目次

体積

2015年3月13日 (金)

2015年(國學院大學久我山中学)体積の比は?

1辺の長さが1cmの立方休をその1つの面と平行な平面で切り、

2つの直方体A、Bに分けます。

Aの表面積とBの表面積の比が1:2のとき、

Aの体積とBの体積の比をもっとも簡単な整数の比で表すと何対何ですか?
P313

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Aの横幅を□cmとすると、Bの横幅は(1-□)cm です。

Aの表面積は、(□×4+2)c㎡

Bの表面積は、{(1-□)×4+2}=(6-□×4)c㎡

A:B=1:2=(□×4+2):(6-□×4)

6-□×4=□×8+4

□×12=2

□=1/6・・・・Aの横幅

Bの横幅=1-1/6=5/6

AとBの底面積は同じなので、

体積比は、A:B=1/6:5/6=1:5

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2015年3月 8日 (日)

体積と表面積は?(2015年 富士見中学)

1辺が1cmの立方体を図のように積み上げていきます。

P308


5段の立体に積み上げたとき、

(1)体積は何立方cm?

(2)表面積は何c㎡?

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(1)体積はブロック数なので、

1+4+9+16+25=55立方cm

(2)前後、左右は同じ面積で、

1+2+3+4+5=15c㎡

上下は5×5=25c㎡

合計、15×4+25×2=110c㎡

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2015年2月 8日 (日)

2015年、城北埼玉中学の立体図形問題から、表面積と体積は?

図1の直方体を図2から図4のように各面に平行な面で切り、2つの直方体に分けます。

図2の2つの直方体の表面積の和は、図1の直方体の表面積より40c㎡増えます。

また、図3、図4のように切ると、

図1の直方体の表面積よりそれぞれ70c㎡、56c㎡増えます。

図1の直方体の表面積と体積を答えてください。

P208

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図2は面ABCDが2倍になるので、

ABCD=40÷2=20c㎡

図3は面AEFBが2倍になるので、

AEFB=70÷2=35c㎡

図4は面BFGCが2倍になるので、

BFGC=56÷2=28c㎡

図1の表面積=20×2+35×2+28×2=166c㎡

AB=5cm、BF=7cm、BC=4cm となるので、

図1の体積=5×7×4=140立方cm

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2015年1月 4日 (日)

特殊な立体図形の体積は? (過年度 六甲中学)

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図1の立体を展開すると、図2の展開図になります。

この立体の体積を求めなさい。円周率は3.14とします。


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 図3の赤線部分が、68.8cmになります。

外側の円の半径を□、内側の円の半径を○とすると、

赤い部分の長さは、

(□×2×3.14+○×2×3.14)×300/360+3×2=68.8

なので、□+○=12cmとなります。


図4のように、□と○の差は3cm  で、□+○=12cm より、

□=7cm、○=4.5cm  ということがわかります。

 

よって、図1の立体の体積は、

(7.5×7.5-4.5×4.5)×3.14×300/360×3=282.6立法cmです。

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2014年12月12日 (金)

立体図形の切り口は?(駒場東邦中学 2014年)

下の図のような 1辺の長さが 2cm の立方体をいくつかの平面で切って作られる立体について考えます。

     Pic_4022q

この立方体を3点A,C,F を通る平面と、

3点A,C,H を通る平面で切って、面EFGH を含む方を1つ目の立体とします。

2つ目の立体は、この立方体を3点A,C,F を通る平面、3点A,C,Hを通る平面、

3点B,D,E を通る平面と3点B,D,G を通る平面で切って、

面EFGH を含む方の立体とします。

角すいの体積は、底面積×高さ÷3 で求められるものとして、次の問に答えなさい。

 

 

 

(1)1つ目の立体の体積を求めなさい。

 

(2)2つ目の立体の面は、どのような図形がいくつあるか答えなさい。

たとえば、1つ目の立体は展開図が下の図2のようになるので、

 

【正方形1つ、正三角形2つ、直角二等辺三角形4つ】 となります。

   Pic_4023q

(3)1つ目の立体の表面積から、2つ目の立体の表面積を引いた値を求めなさい。

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(1)切り取った2つの三角すいの体積の合計は、

 (2×2÷2×2÷3)×2個=8/3(c㎥)

なので、1つ目の立体の体積は、

 2×2×2-8/3=16/3=5と1/3(c㎥)

です。

 

(2)まず、1つ目の立体をB,D,E を通る平面で切ると、下の図3のようになります。

AC とBDの交点をP,AFとBE の交点をQ,AHとDE の交点をR としています。

   Pic_4024a

次に、さらに 3点B,D,G を通る平面で切ると、下の図4のようになります。

BG とCFの交点をS,CHとDG の交点をT としています。

  Pic_4025a

図4の青い部分は、切り取られて、なくなる部分です。

さらに、2つ目の立体には、切り口PQER,PSGT ができ、下の図5のように、

切り口は正三角形 の各辺のまん中の点を結んだ形になるので、

  Pic_4026a

ひし形となります。

よって、2つ目の立体の面は、

正方形が1つ (面EFGH)

直角二等辺三角形が4つ (EFQ,EHR,FGS,GHT)

ひし形が4つ (FSPQ,HRPT,PQER,PSGT)

で構成されていることになります。

 

(3)図5のひし形PQER の面積は、

三角形BPQ と三角形DPRを合わせた面積と等しくなっています。

もう1つのひし形PSGT も同様になっており、

下の図6の黄色い部分と等しくなっています。

  Pic_4027a

1つ目の立体の表面積と、2つ目の立体の表面積を比べると差し引きで、

図6の青い部分の面積が減っていて、

青い三角形4個の面積の合計は、正方形EFGH と等しく、

 2×2=4c㎡

です。 

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2014年10月14日 (火)

残った立体の体積は?(早稲田中学 2014年)

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点Oを中心とする半径2cmの円を底面とし、高さが6cmの円柱があり、

この円柱を底面に垂直に切ったところ、

図の角アの大きさが90°になりました。

次に、図の長方形の斜線部分をまっすぐにくりぬいて、

向かい側までつき抜けるように穴をあけました。

残った立体の体積は何立方cmですか。ただし、円周率は3.14とします。

1

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真上から見ると、図のように黄色部分が切り取られた部分で、

くりぬいた立体の底面積は緑部分になります。

2

黄色部分の面積は、2×2×3.14÷4-2×2÷2=1.14c㎡

緑部分の面積は、4×4÷2+1.14=9.14c㎡

したがって、求める体積は、

(2×2×3.14-1.14)×6-9.14×2

=68.52-18.28

=50.24立方cm

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2014年8月25日 (月)

長さ比と体積比は?(開成中学 過年度)

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下の図1のような、底面の円の半径が15cmの円錐を、上から12cmの位置で底面と平行な面で切って、小さい円すいと、 円すい台に切り離したところ、小さい円すいの底面の円の半径は 5cmとなりました。このとき、次の問題に答えなさい。  

   Pic_3036q

(1)円すい台の体積は、小さい円すいの何倍になりますか?

(2)小さい円すいに水を満たし、円すい台に19杯注いだとき円すい台に満たされた水の高さは何cmになりますか?

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(1)小さい円すいと元の円すいの相似比が 1 : 3 なので、

    小さい円すいの体積 : 元の円すいの体積

 = 1×1×1 : 3×3×3  = 1 : 27

となります。

相似比 と 体積比 の関係については → こちら を参照

円すい台の体積は、元の円すいから小さい円すいの体積を引いたものなので、

小さい円すいの体積 : 円すい台の体積 = 1 : 27-1 = 1 : 26

とわかります。

よって、円すい台の体積は、小さい円すいの26倍です。

(2)元の円すいの体積は、小さい円すいの体積の27倍なので、

元の円すいには、小さい円すいで27杯の水が入ることになります。

19杯を満たしたとき、下の図2のようになります。

      Pic_3037a_2

上の「8杯」の部分は、8=2×2×2

元の円すい「27杯」は、27=3×3×3 で、

体積比 が 2×2×2 : 3×3×3 なので、

「8杯」の部分と元の円すいは、下の図3のように、

      Pic_3038a

相似比 2 : 3 であることがわかります。

小さい円すいと元の円すいの相似比が 1 : 3 で、

小さい円すいの高さが12cmなので、元の円すいの高さは、

    12×3=36cm ・・・ 図3の③ とわかり、

求める水が満たされた部分の高さは、図3の① の高さで、

    36÷3=12cm

と求められます。

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2014年7月26日 (土)

直方体の個数はいくつ?(神奈川学園中学 2014年)

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縦3cm、横4cm、高さ6cmの直方体をすき間なく組み合わせて、

最も小さな立方体をつくるとき、必要な直方体の個数はいくつでしょうか?

Stnd022s

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立方体の1辺の長さは、小さい順に

6cm、7cm、9cm、10cm、12cm・・・・ が考えられますが、

その体積は、

6cm→216立法cm

7cm→343立法cm

9cm→729立法cm

10cm→1000立法cm

12cm→1728立法cm

このうち、3×4×6=72立方cmで割り切れるのは、6cmと12cmの場合ですが、

6cmの場合216÷72=3個 では立方体になりません。

12cmの場合、1728÷72=24個で、

下の図のように立方体ができます。

Capture_2014_07_26_11_29_55_812

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2014年3月15日 (土)

体積

シンプルな問題って意外と難しい。

頭の中に次々と図形が浮かんでくるようになればいいのですが・・・

Sisu0

高さ10cmの四角すいがあり、各辺の長さはすべて等しいとき、この四角すいの体積を求めなさい。(筑波大学附属駒場中)

ムービー解答はコチラ

静止画解答はコチラ

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正四角すいの体積(中学受験算数問題)

面の回転と体積(巣鴨中学 受験算数問題2009)

切り取られた円柱(SAPIX7月入室、組分けテストより)

四角すいの展開図(灘中学 2006、ラ・サール中学 1994、同志社女子中学 2009、大妻中学 2005 類題)

直方体と水の入った容器(中学受験算数 練習プリントより)

かたむけた容器と水(四谷大塚 第2回合不合判定テストより)

平行四辺形の垂線(早稲田中学 受験算数問題 2007年)

切断した立体の体積 (栄光学園中学 受験算数問題 2007年)

三角柱の組み合わせ(Sunday Sapixより)

箱の組み立て(東京学芸大学附属世田谷中学 入試算数問題 2003

投影図(聖光学院中学 受験算数問題 2003年

投影図からの体積(栄光学園中学 入試算数問題 2009年)

立方体の回転(開智中学 算数入試問題 2010年)

立体の表面積と体積(中学受験 算数入試問題)

容器と水の高さ(湘南白百合学園中学 算数入試問題 2002年)

水そうに棒を入れる(中学受験 算数問題)

同じ立体を重ねる(中学受験 立体図形問題)

重なった三角柱(中学受験算数 立体図形)

箱の容積は?(中学受験算数 高さが問だい)

表面積と体積は?(中学受験算数 頭の中で回してみた問)

回転体の体積は?(中学受験算数 深さを間違えた問)

深さを同じに(中学受験算数 立体図形)

大きいほうの体積は?(早稲田中学 2009年算数問題)

水深の変化(中学受験算数 立体図形)

三角すいを切り取っていく(中学受験算数 立体図形)

基本的な体積問題(中村中学 2010年)

高度な3次元イメージ(灘中学2日目 2011年)

残った水の体積は?(同志社中学 2010年)

投影図から計算する体積(栄光学園中学 2009年)

くり抜かれた立体の体積(鴎友学園女子中学 2010年)

水の高さは?(立教池袋中学 2010年)

相似比の利用(渋谷教育学園渋谷中学 2010年)

水そうと水の深さ(広島学院中学 2010年)

立体の体積と表面積(サレジオ学院中学 2010年)

立体の想像力(早稲田中学 2011年)

展開図から体積を求める(ラ・サール中学 2011年)

立方体のくり抜き(慶應義塾普通部 2010年)

容器に入れた液体(女子学院中学 2011年)

今年の麻布中学の第1問(麻布中学 2012年)

今年の女子学院中学の問題(女子学院中学 2012年)

2012年度の開成中学算数問題(開成中学 2012年)

2012年度、桜蔭中学の問題(桜蔭中学 2012年)

表面積比から求める体積(東海中学 2012年)

円柱ではなくても・・・(東京都市大学付属中学 2009年)

体積と面の数(慶應義塾湘南藤沢中等部 2009年)

ビンの容積は?(豊島岡女子学園中学 2009年)

立体のカット(栄東中学校東大クラス選抜 2007年)

立体の切断と体積(慶應義塾湘南藤沢中等部 2008年)

立方体をカットした立体の組み合わせ(学習院中等科 2011年)

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