目次

平面図形

2017年10月17日 (火)

AH:HDは何対何?(明治大学付属明治中学 2016年)

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下の図のように、

正方形ABCDの辺AB、CDを2:1に分ける点をそれぞれE、G

辺BCの真ん中の点をF、辺AD上の点を H とします。

四角形EFGHの面積が24㎠、

正方形ABCDの面積が45㎠であるとき、

AH:HDをもっとも簡単な整数の比で表すと、何対何ですか?

10171

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10172

長方形黄色の面積は、

24-(45-24)=3㎠

各長方形の辺の比を上の図のように表すと、

6×6は45㎠にあたるので、

黄色い長方形の面積3㎠は、

6×6×3/45=12/5 になり、

黄色い長方形の横の長さは、

12/5÷2=6/5

AH=3-6/5=9/5

HD=6-9/5=21/5

AH:HD=9/5:21/5=9:21=3:7

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2017年10月10日 (火)

辺BCの長さは何cm?(2017年 近畿大学附属中学)

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下の図は、ABの長さが4cmの長方形ABCDを、

対角線ACと点Cを中心とする半径4cmの円で、

4つの部分に分けたものです。

イとエの部分の面積が等しいとき、

辺BCの長さは何cmですか。

10101

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10102

対角線ACは長方形を2等分するので、

エ+ウ=ア+イ

エ=イ なので、

ア=ウ

黄+緑は長方形の半分なので、

半径4cmの半円の面積=長方形の面積

BCの長さ=4×4×3.14÷2÷4

=2×3.14=6.28cm

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2017年10月 3日 (火)

面積の比と長さは?(2017年 世田谷学園中学)

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下の図のように、2つの正方形ア、イが重なった図形があります。

色部分は正方形で、その面積はアの1/4、 イの9/16にあたります。

太線で囲まれた図形の面積は172㎠です。

1031

(1)2つの正方形ア、イの面積の比を、最も簡単な整数で答えなさい。

(2)色部分の正方形の1辺の長さは何cmですか。

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1032

色部分の正方形の面積を⑨とすると、

区分けされた部分の面積比は図のようになり、

(1)ア:イ=36:16=9:4

(2)172㎠=43マルなので、

色部分の面積=172×9/43=36㎠

36=6×6 より、

1辺の長さは6cm

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2017年9月17日 (日)

切り口の面積は?(2017年 東大寺学園中学)

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下の図は三角柱の展開図です。

三角形「あ」、「い」はどちらも直角二等辺三角形であり、

四角形「う」、「え」はどちらも対角線の長さが2cmの正方形です。

また、点P、Q、RはそれぞれAB、GH、DFの真ん中の点です。

この展開図を組み立ててできる三角柱と、

形も大きさも同 じものを粘土で作りました。

それを、3点P Q Rを含む平面で切断したときの

切り口の面積を求めなさい。

ただし、1辺の長さが1cmの正三角形の面積を0.43㎠とします。

9171

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切り口は図のように、正六角形の半分になります。

9172

PQの長さは正方形の対角線の長さの半分で1cm、

△黄は1辺1cmの正三角形なので、

切り口の面積は、

0.43×6÷2=1.29㎠

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2017年9月15日 (金)

辺ABの軌跡の面積は?(2017年 横浜共立学園中学)

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下の(図1)のように、

縦4cm、横3cm、対角線の長さが5cmの長方形ABCD があります。

この長方形は直線 ℓ 上を図の「あ」の位置から「う」の位置まで、

すべる ことなく1回転します。

図1

9152

下の(図2)のおうぎ形APCとおうぎ形BDQが重なった部分の面積は

4.28㎠です。

長方形ABCDが「あ」の位置から「う」の位置まで回転したとき、

辺ABが通ったあとにできる図形の面積は何㎠ですか。

円周率は3.14とします。

図2

9151

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辺ABの軌跡は図のようになります。

9153

青部分を赤部分に移動すると、求める面積は、

半径5cm、中心角90°の扇形から

半径4cm、中心角90°の扇形を引いた図形が2つと

半径3cm、中心角90°扇形が2つ加えたものになりますが、

重なった緑色部分を引かなくてななりません。

9155

重なった部分の面積=4.28-3×2÷2=1.28㎠

求める面積=

(5×5×3.14÷4-4×4×3.14÷4)×2+3×3×3.14÷4×2-1.28

=9×3.14÷4×2+9×3.14÷2-1.28

=9×3.14-1.28

=26.98㎠

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2017年9月11日 (月)

辺PQの軌跡は△PQRの何倍?(2017年 頌栄女子学院中学)

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下の図はOを中心とする半径3cmの円の一部です。

1辺が1cmの正三角形PQR を次のように動かしました。

・正三角形PQRの頂点 Pは、図の曲線部分をAからBまで動く。

・半径OAと辺PQ は常に平行である。

このとき、辺PQが通った部分の面積は正三角形PQRの何倍ですか?

9111

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図のように、

黄色部分を緑色部分に移動してみると、

6倍であることがわかります。

9112

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2017年9月 7日 (木)

角度は?長さは?面積は?(2017年 巣鴨中学)

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下の図のようなAB=CD=DAで、

BCとDCではさまれた角の大きさが30°の台形ABCDがあります。

AEはBDと点Hで垂直に交わり、

BCとECではさまれた角の大きさは45°です。

また、EC=8cmです。

9071





(1)角アの大きさは何度ですか?

(2)BHの長さは何cmですか?

(3)台形ABCDの面積は何㎠ですか?

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9072

(1)

∠ABCも30°、

∠BAE=150÷2=75°

∠AFC=30+75=105°

∠CFE=180-105=75°

∠ア=180-(45+75)=60°

(2)

DBが∠ABCを2等分するように、

ACも∠ACEを2等分するので、∠ACB=15°

∠ACE=15+45=60°になるので、

△AECは正三角形になり、

AC=8cm

BD=AC=8cmなので、

BH=8÷=4cm

(3)

9073


直角三角形DGHをAIBに移動すると、

台形ABCDの面積=長方形IBGDの面積

長方形IBGDの面積=直角三角形DBGの面積×2

直角三角形DBGは正三角形の1辺を斜辺として、

15°、75°、90°の直角三角形なので、

直角三角形EJDと合同になり、

台形ABCDの面積=長方形IBGDの面積=△AED=△BEA

△BEAの面積=8×4÷2=16㎠

台形ABCDの面積=16㎠

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2017年9月 5日 (火)

影の長さは?(2017年 芝中学)

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80cmの棒に光をあてると、地面に1mの影ができます。(図1)

ただし、光のあて方は同じです。

黒い太線はそれぞれ影を表します。

(1)5mの棒に光をあてると、地面に何mの影ができますか。

(2)何mの棒に光をあてると、

   地面と壁に合わせて5mの影ができますか。(図2)

(3)(2)の棒に光をあてると、

   地面と段差に合わせて|何mの影ができますか。(図3)

9051

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(1)

棒:影=0.8:1 なので、

5mの棒の場合、0.8:1=5:影 なので、

影の長さ=5÷0.8=6.25m

9052

(2)

2:A=0.8:1 なので、

A=2÷0.8=2.5m

棒:(3+2.5)=0.8:1 なおで、

棒の長さ=5.5×0.8÷1=4.4m

(3)

3+0.5+B=5.5 なので、

B=2

C:2=0.8:1 なので、

C=1.6

影の長さ=3+0.5+1.6=5.1m


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2017年8月29日 (火)

使用しないパーツはどれ?(2017年 広島なぎさ中学)

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同じ大きさの正方形で作った下の①~⑥のようなパーツを

1つずつ組み合 わせて、(図1) のような形をつくる。

今、(図2) のように⑤と⑥のパーツ をおいたとき、

使用しないパーツを①〜④の記号で答えなさい。

ただし、向きを変えたりひっくり返したりすることはできるが、

パーツを重ね合わせることはできません。

8291

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8292

図のように②を使用しません。

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2017年8月26日 (土)

ひもで囲まれた部分の面積は?(2017年 関西大学第一中学)

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下の図のように、同じ大き さの正六角形4個をびったりと並べて、

周りにひもをたるまないようにかけています。

正六角形1個の面積が12㎠のとき、

ひもで囲まれた部分の面積は何㎠ですか?


8261

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黄色部分の面積は、緑部分の面積に等しく、

正六角形の中の小さな正三角形1つ分の面積と同じです。

8262

したがって、12÷6=2㎠ なので、

求める面積=12×4+2×4=56㎠

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