目次

パズル

2020年1月16日 (木)

アの長さは?(2020年 浦和明の星女子中学)

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下の図は,半径 3cm のおうぎ形と直角三角形を組み合わ せたものです。

2つの色部分の面積が等しいとき,

アの 長さを答えなさい。

ただし、円周率は 3.14 とします。

0115

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白部分+緑=白部分+黄 

なので、

3×3×3.14×1/4=3×ア×1/2

9×3.14=6×ア

ア=3/2×3.14

ア=4.71cm

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682

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2019年10月 9日 (水)

色部分の面積は?(浦和明の星女子中学  2019年)

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下の図は、大きな半円と小さな円と直線を組み合わせたもの です。

図の色部分の面積を求めなさい。

ただし、円周率は3.14 とします。

1151

102

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図の黄色部分は二等辺直角三角形で、

赤い部分は小さい円の3/4になります。

1152

緑部分の面積は、

半径4cm、中心角135°のおうぎ形から、

黄と赤部分を引いて求めます。

4×4×3.14×135/360-2×2×3.14×3/4

=6×3.14-3×3.14

=3×3.14

=9.42㎠

9.42-2×2÷2=7.42㎠

104

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682

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2019年10月 8日 (火)

牛の動ける範囲は?(豊島岡女子学園中学 2019年 )

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図のような AB、BC、CA の長さがそれぞれ20m、16m、12mで、

角Cの大きさが 90°である直角三角形ABCの3つの頂点の位置に

牛が1頭ずつロープでつながれています。

A、B、C につながれている ロープの長さは、

それぞれ 16m、12m、20m です。

このとき、牛が動くこ とのできる部分の面積は全部で何㎠ですか。

ただし、牛の大きさ、ロー プの太さは考えないものとし、

ロープはのびないものとします。

3051_2 

 

103

 

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解法例

6085

図のように、

半円3つと真ん中の直角三角形の面積の合計になります。

 

3052_2

 

12×12×3.14×1/2+

16×16×3.14×1/2+

20×20×3.14×1/2+

12×2×16×2×1/2

=(12×6+16×8+20×10)×3.14+24×16

=400×3.14+384

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682

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=1640㎠

2019年9月 3日 (火)

ラグビーワールドカップの総試合数は?(城北中学 過年度改題)

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日本でのラグビーワールドカップが始まります。

参加チームは全部で20チーム。

最初に5チームずつ4グループで総当たりの予選リーグを行い,

勝敗やトライ数などによって勝ち点を決め、各リーグ内で1位から5位までの順位を決めます。

次に,各リーグの上位2チームによる決勝トーナメントを行い,優勝チームを決めます。

この大会の総試合数は何試合になりますか?

3位決定戦もありますよ!

1226zu1

Rugby40781_1280

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予選リーグは5チームから2チーム取り出す場合の数なので、

 5×4

ーーーーー =10試合

 2×1 

4グループなので、

10×4=40試合

決勝トーナメント進出チームは

2×4=8チーム

1チームが優勝するまでに7チームが負けるので7試合

3位決定戦が1試合あるので、7+1=8試合

全部で、40+8=48試合

Rugby1210840_1920

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682

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2019年8月28日 (水)

底面が動く水槽問題(慶應義塾湘南藤沢中等部 2018年)

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底面を水平のまま動かせる水そうがあります。

図のように最初の底面の位置は深さ60cmのAの ところにあります。

ここに水を一定の量ずつ入れ始めると同時に

毎分2cmの速さで底面を上げていったところ、

3分後の水面の高さは Aから8cm になりました。

(1) 水は毎分何しℓずつ入りますか。

(2) 水そうがいっぱいになるのは、水を入れ始めてから 何分後ですか。

(3) 水を入れ始めてから口分後に、底面の上がる速さを1/3にして、

  水を入れる量を2倍にした ところ、

  水を入れ始めてから 24分後に水そうがいっぱいになりました。

  口に入る数を求めなさい。

11171

Paper

 

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解法のヒント

底面は毎分2cmで上がりますから、

3分では、2×3=6cm上がります。

水は底面が動いても動かなくても、

底面上の水面の高さは毎分一定の量で増えていきます。

11173

3分後水面の高さはAから8cmの高さになったので、

底面から水面までは、8-6=2cm

Pce022s

 

解法例

(1)

40×25×2=2000立方cm=2ℓ

1分間に、2÷3=2/3ℓ

(2)

水は1分間に底面から、

2/3ℓ÷(40cm×25cm)=2/3cm上昇します。

△分で60cmになるとすると、

2×△+2/3×△=60

8/3×△=60

△=22.5分

(3)

□分間は、水面は1分間に

2+2/3=8/3cm上がります。

□分後~24分の間は、

2×1/3+2×2/3=2/3+4/3=6/3cm上がります。

下のようにの面積図にしてみると、

11172

1分間に8/3cmのままなら24分間で64cmなので、

白い部分の面積は4ということになり、

PQ=8/3-6/3=2/3 より、

QRの長さは、

4÷2/3=6となるので、

□=24-6=18分です。

6082

 

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682

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2019年8月20日 (火)

色部分の面積は?(ラ・サール中学 2019年 )

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図の三角形ABCで角Aは直角、辺ABの長さは24cm、

辺ACの長さは15cmです。

さらに、ADの長さが6cm、AEの長さが10cm、

DFは辺ACと平行とします。

(1)DFの長さを求めなさい。

(2)色部分の面積を求めなさい。

1281

6082_2

 

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解法例

6085_2

 

1282

(1)

△EABと△FDBは相似で、

AB:DB=24:(24-6)=4:3

DF=10×3/4=7.5cm

(2)

△赤と△緑も相似で、

CE:DF=(15-10):7.5=2:3

△緑の底辺をDFとしたときの高さは、

6×3/5=3.6cm

求める面積=

(24×10÷2-18×7.5÷2)-7.5×3.6÷2

=(120-67.5)-13.5

=39㎠

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682

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2019年8月12日 (月)

A、B、Cの濃度は何%?(雙葉中学  2019年 )

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3つの容器A、B、Cに、濃度の異なる食塩水が 100gずつ入っています。

これらの食塩水に作業1をしました。

[作業1]

Aから 20g、Bから 30g、Cから 40gを取り出す。

次に、Aから取り出したものをBに、 Bから取り出したものをCに、

Cから取り出したものをAに入れて、それぞれよくかき混ぜる。

作業1の後のBの濃度は 13%でした。

作業1でできた食塩水に、作業2をしました。

[作業2]

Aから40g、Bから20g、Cから30gを取り出す。

次に、Aから取り出したものをCに、 Bから取り出したものAに、

Cから取り出したものをBに入れて、それぞれよくかき混ぜる。

作業2の後のAの濃度は 10.6%でした。

(1)作業1の後のAの濃度は何%でしたか。

 

(2)作業2の後、BとCの濃度は等しくなりました。

   このときのB、Cの濃度は何%ですか。

   ただし、作業1の後のCの濃度は、A、Bの濃度より高くなっていました。

 

(3) 最初、Cの濃度はAの濃度の3倍でした。

   最初のA、B、Cの濃度はそれぞれ何%でしたか。

Sst056s

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解法例

(1)1回目でAは、100g-20g+40g=120gになり、

2回目で40g取り出したとき、120-40=80gになっています。

そこに、濃度13%のB20gが入り濃度が10.6%になるので、

てんびん図は下のようになります。

 

3111

重さの比はA:B=80:20=4:1

てんびんの長さは逆比になり、1:4

したがって作業1後のAの濃度は、

10.6-(13-10.6)÷4=10%

(2)てんびん図で表すと、

下の図のように、BとCの濃度、□%は等しくなります。

3112

したがって、

10+(C-10)×3/5=13+(C-13)×3/10

100+(C-10)×6=130+(C-13)×3

6×C+40=3×C+91

3×C=51

C=17%

□=13+(17-13)×3/10=14.2%

(3)作業1のAをてんびん図で表すと下のようになります。

3113

最初のAの濃度を◎%とすると、

◎+(3×◎-◎)1/3=10 より、

◎+(2×◎)/3=10

(5×◎)/3=10

◎=6%=A

C=6×3=18%

3114

B=13+(13-6)×2/7=15%

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682

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2019年8月 5日 (月)

黄色部分の面積は?(早稲田中学 2019年 )

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図の黄色部分は、

台形から半径が同じおうぎ形3つを取り除いたものです。

黄色部分の面積は何㎠ですか。

2261

6082

 

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解法例

6085

2262

△AEFと△EBHは合同なので、

AF=8÷2=4cm です。

△AEGは二等辺三角形なので、

∠AEF=∠AGF より、

△AEFと△AGFは合同になります。

AG=GD、AF=GI=4cm より、

△AGFと△GDIも合同になり、

∠AGF+∠DGI=90°

∠FGI=90°より、

AGDは直線になります。

ID=FG=3cm=EF=BH より、

BD=12cm

3つのおうぎ形の中心角の合計は270°

求める面積は、

(6+12)×8÷2-5×5×3.14×270/360

=72-58.87.5

=13.125㎠

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682

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2019年7月15日 (月)

長さと面積は?(武蔵中学 2019年 )

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下の図で、四角形ABCDは長方形で、

AE=6cm、ED=8cm、DG:GC=2:5、

∠DEH=∠GFC、

三角形GFCの面積は10㎠です。

次の問いに答えなさい。

2181

(1)CFは何cmですか?

(2)ABは何cmですか?

(3)三角形BFHの面積は何㎠ですか?

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解法例

2182

(1)

△GFCと△FEPは相似で、相似比は5:7より、

(⑤+⑦)=⑫が8cmなので、

CF=⑤=8×5/12=10/3cm

(2)

10/3×CG×1/2=10㎠なので、

CG=10÷5/3=6cm

DG=6×2/5=12/5cm

AB=6+12/5=42/5cm

(3)

△DEHと△BFHは相似で、相似比は

8:(14-10/3)=8:32/3=24:32=3:4

△BFHの面積=32/3×42/5×4/7×1/2

=32/3×12/5

=128/5㎠

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682

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2019年7月 8日 (月)

ゲームをしたのは何回?(今年 2019年 桜蔭 中学)

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3人の中から1人の勝者が決まるゲームのトーナ メントを考えます。

ゲームは必ず3人で行います。

このトーナメントに参加する子どもたちに1から 順に番号をふります。

番号の小さい順に3人ずつ 組み、 1回戦を行います。

3人の組にならない子どもは2人以下とし、そのまま2回戦に進みます。

2回戦以降も同じように組を作ってゲームを行います。

例えば、1番から 11番の参加者 11人でトーナメントをするとき、

図1のように1回戦はa、b、cの3回ゲームを行い、

10 番と11番の子どもはそのまま準決勝に進みます。

そのあと d、eの2回ゲームを行うと 優勝者が1人決まります。

図1

2061

(1)1番から81番の参加者 81人で1回戦を図2のように行うと、

優勝者が1人決まるまでに、合計何回のゲームが行われますか?

図2

2062

 

(2) 1番から235番の参加者235人でトーナメントを行うと、

優勝者が1人決まるまでに 合計何回のゲームが行われますか?

(3)優勝者が1人決まるまでに合計 24 回ゲームが行われたとき、

トーナメントの決勝、準決勝は 図3のようになりました。

このときのトーナメントの参加者は何人ですか?

図3

2063

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解法例

106

 

(1)

81÷3=27

27÷3=9

9÷3=3

3÷3=1

27+9+3+1=40回

(2)

235÷3=78・・・・・1

(78+1)÷3=26・・・・・1

(26+1)÷3=9

9÷3=3

3÷3=1

78+26+9+3+1=117回

(3)

逆に考えていきます。

(2+1)÷3=1

7÷3=2・・・・・1

この7が1+6か2+5なのか調べます。

1+6の場合、

(6+1)÷3=2・・・・・1

その前は、

(   )÷3=6・・・・・1 なので、

(  )=19

19=18+1 か 17+2 となって、

いずれの場合も24ゲームを上回ってしまい不適当、

したがって、

(5+2)÷3=2・・・・・1 なので、

その前は、

(  )÷3=5・・・・・2 より

(  )=17

17=16+1 か 15+2 ですが、

24ゲームになるのは、16+1なので、

(16+1)÷3=5・・・・・2

その前は、

(  )÷3=16・・・・・1 より、

(  )=49人

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682

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