目次

立体図形

2017年4月16日 (日)

何通りの立体ができる?(今年、2017年 駒場東邦中学)

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同じ大きさの立方体の面どうしをはり合わせてできる立体を考えます。

例えば、2個の立方体を使うと1通り、

3個の立方体を使うと2通りの立体が考えられます。

では、4個の立方体を使うと何通りの立体が考えられますか。

Bandicam_20170203_102959330

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Bandicam_20170203_101751425

Bandicam_20170203_101818365

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Bandicam_20170203_102621195

Bandicam_20170203_102647468

この8通りです。                  

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2017年3月 5日 (日)

Dを含む方の立体の体積は?(今年 2017年 早稲田中学)

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図は1辺の長さが6cmの立方体です。

この立方体を3つの点A、B、Cを通 る平面で切り分けます。

点Dを含む方の立体の体積は何立方cmですか?

3051

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切口は図のようになります。

Bandicam_20170222_082831068

同じ立方体を2つ並べてみると、

Dを含まない方の立体は、

大きな三角錐から小さな三角錐を切り取った立体になることがわかります。

△黄と△緑は相似で、両方とも直角二等辺三角形。

△赤と△青も相似で、

IH:HF=4:2=2:1 より

FG=3cm になるので、

3052

Dを含まない方の立体の体積は、

6×6÷2×(6+3)÷3-2×2÷2×3÷3=52立方cm

求める体積は、

6×6×6-52=164立方cm

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2017年3月 3日 (金)

空いている面に入る数字は?(今年 2017年 栄光学園中学)

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図1は、あるサイコロを2方向から見た図です。

このサイコロの展開図が図2です。

図2の空いている面に入る数字を、向きも考えて書き入れてください。

なお、サイコロの向かい合う面の数の和は7です。

3031_2



3032


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①のサイコロの各頂点にA~Hまでの記号をつけます。

同様に展開図の各頂点にもA~Hの記号をつけますが、

立方体の一番遠い頂点のペアは、展開図では、

2つ並んだ正方形の対角線で結んだ頂点のペアに対応します。

3033

①の見え方から、1に対して2と3が書き込めます。

①を3の側にたおし、そのまま右に回転させると②になり、

1と2 位置がわかります。

②に対応する頂点にA~Hの記号を書き入れると、

展開図で、それに対応する4~6の位置関係がわかります。

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2017年2月28日 (火)

穴が開いた立方体は何個?(今年 2017年 栄東中学東大クラス選抜)

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27個の小さな立方体を下の図のように積み重ねて、

1個の大きな立方体を作 ります。

15ヶ所の●印をつけたそれぞれの場所から、

反対側の面を突き抜けるまで、面に対して垂直に太い針を通して穴を開けました。

このとき、小さな立方体について、

6つの面すべてに穴が開いた立方体は何個ですか?

2つの面にだけ穴が開いた立方体は何個ですか?

Bandicam_20170228_075009002

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図のように、黄色い立方体は6つの面、

緑色の立方体は2つの面に穴が開いています。

2281

真ん中の立方体は6つの面が開いているので、

6つの面が開いている立方体は、9個

2つの面が開いている立方体は、18個

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2017年2月25日 (土)

表面積の比は?(今年 2017年 城北中学)

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図のような方眼に2つの図形ア、イをかき、

この2つの図形をABを軸にして回転させて2つの立体をつくったとき、

アを回転させた立体とイを回転させた立体の表面積の比は□:□です。

ただし、方眼の1めもりを1cmとします。

Bandicam201

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Bandicam_20170225_080403238

アの上面と下面は、

4×4×3.14なので、16×2×3.14=32×3.14

側面は、4×2×3.14×2=16×3.14

アの表面積の合計=48×3.14

イの上面と中段面を合わせて、

6×6×3.14

下面も同じなので、6×6×3.14×2=72×3.14

側面の上半分は、4×2×3.14×2=16×3.14

側面の下半分は、6×2×3.14×2=24×3.14

イの表面積の合計=112×3.14

ア:イ=48:112=3:7

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2017年2月18日 (土)

面の値はいくつ?(今年 2017年 筑波大学附属駒場中学)

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立方体の各頂点に0または1をおきます。

立方体のそれぞれの面について、

頂点においた4つの数の和を 『面の値』ということにし、

6個の『面の値』の合計を考えます。

例えば、1個の1と7個の0を下図のように頂点においたとき、

2181

『面の値』が1である面が3個、 0である面が3個なので、

6個の『面の値』の合計は3です。

次の問いに答えなさい。

(1) 6個の『面の値』の合計が6になりました。

(ア) 1をおいた頂点は何個ありますか。

(イ)『面の値』が奇数である面は何個ありますか。

   考えられる個数をすべて答えなさい。

(2)6個の『面の値』の合計が12になりました。

   8個の頂点への0と1のおき方は何通りありますか。

   ただし、立方体を動かすと重なるものや、

   鏡にうつすと重なるものは同じおき方とします。

   例えば、下の例1、例2はそれぞれ同じおき方です。

2182

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(1)

(ア)頂点1つの値は3回たされるので、

6=1×3+1×3 より、

1がおかれた頂点は2つです。

(イ)

2185

1の頂点が並んだときは、

面の値が1の面は、図のように2面

1の頂点が対角線のときは、

面の値が1の面は、4面

1の頂点が一番遠いときは、

面の値が1の面は、6面

(2)

2183

図のように、6通り

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2017年1月26日 (木)

直方体の底面の1辺の長さは?(今年、2016年 浦和明の星女子中学)

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図のように、1辺が9cmの立方体から、

底面が正方形の直方体をくり抜き、

立方体の側面に、はみ出さないように貼り付けて、新しい立体を作りました。

新しい立体の表面積は、もとの立方体の表面積より216c㎡増えました。

くり抜いた直方体の底面の1辺の長さを答えなさい。

1261

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くり抜いた直方体の上下の面は、もとの立方体と共通、

直方体の1側面は、立方体の貼り付けられた面と共通、

したがって、新たに増えた面は、

くり抜かれた穴部分の4面と、直方体の2側面の、

合計6面です。

底面の1辺を□cmとすると、

□×9×6=216 なので、

□=216÷54=4cm

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2017年1月18日 (水)

AP、AQの長さは?(今年、2017年 甲陽学院中学)

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図1は1辺が1cmの立方体ABCD-EFGHと

それと同じ大きさの立方体4つの計5つでできています。

図1において、それぞれの黒丸印の3点を通る平面で

立方体ABCD-EFGHを切断するとき、

その平面は辺AB上の点P辺AD上の点Qを通ります。

このとき、AP、AQの長さはそれぞれ何cmになりますか?

Bandicam_20170118_094740178

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1181

図のように、Pは ABの真ん中を通るので、

AP=1/2cm

図のように3点を通る平面は、EHの真ん中を通るので、

1182

〇印の点と上の黒丸を結ぶと、 この線は

AD上で 、ADの中点とDの真ん中を通ります。

1183

したがって、AQ=3/4cm

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2017年1月14日 (土)

何種類の立体ができる?(渋谷教育学園幕張中学 2015年 )

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同じ大きさの立方体をいくつか使って、立方体の面どうしをはり合わせることで新
しい立体をつくります。

立方体の面どうしをはり合わせるときは、どこもずれずにぴったり重なるようにします。

このようにしてできる立体のうち、回転したりひっくり返したりして同じ形になる立体は同じ種類の立体とします。

例えば、3個の立方体を使ってできる新しい立体は、下の図のような2種類です。

では4個の立方体を使うと何種類の立体ができますか?

P2270

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図のように8種類です。

O227

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2016年12月26日 (月)

何個の立方体が必要ですか?(筑波大附属中 2011年)

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次の例は、同じ大きさの立方体を積み重ねて作った

ある立体を正面から見た図、

真上から見た図,

真横から見た図で表したものです。

これを参考に下の問いに答えなさい。

1_2 

(1)次の図のように立方体を最も多く積み重ねるとき、

     何個の立方体が必要ですか。

2

(2)次の図のように立方体を積み重ねるとき、

     最小何個の立方体が必要ですか。

3

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Bandicam_20161226_070132831

Bandicam_20161226_070144846

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