目次

円と扇形

2016年12月 8日 (木)

台形と円の面積(城北中学 2010年)

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下の図のように,台形と円が重なっています。

図の①と③の部分の面積の和と②の部分の面積が等しいとき,

アの長さを求めなさい。

Bandicam_20161208_083523143


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Bandicam_20161208_083441321

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2016年5月28日 (土)

正方形の面積の何倍?(2016年 市川中学)

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5281

この図は、正方形ABCDの中に4つの半円をかいたものです。

斜線部分の面積の合計は正方形ABCDの面積の何倍ですか?

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5282

半円の半径をaとすると、

正方形の面積は、(2×a)×(2×a)=4×a×a

a×a=Aとしてみます。

緑部分は、4×A×1/4=A

半円の面積は、A×3.14×1/2

黄色部分の面積は、

A×3.14×1/2-A=A×(1.57-1)=0.57×A となるので、

黄色部分は緑部分の0.57倍になります。

4倍しても倍率は変わらないので、

斜線部分は正方形の0.57倍です。

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2016年4月 4日 (月)

長さと面積を求める(成蹊中学 2011年)

図1のように、三角形ABCとABを直径とする半円が2点P、Qで交わっています。辺ACのうちAPの部分の長さは6cmです。

(1)BとPを直線で結んだとき、BPの長さは何cmですか?

(2)半円の面積は何c㎡ですか?

(3)斜線部分の面積は何c㎡ですか?

1

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こたえ

2

(1)半円の中心をOとすると△AOPは直角二等辺三角形なので、

∠AOP=90゜、∠BOP=90゜

したがって、△OBPも△AOPと合同な直角二等辺三角形になります。

よってBP=6cm

(2)△AOP+△BOPと同じ三角形を赤い点線部分に作ると、正方形になります。

面積は6×6=36c㎡

半円の直径が正方形の対角線になるので、

2×半径×2×半径÷2=36

半径×半径=18

半円の面積=18×3.14÷2=28.26c㎡

(3)QからOBの垂線を下ろしOBとの交点をRとします。

△OBQは二等辺三角形で頂角は30゜です。

△ORQは30゜、60゜、90゜の直角三角形なので、

QRは1/2×半径です。

したがって△OBQの面積は

半径×1/2×半径÷2=半径×半径×1/4=18÷4=4.5c㎡

斜線部分=28.26÷6-4.5=0.21c㎡

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2016年3月26日 (土)

斜線部分の面積は?(今年、2016年 栄東中学東大クラス選抜)

円周率を3.14とすると、面積が157c㎡になる円形のメダルが5個あります。

まず、4個のメダルをそれぞれ両隣のメダルに接するように配置します。

する と、隣り合う2個のメダルが接する4つの点をすべて通るように

5個目のメダルを配置することができます。

この作業を行うと、下の図のようになります。

このとき、図の斜線部分の面積は何c㎡ですか。

Bandicam_20160326_074910408

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求める面積は、図のように、(円-赤正方形)×2で求められます。

3261

円の半径を、□とすると、

□×□=157÷3.14=50

正方形の面積は、2×□×2×□÷2=2×□×□=100c㎡

求める面積=(157-100)×2=114c㎡

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2015年11月30日 (月)

色部分の面積は?(2015年 学習院女子中等科)

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下の半円と直線でできている図の、色部分の面積は何c㎡ですか。

円周率は3.14とします。

11301

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Oは小さな半円の中心、O’は大きな半円の中心とします。

求める面積は、

大きな半円から緑部分と、ピンク部分を引いて求めます。

11302

大きな半円の面積=6×6×3.14×1/2=18×3.14

緑部分=6×6×3.14×1/4-6×6×1/2=9×3.14-18

ピンク部分=10×10×1/2×1/2=25

18×3.14-(9×3.14-18)-25=

9×3.14-7=21.26c㎡

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2015年11月27日 (金)

円の回転移動と角度(2015年 東大寺学園中学)

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【図1】のようなA、B、Cを中心とする、

小、中、大3つの円板(ア)、(イ)、(ウ)があります。

(ア)、(イ)の半径はそれぞ れ2cm、3cmです。

また、P、Q、Rはそれぞれの周上の点です。

これらを【図2】のように、3点P、Q、Rがすべて重なる ようにおき、

(ア)は(ウ)の内側を、(イ)は(ウ)の外側を、離れることもすべることもなく、

それぞれ【図2】の矢印の向きに回 転させながら、

(ウ)の周に沿ってちょうど一周だけ動かします。

ただし、3つの中心C、A、Bが常に1つの直線上に並ぶよう に動かすものとします。

Bandicam_20151127_081533407

Bandicam_20151127_081541452
【図3】のように3点C、A、Bを通る直線と2点C、Rを通る直線 とでできる角が

30°になるまで(ア)、(イ)を動かしたとき、APとBQが平行になりました。

①【図3】の角aと角 bの大きさの比を最も簡単な整数の比で答えなさい。

②円板(ウ)の半径を求めなさい。

Bandicam_20151127_081602826

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PとQがRから回転した長さは等しくなります。

2×2×3.14×a/360=3×2×3.14×b/360 となるので、

4×a=6×b

a:b=6:4=3:2

APとBQが平行なので、a+b=180°より、

a=180×3/5=108°

b=180×2/5=72°

ウの中心角30°のおうぎ形の弧の長さは、P、Qが回転した長さに等しいので、

ウの半径を□とすると、

□×2×3.14×30/360=3×2×3.14×72/360

□×2×30=6×72

□=7.2cm

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2015年11月26日 (木)

斜線部分の周りの長さは?(桜蔭中学 2006年)

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4枚の半円の形をした紙A、B、C、Dがあります。

この4枚の半円の直径はA、B、C、Dの順に大きくなっています。

Aの直径の4/3倍がBの直径で、

Bの直径の4/3倍がCの直径で、

Cの直径の4/3倍がDの直径で、Dの直径は25.6cmです。

A、B、C、Dを図のように4枚重ねました。

斜線の引いてある2つの図形の周りの長さは何cmですか。

Bandicam_20151126_080322229

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A、B、Cの直径を計算した方が早そうです。

C=25.6×3/4=19.2cm

B=19.2×3/4=14.4cm

A=14.4×3/4=10.8cm

曲線部分=(25.6+19.2+14.4+10.8)×3.14÷2=109.9cm

直線部分=(25.6-19.2)+(14.4-10.8)=10cm

合計=109.9+10=119.9cm

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2015年11月20日 (金)

二番目に短いひもの長さは?(広島学院中学 2014年)

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半径21cmの円形のひもがあります。

図のようにひもを3等分する印○と、4等分する印●をつけ、

その7か所を 切って7本に分けました。

一番短いひもの長さが4.5cm のとき、

二番目に短いひもの長さは何cmですか。ただし、円周率は3.14とします。

3

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どこが一番短いのかわかりませんが、

とりあえず、A=4.5cmとして、計算してみましょう。

11202

円周は、21×2×3.14=131.88cm

白○間は、131.88÷3=43.96cm

黒●間は、131.88÷4=32.97cm

B=32.97-4.5=28.47

C=43.96-28.47=15.49

D=32.97-15.49=17.48

E=43.96-17.48=26.48

F=32.97-26.48=6.49

以上より、2番目に短いひもは、6.49cm です。

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2015年10月27日 (火)

木の葉形面積の求め方は?(滝中学 2014年)

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下の図において、斜線部分の面積の合計は何c㎡ですか。

ただし4つの四角形はすべて正方形で、

内部の曲線はそれぞれの正方形の1辺を半径とする円の一部です。

円周率は3.14とします。

10271

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2015年9月27日 (日)

おうぎ形の角度と半径と面積は?(フェリス女学院中学 2010年)

図のように、おうぎ形OADの周上に点B、Cがあります。

おうぎ形OBCの面積は、おうぎ形OABの面積の3倍です。

おうぎ形OACの周りの長さと、おうぎ形OBDの周りの長さは等しいです。

おうぎ形OBCの周りの長さと、おうぎ形OABの周りの長さの差は3.14cmです。

(1)角アは何度ですか。

(2)おうぎ形OADの半径は何cmですか。

(3)色部分の面積は何c㎡ですか。

9271

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(1)おうぎ形OBCの面積は、おうぎ形OABの面積の3倍なので、

半径が等しいことから、中心角は3倍ということになり、

弧BC:弧AB=3:1 です。

また、おうぎ形OACの周りの長さ=おうぎ形OBDの周りの長さ、より、

弧BCは共通なので、弧AB=弧CD、∠AOB=∠COD になります。

したがって、∠BOC=90°×3/5=54°

△BOCは二等辺三角形なので、

∠ア=(180-54)÷2=63°

(2)弧BC-弧AB=3.14cmなので、

弧AD=3.14÷2/5=7.85cm

円周は7.85×4 なので、

半径は、7.85×4÷3.14÷2=5cm

(3)弧AB=弧CD より、

図のように、△ABOと△ECOと△FOCはみな合同な直角三角形になります。

9272

したがって、黄色部分と、水色部分は面積が等しくなるので、

求める面積は、おうぎ形OBCと等しくなります。

したがって、

5×5×3.14×54/360=11.775c㎡

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