じ大きさの立方体5つからなる図のような立体をつくりました。

この立体をP、Q、Rを通る平面で切ったとき、

切り口の図形で正しいものは、次のア~エのどれになりますか?

5301

Bandicam_20180530_082659679

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5302

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2018年5月28日 (月)

三角形APQ の面積の何倍?(吉祥女子中学 2017年)

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図の直方体を3点A,P、Q、通る平面で切断したとき、

切り口は図のような四角形 APQCになりました。

この切り口の図形の面積は、三角形APQ の面積の何倍ですか。

5281

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5282

△PHQと△EHGは相似で、相似比は1:2なので、

EGはPQの2倍です。

EG=AC なので、

PQ=ARとなるRをAC上にとると、RはACの中点になります。

すると、

△APQの面積=△QARの面積=△QRCの面積 となり、

四角形APQCの面積は△APQの3倍です。

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2018年5月 8日 (火)

棒はどのように見えますか?(今年 2018年 筑波大学附属中学)

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下の図は、中身の見える立方体の容器の中に入れた棒を、

正面と真上から見たものです。

Bandicam_20180508_093637968

下の見取図において、棒はどのように見えますか。

解答用紙にかきなさい。

Bandicam_20180508_094217519


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Bandicam_20180508_094405552

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2018年5月 1日 (火)

水を入れ始めてから何分後?(今年 2018年 成城学園中学)

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1辺の長さが6m、4m、2mの「大」、「中」、「小」の3つの透明な

立方体の容器 があります。

容器「大」のなかに容器「中」を入れ、

さらに容器「中」のなかに容器「小」を入れました。

それを上から見た図と、横から見た図が次のようになります。

Bandicam_20180501_071258401

このようにして出来上がった容器に、

様々な場所から1分間に2立方mの割合で水を 入れます。

下の図1、図2、図3は横から見た図です。

矢印は水を入れる位置を、

太線は容器に入った水の水面の位置を表しています。

Bandicam_20180501_071313415_2

次の問いに答えなさい。

ただし,立方体の容器の厚さは考えないものとします。

(1)図1のようになるのは、水を入れ始めてから何分後ですか。

(2)図2のようになるのは、水を入れ始めてから何分後ですか。

(3)図3のようになるのは、水を入れ始めてから何分後ですか。

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(1)4×4×3÷2=24分後

(2){(6×6-4×4)×3+4×4×4}÷2=62分

(3){(6×6-4×4)×4+(4×4-2×2)×2+2×2×1}÷2=54分

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