目次

面積比・長さ比

2017年11月21日 (火)

太線の長さ比は?(吉祥女子中学 2017年)

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Bandicam_20171121_095233079_2

図1のように、1辺が2cmの正方形の頂点と辺の上に、

点Aから1cm 間かくで8個の点を打ちます。

この8個の点を中心として、

図2のように 同じ大きさの8個の円をかきます。

このときかいた円と同じ大きさの円を「あ」とします。

さらに、図2のふちを太線でなぞると、

図3のような図形ができます。

後の問いに答えなさい。

Bandicam_20171121_095244048

(1) 同じようにして、1辺が3cmの正方形について、

円「あ」を12個かくと図4のような図形ができます。

図3の太線の長さの和と図4の太線の長さの和の比を、

もっとも簡単な整数の比で答えなさい。

Bandicam_20171121_095256659

(2) 同じようにして、1辺が4cmの正方形について、

円「あ」を16個かくと図5 のような図形ができます。

図3の太線の長さの和と図5の太線の長さの和の比を、

もっとも簡単な整数の比で答えなさい。

Bandicam_20171121_095305106

 

(3) 図6の図形の頂点と辺の上に、

点Bから1cm間かくで点を打ちます。

これらすべての点を中心として、

円「あ」をかいていってできる図形をXとし ます。

図7は、 円「あ」を 4個だけかいたときの図です。

Bandicam_20171121_095321021
Bandicam_20171121_095330813

①図形Xには、何個の円「あ」がかいてありますか。

②図形Xのふちを太線でなぞりました。

図3の太線の長さの和と図形Xの太線の長さの和の比を、

もっとも簡単な整数の比で答えなさい。

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(1)図3の図形は半円4個、

1/4円8個なので、

半円8個分の長さです。

図4は半円4個、1/4円16個

合計、半円12個分なので、

図3:図4=8:12=2:3

(2)図5は半円16個分なので、

図3:図5=1:2

(3)

①図のように「あ」は16個です。

Bandicam_20171121_102338104_2

②この図形は半円6個、1/4円20個

合計、半円16個分なので、

図3:X=8:16=1:2

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2017年11月14日 (火)

黄色と緑色の面積比は?(京都教育大学附属桃山中学 2017年)

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下の図は、ある円の直径AB上に点C、Dをとって、

AC、AD、CB、DBを直径とする半円をかいたものです。

AB=10cm、AC=5cm、AD=7cmのとき、

黄色と緑色にわけられた2つの部分の面積の比を求めなさい。

11141

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11142

面積の比は、半径×半径の比になり、

半径×半径の比は直径×直径の比に等しくなります。

黄色部分は直径AB=10cmの半円になり、

面積の比を、10×10=100とすると、

緑部分は、

(7×7-5×5)+(5×5-3×3)=40

黄:緑=100:40=5:2

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2017年11月 6日 (月)

円の半径は?(浅野中学 2017年)

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下の図のように、

3辺の長さが AB=40cm、AC=40cm、BC=48cmの

二等辺三角形ABCと円緑色、円黄色があります。

三角形ABCと円緑色と円黄色はそれぞれ接しています。

円緑色と円黄色の中心をそれぞれG、Hとするとき、

中心G、Hと点Iは直線AD上にあります。

∠ADB=90°、∠AEG=90°、∠AFH=90°のとき、

次の問いに答えなさい。

ただし、3辺の長さが3cm、4cm、5cmの三角形は、

直角三 角形になります。

11061

(1)長さの比AG:GEをもっとも簡単な整数の比で答えなさい。

(2)円緑色の半径は何cmですか。

(3)円黄色の半径は何cmですか。

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(1)直角三角形ABDのAB:BD=40:(48÷2)=40:24=5:3

△AGEは△ABDと相似なので、

AG:GE=5:3

(2)AD=40×4/5=32cm

AG:GE=AG:GD なので、

GE=GD=32×3/(5+3)=12cm

(3)

11062

黄+緑の図形は黄の図形と相似なので、

AD:AI=32:(32-12×2)=4:1

EG:FH=4:1

FH=12×1/4=3cm

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2017年10月17日 (火)

AH:HDは何対何?(明治大学付属明治中学 2016年)

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下の図のように、

正方形ABCDの辺AB、CDを2:1に分ける点をそれぞれE、G

辺BCの真ん中の点をF、辺AD上の点を H とします。

四角形EFGHの面積が24㎠、

正方形ABCDの面積が45㎠であるとき、

AH:HDをもっとも簡単な整数の比で表すと、何対何ですか?

10171

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10172

長方形黄色の面積は、

24-(45-24)=3㎠

各長方形の辺の比を上の図のように表すと、

6×6は45㎠にあたるので、

黄色い長方形の面積3㎠は、

6×6×3/45=12/5 になり、

黄色い長方形の横の長さは、

12/5÷2=6/5

AH=3-6/5=9/5

HD=6-9/5=21/5

AH:HD=9/5:21/5=9:21=3:7

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2017年10月 3日 (火)

面積の比と長さは?(2017年 世田谷学園中学)

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下の図のように、2つの正方形ア、イが重なった図形があります。

色部分は正方形で、その面積はアの1/4、 イの9/16にあたります。

太線で囲まれた図形の面積は172㎠です。

1031

(1)2つの正方形ア、イの面積の比を、最も簡単な整数で答えなさい。

(2)色部分の正方形の1辺の長さは何cmですか。

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1032

色部分の正方形の面積を⑨とすると、

区分けされた部分の面積比は図のようになり、

(1)ア:イ=36:16=9:4

(2)172㎠=43マルなので、

色部分の面積=172×9/43=36㎠

36=6×6 より、

1辺の長さは6cm

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2017年8月15日 (火)

△ABCの面積の何倍?(今年 2017年 広尾学園中学)

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下の図において色部分の三角形AGHの面積は

三角形ABCの面積の何倍になりますか?

ただし、BH::GE=5:7、BH:HE=2:1、AE:EC=1:1 です。

なお、この図は正確な長さで描かれていません。

8151

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BH::GE=5:7 と BH:HE=2:1 の共通するBHを

比をそろえてみます。

BH::GE=10:14 、 BH:HE=10:5 

すると、GH=14-5=9 になるので、

GHはBEの9/15=3/5

したがって、△AGHは△ABCの

1/2×3/5=3/10倍

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2017年8月12日 (土)

アの角度は?長さ比は?(今年 2017年 城北中学)

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図の四角形ABCDはADとBCが平行な台形で、

点Eは辺ABの真ん中の点です。

DAとDF、CFとCBの長さがそれぞれ等しく,、

AFとDEの交わる点をGとします。

8121

(1)角アの大きさは何度ですか。

(2)図の三角形AEGと三角形DGFの面積の比が3:2のとき、

  長さの比 DG::FBを求めなさい。

8122

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(1)BFとADを延長して、その交点をHとすると、

△DFHと△CFBは相似になり、

●+●+▲+▲=180°なので、

●+▲=90°より、

∠ア=90°

(2)

上の図で,△DFHと△CFBは相似な二等辺三角形なので、

DH=DF=AD

よって、EDとBHは平行になり、

△AEGと△ABFは相似です。

したがって、 AG:GF=AE:EB=1:1

△黄の底辺をAG、△緑の底辺をGFとすると、

底辺が等しいので、面積の比は、高さの比になり、

DG:GE=2:3

FBはGEの2倍なので、6となり、

DG:FB=2:6=1:3

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2017年8月 5日 (土)

長さ比は?面積比は?(今年 2017年 東邦大学付属東邦中学)

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図のような長方形ABCDに おいて、辺ADを3等分する点をE、Fとします。

ACとBDの交点をG、ACとBFの交点をH、BDとCFの交点をIとします。

このとき、次の問いに答えなさい。

(1) (AHの長さ) と (HGの長さ) の比を最も簡単な整数で表しなさい。

(2) (三角形AGFの面積) と (三角形BGHの面積) の比を

   最も簡単な整数で表しな さい。

(3) (三角形CIGの面積と三角形DFIの面積の差) と

    (三角形BGHの面積) の比を最も簡単な整数で表しなさい。

8051

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8052

(1)

△黄と△緑は相似で、相似比は2:3

AH:HC=2:3

AC=5とすると、AGは5×1/2=2.5

HG=2.5-2=0.5

AH:HG=2:0.5=4:1

(2)

8053

△AGD=△ABG=長方形ABCDの1/4

△AGF=1/4×2/3=長方形ABCDの1/6

△BGH=1/4×1/(4+1)=長方形ABCDの1/20

△AGF:△BGH=1/6:1/20=10:3

(3)

△AGF=△CGF

△CIGと△DFIの差=△CGFと△DGFの差

△DGF=△AGF×1/2

△AGF=10とすると、△DGF=5

△CGF-△DGF=10-5=5

△BGH=3なので、

(△CIGと△DFIの差):△BGH=5:3

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2017年8月 3日 (木)

正三角形と正六角形の面積の比は?(今年 2017年 桐朋中学)

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正三角形と正六角形があります。

正三角形の周の長さは、正六角形の周の長さの2倍です。

この正三角形と正六角形の面積の比を求めなさい。

Bandicam_20170803_082911888

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Bandicam_20170803_083512849

図のように、正三角形:正六角形=16:6=8:3

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2017年7月 4日 (火)

EF:FDの長さの比は?(今年 2017年 同志社中学)

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下の図で、三角形ABCの面積は72㎠です。

この三角形を、BDを折り目として折ると、

点Aが点Eに移り、三角形BEDができました。

点FはBCとEDが交わった点で、BCを3:1に 分けています。

また、点DはACを2:1に分ける点です。

EF:FDの長さの比はいくらですか。

できるだけ簡単な整数の比で答えなさい。

7041


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△ABDと△BCDの面積比は2:1なので、

△ABD=△EBD=72×2/3=48㎠

△BCD=72×1/3=24㎠

7042

△緑=24×3/4=18㎠

△黄=48-18=30㎠

EF:FD=30:18=5:3

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