目次

平面図形

2017年8月21日 (月)

残りの半分の図形は?(2017年  作新学院中等部)

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下の図は、点Oを対称の中心とした点対称な図形の半分です。

残りの半分をかいてください。

Bandicam_20170821_090933792

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Oを中心に180°回転してみます。

8211

Bandicam_20170821_090642253

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2017年8月19日 (土)

黄色部分の面積は?(2017年 明治大学付属中野中学)

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下の図の四角形は一辺の長さが18cmの正方形です。

このとき、黄色部分の面積は何㎠ですか?を

1212_e0

8191

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色のついた直角三角形が、みな相似になることがわかります。

8192

FGを③とすると、AG=①、DG=⑨ ですから、

AD=⑩=18cm なので、

FG=③×18÷⑩=5.4cm

求める面積=18×5.4÷2=48.6㎠


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2017年8月17日 (木)

色のついた部分の面積は?(2017年 東京農業大学第一高等学校中等部)

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図のように、

半径4cmの円の中に半径2cmの円が4つ入っています。

このとき、 色のついた部分の面積を求めなさい。

ただし、円周率は3.14とします。


8171

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図のように、真ん中の緑部分を黄色部分に移動します。

8172

すると、求める面積は、半径4cmの円から

対角線が8cmの正方形を引いた部分になることがわかります。

4×4×3.14-8×8÷2=18.24㎠

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2017年8月15日 (火)

△ABCの面積の何倍?(今年 2017年 広尾学園中学)

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下の図において色部分の三角形AGHの面積は

三角形ABCの面積の何倍になりますか?

ただし、BH::GE=5:7、BH:HE=2:1、AE:EC=1:1 です。

なお、この図は正確な長さで描かれていません。

8151

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BH::GE=5:7 と BH:HE=2:1 の共通するBHを

比をそろえてみます。

BH::GE=10:14 、 BH:HE=10:5 

すると、GH=14-5=9 になるので、

GHはBEの9/15=3/5

したがって、△AGHは△ABCの

1/2×3/5=3/10倍

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2017年8月12日 (土)

アの角度は?長さ比は?(今年 2017年 城北中学)

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図の四角形ABCDはADとBCが平行な台形で、

点Eは辺ABの真ん中の点です。

DAとDF、CFとCBの長さがそれぞれ等しく,、

AFとDEの交わる点をGとします。

8121

(1)角アの大きさは何度ですか。

(2)図の三角形AEGと三角形DGFの面積の比が3:2のとき、

  長さの比 DG::FBを求めなさい。

8122

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(1)BFとADを延長して、その交点をHとすると、

△DFHと△CFBは相似になり、

●+●+▲+▲=180°なので、

●+▲=90°より、

∠ア=90°

(2)

上の図で,△DFHと△CFBは相似な二等辺三角形なので、

DH=DF=AD

よって、EDとBHは平行になり、

△AEGと△ABFは相似です。

したがって、 AG:GF=AE:EB=1:1

△黄の底辺をAG、△緑の底辺をGFとすると、

底辺が等しいので、面積の比は、高さの比になり、

DG:GE=2:3

FBはGEの2倍なので、6となり、

DG:FB=2:6=1:3

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2017年8月 5日 (土)

長さ比は?面積比は?(今年 2017年 東邦大学付属東邦中学)

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図のような長方形ABCDに おいて、辺ADを3等分する点をE、Fとします。

ACとBDの交点をG、ACとBFの交点をH、BDとCFの交点をIとします。

このとき、次の問いに答えなさい。

(1) (AHの長さ) と (HGの長さ) の比を最も簡単な整数で表しなさい。

(2) (三角形AGFの面積) と (三角形BGHの面積) の比を

   最も簡単な整数で表しな さい。

(3) (三角形CIGの面積と三角形DFIの面積の差) と

    (三角形BGHの面積) の比を最も簡単な整数で表しなさい。

8051

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8052

(1)

△黄と△緑は相似で、相似比は2:3

AH:HC=2:3

AC=5とすると、AGは5×1/2=2.5

HG=2.5-2=0.5

AH:HG=2:0.5=4:1

(2)

8053

△AGD=△ABG=長方形ABCDの1/4

△AGF=1/4×2/3=長方形ABCDの1/6

△BGH=1/4×1/(4+1)=長方形ABCDの1/20

△AGF:△BGH=1/6:1/20=10:3

(3)

△AGF=△CGF

△CIGと△DFIの差=△CGFと△DGFの差

△DGF=△AGF×1/2

△AGF=10とすると、△DGF=5

△CGF-△DGF=10-5=5

△BGH=3なので、

(△CIGと△DFIの差):△BGH=5:3

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2017年8月 3日 (木)

正三角形と正六角形の面積の比は?(今年 2017年 桐朋中学)

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正三角形と正六角形があります。

正三角形の周の長さは、正六角形の周の長さの2倍です。

この正三角形と正六角形の面積の比を求めなさい。

Bandicam_20170803_082911888

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Bandicam_20170803_083512849

図のように、正三角形:正六角形=16:6=8:3

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2017年8月 1日 (火)

三角形DEFの面積は?(今年 2017年 久留米大学附設中学)

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図のような平行四辺形ABCDがあり、その内部に点Eをとります。

点Eを通り、辺ADに平行な直線と辺CDとの交点をFとします。

三角形ABE、三角形BCE、三角形 DAEの面積がそれぞれ

15㎠、24㎠、9㎠のとき、

三角形DEFの面積は何㎠ですか?

8011

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△DAEを△DAFに、

△BCEを△BCFに等積移動し、

さらに、△BCFを△ACFに等積移動すると、

△ACDは平行四辺形ABCDの半分になります。


8012

つまり、24+9=33㎠が平行四辺形の半分なので、

平行四辺形ABCD=33×2=66㎠

△DEC=66-(15+24+9)=18㎠

△DAEと△BCEは底辺が同じ長さなので、

高さの比が、9:24=3:8

したがって、DF:FC=3:8 になるので、

△DEF=18×3/11=4と10/11㎠

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2017年7月25日 (火)

この図形が回転した軌跡の面積は?(今年 2017年 学習院女子中等科)

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1辺の長さが3cmの正方形に、1つの頂点を中心として円の一部をかきます。

それを2つ組み合わせて「あ」のような図形を作り、

図のように直線XYの上に置きました。

この「あ」の図形を点Aを中心に時計の針の回る方向に回転させて、

点Bが直線XYについたところで止めます。

このとき、「あ」の図形が通った部分を図に斜線で表し、

その面積を求めなさい。ただし、円周率は3.14とします。

7251

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7252

赤い直角三角形の右にある円弧部分を、

直角三角形内の白い部分に移動すると、

求める面積は、半径6cmで中心角135°の扇形に

赤い直角三角形を加えたものになります。

赤い直角三角形は1辺3cmの正方形と同じ面積になるので、

6×6×3.14×135/360+3×3

=42.39+9

=51.39㎠

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2017年7月22日 (土)

A地点から太郎君までの距離は?(今年 2017年 関西学院中学部)

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A地点に高さ3.9mの電灯が、B地点に高さ4.5mの電灯が立っています。

A地点とB地点は平らな直線の道でつながっていて、9m 離れています。

身長150cmの太郎君がこの道を歩きます。

2つの 電灯が作る影の長さが等しくなるとき、

A地点から太郎君までの距離は何mですか?

Bandicam20170722095035453

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影の長さが等しいときの太郎君の位置は、下図のようになっています。

7223

△青と△緑は相似で、相似比は4.5:1.5

△赤と△黄も相似で、相似比は3.9:1.5

影の長さを□、影の先端からAまでの長さを〇とすると、

(〇+2×□):□=3.9:1.5 なので、

3.9×□=1.5×(〇+2×□)

3.9×□=1.5×〇+3×□

0.9×□=1.5×〇・・・・・①

(9-〇):□=4.5:1.5

4.5×□=1.5×(9-〇)

4.5×□=13.5-1.5×〇・・・・・②

①×5 とすると、

4.5×□=7.5×〇

7.5×〇=13.5-1.5×〇

9×〇=13.5

〇=1.5m

0.9×□=1.5×1.5=2.25

□=2.5m

太郎君の位置はAから、

〇+□=1.5+2.5=4m

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