目次

面積比・長さ比

2017年4月23日 (日)

FHの長さは何cm?(今年 2017年  広尾学園中学)

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下の図において、辺ABと辺EFと辺GHと辺CDは 全て平行です。

FHの長さは何cmですか?


4231

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4232

△黄と△緑は相似で、相似比は8:4=2:1

DG:EG=2:1

△DEFと△DGHも相似なので、

DG:EG=DH:FH=2:1

△ABDと△EFDも相似で、相似比は5:4

BD:FD=5:4

DH:FH=2:1=8/3:4/3

BDの5に当たるのが12cmなので、

FH=4/3×12/5=3.2cm

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2017年2月27日 (月)

色部分の面積は?(今年 2017年 早稲田中学)

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下の図の正六角形の面積は6c㎡です。

色部分の面積は何c㎡ですか?

2271

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2272

正六角形を図のように分けてみると、

赤い正三角形は正六角形の1/6なので、

6×1/6=1c㎡

赤い正三角形は同じ面積の黄色い三角形6つからできているので、

黄色い三角形の面積=1÷6=1/6c㎡

色部分は黄色い三角形10個分なので、

求める面積=1/6×10=10/6=1と2/3c㎡

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2017年2月25日 (土)

表面積の比は?(今年 2017年 城北中学)

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図のような方眼に2つの図形ア、イをかき、

この2つの図形をABを軸にして回転させて2つの立体をつくったとき、

アを回転させた立体とイを回転させた立体の表面積の比は□:□です。

ただし、方眼の1めもりを1cmとします。

Bandicam201

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Bandicam_20170225_080403238

アの上面と下面は、

4×4×3.14なので、16×2×3.14=32×3.14

側面は、4×2×3.14×2=16×3.14

アの表面積の合計=48×3.14

イの上面と中段面を合わせて、

6×6×3.14

下面も同じなので、6×6×3.14×2=72×3.14

側面の上半分は、4×2×3.14×2=16×3.14

側面の下半分は、6×2×3.14×2=24×3.14

イの表面積の合計=112×3.14

ア:イ=48:112=3:7

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2017年2月13日 (月)

SQは何cm?(今年、2017年 武蔵中学)

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下の図の3つの四角形、ABCD、EFGH、PQRDはすべて正方形です。

AE=6cm、AF=10cmのとき、

SQは何cmになりますか?

2131

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2132

△FTQは△GBFと相似で、TQ:TF=3:5

△STFも相似で、TF:TS=③:⑤ になるので、

TS=⑤=5×5/3=25/3

SQ=25/3+9/3=34/3

緑部分は正方形になるので、

TQのにあたるのは、

6cm×3/8=9/4cm

したがって、SQ=34/3÷×9/4=17/2cm

8.5cm

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2017年2月 2日 (木)

Xは何cm?(今年、2017年 開成中学)

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下の図において、四角形ABCDと四角形ABEFはどちらも長方形で、

3つの直線AG、BD、EFが1点Hで交わっています。

GEの長さが1cm、DFの長さが9cm、 AFの長さがXcmのとき、

Xの値を求めなさい。

221

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222

図のように△緑どうし、△黄どうしは「相似なので、

DF:BE=FH:EH=9:X

AF:GE=FH:EH=X:1

したがって、9:X=X:1

X×X=9×1=9

X=3

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2017年2月 1日 (水)

正六角形の面積比は?(今年、2017年 浦和明の星女子中学)

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図のように、正六角形の各辺の真ん中の点を結んで

小さな正六角形を作りました。

小さな正六角形の面積と、大きな正六角形の面積の比を、

もっとも簡単な整数の比で表しなさい。


211

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212

△緑が

小さい正六角形は18個

大きい正六角形は24個

面積比は、

小さい正六角形:大きい正六角形=18:24=3:4

 

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2017年1月29日 (日)

色のついた部分の面積は?(今年、2017年 洛星中学)

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図の正方形ABCDの各辺上の点は、

それぞれの辺を3つの同じ長さに分ける点とします。

色のついた部分の面積は何c㎡ですか?

1291

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1292

△赤 と△水色は相似で、相似比は3:2

BF:EF=2:1なので、

BF=DH=③とすると、

EF=GH=1.5まる になります。

黄色部分と緑部分を台形と考えると、

黄色と緑の面積比は、黄:緑=(2+3):(1.5+1.5)=5:3

(黄×2):緑 =10:3

黄×2+緑は正方形の1/3なので、

緑部分=正方形×1/3×3/13

52×(52×3)×3/13=1872c㎡

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2017年1月25日 (水)

色部分の面積は?(今年、2017年 高槻中学)

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面積が16c㎡である正三角形ABCがあり ます。

図の辺の上にあるDからLまでの点は各辺を4等分する点です。 


(1)三角形DGJの面積を求めなさい。

1251

(2)三角形DGJと三角形FILの重なっている色部分の面積を求めなさい。

1256

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(1) △ABCから緑部分を引きます。

1252

△ABCの1辺を4、高さを4、面積を4×4=16 とすると、

緑1個の三角形は、底辺が1 、高さは3なので、

面積比は 1×3=3 となり、

16×3/16=3c㎡

△DGJの面積=16-3×3=7c㎡

(2)△DGJから緑部分を引いて求めます。

1253

図のように、△赤と△青は相似で、相似比は1:3

1254

△赤の高さは、2×1/(1+3)=1/2

面積比は、1×1/2=1/2

四角形 ADMLの面積比は、1+1/2=3/2

次に、△水色と△ピンクも相似で、相似比は、3:2

1255

△ピンクの 高さは、1×2/(3+2)=2/5

面積比は、2×2/5=4/5

したがって、△緑1個分の面積比は、

1253_2

3-(3/2+ 4/5)

=30/10-23/10=7/10

黄色部分の面積=7-7/10×3=49/10

16×(49/10)/16=4.9c㎡

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2017年1月23日 (月)

面積比は?(今年、2017年 渋谷教育学園幕張中学)

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図のような三角形ABCを

7つの三角形ABD、ADE、DEF、EFG、FGH、GHI、HICに分けました。

ただし、3つの点E、G、Iは、辺ACの長さを4等分した点で、

4つの三角形ABD、DEF、FGH、HICの面積はすべて等しいです。

三角形EFGの面積は、三角形ABCの面積の何倍ですか?


Bandicam_20170123_083259888

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1231_4

同じ面積の三角形を①とすると、

△ GFCは、3

△黄は、3/2

△EDCは、4+3/2=11/2

△緑は、11/2÷3=11/6

△ABCは、11/2+11/6+1=50/6

△黄=△EFG=3/2=9/6 なので、

△ABCの9/50倍

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2017年1月16日 (月)

△ADGは△ABCの何倍?(今年、2017年 灘中学1日目)

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下の図で、

(ACの長さ):(ADの長さ)=1:1

(ABの長さ):(BEの長さ)=1:2

(BCの長さ):(CFの長さ)=1:3

です。

このとき、三角形ADGの面積は、三角形ABCの面積の何倍ですか?

1161

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1162

△ABCの面積を1とすると、

△CBEは2、△FCEは6、△FAC=△FDAは3

そして、△ADE(黄)も3になります。

全体の△FDEは、6+3×3+2+1=18 なので、

その高さは、△ADE(黄)の、18÷3=6倍 となります。

したがって、FA:AG=5:1になるので、

△ADGの面積比は、3×1/5=3/5

△ABCの3/5倍です。

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