目次

面積比・長さ比

2018年2月 2日 (金)

新しい正六角形の面積は?(今年、2018年 開成中学)

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面積が9㎠である正六角形 ABCDEF の

各辺の中点(真ん中の点)を結んで新しい正六角形を作ります。

新しい正六角形の面積を求めなさい。

下の図の点0は対称の中心です。


221

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図のように新しい正六角形は、

正六角形ABCDEFの6/8=3/4 になります。

222

求める面積=9×3/4=6.75㎠

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2018年1月31日 (水)

三角形BCPの面積は?(今年 2018年 灘中学 1日目)

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下の図のように、正六角形ABCDEFの内側に点Pをとり、

6つの頂点とPをそれぞれ直線で結びます。

三角形ABP、CDP、EFPの面積がそれぞれ3㎠、5㎠、8㎠であるとき,

三角形BCPの面積は何㎠ですか。

1311

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1312

△緑の面積=△黄の面積

△水色の面積=△茶の面積

四角形PBGCの面積=3+5=8㎠

1313

△赤も△青も△桃色も

正六角形の1辺を底辺とする三角形と考えると、

面積の比はそのまま高さの比となります。

△赤の高さを②とすると、

3つの三角形の高さの合計は②×3=⑥

△赤と△青の高さの合計は8、△桃色の高さは8なので、

⑥=8×2=16、③=8

△青の高さは、③-②=① なので、

面積は、8×①/③=8/3㎠

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2018年1月17日 (水)

AG:GFは?(今年、2018年 東大寺学園中学)

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下の図の正六角形ABCDEFにおいて、

AF上に点Gをとりました。

三角形BCGの面積と三角形DEGの面積の比が12:13であるとき、

AG:GFを最も簡単な整数の比で答えなさい。


1171

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正六角形の面積を150とすると、

△ABG+△FEG=25

△GCD=50

△緑+△黄=150-(25+50)=75

△緑=36

△黄=39

1172_2

△赤=25なので、

△緑は△赤より36-25=11大きく、

△黄は△赤より39-25=14大きくなります。

底辺は等しいので、面積の違いは高さの違いになり、

AG:GF=11:14

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2017年12月27日 (水)

AEとECの長さの比は?(立教新座中学 2017年)

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三角形ABCの辺AB上に

ADとDBの長さの比が3:1となるような点Dがあります。

辺AC上に点Eをとり、点Dと点Eを結んだ線上に

DFとFEの長さの比が2:1となるように点Fをとります。

12271

次の問いに答えなさい。

(1)点Eが辺ACのまん中の点であるとき,

  三角形FBCの面積は三角形ABCの面積の何倍ですか。

(2)三角形FBCの面積が三角形ABCの面積の29/60倍であるとき、

  AEとECの長さの比を求めなさい。

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(1)

12272

(△緑+△黄)は△ABCの、1/2×3/4=3/8

△黄=2/8

△緑=△赤=1/8

△茶=2/8×1/3=1/12

色部分の合計=

2/8+1/8×2+1/12=12/24+2/24=14/24=7/12

△FBC=1-7/12=5/12 倍

(2)

12273

△黄は△ADEの1/3

△緑は△EDCの1/3

△色部分は△ADCの1/3

△ADCは△ABCの3/4

△色部分は△ABCの3/4×1/3=1/4

△FBCが△ABCの29/60なので、

△色部分は△ABCの15/60

△ABFは△ABCの、60/60-29/60-15/60=16/60

したがって、△ABF:△色部分=⑯:⑮

△ADF=⑯×3/4=⑫

△黄=⑫×1/2=⑥

△緑=⑮-⑥=⑨

AE:EC=⑥:⑨=2:3

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2017年11月21日 (火)

太線の長さ比は?(吉祥女子中学 2017年)

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Bandicam_20171121_095233079_2

図1のように、1辺が2cmの正方形の頂点と辺の上に、

点Aから1cm 間かくで8個の点を打ちます。

この8個の点を中心として、

図2のように 同じ大きさの8個の円をかきます。

このときかいた円と同じ大きさの円を「あ」とします。

さらに、図2のふちを太線でなぞると、

図3のような図形ができます。

後の問いに答えなさい。

Bandicam_20171121_095244048

(1) 同じようにして、1辺が3cmの正方形について、

円「あ」を12個かくと図4のような図形ができます。

図3の太線の長さの和と図4の太線の長さの和の比を、

もっとも簡単な整数の比で答えなさい。

Bandicam_20171121_095256659

(2) 同じようにして、1辺が4cmの正方形について、

円「あ」を16個かくと図5 のような図形ができます。

図3の太線の長さの和と図5の太線の長さの和の比を、

もっとも簡単な整数の比で答えなさい。

Bandicam_20171121_095305106

 

(3) 図6の図形の頂点と辺の上に、

点Bから1cm間かくで点を打ちます。

これらすべての点を中心として、

円「あ」をかいていってできる図形をXとし ます。

図7は、 円「あ」を 4個だけかいたときの図です。

Bandicam_20171121_095321021
Bandicam_20171121_095330813

①図形Xには、何個の円「あ」がかいてありますか。

②図形Xのふちを太線でなぞりました。

図3の太線の長さの和と図形Xの太線の長さの和の比を、

もっとも簡単な整数の比で答えなさい。

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(1)図3の図形は半円4個、

1/4円8個なので、

半円8個分の長さです。

図4は半円4個、1/4円16個

合計、半円12個分なので、

図3:図4=8:12=2:3

(2)図5は半円16個分なので、

図3:図5=1:2

(3)

①図のように「あ」は16個です。

Bandicam_20171121_102338104_2

②この図形は半円6個、1/4円20個

合計、半円16個分なので、

図3:X=8:16=1:2

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2017年11月14日 (火)

黄色と緑色の面積比は?(京都教育大学附属桃山中学 2017年)

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下の図は、ある円の直径AB上に点C、Dをとって、

AC、AD、CB、DBを直径とする半円をかいたものです。

AB=10cm、AC=5cm、AD=7cmのとき、

黄色と緑色にわけられた2つの部分の面積の比を求めなさい。

11141

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11142

面積の比は、半径×半径の比になり、

半径×半径の比は直径×直径の比に等しくなります。

黄色部分は直径AB=10cmの半円になり、

面積の比を、10×10=100とすると、

緑部分は、

(7×7-5×5)+(5×5-3×3)=40

黄:緑=100:40=5:2

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2017年11月 6日 (月)

円の半径は?(浅野中学 2017年)

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下の図のように、

3辺の長さが AB=40cm、AC=40cm、BC=48cmの

二等辺三角形ABCと円緑色、円黄色があります。

三角形ABCと円緑色と円黄色はそれぞれ接しています。

円緑色と円黄色の中心をそれぞれG、Hとするとき、

中心G、Hと点Iは直線AD上にあります。

∠ADB=90°、∠AEG=90°、∠AFH=90°のとき、

次の問いに答えなさい。

ただし、3辺の長さが3cm、4cm、5cmの三角形は、

直角三 角形になります。

11061

(1)長さの比AG:GEをもっとも簡単な整数の比で答えなさい。

(2)円緑色の半径は何cmですか。

(3)円黄色の半径は何cmですか。

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(1)直角三角形ABDのAB:BD=40:(48÷2)=40:24=5:3

△AGEは△ABDと相似なので、

AG:GE=5:3

(2)AD=40×4/5=32cm

AG:GE=AG:GD なので、

GE=GD=32×3/(5+3)=12cm

(3)

11062

黄+緑の図形は黄の図形と相似なので、

AD:AI=32:(32-12×2)=4:1

EG:FH=4:1

FH=12×1/4=3cm

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2017年10月17日 (火)

AH:HDは何対何?(明治大学付属明治中学 2016年)

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下の図のように、

正方形ABCDの辺AB、CDを2:1に分ける点をそれぞれE、G

辺BCの真ん中の点をF、辺AD上の点を H とします。

四角形EFGHの面積が24㎠、

正方形ABCDの面積が45㎠であるとき、

AH:HDをもっとも簡単な整数の比で表すと、何対何ですか?

10171

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10172

長方形黄色の面積は、

24-(45-24)=3㎠

各長方形の辺の比を上の図のように表すと、

6×6は45㎠にあたるので、

黄色い長方形の面積3㎠は、

6×6×3/45=12/5 になり、

黄色い長方形の横の長さは、

12/5÷2=6/5

AH=3-6/5=9/5

HD=6-9/5=21/5

AH:HD=9/5:21/5=9:21=3:7

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2017年10月 3日 (火)

面積の比と長さは?(2017年 世田谷学園中学)

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下の図のように、2つの正方形ア、イが重なった図形があります。

色部分は正方形で、その面積はアの1/4、 イの9/16にあたります。

太線で囲まれた図形の面積は172㎠です。

1031

(1)2つの正方形ア、イの面積の比を、最も簡単な整数で答えなさい。

(2)色部分の正方形の1辺の長さは何cmですか。

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1032

色部分の正方形の面積を⑨とすると、

区分けされた部分の面積比は図のようになり、

(1)ア:イ=36:16=9:4

(2)172㎠=43マルなので、

色部分の面積=172×9/43=36㎠

36=6×6 より、

1辺の長さは6cm

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2017年8月15日 (火)

△ABCの面積の何倍?(今年 2017年 広尾学園中学)

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下の図において色部分の三角形AGHの面積は

三角形ABCの面積の何倍になりますか?

ただし、BH::GE=5:7、BH:HE=2:1、AE:EC=1:1 です。

なお、この図は正確な長さで描かれていません。

8151

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BH::GE=5:7 と BH:HE=2:1 の共通するBHを

比をそろえてみます。

BH::GE=10:14 、 BH:HE=10:5 

すると、GH=14-5=9 になるので、

GHはBEの9/15=3/5

したがって、△AGHは△ABCの

1/2×3/5=3/10倍

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