目次

立体図形

2018年11月14日 (水)

切られる立方体はいくつ?(筑波大学附属中学 2017年)

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同じ大きさの立方体を、

図のように64個積み重ねて大きな立方体をつくり、

その立方体を3つの頂点A、B、Cを通る平面で切ります。

その平面で切られる立方体の個数はいくつですか。


5281

Paper
 

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解法のヒント

一番上の段の途中では、

図のように7個の立方体が切断されることがわかります。

Bandicam_20170528_093945823

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解法例

2段目では5個

Bandicam_20170528_094009324

3段目では3個

Bandicam_20170528_094022416

一番下の段では、1個

Bandicam_20170528_094035434

合計、7+5+3+1=16個 です。

6082

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682

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2018年11月 8日 (木)

点Dを含む立体の体積は?(今年 2018年 芝中学)

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1辺が3cmの立方体を下の図の様に

辺を3等分した点A、Bと頂 点Cを結んで切ります。

DEの長さは何cmですか。

また、点Dを含む立体の体積は何立方cmですか。

11081_2

解法のヒントと解法例は下にスクロールしてください!

51

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解法のヒント

切り口は図のようになります。

11082

EAとBCは平行になります。

11083

△AEFと△BCGは相似になり、

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解法例

CG:GB=3:2=EF:FA

EF=1×3/2=1.5cm

DE=1.5cm

11083

Dを含む立体は図のように、

底辺がAPQDE、頂点がCの五角すいと、

底辺がBRQDS、頂点がCの五角すいと、

底辺がEDS、頂点がCの三角すいでできています。

11084

高さはいずれも3cmなので、

(3×3-1×1.5÷2)×3÷3×2+

1.5×1.5÷2×3÷3

=8.25×2+1.125

=17.625立方cm

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682

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2018年10月30日 (火)

立方体の切り口は?(今年 2018年 本郷中学)

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図のような1辺の長さが3cmの立方体があります。

点Iは辺GH上、点JはDH上にあり、 GI=DJ=1cmです。

10301

この立方体を、3点A、F、Jを通る平面で切ったとき、

点Eを含む立体 をKとします。

このとき、次の問いに答えなさい。

(1)立体Kの表面のうち、

  もとの立方体の表面に 含まれる部分の面積は何㎠ですか。

(2)この立方体の展開図は下図のようになります 。

10304

  (1)で求めた部分を色部分で表します。

   残りの部分に色をつけてください。

(3)立体Kの体積は何立方cmですか。

Paper

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解法のヒント

立方体の切り口は図のようになります。

10302

6083

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解法例

10302_2

(1)

左面→3×3÷2=4.5㎠

右面→2×2÷2=2㎠

奥の面→9-1×3÷2=7.5㎠

下面→9-1×3÷2=7.5㎠

求める面積=7.5×2+4.5+2=21.5㎠

(2)

立方体の一番離れている頂点どうしは、

展開図では2つ並んだ正方形の対角線の位置に来ます。

したがって、各頂点は下の図のようになります。

10305

切り口を線で結ぶと、(1)の面積は図のようになります。

10306

(3)

AJとFIとEHを延長すると1点で交わります。

10303

大きな三角すいから立方体からはみ出た三角すいを引きます。

3×3÷2×9÷3-2×2÷2×6÷3

13.5-4

=9.5立方cm

6082

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682

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2018年10月23日 (火)

円の面積は?(今年 2018年 お茶の水女子大学附属中学)

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1辺の長さが2cmの正三角形4枚を使って、

図のような立 体 ABCD を作りました。

10231

 

机の上で、図の立体を下の手順で順番にたおし、

机に接したすべての面が入る最も小さい円を1つかいたとき、

この円の面積は何㎠ですか。ただし, 円周率は3.14 とします。

手順

①図のように、BCDの面が下になるように机の上に立体を置く。

②辺BDを動かさないようにして、頂点Aが机につくようにたおす。

③辺ABを動かさないようにして、頂点Cが机につくようにたおす。

④辺BCを動かさないようにして、頂点Dが机につくようにたおす。

Paper

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解法のヒント

机に接した面は図のようになります。

10232

141

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解法例

正六角形の一部なので、

円はBを中心にした半径2cmの円になります。

10233

2×2×3.14=12.56㎠

41
 

 

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682

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2018年10月16日 (火)

立体アの体積の何倍?(今年 2018年 東大寺学園中学)

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立体アは各面の対角線(例えば AB)の長さが2cmの立方体、

立体イは4つの面がすべて1辺の長さが2cmの正三角形である三角 すい、

立体ウは底面が1辺の長さが2cmの正方形で、

4つの側面がすべて1辺の長さが2cm の正三角形である四角すいです。

立体イの体積、立体ウの体積は、立体アの体積のそれぞれ何倍ですか。

10161

Bandicam_20181016_173401851

Bandicam_20181016_173449880

Paper

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解法のヒント

立方体から赤い4つの部分を切り取ると・・・

Bandicam_20181016_121225255

残るのはイの正四面体です。

このイの正四面体を図のように2段に積んでみると・・・

Bandicam_20181016_115833166

Bandicam_20181016_115843727

Bandicam_20181016_115855915

真ん中の空間部分の形は???

141

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解法例

 Bandicam_20181016_172946418

立方体の1辺を1とすると、

赤い部分の1つ分の体積は、

1×1×1/2×1×1/3=1/6

真ん中の立体イの体積は、

1×1×1-1/6×4=1/3

したがって、イはアの1/3倍です。

正四面体1つの体積を1とすると、

Bandicam_20181016_115819228

正四面体の1辺が2倍になった正四面体全体の体積は、

Bandicam_20181016_115855915_2

2×2×2=8倍になるので、

真ん中の空間部分の体積は、

8-1×4=4

真ん中の空間部分の形は・・・

Bandicam_20181016_115901246

正八面体ですね!

Bandicam_20181016_115924112

立体ウはこの半分なので、

体積は、4÷2=2

イの正四面体の2倍の体積なので、

1/3×2=2/3

したがって、ウはアの2/3倍です。

5802

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682

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2018年10月 9日 (火)

立方体は何個?(2015年 湘南学園中学)

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同じ大きさの立方体をすき間なく積み重ねた立体があります。

その立体は前後左右からみると図1のように見え、

真上から見ると図2のように見えます。

Bandicam_20181009_081035250

(1)一番少ない場合、立方体は何個必要ですか。

(2)一番多い場合、立方体は何個ですか。

(3)表面積を比べると、次のうちどれが正しいですか。

①(1)が大きい。

②(2)が大きい。

③(1)と(2)は等しい。

④これだけではわからない。

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(1)図のように、42個です。

Capture_2015_06_13_07_03_02_578

(2)図のように、56個です。

Capture_2015_06_13_06_57_57_234

(3)どの方向から見ても表面は同じ形なので、③表面積は等しくなります。

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682

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2018年7月27日 (金)

すいそうとグラフの関係は?(今年 2018年 本郷中学)

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図1のような直方体を2つ合わせた形の水そうがあります。

この水そうを長 方形の板で底面に垂直に仕切り、

(ア)の部分に高さが10cmの鉄の円柱を置きました。

今、(ア)の部分の真上から一定の割合で水を注ぎ入れます。

水を注ぎ始めてから水そうがいっぱいになるまでの時間と

(ア)の部分の水の深さの関係をグラフで表すと図2のようになります。

このとき、次の問いに答えなさい。

ただし、仕切りの厚さは考えないものとします。

図1

Bandicam_20180727_075146434_2

図2

Bandicam_20180727_075124145

(1)水は毎分何cmの割合で注がれていますか。

(2) 図1のXはいくつですか。

(3)鉄の円柱の底面積は何㎠ですか。

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(1)仕切りを超えて水面が10cm上がるのに

458-358=100分かかったので、

毎分 100×50×10÷100=500㎤

(2)鉄の円柱の上面から、

20-10=10cm水面が上がるのに

98-48=50分かかったので、

(ア)=500×50÷10÷50=(50)cm

(3)鉄の円柱の上面から水面が10cm上がるのに50分

底面積は、500×50÷10=2500㎠

円柱の高さまで水面が上がるのに48分なので、

底面積は、500×48÷10=2400㎠

鉄の円柱の底面積=2500-2400=100㎠

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2018年7月22日 (日)

展開図を完成させましょう!(今年 2018年 雙葉中学)

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図1の立体の4つの面は、すべて合同な正三角形です。

この立体のそれぞれの面に1、2、3、4の数字を書きました。

ある方向から見ると図2、別の方向から見ると図3のようになりました。

図1

Bandicam_20180722_081036134

図2

7221

図3

7222

この立体の展開図を完成させましょう。

また、向きを考えて2、3、4の数字も書きましょう。

7224

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下の図は2つの解答例です。

7223  

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682

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2018年6月26日 (火)

2つ組み合わせてできる立体は?(今年 2018年 お茶の水女子大学附属中学)

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下の図は正方形1つと正三角形2つ、台形2つでできた、

ある立体の展開図です。

Bandicam_20180626_080836764

この立体を2つ組み合わせてできる立体の見取図を

次のアからエの中から一つ選び、その記号を書きなさい。

Bandicam_20180626_080912074

Bandicam_20180626_080923890

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6261

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682

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2018年6月18日 (月)

Aを含む立体の体積は?(今年 2018年 大阪星光学院中学)

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下の図は、1辺が1cmの立方体を4個積み重ねてできた立体です。

3点B、D、Fを通る平面でこの立体を切断するとき、

切断された立体のうち点Aを含む立体の体積は何立方cmですか。

6181

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図のように全体から三角すいを3個引きます。

Bandicam_20180618_104143147

1×1×1×4-(1×1÷2×1÷3)×3

=4-1/2

=3.5立方cm

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682

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