目次

面積

2018年5月14日 (月)

小さい円の面積は?大きい円の半径は?(今年 2018年 かえつ有明中学)

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下の図の大きな円の周りの長さは、

小さい円の周りの長さの2倍になっています。

図の色がついている部分の面積が84.78㎠のとき、

(1) 小さい円の面積は何㎠ですか。

(2) 大きい円の半径はcmですか。

ただし、円周率は3.14 とします。

5141

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大きい円は円周が2倍なので、半径も2倍です。

小さい円の半径を□cmとすると、

2×□×2×□×3.14-□×□×3.14=84.78

2×□×2×□-□×□=27

3×□×□=27

□×□=9

(1)小さい円の面積は、9×3.14=28.26㎠

(2)大きい円の半径は、□=3より、3×2=6cm


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682

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2018年4月14日 (土)

面積の比は?(今年 2018年 海城中学)

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下の図の三角形 ABC において、

AD:DB=1:2、BE:EC=3:2です。

①三角形ABPと三角形ACPの面積の比を最も簡単な整数の比で求めなさい。

②三角形ABCと四角形PECFの面積の比を最も簡単な整数の比で求めなさい。

4141

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①APを共通の底辺と考えれば、

高さの比は3:2なので、面積の比もそのまま3:2

4142

D:DP=1:2なので、△黄と△緑の面積比も1:2になり、

△黄と△(水色+青)の面積比が1:2なので、

DP:PC=1:2より、△赤=2×2=4 より、

△ABCの面積は、2+3+4=9

△(黄+緑):△水色=△赤:△青

3:△水色=4:△青

△青:△水色=4:3

△青=2×4/7=8/7

△PEC=4×2/5=8/5

四角形PECF=8/7+8/5=96/35

△ABC:四角形PECF=9:96/35=315:96=105:32

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2018年4月 5日 (木)

斜線部分の面積は?(今年 2018年 函館ラ・サール中学)

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下の図のように、

直角三角形ABCを点Cを中心に時計回りに90°回転させました。

点Aが点A’、点Bが点B’に移るとき、

斜線部分の面積は何㎠ですか。

ただし、 円周率は3.14とします。


Bandicam_20180405_095416466

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4051_2

黄色部分を赤部分に移動すると、

求める面積は、中心角90°、半径5cmの扇形から、

中心角90°、半径3cmの扇形を引けばよいことになります。

5×5×3.14×1/4-3×3×3.14×1/4

=(25-9)×3.14×1/4

=4×3.14

=12.56㎠

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2018年3月28日 (水)

色部分の面積は?(今年 2018年 大阪星光学院中学)

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半径12cmと半径6cmの1/4円が図のように重なっています。

BとCはAからDまでの円弧を3等分する点です。

このとき、
色部分の面積は何㎠ですか。


3281

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3282

△OBPと△OCQは90°、60°、30°の直角三角形なので、

BP=CQ=12×1/2=6cm

△BEOと△CFOの面積は、6×6÷2=18㎠

求める面積=

18×2+12×12×3.14×30/360-6×6×3.14×1/4

=36+12×3.14-9×3.14

=36+(12-9)×3.14

=36+3×3.14

=45.42㎠

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2018年3月26日 (月)

色のついた図形の面積は?(今年 2018年 栄東中学東大クラス選抜 改題)

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下の図は、正十二角形に対角線を引いて作った図形です。

色のついた図形の周囲の長さが72cmのとき、

色のついた図形の面積は何㎠ですか?


3261_2

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3262

正十二角形の1つの内角は150°

六角形、AHIJKLの内角の和は720°なので、

∠PAL=(720-150×4)÷2=60°より、

∠PAB=90°

したがって、△ABXは正三角形、

四角形ABQPは正方形になります。

六角形QRSTUは正六角形なので、

内部の水色の正三角形6個を緑部分に移動すると、

求める面積は、正方形6個分になります。

正十二角形の1辺の長さは、

72÷24=3cmなので、

求める面積は、3×3×6=54㎠

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2018年3月19日 (月)

正六角形ABCDEFの面積は?(今年 2018年 東京学芸大学附属世田谷中学)

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正六角形ABCDEFの対角線 AC,CE,AE,BD,DF,BF を結び、

それらの交点を図のようにG,H,I,J,K,Lとします。

すると、正六角形GHIJKLができます。

この正六角形の対角線 GI,IK,GK,HJ,JL,HLを結び、

それらの交点を図のようにM,N,O,P,Q,Rとします。

すると、正六角形MNOPQRができます。

正六角形MNOPQRの面積が10であるとき、


六角形ABCDEFの面積を求めなさい。

3191

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3192

面積は、

△緑色=△黄色=△水色=△茶色

△青=△赤 となるので、

正六角形GHIJKLは正六角形MNOPQRの3倍で30

正六角形ABCDEFは正六角形GHIJKLの3倍で90

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2018年3月11日 (日)

長さ、角度、面積比は?(今年 2018年 慶應義塾湘南藤沢中等部) 

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6つの角がすべて等しい六角形ABCDEFと 円の1/4の図形ODGが、

図のように重なっています。

点Oは辺BCの真ん中の点で、点Pは円周と辺EFが重なる点です。

また、半径OGは点Bと点Pを結んだ直線の真ん中の点Qで交わっています。

3111

(1)OQの長さを求めなさい。

(2)アの角度は何度ですか。

(3)辺ABの長さが2cmのとき、

  六角形ABCDEFの面積は三角形OCDの面積の何倍ですか。

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3112_2

(1)△緑と△黄は合同なので、OD=DPになり、

△ODPは正三角形になります。

∠COP=30+60=90°なので、∠BOP=90°

QからOPに垂線を下し、OPとの交点をHとすると、

△BOPと△茶は相似で相似比は2:1

OP:HP=2:1より、OH=HP

したがって、△ピンクと△茶は合同になり、

QO=QP=BQ より△赤は二等辺三角形になり、

∠BOQ=180-(30+90)=60°より、

∠QBO=60°になって、△赤は正三角形になります。

OQ=BO=OC=4cm

(2)∠BPO=30°より、

∠BPE=30+60+30=120°なので、

AFとBPは平行になり、

∠ア=∠GQP=∠BQO=60°

(3)

3113

AB=2cmなので、

図のように、△RBAのような、1辺が2cmの正三角形に分割できます。

正三角形△赤の中には4個、

正六角形QOCDEPの中には、4×6=24個

四角形ABPFの中には、図のように7個

六角形ABCDEFの中に合計、4+7+24=35個

△OCDの中には4個なので、

35/4倍

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2018年3月 6日 (火)

色をつけた部分の面積は?(今年 2018年 雙葉中学)

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下の図形で、青い太線の長さはすべて等しく、

4つ合わせると、1つの円の円周と同じ長さになります。

色をつけた部分の面積は何㎠ですか。

円周率は3.14 です。

361

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青線を4つ合わせた円は、

1辺が8cmの正方形がぴったり中に入る円なので、

この正方形の対角線が直径になります。

半径を□とすると、

2×□×2×□÷2=8×8 より、

□×□=32

円弧部分4つの面積の和は、

32×3.14-64=36.48㎠

左側の台形部分は、

(18+11)×{(18-11)÷2}÷2=50.75

右側の長方形は、

16×18=288㎠

求める面積=36.48+50.75+288=375,23㎠

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2018年3月 3日 (土)

色部分の面積は?(今年 2018年 春日部共栄中学)

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下の図の色部分の面積は何㎠ですか?

331


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332


△黄色=7×9÷2=31.5㎠

△水色=6×5÷2=15㎠

求める面積=31.5+15=46.5㎠

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2018年2月 6日 (火)

面積は?(今年、2018年 桜蔭中学)

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半径が3cmの円Aと、1辺の長さが6cmの正方形Bを用いてできる

次の3つの図形をA+A、A+B、B+Bと呼ぶことにします。

261_2

このとき、次の問いに答えなさい。

(1)A+A、A+B、B+Bの面積はそれぞれ何㎠ですか。

(2)同じように、AとBを合わせて10個用いて、

  下のような図形を作ります


  両端にAを使うとき、 Bをできるだけ少なく使って面積が250㎠ 以上の

  図形を作るには、Bを何個使いますか。

  また、 作った図形の面積は何㎠ですか。


263

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

(1)

2つの図形の面積の和から重なった部分を引きます。

262

緑部分

=3×3-(3×3-3×3×3.14×1/4)×2

=9-(9-7.065)×2

=5.13㎠

円周率が3.14の場合、

木の葉形の面積が正方形の0.57倍になることを知っていれば、

3×3×0.57=5.13㎠

赤部分

=3×3×3.14×1/4

=7.065

青部分

=3×3

=9㎠

A+A

=3×3×3.14×2-5.13

=51.39㎠

A+B

=(3×3×3.14+36)-7.065

=57.195㎠

B+B

=36×2-9

=63㎠

(2)

10個全部Aの場合の面積

=28.26×10-5.13×9

=236.43

したがって、250-236.43=13.57㎠以上増やします。

Bを1つ増やすと、

36-28.26=7.74㎠面積が増えますが、

重なる部分も、(赤-緑)×2=(7.065-5.13)×2=3.87㎠増え、

実際に増える面積は、7.74-3.87=3.87㎠です。

もう1つBを増やしても、両サイドのA+Bは変わらないので、

B+Bなら、9-5.13=3.87㎠増え、

A+B+A+B+Aの並びでも3.87㎠増えることになります。

つまり、Bを1つ増やすごとに3.87㎠増えるので、

13.57÷3.87=3.5・・・ より、

Bは4個使い、

面積は、

236.43+3.87×4=251.91㎠

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