目次

面積

2017年9月17日 (日)

切り口の面積は?(2017年 東大寺学園中学)

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下の図は三角柱の展開図です。

三角形「あ」、「い」はどちらも直角二等辺三角形であり、

四角形「う」、「え」はどちらも対角線の長さが2cmの正方形です。

また、点P、Q、RはそれぞれAB、GH、DFの真ん中の点です。

この展開図を組み立ててできる三角柱と、

形も大きさも同 じものを粘土で作りました。

それを、3点P Q Rを含む平面で切断したときの

切り口の面積を求めなさい。

ただし、1辺の長さが1cmの正三角形の面積を0.43㎠とします。

9171

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切り口は図のように、正六角形の半分になります。

9172

PQの長さは正方形の対角線の長さの半分で1cm、

△黄は1辺1cmの正三角形なので、

切り口の面積は、

0.43×6÷2=1.29㎠

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2017年9月15日 (金)

辺ABの軌跡の面積は?(2017年 横浜共立学園中学)

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下の(図1)のように、

縦4cm、横3cm、対角線の長さが5cmの長方形ABCD があります。

この長方形は直線 ℓ 上を図の「あ」の位置から「う」の位置まで、

すべる ことなく1回転します。

図1

9152

下の(図2)のおうぎ形APCとおうぎ形BDQが重なった部分の面積は

4.28㎠です。

長方形ABCDが「あ」の位置から「う」の位置まで回転したとき、

辺ABが通ったあとにできる図形の面積は何㎠ですか。

円周率は3.14とします。

図2

9151

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辺ABの軌跡は図のようになります。

9153

青部分を赤部分に移動すると、求める面積は、

半径5cm、中心角90°の扇形から

半径4cm、中心角90°の扇形を引いた図形が2つと

半径3cm、中心角90°扇形が2つ加えたものになりますが、

重なった緑色部分を引かなくてななりません。

9155

重なった部分の面積=4.28-3×2÷2=1.28㎠

求める面積=

(5×5×3.14÷4-4×4×3.14÷4)×2+3×3×3.14÷4×2-1.28

=9×3.14÷4×2+9×3.14÷2-1.28

=9×3.14-1.28

=26.98㎠

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2017年9月13日 (水)

3色の糸で囲まれている部分の面積は?(2017年 洛星中学)

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図の円柱に、青色の糸をAからDまで側面を半周し

長さが最も短くなるように巻きつけます。

次に、黄色の糸をDからAまで側面を半周し

長さが最も短くなるように巻きつけます。

さらに赤色の糸をAからCまで側面を1周し

長さが最も短くなるように巻きつけます。

このとき、側面のうち3色の糸で囲まれている部分の面積は何㎠ですか?


9131

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最短距離でひもを結ぶと、円柱の展開図では

図のように直線になります。

9132

白い三角形が求める面積です。

△DAAは長方形の半分で、

△ピンクと△水色は相似で、相似比は1:2なので、

△水色の高さは、6×2/3=4cm

したがって、△DAEの面積は、

6×5×2×3.14÷2-5×2×3.14×4÷2

=10×3.14×(3-2)

=31.4㎠

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2017年9月 7日 (木)

角度は?長さは?面積は?(2017年 巣鴨中学)

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下の図のようなAB=CD=DAで、

BCとDCではさまれた角の大きさが30°の台形ABCDがあります。

AEはBDと点Hで垂直に交わり、

BCとECではさまれた角の大きさは45°です。

また、EC=8cmです。

9071





(1)角アの大きさは何度ですか?

(2)BHの長さは何cmですか?

(3)台形ABCDの面積は何㎠ですか?

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9072

(1)

∠ABCも30°、

∠BAE=150÷2=75°

∠AFC=30+75=105°

∠CFE=180-105=75°

∠ア=180-(45+75)=60°

(2)

DBが∠ABCを2等分するように、

ACも∠ACEを2等分するので、∠ACB=15°

∠ACE=15+45=60°になるので、

△AECは正三角形になり、

AC=8cm

BD=AC=8cmなので、

BH=8÷=4cm

(3)

9073


直角三角形DGHをAIBに移動すると、

台形ABCDの面積=長方形IBGDの面積

長方形IBGDの面積=直角三角形DBGの面積×2

直角三角形DBGは正三角形の1辺を斜辺として、

15°、75°、90°の直角三角形なので、

直角三角形EJDと合同になり、

台形ABCDの面積=長方形IBGDの面積=△AED=△BEA

△BEAの面積=8×4÷2=16㎠

台形ABCDの面積=16㎠

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2017年8月29日 (火)

使用しないパーツはどれ?(2017年 広島なぎさ中学)

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同じ大きさの正方形で作った下の①~⑥のようなパーツを

1つずつ組み合 わせて、(図1) のような形をつくる。

今、(図2) のように⑤と⑥のパーツ をおいたとき、

使用しないパーツを①〜④の記号で答えなさい。

ただし、向きを変えたりひっくり返したりすることはできるが、

パーツを重ね合わせることはできません。

8291

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8292

図のように②を使用しません。

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2017年8月26日 (土)

ひもで囲まれた部分の面積は?(2017年 関西大学第一中学)

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下の図のように、同じ大き さの正六角形4個をびったりと並べて、

周りにひもをたるまないようにかけています。

正六角形1個の面積が12㎠のとき、

ひもで囲まれた部分の面積は何㎠ですか?


8261

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黄色部分の面積は、緑部分の面積に等しく、

正六角形の中の小さな正三角形1つ分の面積と同じです。

8262

したがって、12÷6=2㎠ なので、

求める面積=12×4+2×4=56㎠

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2017年8月19日 (土)

黄色部分の面積は?(2017年 明治大学付属中野中学)

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下の図の四角形は一辺の長さが18cmの正方形です。

このとき、黄色部分の面積は何㎠ですか?を

1212_e0

8191

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色のついた直角三角形が、みな相似になることがわかります。

8192

FGを③とすると、AG=①、DG=⑨ ですから、

AD=⑩=18cm なので、

FG=③×18÷⑩=5.4cm

求める面積=18×5.4÷2=48.6㎠


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2017年8月17日 (木)

色のついた部分の面積は?(2017年 東京農業大学第一高等学校中等部)

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図のように、

半径4cmの円の中に半径2cmの円が4つ入っています。

このとき、 色のついた部分の面積を求めなさい。

ただし、円周率は3.14とします。


8171

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図のように、真ん中の緑部分を黄色部分に移動します。

8172

すると、求める面積は、半径4cmの円から

対角線が8cmの正方形を引いた部分になることがわかります。

4×4×3.14-8×8÷2=18.24㎠

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2017年8月12日 (土)

アの角度は?長さ比は?(今年 2017年 城北中学)

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図の四角形ABCDはADとBCが平行な台形で、

点Eは辺ABの真ん中の点です。

DAとDF、CFとCBの長さがそれぞれ等しく,、

AFとDEの交わる点をGとします。

8121

(1)角アの大きさは何度ですか。

(2)図の三角形AEGと三角形DGFの面積の比が3:2のとき、

  長さの比 DG::FBを求めなさい。

8122

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(1)BFとADを延長して、その交点をHとすると、

△DFHと△CFBは相似になり、

●+●+▲+▲=180°なので、

●+▲=90°より、

∠ア=90°

(2)

上の図で,△DFHと△CFBは相似な二等辺三角形なので、

DH=DF=AD

よって、EDとBHは平行になり、

△AEGと△ABFは相似です。

したがって、 AG:GF=AE:EB=1:1

△黄の底辺をAG、△緑の底辺をGFとすると、

底辺が等しいので、面積の比は、高さの比になり、

DG:GE=2:3

FBはGEの2倍なので、6となり、

DG:FB=2:6=1:3

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2017年8月 1日 (火)

三角形DEFの面積は?(今年 2017年 久留米大学附設中学)

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図のような平行四辺形ABCDがあり、その内部に点Eをとります。

点Eを通り、辺ADに平行な直線と辺CDとの交点をFとします。

三角形ABE、三角形BCE、三角形 DAEの面積がそれぞれ

15㎠、24㎠、9㎠のとき、

三角形DEFの面積は何㎠ですか?

8011

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△DAEを△DAFに、

△BCEを△BCFに等積移動し、

さらに、△BCFを△ACFに等積移動すると、

△ACDは平行四辺形ABCDの半分になります。


8012

つまり、24+9=33㎠が平行四辺形の半分なので、

平行四辺形ABCD=33×2=66㎠

△DEC=66-(15+24+9)=18㎠

△DAEと△BCEは底辺が同じ長さなので、

高さの比が、9:24=3:8

したがって、DF:FC=3:8 になるので、

△DEF=18×3/11=4と10/11㎠

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