目次

面積比・長さ比

2018年7月15日 (日)

平行四辺形の面積の何倍?(今年 2018年 鎌倉学園中学)

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図のように,平行四辺形ABCDがあります。

点Eが辺BCを2等分する点のとき、

色部分の面積は平行四辺形ABCDの面積の何倍ですか?

7151_2


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7152_2

△赤と△緑は相似で、相似比は2:1

AP:PE=2:1

△ABEと△緑の面積比は、③:①

△ABC=⑥

平行四辺形ABCD=⑫

△OBC=③

黄色部分=③-①=②

したがって、平行四辺形の、②/⑫=1/6倍

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682

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2018年4月14日 (土)

面積の比は?(今年 2018年 海城中学)

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下の図の三角形 ABC において、

AD:DB=1:2、BE:EC=3:2です。

①三角形ABPと三角形ACPの面積の比を最も簡単な整数の比で求めなさい。

②三角形ABCと四角形PECFの面積の比を最も簡単な整数の比で求めなさい。

4141

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①APを共通の底辺と考えれば、

高さの比は3:2なので、面積の比もそのまま3:2

4142

D:DP=1:2なので、△黄と△緑の面積比も1:2になり、

△黄と△(水色+青)の面積比が1:2なので、

DP:PC=1:2より、△赤=2×2=4 より、

△ABCの面積は、2+3+4=9

△(黄+緑):△水色=△赤:△青

3:△水色=4:△青

△青:△水色=4:3

△青=2×4/7=8/7

△PEC=4×2/5=8/5

四角形PECF=8/7+8/5=96/35

△ABC:四角形PECF=9:96/35=315:96=105:32

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2018年4月 3日 (火)

DEの長さは?(今年 2018年 普連十学園中学)

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下の図の四角形ABCDは台形で、点Eは辺 DC 上にあります。

このとき、次の問いに答えなさい。

4031


(1)△AED の面積と△EBC の面積が等しいとき、

   DEの長さは何cm になりますか。

(2) △ABE の面積が92㎠ のとき、DE の長さは何cmですか。

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(1)DEの長さを□cmとすると、

8×□=12×(18-□)

8×□=216-12×□

20×□=216

□=10.8cm

(2)DEの長さを□cmとすると、

8×□÷2+12×(18-□)÷2=(8+12)×18÷2-92

4×□+108-6×□=88

2×□=20

□=10cm

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2018年3月30日 (金)

四角形EGCFの面積の何倍?(今年 2018年 芝中学)

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ABとHI、DHとBC、EFとBC、EGとACが

それぞれ平行であるとき、

正三角形ABCの面積は四角形EGCFの面積の何倍ですか?

3301

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下の図のように、

四角形EGCFは1辺が1cmの正三角形2つ分、

正三角形ABCは25個分なので、

25÷2=12.5倍

3302

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2018年3月23日 (金)

面積比は?(今年 2018年 開成中学)

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下の図において、四角形ABCDは正方形で,、

BE=EF=FC、CG=GDです。

(1)三角形AIJと四角形ABCDの面積比を

                   最も簡単な整数の比で答えなさい。

(2)四角形HIJKと四角形ABCDの面積比を

                   最も簡単な整数の比で答えなさい。


3231

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3232

(1)△黄と△緑は相似で相似比は、6:2=3:1

正方形の1辺の長さを1とすると、

△緑の面積比は、2/3×1/(3+1)×1/2=1/12

△茶と△赤も相似で相似比は、2:5

△茶の面積比は、1×2/(2+5)×1/2=1/7

△AIJの面積比は、

2/3×1×1/2-(1/12+1/7)

=1/3-19/84

=9/84=3/28

△AIJ:□ABCD=3:28

(2)△ABKと△DKMも相似で、相似比は2:3

△ABKの面積比は、1×2/(2+3)×1/2=1/5

DK:KB=3:2

DH:HB=3:1

比の合計をそろえると、

DK:KB=3:2=12:8

DH:HB=3:1=15:5

すると、KH=8-5=3 となるので、

△AHKの面積比は、

1/5×3/8=3/40

□HIJKの面積比は、

3/28-3/40=(120-84)/1120=36/1120=9/280

HIJK:□ABCD=9:280

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2018年3月19日 (月)

正六角形ABCDEFの面積は?(今年 2018年 東京学芸大学附属世田谷中学)

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正六角形ABCDEFの対角線 AC,CE,AE,BD,DF,BF を結び、

それらの交点を図のようにG,H,I,J,K,Lとします。

すると、正六角形GHIJKLができます。

この正六角形の対角線 GI,IK,GK,HJ,JL,HLを結び、

それらの交点を図のようにM,N,O,P,Q,Rとします。

すると、正六角形MNOPQRができます。

正六角形MNOPQRの面積が10であるとき、


六角形ABCDEFの面積を求めなさい。

3191

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3192

面積は、

△緑色=△黄色=△水色=△茶色

△青=△赤 となるので、

正六角形GHIJKLは正六角形MNOPQRの3倍で30

正六角形ABCDEFは正六角形GHIJKLの3倍で90

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2018年3月16日 (金)

長さ比と面積比は?(今年 2018年 渋谷教育学園幕張中学)

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下の図の四角形BCDEは平行四辺形で、AB:BC=2:3です。

(1)DE:EF を、もっともかんたんな整数の比で表しなさい。

(2)三角形CDHの面積は、三角形EGHの面積の何倍ですか。

3161

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(1)図の△黄どうし、

△緑どうし、△色どうしは相似です。

3162

EF=3×③/②=4.5 なので、

DE:EF=3:4.5=2:3

(2)

3163

△黄と△緑は相似で、AC:EF=5:4.5=10:9=AG:GE

△AIGと△EJGも相似なので、

AI:EJ=10:9

△EGHの底辺をEHとした場合の高さを9とすると、

△CDHの底辺をCDとした場合の高さは、

(9+10)×3/2=28.5

△CDHと△EGHの面積比は、

⑤×28.5:③×9=142.5:27

1425÷27=5と5/18倍

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2018年3月11日 (日)

長さ、角度、面積比は?(今年 2018年 慶應義塾湘南藤沢中等部) 

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6つの角がすべて等しい六角形ABCDEFと 円の1/4の図形ODGが、

図のように重なっています。

点Oは辺BCの真ん中の点で、点Pは円周と辺EFが重なる点です。

また、半径OGは点Bと点Pを結んだ直線の真ん中の点Qで交わっています。

3111

(1)OQの長さを求めなさい。

(2)アの角度は何度ですか。

(3)辺ABの長さが2cmのとき、

  六角形ABCDEFの面積は三角形OCDの面積の何倍ですか。

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3112_2

(1)△緑と△黄は合同なので、OD=DPになり、

△ODPは正三角形になります。

∠COP=30+60=90°なので、∠BOP=90°

QからOPに垂線を下し、OPとの交点をHとすると、

△BOPと△茶は相似で相似比は2:1

OP:HP=2:1より、OH=HP

したがって、△ピンクと△茶は合同になり、

QO=QP=BQ より△赤は二等辺三角形になり、

∠BOQ=180-(30+90)=60°より、

∠QBO=60°になって、△赤は正三角形になります。

OQ=BO=OC=4cm

(2)∠BPO=30°より、

∠BPE=30+60+30=120°なので、

AFとBPは平行になり、

∠ア=∠GQP=∠BQO=60°

(3)

3113

AB=2cmなので、

図のように、△RBAのような、1辺が2cmの正三角形に分割できます。

正三角形△赤の中には4個、

正六角形QOCDEPの中には、4×6=24個

四角形ABPFの中には、図のように7個

六角形ABCDEFの中に合計、4+7+24=35個

△OCDの中には4個なので、

35/4倍

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2018年2月 2日 (金)

新しい正六角形の面積は?(今年、2018年 開成中学)

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面積が9㎠である正六角形 ABCDEF の

各辺の中点(真ん中の点)を結んで新しい正六角形を作ります。

新しい正六角形の面積を求めなさい。

下の図の点0は対称の中心です。


221

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図のように新しい正六角形は、

正六角形ABCDEFの6/8=3/4 になります。

222

求める面積=9×3/4=6.75㎠

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2018年1月31日 (水)

三角形BCPの面積は?(今年 2018年 灘中学 1日目)

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下の図のように、正六角形ABCDEFの内側に点Pをとり、

6つの頂点とPをそれぞれ直線で結びます。

三角形ABP、CDP、EFPの面積がそれぞれ3㎠、5㎠、8㎠であるとき,

三角形BCPの面積は何㎠ですか。

1311

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1312

△緑の面積=△黄の面積

△水色の面積=△茶の面積

四角形PBGCの面積=3+5=8㎠

1313

△赤も△青も△桃色も

正六角形の1辺を底辺とする三角形と考えると、

面積の比はそのまま高さの比となります。

△赤の高さを②とすると、

3つの三角形の高さの合計は②×3=⑥

△赤と△青の高さの合計は8、△桃色の高さは8なので、

⑥=8×2=16、③=8

△青の高さは、③-②=① なので、

面積は、8×①/③=8/3㎠

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