目次

立体図形

2017年7月20日 (木)

体積と表面積は?(今年 2017年 頌栄女子学院中学)

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1辺が1cmの小さな立方体が64個集まってできた立方体があります。

この立方体の3つの面の一部に図のように色をぬりました。

色をぬられた面をもつ小さな立方体を取り除いてできる立体の

体積と表面積を求めなさい。

Bandicam_20170720_074249815

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色部分の立方体を取り除くと、

下のような立体が残ります。

Bandicam_20170720_074337030

体積は、3×3×3の立方体と、

2×2×1の直方体が3つなので、

27+12=39㎤

表面積は、

上下左右前後から見てすべて下図のように見えるので、

Bandicam_20170720_074449611

13×6=78㎠

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2017年7月 2日 (日)

使った立方体は何個?(今年 2017年 須磨学園中学)

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1辺の長さが1cmの立方体27個を積み重ねて、

下の図のように大きな立方体を作り、その表面に色をぬります。

このとき27個の立方体は、どの面も色がぬ られていないもの、

1面だけが色がぬられているもの、2面に色がぬられているもの、

3面に色がぬられているものに分かれます。

これらをそれぞれ0立方体、1立方体、2立方体、3立方体と呼ぶことにします。

Bandicam_20170702_082144587

(1)0立方体、1立方体、2立方体、3立方体はそれぞれ何個ありますか?

(2)次に1辺の長さが1cmの立方体64個を使って大きな立方体を作りました。

 0立方体、1立方体、2立方体、3立方体はそれぞれ何個ありますか?

(3)1辺の長さが1cmの立方体を何個か使って大きな立方体を作りました。

 次の (ア)、(イ) が成り立っていました。

 (ア) 0立方体の個数と1立方体の個数が等しい

 (イ) 2立方体の個数の3倍と1立方体の個数が等しい

 大きな立方体を作るのに使った1cmの立方体は何個ですか?

 ただし、8個より多い個数とします。

(4)1辺の長さが1cmの立方体を何個か使って大きな立方体を作りました。

 2立方体の4倍の個数と1立方体の個数が等しいとき、

 大きな立方体を作るのに使った1cmの立方体は何個ですか?

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(1)図のように、

0立方体は、中心に1個、1立方体は各面に1個ずつで、6個

2立方体は、各辺に1個ずつで、12個、

3立方体は各頂点にあり、8個 です。

Bandicam_20170702_082746198

(2)64=4×4×4 なので、1辺に4個の立方体があります。

0立方体は中心に、2×2×2=8個

1立方体は各面に2×2=4個なので、4×6=24個

2立方体は各辺に2個なので、2×12=24個

3立方体は変わらすに8個のままです。

(3)辺にある立方体の数をNとすると、

0立方体は、(N-2)×(N-2)×(N-2)

1立方体は、(N-2)×(N-2)×6

2立方体は、(N-2)×12

3立方体は、8個のまま変わりません。

(ア)(N-2)×(N-2)×(N-2)=(N-2)×(N-2)×6

N-2=6

N=8

(イ)(N-2)×(N-2)×6=(N-2)×12×3

(N-2)×(N-2)×6=(N-2)×36

(N-2)×(N-2)=(N-2)×6

N-2=6

N=8

8×8×8=512個

(4)

(N-2)×(N-2)×6=(N-2)×12×4

(N-2)×(N-2)=(N-2)×8

N-2=8

N=10

10×10×10=1000個

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2017年6月25日 (日)

水の高さは何cmになる?(今年 2017年 東京都市大学付属中学)

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下の図1 について、

平行四辺形ABCDの頂点BとDを通る直線は、辺ADに垂直です。

この直線を軸として1回転させて作った立体の体積と同じ体積の水を、

図2の円柱の 容器に入れると、

水の高さは何cmになりますか。ただし、円周率は3.14とします。

図1

6251

図2

6252


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Bandicam_20170625_093049903

半径6cm、高さ10cmの円錐から、

半径3cm、高さ5cmの円錐を引いた円錐台を

2つ重ねた立体になります。

(6×6×3.14×10×1/3-3×3×3.14×5×1/3)×2

=(120×3.14-15×3.14)×2

=105×3.14×2

=210×3.14

210×3.14÷5×5×3.14

=8.4cm

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2017年6月18日 (日)

残っている水の量は?(今年 2017年 横浜共立学園中学)

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下の図のような直方体の形をした容器が水平な机の上にのっています。

この容器を水でいっばいにしてから辺ABを机の上につけたまま、

矢印の方向に静か に45°傾けます。

(1)容器に残っている水の量は何ですか?

(2)さらに容器を傾けると32㎤の水がこぼれました。

  このとき、辺CDで水にふれている部分の長さは何cmですか?

6181

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6182

(1)傾けた角度が45°なので、

水面から上の三角形は直角二等辺三角形になります。

したがって、残っている水の量は、

8×8×14-8×8÷2×8

=8×8×(14-4)

=640㎤

(2)水が残っている部分は台形で、

長い方の辺は14cmのままです。

640-32=608㎤の水が残っているので、

台形の面積は、608÷8=76㎠

CDの水に触れている部分の長さは、

76×2÷8-14=5cm

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2017年6月17日 (土)

切り口の形は?(今年 2017年 東京農業大学第一高等学校中等部)

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図のような正四面体を、3点A、B、Cを 通る平面で切断します。

このとき、切断面の切り 口として正しいものを、

下の(ア)〜(オ)から1つ選び、記号で答えなさい。

3171
Bandicam20170617070701099

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Bandicam_20170617_070943328

(ア)

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2017年6月 1日 (木)

塗られている立方体の数は?(今年 2017年 普連土学園中学)

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下図のように1辺1cmの立方体を床にすきまなく積み上げ、

外側全て に色を塗りました。

ただし、床に触れている部分は塗られていません。

Bandicam_20170601_080114628

 

このとき、

(1)色が塗られている部分の面積は何㎠ですか?

(2)次の立方体の個数はそれぞれいくつですか?

(ア)塗られている面が4つある立方体

(イ)塗られている面が3つある立方体

(ウ)塗られている面が2つある立方体

(エ)塗られている面が1つある立方体

(オ)塗られている面が1つもない立方体

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(1)図のように前後、左右、上から見ると、

3×3=9㎠なので、

Bandicam_20170601_080229089

合計、9×5=45㎠ になります。

(2)図のように、4面が赤、3面が緑、2面が青、1面が黄、

色が塗られていない立方体が白とすると、

Bandicam_20170601_082812885

Bandicam_20170601_082847541

Bandicam_20170601_083611894

4面が2個、3面が7個、2面が6個、1面が4個

0面が中央下の1個

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2017年5月28日 (日)

切られる立方体はいくつ?(今年 2017年 筑波大学附属中学)

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同じ大きさの立方体を、

図のように64個積み重ねて大きな立方体をつくり、

その立方体を3つの頂点A、B、Cを通る平面で切ります。

その平面で切られる立方体の個数はいくつですか。


5281

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一番上の段の途中では、

図のように7個の立方体が切断されることがわかります。

Bandicam_20170528_093945823

2段目では5個

Bandicam_20170528_094009324

3段目では3個

Bandicam_20170528_094022416

一番下の段では、1個

Bandicam_20170528_094035434

合計、7+5+3+1=16個 です。

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2017年5月25日 (木)

立方体を何個使っていますか?(今年 2017年 鎌倉学園中学)

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同じ大きさの立方体をいくつか積み上げて立体を作りました。

その立体の

(A) 真正面から見た図

(B) 真上から見た図

(C)真横から見た図 を見て、

何個の立方体からできているか答えなさい。

ただし、使う立方体の個数は最も少ない個数を考えます。

例→  5個

5251


5252

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(1)

Bandicam_20170525_091600006

9個

(2)

Bandicam_20170525_091311096

15個

(3)

Bandicam_20170525_090951086

23個

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2017年5月 9日 (火)

切り口の形は?(今年 2017年 高槻中学)

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図のような正六角形を底面とする六角柱があります。

この六角柱の頂点12点のうちAを含む4点を選び、

その4点を通る平面でこの六角柱の体積が半分になるように切断します。

Bandicam_20170509_073220350_2

(1)切り口が四角形となるようなA以外の3頂点の組をすべて答えなさい。

(2)四角形とならないときの切り口は何角形になりますか。

  また、そのときのA以外の3頂点の組をすべて答えなさい。

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(1)

Bandicam_20170509_073554518

EHJとCJL

Bandicam_20170509_073654702

DGJ

(2)

Bandicam_20170509_073448142

六角形になるのは、FIJとBJK

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2017年5月 2日 (火)

頂点Pを含む立体の体積は?(今年 2017年  渋谷教育学園幕張中学)

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図のような1辺の長さが8cmの立方体があり、

上の面の正方形の各辺の真ん中の点をそれぞれ点A、B、C、 D、

下の面の正方形の各辺の真ん中の点をそれぞれ点E、F、G、Hとします。

この立方体を、4つの点A D F Gを通る平面と、

4つの点B C E Hを通る平面とで同時に切ったとき、

頂点Pを含む立体の体積は何㎤ですか。

ただし、角すいの体積は、(底面積) × (高さ)+3で求められるものとします。

5021

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2つの平面で切り取られる立体は図のようになります。

5022

5023

緑部分は三角錐になるので、

大きい三角錐から上の三角錐を引いた立体2つ分を、

立方体の上半分から引くと、求める体積になります。

8×8×4-(8×8×1/2×8×1/3-4×4×1/2×4×1/3)×2

=256-(256/3-32/3)×2

=320/3

=106と2/3㎤

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