目次

パズル

2017年10月17日 (火)

AH:HDは何対何?(明治大学付属明治中学 2016年)

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下の図のように、

正方形ABCDの辺AB、CDを2:1に分ける点をそれぞれE、G

辺BCの真ん中の点をF、辺AD上の点を H とします。

四角形EFGHの面積が24㎠、

正方形ABCDの面積が45㎠であるとき、

AH:HDをもっとも簡単な整数の比で表すと、何対何ですか?

10171

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10172

長方形黄色の面積は、

24-(45-24)=3㎠

各長方形の辺の比を上の図のように表すと、

6×6は45㎠にあたるので、

黄色い長方形の面積3㎠は、

6×6×3/45=12/5 になり、

黄色い長方形の横の長さは、

12/5÷2=6/5

AH=3-6/5=9/5

HD=6-9/5=21/5

AH:HD=9/5:21/5=9:21=3:7

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2017年10月14日 (土)

円周形の周り の長さは?(2017年 函館ラ・サール中学)

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下の図1、図2のように、半径1cmの円を

となり同士がたがいに接するように並べます。

(どの円も接する円は2個とします。)

このとき、各円の円周で囲まれた部分を「円周形」と呼ぶことにします。

例えば、図1の色部分は円を4個並べたときの円周形

図2の色部分は円を8個並べたときの円周形です。

次の問いに答えなさい。ただし、円周率は3.14とします。

10141

(1)図1の円周形の周りの長さは何cmですか。

(2)円を6個並べたときの円周形の周りの長さは何cmですか。

(3)円を100個並べたときの円周形の周りの長さは何cmですか。

(4)円周形の周りの長さが314cmになるのは、

   円をいくつ並べたときですか。

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(1)円の中心を結ぶと、正方形になります。

Bandicam_20171014_085244367

円周形の周りの長さは、正方形の内側部分なので、

1×2×3.14×1/4×4=6.28cm

(2)円が5つなら正五角形の内側、

円が6つなら正六角形の内側、

7つなら正七角形の内側、

8つなら正八角形の内側部分になります。

Bandicam_20171014_085229829

内角の和は正方形から1つ角数が増えるごとに180°増えるので、

円の個数をNとすると、

円周形の周りの長さは下の式で表せます。

10142

N=6なら、

(360+360)÷360×6.28=12.56cm

(3)N=100なら

(360+180×96)÷360×6.28

=360×49÷360×6.28

=49×6.28

=307.72cm

(4){360+180×(N-4)}÷360=50

180×(N-4)=360×49

N-4=98

N=102個

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2017年10月12日 (木)

電車に追い越されたのは?(2017年 桐朋中学)

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A君は午後3時にP駅を出発し、線路沿いの道をQ駅まで歩きました。

電車は午後3時15分にP駅を出発し、

A君を追いこしてQ駅に到着しま した。

A君が電車に追いこされたのは、A君がQ駅に到着する3分前で した。

A君の歩く速さは毎分80m、電車の速さは毎分480mです。

(1)A君が電車に追いこされた時刻は何時何分ですか。

(2)P駅からQ駅までの道のりは何mですか。

(3)A君が途中から Q駅まで毎分240mの速さで走ったとすると、

  電車と同時にQ駅に到着することができます。

  走りはじめた時刻は何時何分何秒ですか。

Train_greenIlm19_aa01016s

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10121

(1)電車の出発した3時15分には、

A君は、80×15=1200m進んでいます。

電車がこの1200mを追いつくには、

1200÷(480-80)=3分かかるので、

追いつく時刻は、3時18分です。

(2)A君がQ駅に着いたのは、

3時18分+3分=3時21分 なので、

A君が歩いた道のり=PQ間の距離=80×21=1680m

(3)

10122

PQ間を電車は、1680÷480=3.5分で走行するので、

Q駅に電車がついた時刻は、3時18分30秒

A君が18.5分でQ駅に着くためには、

18.5分を全部走ると4440mなので、

歩く時間は、(4440-1680)÷160=17.25分

走り始めるのは、3時17分15秒です。

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2017年10月11日 (水)

展開図と体積は?(2017年 広島大学附属中学)

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下の図は、ある四角柱の展開図の一部です。

この四角柱のもうひとつの底面を、側面「う」の下につけて、

展開図を完成させようと思います。

10110

(1)下の四角形①、②のうち、どちらをつければよいですか?

10111

(2)底面の対角線のうち、長いほうが8cm、短いほうが6cmだとすると、

   この四角柱の体積は何立方cmになりますか?

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(1)「あ」を「い」の位置まで回転して移動してみると。

①だとわかります。

10112

(2)底面は1辺が5cmのひし形になるので、

面積は、6×8÷2=24㎠

立体の体積は、

24×12=288立方cm

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2017年10月10日 (火)

辺BCの長さは何cm?(2017年 近畿大学附属中学)

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下の図は、ABの長さが4cmの長方形ABCDを、

対角線ACと点Cを中心とする半径4cmの円で、

4つの部分に分けたものです。

イとエの部分の面積が等しいとき、

辺BCの長さは何cmですか。

10101

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10102

対角線ACは長方形を2等分するので、

エ+ウ=ア+イ

エ=イ なので、

ア=ウ

黄+緑は長方形の半分なので、

半径4cmの半円の面積=長方形の面積

BCの長さ=4×4×3.14÷2÷4

=2×3.14=6.28cm

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2017年10月 8日 (日)

玉の個数の合計は?(2017年 駒場東邦中学)

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大きい箱と小さい箱に玉が入っていて、

玉の個数の比は5:3です。

小さ い箱から15個の玉を取り出して大きい箱に入れたところ、

玉の個数の比が3:1になりました。

大きい箱と小さい箱に入っている玉の個数の合計はいくつですか?

Cardboard_openCardboard_open_2

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玉の個数の合計は変わらないので、

比の合計を合わせてみると、

最初→大:小=5:3・・・・・5+3=8

移動後→大:小=3:1=6:2・・・・・6+2=8

小から大へ1移動したことがわかります。

この1が15個に当たるので、

個数の合計は、15×8=120個

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2017年10月 6日 (金)

移動の場合の数は?(2017年 東邦大学付属東邦中学)

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図のような、同じ大きさの正三角形を4つあわせてできる

立体ABCDがあります。

点Pは、はじめに頂点Aにあり、

となりあう3つの点のうち1つを選んで移動します。

次に移動した先の点から、それにとなりあう3つの点のうち

1つを選んで移動します。

このように、となりあう3つの点のうち1つを選んで移動することをくり返します。

このとき、次の問いに答えなさい。

Bandicam_20171006_090119883

(1)点Pが4回移動するとき、

  移動の仕方は全部で何通りあるか求めなさい。

(2)点Pが最も少ない回数の移動で、

  他の頂点をすべて通ってから頂点Aに戻る移動の仕方は
.
  全部で何通りあるか求めなさい。

(3)点Pが4回移動するとき、

  最後に点PがAでない頂点にあるような移動の仕方は

  全部で何通りあるか求めなさい。

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(1)3通りが4回なので、

3×3×3×3=81通り

(2)A→B、C、Dの3通り、

B、C、DそれぞれからAに戻らない行き方は2通り、

4回目はAに戻る1とおりなので、

3×2×1=6通り

(3)1回目はBCD

2回目は、ACD、ABD、ABC

3回目は、BCD、ABD、ABC、BCD、ACD、ABC、BCD、ACD、ABDなので、

A→6通り、B→7通り、C→7通り、D→7通り

4回目は、A以外Aに行けないので、選択肢は2通りなので、

6×3+7×2+7×2+7×2=60通り

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2017年10月 3日 (火)

面積の比と長さは?(2017年 世田谷学園中学)

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下の図のように、2つの正方形ア、イが重なった図形があります。

色部分は正方形で、その面積はアの1/4、 イの9/16にあたります。

太線で囲まれた図形の面積は172㎠です。

1031

(1)2つの正方形ア、イの面積の比を、最も簡単な整数で答えなさい。

(2)色部分の正方形の1辺の長さは何cmですか。

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1032

色部分の正方形の面積を⑨とすると、

区分けされた部分の面積比は図のようになり、

(1)ア:イ=36:16=9:4

(2)172㎠=43マルなので、

色部分の面積=172×9/43=36㎠

36=6×6 より、

1辺の長さは6cm

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2017年10月 1日 (日)

グラフからわかることは?(2017年 浅野中学)

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A君とB君は地点Pから6km離れた地点Qまで走り、

C君は自転車でQを出発してQP間を1往復します。

3人は同時に出発し、それぞれ次のように動きます。

A君:

PからQまで時速12kmで走りますが、

疲れやすいので、2km走るごとに走った時間と同じ時間だけ休みます。

B君:

PからQまで一定の速さで走り続けます。

C君:

Pに着いたら休まずにすぐに折り返すものとし、

行きと帰りで速さは違いますが、それぞれ一定の速さで走ります。


[グラフ1] はA君がPからQまで走った様子を表しています。


[グラフ1]

1011

このとき、後の (ア) 〜(オ)にあてはまる数をそれぞれ求めなさい。

(1)

A君がQに着くのは、Pを出発してから(ア)分後です。

(2)

A君がB君を追い越す、または、

B君がA君を追い越す回数の合計が3回のとき、

B君の速さは時速 (イ)km以上、(ウ)km未満です。

(3)

B君は、A君と同時にQに着く速さで走るものとします。

休んでいるA君をB君が追い越すときは2回あります。

その2回のとき、C君も同時にA君が休んでいるところを通過するものとします。

このとき、C君がQに戻ってくるのは、

Qを出発してから(エ)分(オ) 秒後になります。

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1012

(1)2kmを時速12kmで走ると、

2÷12=1/6時間→10分

ア=10×5=50分後

(2)B君の速さは上のグラフの 「あ」 の場合以上、

「い 」の場合未満ですから、

6÷ (1/6×5 ) =36/5=時速7.2km以上

4÷ (1/6×3 ) =8=時速8km未満

(3)

2÷7.2×60=50/3分・・・・・カ

50/3×4/2=100/3分・・・・・キ

50/3×6/(6-2)=25分・・・・・ク

25+(100/3-25)×6/4=37と1/2分

37分30秒後・・・・・エ、オ

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2017年9月30日 (土)

自転車の速さは?(2017年 大妻中学)

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Aさんは自転車で家を出発して5km離れた公園に行きましたが、

途中で2回休憩しました。

2回目の休憩は1回目の休憩より2分長くとりました。

グラフはそのときの道のりと時間の関係を表したもので、

自転車の速さは一定であるとします。

(1)自転車の速さは毎分何mですか。

(2)2回目は何分何秒休憩しましたか。

9301


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----------------------------------------------------

9302

(1)

2回目の休憩は2分長かったので、

1回目と同じ時間の休憩なら、休憩をはさみ

8分で 5-3.7=1.3km進んだことになります。

これが赤い部分のグラフですが、

これを、図のように0のスタートに重ねてみると、

休憩時間はおなじなので、

自転車は、20-8=12分で、

3.7-1.3=2.4km進むことがわかります。

その速さは、毎分2400m÷12分=200m です。

(2)

1.3kmを毎分200mの速さで進むと、

1300÷200=6.5分なので、

2回目の休憩時間は、

10-6.5=3.5分=3分30秒です。

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