目次

立体図形

2017年10月20日 (金)

この直方体の体積は?(國學院大學久我山中学 2016年)

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下の図のような直方体があります。

「あ」、「い」、「う」の各面を底面としたとき、

それぞれの側面積は38㎠、25㎠、23㎠です。

この直方体の体積は何立方cmですか。

10201

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10202

「あ」の面の辺の長さを図のようにA、Bとすると、

6×(2×A+2×B)=38・・・・・①

2×A×B+2×6×B=25・・・・・②

2×A×B+2×6×A=23・・・・・③

②-③

12×B-12×A=2

B-A=1/6・・・・・④

①より

A+B=19/6・・・・・⑤

④+⑤

2×B=20/6

B=20/12=5/3

A=3/2

A×B=3/2×5/3=5/2

直方体の体積=5/2×6=15立方cm

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2017年10月19日 (木)

表面積の差は?(2017年 岡山学芸館清秀中学)

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下の図1の立体は、1辺が2cmの立方体を27個組み合わせたものです。

図1

Bandicam_20171019_082417258

図2の立体は、図1の立体のいちばん下の段と真ん中の段から、

中央の列の立方体を3個ずつ、合わせて6個を取りのぞいたものです。

図2

Bandicam_20171019_082556532

また、図3の立体は、図1の立体から各面の真ん中にある立方体を1個ずつ、

合わせて6個を取りのぞいたものです。

図3

Bandicam_20171019_082852945

ただし、取りのぞいた後に残った立方体が、

下に落ち ることはないものとします。

図2の立体と図3の立体を比べたとき、

表面の面積の合計(表面積)はどちらの立体が何㎠大きいですか。

ただし、立体の下側の面もふくみます。

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図2

上面→4×9=36㎠

下面→くぼんだ面も含めて、4×9=36㎠

左面→4×9=36㎠

右面→4×9=36㎠

前面→4×7=28㎠

後ろ面→4×7=28㎠

隠れた面→4×6×2=48㎠

合計=36×4+28×2+48=248㎠

図3

前後左右上下面→4×9×6=216㎠

凹んだ隠れた面→4×4×6=96㎠

合計=216+96=312㎠

図3-図2=312-248=64㎠

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2017年10月11日 (水)

展開図と体積は?(2017年 広島大学附属中学)

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下の図は、ある四角柱の展開図の一部です。

この四角柱のもうひとつの底面を、側面「う」の下につけて、

展開図を完成させようと思います。

10110

(1)下の四角形①、②のうち、どちらをつければよいですか?

10111

(2)底面の対角線のうち、長いほうが8cm、短いほうが6cmだとすると、

   この四角柱の体積は何立方cmになりますか?

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(1)「あ」を「い」の位置まで回転して移動してみると。

①だとわかります。

10112

(2)底面は1辺が5cmのひし形になるので、

面積は、6×8÷2=24㎠

立体の体積は、

24×12=288立方cm

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2017年9月23日 (土)

上から水面までの長さは何cm?(2017年 鴎友学園女子中学)

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図のような円柱A、B、Cを組み合わせた形の密閉できる容器があります。

Aの底面の半径はBの底面の半径の1/2、

Cの底面の半径はBの底面の半径の1/3です。

A、Cの高さはそれぞれ31cm、18cmです。

いま、図のようにAを上にして縦に置き、

上から水面までの長さが7cmになるように水を入れ、密閉しました。

Cを上にしたと き、上から水面までの長さは何cmになり ますか?

Bandicam_20170923_083920116Bandicam_20170923_083934585

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Aの半径とCの半径の比は、1/2:1/3=3:2

みずの入っていない部分の体積が等しくなるので、

Aの半径を□cmとすると、

(2/3×□)×(2/3×□)×3.14×(求める長さ)=□×□×3.14×7

4/9×求める長さ=7

求める長さ=15.75cm

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2017年9月13日 (水)

3色の糸で囲まれている部分の面積は?(2017年 洛星中学)

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図の円柱に、青色の糸をAからDまで側面を半周し

長さが最も短くなるように巻きつけます。

次に、黄色の糸をDからAまで側面を半周し

長さが最も短くなるように巻きつけます。

さらに赤色の糸をAからCまで側面を1周し

長さが最も短くなるように巻きつけます。

このとき、側面のうち3色の糸で囲まれている部分の面積は何㎠ですか?


9131

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最短距離でひもを結ぶと、円柱の展開図では

図のように直線になります。

9132

白い三角形が求める面積です。

△DAAは長方形の半分で、

△ピンクと△水色は相似で、相似比は1:2なので、

△水色の高さは、6×2/3=4cm

したがって、△DAEの面積は、

6×5×2×3.14÷2-5×2×3.14×4÷2

=10×3.14×(3-2)

=31.4㎠

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2017年9月 9日 (土)

OP=PRの長さは何cm?(2017年 灘中学 1日目)

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下の図のような、

辺の長さがすべて10cmの四角すいO-ABCDがあります。

辺 OA、OB、OC上に点 P、Q、R を

(OPの長さ)=(ORの長さ)=( ? )cm

(OQの長さ)=6cm

となるようにとると、

3点P、Q、Rを通る平面上に点Dがあります。

OPとORの長さは何cmですか?

Bandicam_20170909_084145452

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P,Q、R、Dを通る平面は下図のようになります。

Bandicam20170909

AとCの方向から見ると、図のようになります。

9091

Qから底面に垂線を下し、交わる点をHとすると、

△DQHと△DPAは相似になり、

DH:DC=8:5

四角錐の高さを5とすると、QH=2となるので、

PとRの底面からの高さは、

2×5/8=1.25

OA=10cm なので、

OP=OR=10-10×1.25/5=7.5cm

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2017年8月24日 (木)

正しいさいころはどれ?(2017年 東京女学館中学)

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次の(ア)と(イ)のきまりにしたがって、オリジナルのさいころを作ります。

下の図の①~⑤の展開図の中で、

このさいころとして正しいものをすべて選んでください。

(ア) ◎の面は2つあり、それらは向かい合っている。

(イ) ○と☆の面は隣り合わない。


8241

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黄色の◎は隣り合ってしまいます。

緑の〇と☆も隣り合ってしまいます。

8242

したがって、正しいさいころは①と④です。

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2017年7月20日 (木)

体積と表面積は?(今年 2017年 頌栄女子学院中学)

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1辺が1cmの小さな立方体が64個集まってできた立方体があります。

この立方体の3つの面の一部に図のように色をぬりました。

色をぬられた面をもつ小さな立方体を取り除いてできる立体の

体積と表面積を求めなさい。

Bandicam_20170720_074249815

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色部分の立方体を取り除くと、

下のような立体が残ります。

Bandicam_20170720_074337030

体積は、3×3×3の立方体と、

2×2×1の直方体が3つなので、

27+12=39㎤

表面積は、

上下左右前後から見てすべて下図のように見えるので、

Bandicam_20170720_074449611

13×6=78㎠

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2017年7月 2日 (日)

使った立方体は何個?(今年 2017年 須磨学園中学)

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1辺の長さが1cmの立方体27個を積み重ねて、

下の図のように大きな立方体を作り、その表面に色をぬります。

このとき27個の立方体は、どの面も色がぬ られていないもの、

1面だけが色がぬられているもの、2面に色がぬられているもの、

3面に色がぬられているものに分かれます。

これらをそれぞれ0立方体、1立方体、2立方体、3立方体と呼ぶことにします。

Bandicam_20170702_082144587

(1)0立方体、1立方体、2立方体、3立方体はそれぞれ何個ありますか?

(2)次に1辺の長さが1cmの立方体64個を使って大きな立方体を作りました。

 0立方体、1立方体、2立方体、3立方体はそれぞれ何個ありますか?

(3)1辺の長さが1cmの立方体を何個か使って大きな立方体を作りました。

 次の (ア)、(イ) が成り立っていました。

 (ア) 0立方体の個数と1立方体の個数が等しい

 (イ) 2立方体の個数の3倍と1立方体の個数が等しい

 大きな立方体を作るのに使った1cmの立方体は何個ですか?

 ただし、8個より多い個数とします。

(4)1辺の長さが1cmの立方体を何個か使って大きな立方体を作りました。

 2立方体の4倍の個数と1立方体の個数が等しいとき、

 大きな立方体を作るのに使った1cmの立方体は何個ですか?

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(1)図のように、

0立方体は、中心に1個、1立方体は各面に1個ずつで、6個

2立方体は、各辺に1個ずつで、12個、

3立方体は各頂点にあり、8個 です。

Bandicam_20170702_082746198

(2)64=4×4×4 なので、1辺に4個の立方体があります。

0立方体は中心に、2×2×2=8個

1立方体は各面に2×2=4個なので、4×6=24個

2立方体は各辺に2個なので、2×12=24個

3立方体は変わらすに8個のままです。

(3)辺にある立方体の数をNとすると、

0立方体は、(N-2)×(N-2)×(N-2)

1立方体は、(N-2)×(N-2)×6

2立方体は、(N-2)×12

3立方体は、8個のまま変わりません。

(ア)(N-2)×(N-2)×(N-2)=(N-2)×(N-2)×6

N-2=6

N=8

(イ)(N-2)×(N-2)×6=(N-2)×12×3

(N-2)×(N-2)×6=(N-2)×36

(N-2)×(N-2)=(N-2)×6

N-2=6

N=8

8×8×8=512個

(4)

(N-2)×(N-2)×6=(N-2)×12×4

(N-2)×(N-2)=(N-2)×8

N-2=8

N=10

10×10×10=1000個

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2017年6月25日 (日)

水の高さは何cmになる?(今年 2017年 東京都市大学付属中学)

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下の図1 について、

平行四辺形ABCDの頂点BとDを通る直線は、辺ADに垂直です。

この直線を軸として1回転させて作った立体の体積と同じ体積の水を、

図2の円柱の 容器に入れると、

水の高さは何cmになりますか。ただし、円周率は3.14とします。

図1

6251

図2

6252


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Bandicam_20170625_093049903

半径6cm、高さ10cmの円錐から、

半径3cm、高さ5cmの円錐を引いた円錐台を

2つ重ねた立体になります。

(6×6×3.14×10×1/3-3×3×3.14×5×1/3)×2

=(120×3.14-15×3.14)×2

=105×3.14×2

=210×3.14

210×3.14÷5×5×3.14

=8.4cm

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