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１辺の長さが１ｃｍの立方休をその１つの面と平行な平面で切り、
２つの直方体Ａ、Ｂに分けます。
Ａの表面積とＢの表面積の比が１：２のとき、
Ａの体積とＢの体積の比をもっとも簡単な整数の比で表すと何対何ですか？
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Ａの横幅を□ｃｍとすると、Ｂの横幅は（１－□）ｃｍ です。
Ａの表面積は、（□×４＋２）ｃ㎡
Ｂの表面積は、｛（１－□）×４＋２｝＝（６－□×４）ｃ㎡
Ａ：Ｂ＝１：２＝（□×４＋２）：（６－□×４）
６－□×４＝□×８＋４
□×１２＝２
□＝１/６・・・・Ａの横幅
Ｂの横幅＝１－１/６＝５/６
ＡとＢの底面積は同じなので、
体積比は、Ａ：Ｂ＝１/６：５/６＝１：５
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１辺が１ｃｍの立方体を図のように積み上げていきます。
５段の立体に積み上げたとき、
（１）体積は何立方ｃｍ？
（２）表面積は何ｃ㎡？
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（１）体積はブロック数なので、
１＋４＋９＋１６＋２５＝５５立方ｃｍ
（２）前後、左右は同じ面積で、
１＋２＋３＋４＋５＝１５ｃ㎡
上下は５×５＝２５ｃ㎡
合計、１５×４＋２５×２＝１１０ｃ㎡
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図１の直方体を図２から図４のように各面に平行な面で切り、２つの直方体に分けます。
図２の２つの直方体の表面積の和は、図１の直方体の表面積より４０ｃ㎡増えます。
また、図３、図４のように切ると、
図１の直方体の表面積よりそれぞれ７０ｃ㎡、５６ｃ㎡増えます。
図１の直方体の表面積と体積を答えてください。
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図２は面ＡＢＣＤが２倍になるので、
ＡＢＣＤ＝４０÷２＝２０ｃ㎡
図３は面ＡＥＦＢが２倍になるので、
ＡＥＦＢ＝７０÷２＝３５ｃ㎡
図４は面ＢＦＧＣが２倍になるので、
ＢＦＧＣ＝５６÷２＝２８ｃ㎡
図１の表面積＝２０×２＋３５×２＋２８×２＝１６６ｃ㎡
ＡＢ＝５ｃｍ、ＢＦ＝７ｃｍ、ＢＣ＝４ｃｍ となるので、
図１の体積＝５×７×４＝１４０立方ｃｍ
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図１の立体を展開すると、図２の展開図になります。
この立体の体積を求めなさい。円周率は３．１４とします。
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図３の赤線部分が、６８．８ｃｍになります。
外側の円の半径を□、内側の円の半径を○とすると、
赤い部分の長さは、
（□×２×３．１４＋○×２×３．１４）×３００/３６０＋３×２＝６８．８
なので、□＋○＝１２ｃｍとなります。
図４のように、□と○の差は３ｃｍ で、□＋○＝１２ｃｍ より、
□＝７ｃｍ、○＝４．５ｃｍ ということがわかります。
よって、図１の立体の体積は、
（７．５×７．５－４．５×４．５）×３．１４×３００/３６０×３＝２８２．６立法ｃｍです。
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下の図のような １辺の長さが ２ｃｍ の立方体をいくつかの平面で切って作られる立体について考えます。
この立方体を３点Ａ，Ｃ，Ｆ を通る平面と、
３点Ａ，Ｃ，Ｈ を通る平面で切って、面ＥＦＧＨ を含む方を１つ目の立体とします。
２つ目の立体は、この立方体を３点Ａ，Ｃ，Ｆ を通る平面、３点Ａ，Ｃ，Ｈを通る平面、
３点Ｂ，Ｄ，Ｅ を通る平面と３点Ｂ，Ｄ，Ｇ を通る平面で切って、
面ＥＦＧＨ を含む方の立体とします。
角すいの体積は、底面積×高さ÷３ で求められるものとして、次の問に答えなさい。
（１）１つ目の立体の体積を求めなさい。
（２）２つ目の立体の面は、どのような図形がいくつあるか答えなさい。
たとえば、１つ目の立体は展開図が下の図２のようになるので、
【正方形１つ、正三角形２つ、直角二等辺三角形４つ】 となります。
（３）１つ目の立体の表面積から、２つ目の立体の表面積を引いた値を求めなさい。
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（１）切り取った２つの三角すいの体積の合計は、
（２×２÷２×２÷３）×２個＝８/３（ｃ㎥）
なので、１つ目の立体の体積は、
２×２×２－８/３＝１６/３＝５と１/３（ｃ㎥）
です。
（２）まず、１つ目の立体をＢ，Ｄ，Ｅ を通る平面で切ると、下の図３のようになります。
ＡＣ とＢＤの交点をＰ，ＡＦとＢＥ の交点をＱ，ＡＨとＤＥ の交点をＲ としています。
次に、さらに ３点Ｂ，Ｄ，Ｇ を通る平面で切ると、下の図４のようになります。
ＢＧ とＣＦの交点をＳ，ＣＨとＤＧ の交点をＴ としています。
図４の青い部分は、切り取られて、なくなる部分です。
さらに、２つ目の立体には、切り口ＰＱＥＲ，ＰＳＧＴ ができ、下の図５のように、
切り口は正三角形 の各辺のまん中の点を結んだ形になるので、
ひし形となります。
よって、２つ目の立体の面は、
正方形が１つ （面ＥＦＧＨ）
直角二等辺三角形が４つ （ＥＦＱ，ＥＨＲ，ＦＧＳ，ＧＨＴ）
ひし形が４つ （ＦＳＰＱ，ＨＲＰＴ，ＰＱＥＲ，ＰＳＧＴ）
で構成されていることになります。
（３）図５のひし形ＰＱＥＲ の面積は、
三角形ＢＰＱ と三角形ＤＰＲを合わせた面積と等しくなっています。
もう１つのひし形ＰＳＧＴ も同様になっており、
下の図６の黄色い部分と等しくなっています。
１つ目の立体の表面積と、２つ目の立体の表面積を比べると差し引きで、
図６の青い部分の面積が減っていて、
青い三角形４個の面積の合計は、正方形ＥＦＧＨ と等しく、
２×２＝４ｃ㎡
です。
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点Ｏを中心とする半径２ｃｍの円を底面とし、高さが６ｃｍの円柱があり、
この円柱を底面に垂直に切ったところ、
図の角アの大きさが９０°になりました。
次に、図の長方形の斜線部分をまっすぐにくりぬいて、
向かい側までつき抜けるように穴をあけました。
残った立体の体積は何立方cmですか。ただし、円周率は3.14とします。
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真上から見ると、図のように黄色部分が切り取られた部分で、
くりぬいた立体の底面積は緑部分になります。
黄色部分の面積は、２×２×３．１４÷４－２×２÷２＝１．１４ｃ㎡
緑部分の面積は、４×４÷２＋１．１４＝９．１４ｃ㎡
したがって、求める体積は、
（２×２×３．１４－１．１４）×６－９．１４×２
＝６８．５２－１８．２８
＝５０．２４立方ｃｍ
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下の図１のような、底面の円の半径が１５ｃｍの円錐を、上から１２ｃｍの位置で底面と平行な面で切って、小さい円すいと、 円すい台に切り離したところ、小さい円すいの底面の円の半径は ５ｃｍとなりました。このとき、次の問題に答えなさい。
（１）円すい台の体積は、小さい円すいの何倍になりますか？
（２）小さい円すいに水を満たし、円すい台に１９杯注いだとき円すい台に満たされた水の高さは何ｃｍになりますか？
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（１）小さい円すいと元の円すいの相似比が １ ： ３ なので、
小さい円すいの体積 ： 元の円すいの体積
＝ １×１×１ ： ３×３×３ ＝ １ ： ２７
となります。
相似比 と 体積比 の関係については → こちら を参照
円すい台の体積は、元の円すいから小さい円すいの体積を引いたものなので、
小さい円すいの体積 ： 円すい台の体積 ＝ １ ： ２７-１ ＝ １ ： ２６
とわかります。
よって、円すい台の体積は、小さい円すいの２６倍です。
（２）元の円すいの体積は、小さい円すいの体積の２７倍なので、
元の円すいには、小さい円すいで２７杯の水が入ることになります。
１９杯を満たしたとき、下の図２のようになります。
上の「８杯」の部分は、８＝２×２×２
元の円すい「２７杯」は、２７＝３×３×３ で、
体積比 が ２×２×２ ： ３×３×３ なので、
「８杯」の部分と元の円すいは、下の図３のように、
相似比 ２ ： ３ であることがわかります。
小さい円すいと元の円すいの相似比が １ ： ３ で、
小さい円すいの高さが１２ｃｍなので、元の円すいの高さは、
１２×３＝３６ｃｍ ・・・ 図３の③ とわかり、
求める水が満たされた部分の高さは、図３の① の高さで、
３６÷３＝１２ｃｍ
と求められます。
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縦3cm、横4cm、高さ6cmの直方体をすき間なく組み合わせて、
最も小さな立方体をつくるとき、必要な直方体の個数はいくつでしょうか？
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立方体の１辺の長さは、小さい順に
６ｃｍ、７ｃｍ、９ｃｍ、１０ｃｍ、１２ｃｍ・・・・ が考えられますが、
その体積は、
６ｃｍ→２１６立法ｃｍ
７ｃｍ→３４３立法ｃｍ
９ｃｍ→７２９立法ｃｍ
１０ｃｍ→１０００立法ｃｍ
１２ｃｍ→１７２８立法ｃｍ
このうち、３×４×６＝７２立方ｃｍで割り切れるのは、６ｃｍと１２ｃｍの場合ですが、
６ｃｍの場合２１６÷７２＝３個 では立方体になりません。
１２ｃｍの場合、１７２８÷７２＝２４個で、
下の図のように立方体ができます。
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シンプルな問題って意外と難しい。
頭の中に次々と図形が浮かんでくるようになればいいのですが・・・
高さ１０ｃｍの四角すいがあり、各辺の長さはすべて等しいとき、この四角すいの体積を求めなさい。（筑波大学附属駒場中)
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四角すいの展開図（灘中学 2006、ラ・サール中学 1994、同志社女子中学 2009、大妻中学 2005 類題）
切断した立体の体積 （栄光学園中学 受験算数問題 ２００７年）
箱の組み立て（東京学芸大学附属世田谷中学 入試算数問題 2003
つるかめ算 てんびん図 ぬり方 べん図 カード、サイコロ ギャンブル クイズ グラフ ゲーム ニュートン算 パズル パソコン・インターネット ベン図 ペット 中学受験 仕事算 体積 倍数算 入れ方、並べ方、取り出し方 円と扇形 分数 分数計算 分配算 単位換算 周期性 和と差 和差算 回転体 図形 図形の移動 図表 場合の数 売買損益 展開図 差集め算 平均算 平面図形 年齢算 投票算 折り紙 携帯・デジカメ 操作計算 数の性質 数列 方陣算 旅人算 日暦算 日記・コラム・つぶやき 時計算 暗号 書籍・雑誌 条件整理と推理 植木算 比例 水そう 流水算 消去算 点の移動 相似 相当算 立体のくりぬき 立体の切り口 立体図形 算数 算数オリンピック 約数と倍数 線分図 虫食い算 表とグラフ 表面積 見取り図、投影図 規則性 角度 計算 計算の工夫 論理と推理 趣味 通過算 速さ 過不足算 道順 還元算 間違い探し 集合算 面積 面積図 面積比・長さ比 食塩水 魔方陣 Ｎ進法
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