中学受験ー算数解き方ポータル

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2019年6月30日 (日)

切断面の形は？（開成中学２０１９年）

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次の図のような直方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨ　があります。

また、辺ＣＤ、ＥＦ、ＧＣ上にそれぞれ点　Ｐ、Ｑ、Ｒ　があり、

ＤＰ＝８ｃｍ、ＰＣ＝１２ｃｍ、ＥＱ＝４ｃｍ、ＣＲ＝９ｃｍが成り立っています。

３点Ｐ、Ｑ、Ｒを通る平面でこの直方体を切断し、

切断したときにできる切り口の図形をＸとします。

図形Ｘを前から見ると(面ＡＢＦＥに垂直な方向から見ると)、

面積が２２８㎠の図形に見えます。

図形Ｘを上から見ると(面ＡＢＣＤに垂直な方向から見ると)、

面積が２６６㎠の図形に見えます。

このとき、次の問いに答えなさい。

（１）　図形Ｘは何角形ですか。

（２）　直方体の高さ(辺ＡＥの長さ)は何ｃｍですか。

（３）　直方体の奥行き(辺ＡＤの長さ)は何ｃｍですか。

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解法例

（１）切り口は図のような六角形です。

（２）前から見ると下の図のように見えます。

ＴＱとＰＲは平行なので、

△ＴＥＱと△ＲＣＰは相似になり、

ＴＥ＝４×３/４＝３ｃｍ

六角形ＡＴＱＦＲＰ＝２２８㎠なので、

ＡＥ＝□ｃｍとすると、

２０×□－（４×３÷２＋１２×９÷２）＝２２８

２０×□－６０＝２２８

２０×□＝２８８

ＡＥ＝□＝１４．４ｃｍ

（３）下の図のように、直方体の上に三角すいを考えると

△ＴＥＱと△ＯＤＰは相似なので、

ＯＤ＝８×３/４＝６ｃｍ

△ＯＤＳと△ＴＡＳも相似なので、

ＯＤ：ＴＡ＝６：（１４．４－３）＝６：１１．４＝１０：１９より、

ＤＳ：ＳＡ＝１０：１９

上から見ると、△緑どうしも相似になるので、

ＤＰ：ＦＱ＝８：１６＝１：２より、

ＤＳ：ＢＵ＝１０：２０

２０×（⑩＋⑲）－（８×⑩÷２＋１６×⑳÷２）＝２６６

５８０まる－２００まる＝２６６

３８０まる＝２６６

①＝０．７

ＡＤ＝２９まる＝０．７×２９＝２０．３ｃｍ

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2019年6月20日 (木)

長さと表面積は？（神戸女学院中学部２０１９年　）

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図１のような直方体を上下はそのままで４個はり合わせて、

図２のような立体を作ります。

図１の直方体４個分の表面積の和と図２の立体の表面積の比は

５：４となりました。

図１

図２

（１）「あ」の長さは何ｃｍですか。

（２）図２の立体を２個作ってぴったり重ね、

上の立体を点Ｐを中心に４５°回転させて、図３のような立体を作ります。

このとき、図３の立体の表面積を求めなさい。

図３

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解法例

（１）図１の立体の表面積は、

３×６×２＋３×あ×２＋あ×６×２

＝１８×あ＋３６

その４個分は、

７２×あ＋１４４

図２の立体は、

３×あ×８＝２４×あ　だけ表面積が少なくなっているので、

（７２×あ＋１４４）：（４８×あ＋１４４）＝５：４

４×（７２×あ＋１４４）＝５×（４８×あ＋１４４）

２８８×あ＋５７６＝２４０×あ＋７２０

４８×あ＝１４４

あ＝３ｃｍ

（２）

.図のように上下の立体が重なっている部分の面積は、

３×３÷２×２＝.９㎠

この重なった部分は８個あるので、

９×８＝７２㎠

図２の立体２つ分の表面積は、

２×（４８×３＋１４４）＝５７６㎠

図３の立体の表面積は

５７６－７２＝５０４㎠

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2019年6月 5日 (水)

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図1のように,厚紙に同じ大きさの 12 個の正方形をかいて,

1 ~ 12 の数を入れました。

この厚紙の必要のない部分を切り取って立方体の展開図を作ります。

(1)[12]を使ってできる展開図は全部で何通りですか。

(2) 展開図にかかれている数の和が一番小さいものを1つ作ります。

使う数を図2に〇で囲みなさい。

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解法例

立方体の展開図は１１種類あります。

③は横幅が５つになるので除外して、１０種類で考えます。

（１）

⑧と⑪は１２を含むことができないので、８通りですが、

⑨は１１を含む展開図と、１１を含まない展開図の

２通りできるので、

全部で９通りの展開図ができます。

（２）

または、

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が３４で最小になります。

2019年5月29日 (水)

立方体の切り口は？（本郷中学２０１８年）

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図のような１辺の長さが３ｃｍの立方体があります。

点Ｉは辺ＧＨ上、点ＪはＤＨ上にあり、ＧＩ＝ＤＪ＝１ｃｍです。

この立方体を、３点Ａ、Ｆ、Ｊを通る平面で切ったとき、

点Ｅを含む立体をＫとします。

このとき、次の問いに答えなさい。

（１）立体Ｋの表面のうち、

　　もとの立方体の表面に含まれる部分の面積は何㎠ですか。

（２）この立方体の展開図は下図のようになります。

　　（１）で求めた部分を色部分で表します。

　　　残りの部分に色をつけてください。

（３）立体Ｋの体積は何立方ｃｍですか。

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解法例

立方体の切り口は図のようになります。

（１）

左面→３×３÷２＝４．５㎠

右面→２×２÷２＝２㎠

奥の面→９－１×３÷２＝７．５㎠

下面→９－１×３÷２＝７．５㎠

求める面積＝７．５×２＋４．５＋２＝２１．５㎠

（２）

立方体の一番離れている頂点どうしは、

展開図では２つ並んだ正方形の対角線の位置に来ます。

したがって、各頂点は下の図のようになります。

切り口を線で結ぶと、（１）の面積は図のようになります。

（３）

ＡＪとＦＩとＥＨを延長すると１点で交わります。

大きな三角すいから立方体からはみ出た三角すいを引きます。

３×３÷２×９÷３－２×２÷２×６÷３

＝１３．５－４

＝９．５立方ｃｍ

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2019年2月11日 (月)

切断面の形は？（今年　２０１９年　開成中学）

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次の図のような直方体ＡＢＣＤ－ＥＦＧＨ　があります。

また、辺ＣＤ、ＥＦ、ＧＣ上にそれぞれ点　Ｐ、Ｑ、Ｒ　があり、

ＤＰ＝８ｃｍ、ＰＣ＝１２ｃｍ、ＥＱ＝４ｃｍ、ＣＲ＝９ｃｍが成り立っています。

３点Ｐ、Ｑ、Ｒを通る平面でこの直方体を切断し、

切断したときにできる切り口の図形をＸとします。

図形Ｘを前から見ると(面ＡＢＦＥに垂直な方向から見ると)、

面積が２２８㎠の図形に見えます。

図形Ｘを上から見ると(面ＡＢＣＤに垂直な方向から見ると)、

面積が２６６㎠の図形に見えます。

このとき、次の問いに答えなさい。

（１）　図形Ｘは何角形ですか。

（２）　直方体の高さ(辺ＡＥの長さ)は何ｃｍですか。

（３）　直方体の奥行き(辺ＡＤの長さ)は何ｃｍですか。

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解法例

（１）切り口は図のような六角形です。

（２）前から見ると下の図のように見えます。

ＴＱとＰＲは平行なので、

△ＴＥＱと△ＲＣＰは相似になり、

ＴＥ＝４×３/４＝３ｃｍ

六角形ＡＴＱＦＲＰ＝２２８㎠なので、

ＡＥ＝□ｃｍとすると、

２０×□－（４×３÷２＋１２×９÷２）＝２２８

２０×□－６０＝２２８

２０×□＝２８８

ＡＥ＝□＝１４．４ｃｍ

（３）下の図のように、直方体の上に三角すいを考えると

△ＴＥＱと△ＯＤＰは相似なので、

ＯＤ＝８×３/４＝６ｃｍ

△ＯＤＳと△ＴＡＳも相似なので、

ＯＤ：ＴＡ＝６：（１４．４－３）＝６：１１．４＝１０：１９より、

ＤＳ：ＳＡ＝１０：１９

上から見ると、△緑どうしも相似になるので、

ＤＰ：ＦＱ＝８：１６＝１：２より、

ＤＳ：ＢＵ＝１０：２０

２０×（⑩＋⑲）－（８×⑩÷２＋１６×⑳÷２）＝２６６

５８０まる－２００まる＝２６６

３８０まる＝２６６

①＝０．７

ＡＤ＝２９まる＝０．７×２９＝２０．３ｃｍ

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2018年12月 4日 (火)

長さ比、面積比は？（今年　２０１８年　吉祥女子中学）

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図の四角柱は、底面が１辺５ｃｍのひし形で、高さは５ｃｍです。

点Ｍは辺ＣＧを二等分する点、

点Ｐは三角形ＡＦＨと直線ＣＥの交わる点、

点Ｑは三角形ＡＦＨと直線ＭＥの交わる点、

点Ｒは３点Ａ、Ｐ、Ｑを通る直線と直線ＦＨの交わる点です。

ＦＨの長さが６ｃｍで、ひし形ＡＢＣＤの面積が２４㎠のとき、

後の問いに答えなさい。

（１）ＡＣの長さは何ｃｍですか。

（２）　ＦＲ：ＲＨをもっとも簡単な整数の比で答えなさい。

（３）　ＡＰ：ＰＲをもっとも簡単な整数の比で答えなさい。

（４）　ＡＱ：ＱＲをもっとも簡単な整数の比で答えなさい。

（５）　ＡＰ：ＰＱ：ＱＲをもっとも簡単な整数の比で答えなさい。

（６）三角形ＥＰＱの面積は何㎠ですか。

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解法のヒント

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解法例

（１）ひし形の面積は、対角線×対角線÷２なので、

ＡＣ×６÷２＝２４　より、

ＡＣ＝２４×２÷６＝８ｃｍ

（２）ＰもＱも図のように対角線ＡＣを含む

平面ＡＥＧＣ上にあるので、Ｒも同一平面上にあります。

Ｒは対角線ＦＨの中点になり、

ＦＲ：ＲＨ＝１：１

（３）ＢＦとＤＨが重なる方向から見ると、

△ＡＥＰと△ＳＲＰは相似で相似比は２：１なので、

ＡＰ：ＰＲ＝２：１

（４）ＴはＳＲの中点なので、

△ＡＥＱと△ＴＲＱは相似で相似比は４：１

ＡＱ：ＱＲ＝４：１

（５）ＡＰ：ＰＲとＡＱ：ＱＲの比の合計をそろえると、

ＡＰ：ＰＲ＝２：１＝１０：５

ＡＱ：ＱＲ＝４：１＝１２：３　より、

ＰＱ＝５－３＝２

ＡＰ：ＰＱ：ＱＲ＝１０：２：３

（６）

△ＥＡＰと△ＥＰＱと△ＥＱＲの面積比は１０：２：３

△ＥＡＲの面積＝５×（８÷２）÷２＝１０㎠　より、

△ＥＰＱの面積＝１０×２/１５＝４/３㎠

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2018年11月17日 (土)

底面が動く水槽問題（今年　２０１８年　慶應義塾湘南藤沢中等部）

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底面を水平のまま動かせる水そうがあります。

図のように最初の底面の位置は深さ６０ｃｍのＡのところにあります。

ここに水を一定の量ずつ入れ始めると同時に

毎分２ｃｍの速さで底面を上げていったところ、

３分後の水面の高さはＡから８ｃｍになりました。

（１）　水は毎分何しℓずつ入りますか。

（２）　水そうがいっぱいになるのは、水を入れ始めてから何分後ですか。

（３）　水を入れ始めてから口分後に、底面の上がる速さを１/３にして、

　　水を入れる量を２倍にしたところ、

　　水を入れ始めてから２４分後に水そうがいっぱいになりました。

　　口に入る数を求めなさい。

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解法のヒント

底面は毎分２ｃｍで上がりますから、

３分では、２×３＝６ｃｍ上がります。

水は底面が動いても動かなくても、

底面上の水面の高さは毎分一定の量で増えていきます。

３分後水面の高さはＡから８ｃｍの高さになったので、

底面から水面までは、８－６＝２ｃｍ

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解法例

（１）

４０×２５×２＝２０００立方ｃｍ＝２ℓ

１分間に、２÷３＝２/３ℓ

（２）

水は１分間に底面から、

２/３ℓ÷（４０ｃｍ×２５ｃｍ）＝２/３ｃｍ上昇します。

△分で６０ｃｍになるとすると、

２×△＋２/３×△＝６０

８/３×△＝６０

△＝２２．５分

（３）

□分間は、水面は１分間に

２＋２/３＝８/３ｃｍ上がります。

□分後～２４分の間は、

２×１/３＋２×２/３＝２/３＋４/３＝６/３ｃｍ上がります。

下のようにの面積図にしてみると、

１分間に８/３ｃｍのままなら２４分間で６４ｃｍなので、

白い部分の面積は４ということになり、

ＰＱ＝８/３－６/３＝２/３　より、

ＱＲの長さは、

４÷２/３＝６となるので、

□＝２４－６＝１８分です。

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