目次

クイズ

2019年7月15日 (月)

長さと面積は?(武蔵中学 2019年 )

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下の図で、四角形ABCDは長方形で、

AE=6cm、ED=8cm、DG:GC=2:5、

∠DEH=∠GFC、

三角形GFCの面積は10㎠です。

次の問いに答えなさい。

2181

(1)CFは何cmですか?

(2)ABは何cmですか?

(3)三角形BFHの面積は何㎠ですか?

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解法例

2182

(1)

△GFCと△FEPは相似で、相似比は5:7より、

(⑤+⑦)=⑫が8cmなので、

CF=⑤=8×5/12=10/3cm

(2)

10/3×CG×1/2=10㎠なので、

CG=10÷5/3=6cm

DG=6×2/5=12/5cm

AB=6+12/5=42/5cm

(3)

△DEHと△BFHは相似で、相似比は

8:(14-10/3)=8:32/3=24:32=3:4

△BFHの面積=32/3×42/5×4/7×1/2

=32/3×12/5

=128/5㎠

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682

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2019年7月 8日 (月)

ゲームをしたのは何回?(今年 2019年 桜蔭 中学)

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3人の中から1人の勝者が決まるゲームのトーナ メントを考えます。

ゲームは必ず3人で行います。

このトーナメントに参加する子どもたちに1から 順に番号をふります。

番号の小さい順に3人ずつ 組み、 1回戦を行います。

3人の組にならない子どもは2人以下とし、そのまま2回戦に進みます。

2回戦以降も同じように組を作ってゲームを行います。

例えば、1番から 11番の参加者 11人でトーナメントをするとき、

図1のように1回戦はa、b、cの3回ゲームを行い、

10 番と11番の子どもはそのまま準決勝に進みます。

そのあと d、eの2回ゲームを行うと 優勝者が1人決まります。

図1

2061

(1)1番から81番の参加者 81人で1回戦を図2のように行うと、

優勝者が1人決まるまでに、合計何回のゲームが行われますか?

図2

2062

 

(2) 1番から235番の参加者235人でトーナメントを行うと、

優勝者が1人決まるまでに 合計何回のゲームが行われますか?

(3)優勝者が1人決まるまでに合計 24 回ゲームが行われたとき、

トーナメントの決勝、準決勝は 図3のようになりました。

このときのトーナメントの参加者は何人ですか?

図3

2063

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解法例

106

 

(1)

81÷3=27

27÷3=9

9÷3=3

3÷3=1

27+9+3+1=40回

(2)

235÷3=78・・・・・1

(78+1)÷3=26・・・・・1

(26+1)÷3=9

9÷3=3

3÷3=1

78+26+9+3+1=117回

(3)

逆に考えていきます。

(2+1)÷3=1

7÷3=2・・・・・1

この7が1+6か2+5なのか調べます。

1+6の場合、

(6+1)÷3=2・・・・・1

その前は、

(   )÷3=6・・・・・1 なので、

(  )=19

19=18+1 か 17+2 となって、

いずれの場合も24ゲームを上回ってしまい不適当、

したがって、

(5+2)÷3=2・・・・・1 なので、

その前は、

(  )÷3=5・・・・・2 より

(  )=17

17=16+1 か 15+2 ですが、

24ゲームになるのは、16+1なので、

(16+1)÷3=5・・・・・2

その前は、

(  )÷3=16・・・・・1 より、

(  )=49人

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682

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2019年6月30日 (日)

切断面の形は?(開成中学 2019年)

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次の図のような直方体 ABCD-EFGH があります。

また、辺 CD、EF、GC 上にそれぞれ点 P、Q、R があり、

DP=8cm、PC=12cm、EQ=4cm、CR=9cmが成り立っています。

2021

 

 

3点P、Q、R を通る平面でこの直方体を切断し、

切断したときにできる切り口の図形をXとします。

図形 X を前から見ると(面 ABFE に垂直な方向から見ると)、

面積が228㎠の図形に見えます。

図形X を上から見ると(面 ABCD に垂直な方向から見ると)、

面積が 266㎠の図形に見えます。

2022

 

 

このとき、次の問いに答えなさい。

(1) 図形 X は何角形ですか。

(2) 直方体の高さ(辺 AE の長さ)は何cm ですか。

(3) 直方体の奥行き(辺 AD の長さ)は何cm ですか。

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解法例

106

(1)切り口は図のような六角形です。

2023

(2)前から見ると下の図のように見えます。

2027

TQとPRは平行なので、

△TEQと△RCPは相似になり、

TE=4×3/4=3cm

六角形ATQFRP=228㎠なので、

AE=□cmとすると、

20×□-(4×3÷2+12×9÷2)=228

20×□-60=228

20×□=288

AE=□=14.4cm

(3)下の図のように、直方体の上に三角すいを考えると

2025

△TEQと△ODPは相似なので、

OD=8×3/4=6cm

△ODSと△TASも相似なので、

OD:TA=6:(14.4-3)=6:11.4=10:19より、

DS:SA=10:19

2026

上から見ると、△緑どうしも相似になるので、

DP:FQ=8:16=1:2より、

DS:BU=10:20

20×(⑩+⑲)-(8×⑩÷2+16×⑳÷2)=266

580まる-200まる=266

380まる=266

①=0.7

AD=29まる=0.7×29=20.3cm

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682

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2019年6月20日 (木)

長さと表面積は?(神戸女学院中学部 2019年 )

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図1のような直方体を上下はそのままで4個はり合わせて、

図2のような立体を作ります。

図1の直方体4個分の表面積の和と図2の立体の表面積の比は

5:4となりました。

図1

1301

図2

1302

 

 

(1)「あ」の長さは何cmですか。

(2)図2の立体を2個作ってぴったり重ね、

上の立体を点Pを中心に45°回転させて、図3のような立 体を作ります。

このとき、図3の立体の表面積を求めなさい。

図3

1303

 

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解法例

109

(1)図1の立体の表面積は、

3×6×2+3×あ×2+あ×6×2

=18×あ+36

その4個分は、

72×あ+144

図2の立体は、

3×あ×8=24×あ だけ表面積が少なくなっているので、

(72×あ+144):(48×あ+144)=5:4

4×(72×あ+144)=5×(48×あ+144)

288×あ+576=240×あ+720

48×あ=144

あ=3cm

(2)

1304

.図のように上下の立体が重なっている部分の面積は、

3×3÷2×2=.9㎠

この重なった部分は8個あるので、

9×8=72㎠

図2の立体2つ分の表面積は、

2×(48×3+144)=576㎠

図3の立体の表面積は

576-72=504㎠

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682

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2019年6月17日 (月)

コースの長さは?橋の長さは?(桐朋中学 2018年)

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下の図のように、 池のまわりを1周する ランニングコースと、

池にかかる橋があります。

その橋はランニングコースの P地点とQ地点の間にかかっています。

A、B、Cの3人がP地点から同時に出発して、次のように移動しました。

10201

 

AはP地点を出発して、分速160mで走り、

X地点、Q地点、Y地点 を通ってP地点に戻りました。

BはP地点を出発して、分速80mで歩き、

Y地点を通って、Q地点から橋を渡ってP地点に戻りました。

CはP地点を出発して、分速60mで歩き、

X地点を通って、Q地点から 橋を渡ってP地点に戻りました。

3人がP地点を出発して4分30秒後に、AとBはY地点で出会いました。

また、AがP地点に戻ってから1分 55秒後に、CはP地点に戻りました。

(1)ランニングコース1周の道のりは何mですか。

(2) CがP地点を出発してから、P地点に戻るまでにかかった時間は

  何分何秒でしたか。

(3) Bが Q地点を通ってから 30秒後にCがQ地点を通りました。

  橋の 長さは何mですか。

 

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解法例

1212

10202

Y地点で4分30秒後にAとBは出会いました。

2人は、160+80=分速240mで近づいていったわけです。

 

(1)

(160+80)×4.5=1080m

(2)

AがP地点にもどったのは、

1080÷160=6.75分=6分45秒後なので、

CがP地点にもどったのは、

6分45秒+1分55秒=8分40秒後

(3)

BがQ地点に着いたとき、

Cはその手前30秒、60÷2=30mの地点にいます。

10203

つまり、1080-30=1050mを2人で歩いたことになり、

その時間は、1050÷(80+60)=7.5=7分30秒です。

CはQ地点まで、7分30秒+30秒=8分で着き、

橋を、8分40秒-8分=40秒で渡ったので、

橋の長さは、60m×2/3分=40m です。

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682

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2019年6月13日 (木)

色部分の面積は?(鎌倉学園中学 2019年)

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図のように,たてが 10cm,横が 20 cm の長方形の中に,

半径が 10cm の円の一部を3つかきました。

色部分の面積は何㎠ですか。

ただし, 円周率は 3.14 とします。

6131

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解法例

図のように、左部分を右の黄色部分に移動すると、

1辺が10cmの正方形になります。

Path4522

求める面積は、

10×10=100㎠

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682

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2019年6月10日 (月)

長さと面積は?(武蔵中学 2019年)

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下の図で、四角形ABCDは長方形で、

AE=6cm、ED=8cm、DG:GC=2:5、

∠DEH=∠GFC、

三角形GFCの面積は10㎠です。

次の問いに答えなさい。

2181

(1)CFは何cmですか?

(2)ABは何cmですか?

(3)三角形BFHの面積は何㎠ですか?

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解法例

2182

(1)

△GFCと△FEPは相似で、相似比は5:7より、

(⑤+⑦)=⑫が8cmなので、

CF=⑤=8×5/12=10/3cm

(2)

10/3×CG×1/2=10㎠なので、

CG=10÷5/3=6cm

DG=6×2/5=12/5cm

AB=6+12/5=42/5cm

(3)

△DEHと△BFHは相似で、相似比は

8:(14-10/3)=8:32/3=24:32=3:4

△BFHの面積=32/3×42/5×4/7×1/2

=32/3×12/5

=128/5㎠

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682

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2019年6月 5日 (水)

立方体の展開図は?(女子学院中学 2019年)

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図1のように,厚紙に同じ大きさの 12 個の正方形をかいて,

1 ~ 12 の数を入れました。

この厚紙の必要のない部分を切り取って立方体の展開図を作ります。

Bandicam-20190605-094507181

(1)[12]を使ってできる展開図は全部で何通りですか。

(2) 展開図にかかれている数の和が一番小さいものを1つ作ります。

使う数を図2に〇で囲みなさい。

Bandicam-20190605-094518652

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解法例

立方体の展開図は11種類あります。

③は横幅が5つになるので除外して、10種類で考えます。

Rippotai_tenkaizu12

(1)

⑧と⑪は12を含むことができないので、8通りですが、

⑨は11を含む展開図と、11を含まない展開図の

2通りできるので、

全部で9通りの展開図ができます。

(2)

Bandicam-20190605-101332515

または、

Bandicam-20190605-101346774

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682

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が34で最小になります。

2019年5月30日 (木)

四角形は五角形の何倍?(近畿大学附属広島中学福山校 2019年)

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正六角形ABCDEFにおいて,点Mを辺ABのまん中の点とするとき,

四角形AMEFの面積は,五角形MBCDEの面積の何倍ですか。

 

5301

             41

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----------------------------------------------------

解法例

5303_1

△黄と△緑は底辺と高さが等しいので面積も等しくなります。

△黄+△緑は正三角形ABOに等しく、

正六角形の面積の1/6になります。

四角形AMEF=1/2-1/6=2/6=1/3

五角形MBCDE=1/2+1/6=4/6=2/3

四角形AMEFは五角形MBCDEの面積の半分なので、

1/2倍

 

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682

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2019年5月29日 (水)

立方体の切り口は?(本郷中学 2018年)

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図のような1辺の長さが3cmの立方体があります。

点Iは辺GH上、点JはDH上にあり、 GI=DJ=1cmです。

10301

 

この立方体を、3点A、F、Jを通る平面で切ったとき、

点Eを含む立体 をKとします。

このとき、次の問いに答えなさい。

(1)立体Kの表面のうち、

  もとの立方体の表面に 含まれる部分の面積は何㎠ですか。

(2)この立方体の展開図は下図のようになります 。

10304

 

  (1)で求めた部分を色部分で表します。

   残りの部分に色をつけてください。

(3)立体Kの体積は何立方cmですか。

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

解法例

立方体の切り口は図のようになります。

10302_2

(1)

左面→3×3÷2=4.5㎠

右面→2×2÷2=2㎠

奥の面→9-1×3÷2=7.5㎠

下面→9-1×3÷2=7.5㎠

求める面積=7.5×2+4.5+2=21.5㎠

(2)

立方体の一番離れている頂点どうしは、

展開図では2つ並んだ正方形の対角線の位置に来ます。

したがって、各頂点は下の図のようになります。

10305

切り口を線で結ぶと、(1)の面積は図のようになります。

10306

(3)

AJとFIとEHを延長すると1点で交わります。

10303

大きな三角すいから立方体からはみ出た三角すいを引きます。

3×3÷2×9÷3-2×2÷2×6÷3

13.5-4

=9.5立方cm

6082

 

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682

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