目次

パズル

2017年12月16日 (土)

できる四角形は?(桐朋中学 2016年)

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下の<図1>のように、点Oで垂直に交わる2つの直線に、

点Oから 1cmの間隔で1から6の目盛りをつけます。

図1

12161

 

4個のさいころA、B、C、D を投げて、出た目の数と同じ目盛りに点をとり、

これらの4つの点を頂点とする四角形をつくります。

たとえば、A、B、C、Dの目がそれぞれ 6、4、3、5のときにできる四角形は、

下の<図2>のようになります。

図2

12162

 

(1) Aの目が1、Cの目が3のときにできる四角形が

 台形となる場合の 面積は何㎠ですか。

 考えられるものをすべて答えなさい。

(2)4個のさいころの目は小さい順に1、3、4、6 でした。

  このときできる四角形のうち、面積が最も大きいものは何㎠ですか。

(3)Aの目が1、Bの目が2のときにできる四角形の面積が

  12㎠となるようなCの目の数とDの目の数の組み合わせを

  すべて答えなさい。

  たとえば、Cの目が1、Dの目が3のときは、(1、3)と書きなさい。

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(1)1つは下図のような台形

12163

面積は、0.5+1.5+4.5+1.5=8㎠

もう1つは下図のような台形

12164

面積は、1+3+9+3=16㎠

(2)下図のようになる場合で、

12165

面積は、1.5+9+12+2=24.5㎠

(3)下図のような3通りで、

12166

CとDは、(2、6)、(3、4)、(5、2)

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2017年12月12日 (火)

すき間部分の体積は?(中央大学附属中学 2017年)

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図のように、底面の半径が6cm、高さが24cmの円柱を、

1辺が24cmの正方形の板からはみ出ないように4つ並べ、

その真ん中に1つ積み上げ ました。

次の問いに答えなさい。ただし、円周率は3.14とします。

Bandicam_20171212_085642167

(1)5つの円柱と板で囲まれてできたすき間の部分の体積は

  何立方cmですか。

(2)5つの円柱を真上から見たとき、

  見える部分の面積は何㎠ですか。

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すき間の形は図のようになるので、

面積は1辺12cmの正方形から、

半径6cmの円を引いて求められます。

Bandicam_20171212_090410272

(1)

(12×12-6×6×3.14)×24=743.04立方cm

(2)

見える部分は、すき間部分がふさがった状態なので、

(12×12-6×6×3.14)+6×6×3.14×4=483.12㎠

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2017年12月11日 (月)

ABの長さは何cm?(鎌倉学園中学 2016年)

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図のように、四角形ABCD、BEFGはともに長方形で面積は等しく、

CE=4cm、EF=6cmです。

また、BFとCDの交点をHとすると、

三角形BHDの面積は18㎠です。

このとき、ABの長さは何cmですか?

12111

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12112

△DBCと△FBEは面積が等しいので、

緑部分が共通なので、

△BHDと四角形CEFHは面積が等しく、18㎠です。

(CH+6)×4÷2=18 なので、

CH=3cm

△BEFと△BCHは相似で、相似比は6:3=2:1 より

BC=4cm

長方形BEFGの面積=8×6=48㎠

AB=48÷4=12cm

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2017年12月 8日 (金)

穴が開いていない立方体はいくつ?(東海大学付属相模高等学校中等部 2017年)

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下の図のように立方体を積み重ねて大きな立方体を作りました。

黒い円は、上と正面と横からそれぞれ向かいの面まで

穴を通したものです。

このとき、穴が開いていない立方体はいくつありますか。

12081

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図のように上の段は1個

Bandicam_20171208_085645706

真ん中の段は2個

Bandicam_20171208_090049071

下の段は1個

Bandicam_20171208_090226709

合計4個

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2017年12月 7日 (木)

ABが動いた軌跡はどんな形?(お茶の水女子大学附属中学 2016年)

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図のように直線アイの上に直角三角形ABCがあります。

直角三角形ABCを頂点Cを中心にして、

時計の回る方向に辺ACがはじめて直線アイと重なるまで回転させました。

このとき辺ABが動いた部分を作図し、

その部分を ////(斜線)で表しなさい。

ただし、コンパスや定規などでかいた線は消さずに残しておきなさい。

1207

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12071

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2017年12月 4日 (月)

①~⑧の面に接する文字は?(大阪教育大学附属平野中学 2017年)

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図1のようなマス目の上を、スタートからゴールに向けて、

文字が書かれた立方体を マス目に合わせて順番に転がします。

図2は、スタートとゴールの位置に立方体がある様子を示しています。

このとき、立方体を転がし

①~⑧の面に接する文字はそれぞれ何ですか。

図1

12042
図2

12041

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それぞれの文字の対面を調べてみます。

イは②では右側、

③で上、④⑤で左、⑥で下、⑦⑧で右、

ゴールでは下になるので、対面はガ

ロは①で手前、②で下、③で右、④で上、⑤⑥⑦で前、

⑧で下、ゴールでは左になるので、対面はル

コは①で下、②③④で後ろ、⑤で上、⑥で左、⑦で下、

⑧で後ろ、ゴールでも後ろなので、対面はサ

イ-ガ、ロ-ル、コ-サ が対面どうしになります。

①はコが下、

②はロが下

③はイが上になるので、ガが下

⑧はルが上なので、ロが下

⑦はサが上なので、コが下、

④はロが上なので、ルが下

⑤はコがうえなので、サが下

⑥はガが上なので、イが下

①~⑧まで順番に、

コロガルサイコロ

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2017年12月 2日 (土)

正方形の中の正方形(武蔵中学 2017年)

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図1において、

2つの四角形ABCDと四角形EFGHはどちらも正方形で、

AE=6cm、AF=10cmです。


図1

12011

(1)図1に正方形PQRDをかき加えてできたのが図2です。

   SQは何cmですか。

図2

12012

(2) 図1に正方形EFGHと同じ大きさの正方形IJKLを

   かき加えてできたのが図3です。

   図のア、イ、ウ、エ、オ、カ、キ、クの8つの点を頂点とする

   八角形の面積は何㎠ですか。

図3

12014

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(1)

図のように、正方形ABCDの対角線BDは、

正方形PQRDの対角線QDと重なるので、

Qは対角線BD上の点でもあります。

12016

したがって、△赤は直角二等辺三角形になり、

BM=⑤ とすると、QM=⑤

△緑と△黄と△SPEは相似で、

AF:AE=10:6=5:3=QM:FM=SP:EP

⑤+③=⑧=6cm なので、

SQ=16cm-⑤×2=16-6×5/8×2=8.5cm

(2)

正方形IJKLを正方形EFGHと線対象な図形として考えると、

下の図のようになり、

12015

△黄と△緑が相似で、底辺:高さ=⑧:⑤

OX=⑤=6×5/8=3.75cm

OY=8-3.75=4.25cm

ZT=4.25×8/5=6.8cm

求める八角形の面積=6.8×4.25÷2×8=115.6㎠


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2017年11月26日 (日)

この立体の体積は?(豊島岡女子学園中学 2017年)

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下の図のような底面が正六角形で、

側面がすべて合同な長方形でできた立体があり、

底面積は324㎠、高さは12cmです。

この立体の6つの点A、B、C、D、E、Fを結んでできる立体Pを考えます。

このとき、次の各問いに答えなさい。


ただし、三角すいの体積は (底面積) ×(高さ) ÷3で求めることができます。

11261



(1)立体Pの体積は何立方cmですか。

(2)底面DEFから高さが4cmのところで底面と平行な面で立体Pを切った とき、

  底面DEFを含む立体の体積は何立方cmですか。

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11262

(1)全体から、△黄を底面とし、高さ12cmの三角すいを6つ引くと

立体Pの体積が求められます。

△黄は正六角形の1/6なので、

324÷6=54㎠

したがって、

P=324×12-54×12÷3×6=2592立方cm

(2)△赤は△黄と相似で、

各辺の長さは1/3なので、

1:1/3=3:1→面積比は3×3:1×1=9:1

54×1/9=6㎠

△青は△黄と相似で、

各辺の長さは2/3なので、

1:2/3=3:2→面積比は3×3:2×2=9:4

54×4/9=24㎠

求める立体の体積は、高さ4cmの正六角柱から、

高さ4cm、底面積6㎠の三角すい3つと、

高さ12cm、底面積54㎠の三角すいから

高さ8cm、底面積24㎠の三角すいを引いた円すい台3つを引きます。

324×4-6×4÷3×3+(216-24×8÷3)×3

=1296-(24+456)

=816立方cm

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2017年11月24日 (金)

XHの長さと場合の数は?(聖光学院中学 2017年)

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図1のような1辺の長さが1cmの正方形ABCDがあり、

辺ADを3等分する点をP、Qとし、

辺BCを3等分する点をR、Sとします。

4点A、P、Q、Dと4点B、R、S、Cからそれぞれ2点ずつ選び、

それら4点を頂点とする四角形を考え、

その2本の対角線の交点をXとします。

さらに、角XHBが直角 となるようにBC上に点Hをとります。

このとき、次の問いに答えなさい。

11247

(1)4点A、P、Q、Dと4点 B、R、S、Cから

  それぞれ2点ずつ選んでできる四角形は全部で何個ありますか。

(2)図2のような四角形 BCDQ について考えるとき、

  XHの長さは何cmですか。

(3)4点A、P、Q、Dと4点 B、R、S、Cから

  それぞれ2点ずつ選んでできる四角形の対角線の交点Xとして

  考えられるものすべてを考えます。

  ただし、対角線の交点が複数重なる場合、

  それらは同じ点として考えるものとします。

  ①XH=2/3cmであるような X として考えられる点は

   全部で何個ありますか。

  ②XH=1/2cmであるような
 X として考えられる点は

   全部で何個ありますか。

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(1)APQDの4点から2点選ぶ場合の数は、6通り、

同様に、BRSC4点から2点選ぶ場合の数も、6通りなので、

四角形は、6×6=36個できます。

(2)

11242

△黄と△緑は相似で、相似比は1:3なので、

XH=1×3/(1+3)=3/4cm

(3)

①下辺:上辺=2:1の四角形を考えるので、

11243

図のように6個です。

②下辺:上辺=1:1の四角形を考えるので、

11245

図のように、5個です。

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2017年11月23日 (木)

見えているサイコロの目は?(山梨学院中学 2017年)

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展開図が(図1)のようなさいころを

(図2)のように机の上に向きを変えずに積み上げて

立体をつくっていきます。

たとえば、2段は4個のさいころを使っています。

この とき、次の各問いに答えなさい。

図1

11232

図2

11231

(1)4段の立体で使うさいころの個数は何個ですか。

(2)36個のさいころで何段の立体ができますか。

(3)4段の立体を真上から見たとき、

  見えているすべてのさいころの目を足すといく つになりますか。

(4)5段の立体を周りから見たとき、2の目は何個見えていますか。

(5)5段の立体を周りから見たとき、

  見えているすべてのさいころの目を足すといく つになりますか。

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(1)1段目→1個

2段目→3個

3段目→5個

4段目→7個

1+3+5+7=16個

(2)1段は→1×1=1個

2段は→2×2=4個

3段は→3×3=9個

4段は→4×4=16個

36=6×6なので、6段

(3)1の目が7つ見えているので、7

(4)5の裏側の2の目は

5段では、1+2+3+4+5=15個見えています。

(5)1の目→9個×1=9

2の目→15個×2=30

3の目→15個×3=45

4の目→15個×4=60

5の目→15個×5=75

9+30+45+60+75=219

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