目次

平面図形

2019年1月20日 (日)

△AEF の面積は何㎠?(今年 2019年 大阪星光学院中学)

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下の図のような1辺の長さが15cm の正方形 ABCD があり、

Eは辺BCを3等分した点のうちBに近い方の点です。

△AEFの周の長さが最も短くなるように点Fを辺 CD 上にとるとき、

△AEF の面積は何㎠ですか。

1201

580

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解法例

6085_2

DCを鏡と考えると、

Aを出発した光はEの対称点Gに向かい、

Fで反射し、Eに最短距離で届きます。

∠AFD=∠GFC=∠EFC

1202

△黄と△緑は相似で相似比は、15:10=3:2

したがって、DF=15×3/5=9cm

FC=15×2/5=6cm

△AEFの面積は、

(15+10)×15÷2-(9×15÷2+6×15÷2)

=187.5-97.5

=90㎠

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682

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2019年1月15日 (火)

色部分の面積は?(今年 2019年 浦和明の星女子中学)

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下の図は、大きな半円と小さな円と直線を組み合わせたもの です。

図の色部分の面積を求めなさい。

ただし、円周率は3.14 とします。

1151

102

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図の黄色部分は二等辺直角三角形で、

赤い部分は小さい円の3/4になります。

1152

緑部分の面積は、

半径4cm、中心角135°のおうぎ形から、

黄と赤部分を引いて求めます。

4×4×3.14×135/360-2×2×3.14×3/4

=6×3.14-3×3.14

=3×3.14

=9.42㎠

9.42-2×2÷2=7.42㎠

104

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682

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2018年12月22日 (土)

面積は?(今年、2018年 桜蔭中学)

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半径が3cmの円Aと、1辺の長さが6cmの正方形Bを用いてできる

次の3つの図形をA+A、A+B、B+Bと呼ぶことにします。

261_2

このとき、次の問いに答えなさい。

(1)A+A、A+B、B+Bの面積はそれぞれ何㎠ですか。

(2)同じように、AとBを合わせて10個用いて、

  下のような図形を作ります


  両端にAを使うとき、 Bをできるだけ少なく使って面積が250㎠ 以上の

  図形を作るには、Bを何個使いますか。

  また、 作った図形の面積は何㎠ですか。


263

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(1)

2つの図形の面積の和から重なった部分を引きます。

262

緑部分

=3×3-(3×3-3×3×3.14×1/4)×2

=9-(9-7.065)×2

=5.13㎠

円周率が3.14の場合、

木の葉形の面積が正方形の0.57倍になることを知っていれば、

3×3×0.57=5.13㎠

赤部分

=3×3×3.14×1/4

=7.065

青部分

=3×3

=9㎠

A+A

=3×3×3.14×2-5.13

=51.39㎠

A+B

=(3×3×3.14+36)-7.065

=57.195㎠

B+B

=36×2-9

=63㎠

(2)

10個全部Aの場合の面積

=28.26×10-5.13×9

=236.43

したがって、250-236.43=13.57㎠以上増やします。

Bを1つ増やすと、

36-28.26=7.74㎠面積が増えますが、

重なる部分も、(赤-緑)×2=(7.065-5.13)×2=3.87㎠増え、

実際に増える面積は、7.74-3.87=3.87㎠です。

もう1つBを増やしても、両サイドのA+Bは変わらないので、

B+Bなら、9-5.13=3.87㎠増え、

A+B+A+B+Aの並びでも3.87㎠増えることになります。

つまり、Bを1つ増やすごとに3.87㎠増えるので、

13.57÷3.87=3.5・・・ より、

Bは4個使い、

面積は、

236.43+3.87×4=251.91㎠

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2018年12月13日 (木)

三角形ABEの面積は?(今年 2018年 志学館中等部)

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下の図で、四角形ABCDは辺ADと辺BCが平行 な台形です。

辺BCの長さは辺ADの長さの2倍で、

CEの長さはAEの長さの2倍です。

台形ABCDの 面積が72㎠のとき、

三角形ABEの面積は何㎠で すか。

12131

107

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----------------------------------------------------

解法例

109

△緑と△赤は高さが同じなので、

底辺の長さ比が、そのまま面積比になります。

12132

△緑:△赤=1:2

△黄と△水色も底辺比が1:2なので、

面積比も1:2

12133

△ABEの面積=72×2/3×1/3=16㎠

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682

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2018年12月 4日 (火)

長さ比、面積比は?(今年 2018年 吉祥女子中学)

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図の四角柱は、底面が1辺5cmのひし形で、高さは5cmです。

点Mは 辺CG を二等分する点、

点Pは三角形AFHと直線CEの交わる点、

点Q は三角形AFH と直線MEの交わる点、

点Rは3点A、P、Qを通る直線と直線FHの交わる点です。

FHの長さが6cmで、ひし形ABCDの面積が24㎠のとき、

後の問いに答えなさい。

12041

 

(1) ACの長さは何cmですか。

(2) FR:RH をもっとも簡単な整数の比で答えなさい。

(3) AP:PR をもっとも簡単な整数の比で答えなさい。

(4) AQ:QR をもっとも簡単な整数の比で答えなさい。

(5) AP:PQ:QR をもっとも簡単な整数の比で答えなさい。

(6) 三角形EPQ の面積は何㎠ですか。

Santa3

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解法のヒント

Honeycam_20181204_081552

6082

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----------------------------------------------------

解法例

(1)ひし形の面積は、対角線×対角線÷2なので、

AC×6÷2=24 より、

AC=24×2÷6=8cm

(2)PもQも図のように対角線ACを含む

平面AEGC上にあるので、Rも同一平面上にあります。

12042

Rは対角線FHの中点になり、

FR:RH=1:1

(3)BFとDHが重なる方向から見ると、

12043

△AEPと△SRPは相似で相似比は2:1なので、

AP:PR=2:1

(4)TはSRの中点なので、

△AEQと△TRQは相似で相似比は4:1

AQ:QR=4:1

(5)AP:PRとAQ:QRの比の合計をそろえると、

 AP:PR=2:1=10:5

AQ:QR=4:1=12:3 より、

PQ=5-3=2

AP:PQ:QR=10:2:3

(6)

△EAPと△EPQと△EQRの面積比は10:2:3

△EARの面積=5×(8÷2)÷2=10㎠ より、

△EPQの面積=10×2/15=4/3㎠

6083

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682

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2018年11月23日 (金)

四角形黄色の面積は?(今年 2018年 大宮開成中学)

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下の図の三角形の面積は60㎠です。

色部分の面積は何㎠ですか。

ただし、●は各辺にお ける間隔の等しい点を表します。

11231

60814

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----------------------------------------------------

解法例

588

11232

△青は、大きい三角形の底辺が1/5、高さが2/3なので、

面積は、大きい三角形の1/5×2/3=2/15

△緑は、大きい三角形の底辺が3/4、高さが1/3なので、

面積は、大きい三角形の3/4×1/3=3/12

△茶は、大きい三角形の底辺が2/5、高さが1/4なので、

面積は、大きい三角形の2/5×1/4=2/20

△青+△緑+△茶=2/15+3/12+2/20=29/60

四角形黄色の面積=60-29=31㎠

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682

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2018年10月27日 (土)

正三角形の1辺の長さは?(今年、2018年 筑波大学附属駒場中学)

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正三角形 ABC の内側に点Pがあり、

Pから辺BC、AC、ABにそれぞれ垂直な線を引き、

交わった点を順に D、E、Fとします。

AFの長さは7cm、BD の長さは8cm、CE の長さは10cmです。

このとき、正三角形の一辺の長さを求めなさい。

251

 

60814

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

解法のヒント

図のように、Pを通り、正三角形の各辺に平行な線を引きます。

252

3つできた正三角形、△黄、△緑、△赤の1辺の和が

△ABCの1辺の長さに等しくなることがわかります。

6083

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

解法例

252

△黄の1辺の長さ=2×ア

△赤の1辺の長さ=2×イ

△緑の1辺の長さ=2×ウ とすると、

8-イ=2×ア・・・・・①

7-ア=2×ウ・・・・・②

10-ウ=2×イ・・・・・③

①と②より、

ア=7-2×ウ なので、

8-イ=2×(7-2×ウ)=14-4×ウ

4×ウ-イ=6・・・・・④

③と④より、

ウ=10-2×イ なので、

4×(10-2×イ)-イ=6

40-8×イ-イ=6

9×イ=34

イ=34/9

ウ=10-2×34/9=22/9

ア=7-2×22/9=19/9

2×(ア+イ+ウ)=2×(34+22+19)/9=150/9=50/3

=16と2/3cm

6082

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

682

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2018年10月13日 (土)

クモが捕らえられる虫はどこにいるかな?(今年 2018年 麻布中学)

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ある長方形があり、

頂点にいるクモが内部にいる虫を捕らえようとしています。

ただし、クモは一定の速さで移動し、虫は動かないものとします。

クモは、まず以下の規則で辺上を移動します。

虫に最も近い辺上の点(図1中の〇で表されて いる点)が一つだけあるとき、

その点まで辺上を最短経路で移動する。

10131

 

虫に最も近い辺上の点(図2、 図3中の〇で表されている点)が

複数あると き、それらのなかで最も早く着ける点のいずれかまで

辺上を最短経路で移動する。

10132

10133

 

こののち, クモは虫に向かってまっすぐ移動します。

例えば、図1、図2、図3の位置に虫がいるとき、

クモが移動を始めてから虫を捕らえるまでの動きは

それぞれ下図のようになります。

101311

101322

101333

 

クモの移動する速さは秒速10cmであるとして、

以下の問いに答えなさい。

(1)図4のように1辺の長さが10cmの正方形の頂点にクモがいるとします。

クモが1.5秒以内で捕らえることができるのは、

どのような範囲にいる虫ですか。

その範囲を斜線で示しなさい。

ただし、図中の点線は5cmごとに引いてあります。

10134

 

(2)図5のように、 縦の長さが10cm、

横の長さが20cmの長方形の頂点にクモが いるとします。

クモが2.5秒以内で捕らえることができるのは、

どのような範囲にいる虫ですか。

その範囲を斜線で示しなさい。

ただし、図中の点線は5cmごとに引いてあります。

10135_2

 

(3) (2)で示した斜線部分の範囲の面積を求めなさい。

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

解法のヒント

2.5cmごとに線をひいて、

クモが行ける交点を〇、いけない交点を×で記入していきます、

101344_2

 

101355

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解法例

(1)

1013444


(2)

1013555


(3)

(5×5)×5+(5×5)×1/2+(5×5)×3/4

=(5×5)×(5+1/2+3/4)

=25×6.25

156.25㎠


 

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682

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2018年10月 6日 (土)

ABの長さは?色部分の面積は?(今年 2018年 世田谷学園中学)

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下の図1は1辺の長さが6cmの正方形を8個つなげたものです。

このとき,次の問いに答えなさい。

1061

(1)上の図2のように図1に直線を2本かき加えました。

  ABの長さは何cmで すか。

(2)上の図3のように図1に直線を2本かき加えました。

  色部分の面積は 何cmですか。

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----------------------------------------------------

(1)

1063

△HIJと△HADは相似で、相似比は18:12=3:2

AD=12×2/3=8cm

△EGFと△EDBは相似で、相似比は18:6=3:1

DB=6×1/3=2cm

AB=8+2=10cm

(2)

1062

△赤と△(緑+黄)は相似で、相似比は12:33=4:11

△(緑+黄)の高さは、18×11/15=13.2cm

△(緑+黄)の面積=33×13.2÷2=217.8㎠

黄色部分の面積=36+9×6÷2=63㎠

緑部分の面積=217.8-63=154.8㎠

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682

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2018年10月 2日 (火)

色部分の面積は?(今年 2018年 浦和明の星女子中学)

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下の図は、1辺の長さが8cmの正方形と

対角線、おうぎ形、半円を組み合わせたものです。

図の色部分の面積を求めなさい。

ただし、円周率は3.14とします。

1021

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----------------------------------------------------

図の△緑の面積は、

8×4÷2=16㎠

1023

ここで、

黄+オレンジ+緑のおうぎ形の面積は、

8×8×3.14×45/360

=8×3.14㎠

半円の面積は、

4×4×3.14×1/2

=8×3.14㎠

したがって、

(黄+オレンジ+緑のおうぎ形の面積)=半円の面積 なので、

求める面積=水色部分の面積=オレンジ部分の面積

となるので、

求める面積は、

(8×3.14-16)÷2

=(25.12-16)÷2

=9.12÷2

=4.56㎠

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682

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