目次

円と扇形

2018年7月11日 (水)

この図形の面 積は?(今年 2018年 早稲田中学)

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図は半円と中心角が90度のおうぎ形を組み合わせた図形です。

この図形の面 積は何㎠ですか。

円周率は3.14とします。

7111

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半円の半径を□cmとすると、

(2×□)×(2×□)=4×4×2 なので、

□×□=8

半円の面積は、

8×3.14÷2=4×3.14

おうぎ形から真ん中の直角二等辺三角形を引くと、

4×4×3.14×1/4-4×4÷2

=4×3.14-8

求める面積は、

4×3.14×2-8

=25.12-8

=17.12㎠

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682

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2018年7月 9日 (月)

おうぎ形の回転(今年 2018年 学習院中等科)

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下の図は半径が6cm、半径にはさまれた角度が42度のおうぎ形を

点Aを中心として回転したものです。

このとき、次の問いに答えなさい。

7091

(1)おうぎ形を何度回転させたか求めなさい。

(2)色をつけた2つの部分アとイの面積の差を求めなさい。

  ただし、円周率を3.14とします。

(3)角ウの大きさを求めなさい。

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7092

(1)AOはAO'に回転したので、

∠AO'P=42°より、

回転した角度=∠OAO'=180-(42+76)=62°

(2)おうぎ形O'ABとおうぎ形AO'Oは△AO'Pが共通なので、

ア-イ=2つのおうぎ形の面積差となり、

6×6×3.14×62/360-6×6×3.14×42/360

=6×6×3.14×(62/360-42/360)

36×3.14×1/18

=2×3.14

=6.28㎠

(3)ACはABに回転したので、AC=AB

△ABCは二等辺三角形になり、∠BAC=62°より、

∠ABC=(180-62)÷2=59°

∠O'BA=(180-42)÷2=69°

∠ウ=180-(59+69)=52°

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682

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2018年7月 1日 (日)

Oが動いた軌跡は?(今年 2018年 春日部共栄中学)

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半径5cmで中心角が90°のおうぎ形OABが

図のように直線XY上にあります。

このおうぎ形が直線上をすべることなく回転して、

再び辺OAが直線XYに重なる まで転がります。


7011


(1)点Oが移動する道のりを図示しなさい。

(2)(1)で図示した道のりの長さを求めなさい。


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7011


(1)最後はイの位置から、Oを中心に90°右に回転するので、

Oは動きません。

したがって、Oの軌跡は図の赤線のようになります。

Bandicam_20180701_090601157_2
(2)AB間はおうぎ形の弧の長さの直線になるので、

軌跡の長さは、弧の3個分、円周の3/4になるので、

5×2×3.14×3/4=23.55cm

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2018年6月28日 (木)

色部分の面積は?(今年 2018年 光塩女子学院中等科)

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下の図は、

正方形と円と直角二等辺三角形を組み合わせて作った図形です。

この図において、色部分の面積を求めなさい。

6281

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水色部分を黄色部分に移動します。

6282

2×8+4×4÷2+

4×4×3.14×1/4+2×2×3.14×1/4

=24+(4+1)×3.14

=24+15.7

=39.7㎠

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682

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2018年5月11日 (金)

周の長さは何cm?(今年 2018年 青山学院中等部)

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図のように、直線上の点Aを中心にして半径3cmの円をかき、

Aの右側で直線と交わった点をBと します。

次にBを中心にして同じ半径の円をかき、

Bの右側で直線と交わった点をCとしてこの作業を繰り返します。

円を20個かいたときにできる図形の周の長さは何cmですか。

Bandicam_20180511_080641889

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Bandicam_20180511_081030714

△PABは正三角形なので、

両側の周囲は、360-60×2=240°

間の周囲は、60×2=120°

20個なので、

240×2+120×18=2640°

2640÷360=7あまり120 より、

3×2×3.14×7+3×2×3.14×120/360

=131.88+6.28

=138.16cm

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682

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2016年12月 8日 (木)

台形と円の面積(城北中学 2010年)

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下の図のように,台形と円が重なっています。

図の①と③の部分の面積の和と②の部分の面積が等しいとき,

アの長さを求めなさい。

Bandicam_20161208_083523143


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Bandicam_20161208_083441321

Bandicam_20161208_083452834

Bandicam_20161208_083458018

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2016年5月28日 (土)

正方形の面積の何倍?(2016年 市川中学)

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5281

この図は、正方形ABCDの中に4つの半円をかいたものです。

斜線部分の面積の合計は正方形ABCDの面積の何倍ですか?

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5282

半円の半径をaとすると、

正方形の面積は、(2×a)×(2×a)=4×a×a

a×a=Aとしてみます。

緑部分は、4×A×1/4=A

半円の面積は、A×3.14×1/2

黄色部分の面積は、

A×3.14×1/2-A=A×(1.57-1)=0.57×A となるので、

黄色部分は緑部分の0.57倍になります。

4倍しても倍率は変わらないので、

斜線部分は正方形の0.57倍です。

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2016年4月 4日 (月)

長さと面積を求める(成蹊中学 2011年)

図1のように、三角形ABCとABを直径とする半円が2点P、Qで交わっています。辺ACのうちAPの部分の長さは6cmです。

(1)BとPを直線で結んだとき、BPの長さは何cmですか?

(2)半円の面積は何c㎡ですか?

(3)斜線部分の面積は何c㎡ですか?

1

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---------------------------------------------------------

こたえ

2

(1)半円の中心をOとすると△AOPは直角二等辺三角形なので、

∠AOP=90゜、∠BOP=90゜

したがって、△OBPも△AOPと合同な直角二等辺三角形になります。

よってBP=6cm

(2)△AOP+△BOPと同じ三角形を赤い点線部分に作ると、正方形になります。

面積は6×6=36c㎡

半円の直径が正方形の対角線になるので、

2×半径×2×半径÷2=36

半径×半径=18

半円の面積=18×3.14÷2=28.26c㎡

(3)QからOBの垂線を下ろしOBとの交点をRとします。

△OBQは二等辺三角形で頂角は30゜です。

△ORQは30゜、60゜、90゜の直角三角形なので、

QRは1/2×半径です。

したがって△OBQの面積は

半径×1/2×半径÷2=半径×半径×1/4=18÷4=4.5c㎡

斜線部分=28.26÷6-4.5=0.21c㎡

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2016年3月26日 (土)

斜線部分の面積は?(今年、2016年 栄東中学東大クラス選抜)

円周率を3.14とすると、面積が157c㎡になる円形のメダルが5個あります。

まず、4個のメダルをそれぞれ両隣のメダルに接するように配置します。

する と、隣り合う2個のメダルが接する4つの点をすべて通るように

5個目のメダルを配置することができます。

この作業を行うと、下の図のようになります。

このとき、図の斜線部分の面積は何c㎡ですか。

Bandicam_20160326_074910408

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求める面積は、図のように、(円-赤正方形)×2で求められます。

3261

円の半径を、□とすると、

□×□=157÷3.14=50

正方形の面積は、2×□×2×□÷2=2×□×□=100c㎡

求める面積=(157-100)×2=114c㎡

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2015年11月30日 (月)

色部分の面積は?(2015年 学習院女子中等科)

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下の半円と直線でできている図の、色部分の面積は何c㎡ですか。

円周率は3.14とします。

11301

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Oは小さな半円の中心、O’は大きな半円の中心とします。

求める面積は、

大きな半円から緑部分と、ピンク部分を引いて求めます。

11302

大きな半円の面積=6×6×3.14×1/2=18×3.14

緑部分=6×6×3.14×1/4-6×6×1/2=9×3.14-18

ピンク部分=10×10×1/2×1/2=25

18×3.14-(9×3.14-18)-25=

9×3.14-7=21.26c㎡

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