目次

平面図形

2017年12月16日 (土)

できる四角形は?(桐朋中学 2016年)

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下の<図1>のように、点Oで垂直に交わる2つの直線に、

点Oから 1cmの間隔で1から6の目盛りをつけます。

図1

12161

 

4個のさいころA、B、C、D を投げて、出た目の数と同じ目盛りに点をとり、

これらの4つの点を頂点とする四角形をつくります。

たとえば、A、B、C、Dの目がそれぞれ 6、4、3、5のときにできる四角形は、

下の<図2>のようになります。

図2

12162

 

(1) Aの目が1、Cの目が3のときにできる四角形が

 台形となる場合の 面積は何㎠ですか。

 考えられるものをすべて答えなさい。

(2)4個のさいころの目は小さい順に1、3、4、6 でした。

  このときできる四角形のうち、面積が最も大きいものは何㎠ですか。

(3)Aの目が1、Bの目が2のときにできる四角形の面積が

  12㎠となるようなCの目の数とDの目の数の組み合わせを

  すべて答えなさい。

  たとえば、Cの目が1、Dの目が3のときは、(1、3)と書きなさい。

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(1)1つは下図のような台形

12163

面積は、0.5+1.5+4.5+1.5=8㎠

もう1つは下図のような台形

12164

面積は、1+3+9+3=16㎠

(2)下図のようになる場合で、

12165

面積は、1.5+9+12+2=24.5㎠

(3)下図のような3通りで、

12166

CとDは、(2、6)、(3、4)、(5、2)

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2017年12月12日 (火)

すき間部分の体積は?(中央大学附属中学 2017年)

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図のように、底面の半径が6cm、高さが24cmの円柱を、

1辺が24cmの正方形の板からはみ出ないように4つ並べ、

その真ん中に1つ積み上げ ました。

次の問いに答えなさい。ただし、円周率は3.14とします。

Bandicam_20171212_085642167

(1)5つの円柱と板で囲まれてできたすき間の部分の体積は

  何立方cmですか。

(2)5つの円柱を真上から見たとき、

  見える部分の面積は何㎠ですか。

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すき間の形は図のようになるので、

面積は1辺12cmの正方形から、

半径6cmの円を引いて求められます。

Bandicam_20171212_090410272

(1)

(12×12-6×6×3.14)×24=743.04立方cm

(2)

見える部分は、すき間部分がふさがった状態なので、

(12×12-6×6×3.14)+6×6×3.14×4=483.12㎠

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2017年12月11日 (月)

ABの長さは何cm?(鎌倉学園中学 2016年)

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図のように、四角形ABCD、BEFGはともに長方形で面積は等しく、

CE=4cm、EF=6cmです。

また、BFとCDの交点をHとすると、

三角形BHDの面積は18㎠です。

このとき、ABの長さは何cmですか?

12111

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12112

△DBCと△FBEは面積が等しいので、

緑部分が共通なので、

△BHDと四角形CEFHは面積が等しく、18㎠です。

(CH+6)×4÷2=18 なので、

CH=3cm

△BEFと△BCHは相似で、相似比は6:3=2:1 より

BC=4cm

長方形BEFGの面積=8×6=48㎠

AB=48÷4=12cm

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2017年12月 2日 (土)

正方形の中の正方形(武蔵中学 2017年)

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図1において、

2つの四角形ABCDと四角形EFGHはどちらも正方形で、

AE=6cm、AF=10cmです。


図1

12011

(1)図1に正方形PQRDをかき加えてできたのが図2です。

   SQは何cmですか。

図2

12012

(2) 図1に正方形EFGHと同じ大きさの正方形IJKLを

   かき加えてできたのが図3です。

   図のア、イ、ウ、エ、オ、カ、キ、クの8つの点を頂点とする

   八角形の面積は何㎠ですか。

図3

12014

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(1)

図のように、正方形ABCDの対角線BDは、

正方形PQRDの対角線QDと重なるので、

Qは対角線BD上の点でもあります。

12016

したがって、△赤は直角二等辺三角形になり、

BM=⑤ とすると、QM=⑤

△緑と△黄と△SPEは相似で、

AF:AE=10:6=5:3=QM:FM=SP:EP

⑤+③=⑧=6cm なので、

SQ=16cm-⑤×2=16-6×5/8×2=8.5cm

(2)

正方形IJKLを正方形EFGHと線対象な図形として考えると、

下の図のようになり、

12015

△黄と△緑が相似で、底辺:高さ=⑧:⑤

OX=⑤=6×5/8=3.75cm

OY=8-3.75=4.25cm

ZT=4.25×8/5=6.8cm

求める八角形の面積=6.8×4.25÷2×8=115.6㎠


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2017年11月21日 (火)

太線の長さ比は?(吉祥女子中学 2017年)

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Bandicam_20171121_095233079_2

図1のように、1辺が2cmの正方形の頂点と辺の上に、

点Aから1cm 間かくで8個の点を打ちます。

この8個の点を中心として、

図2のように 同じ大きさの8個の円をかきます。

このときかいた円と同じ大きさの円を「あ」とします。

さらに、図2のふちを太線でなぞると、

図3のような図形ができます。

後の問いに答えなさい。

Bandicam_20171121_095244048

(1) 同じようにして、1辺が3cmの正方形について、

円「あ」を12個かくと図4のような図形ができます。

図3の太線の長さの和と図4の太線の長さの和の比を、

もっとも簡単な整数の比で答えなさい。

Bandicam_20171121_095256659

(2) 同じようにして、1辺が4cmの正方形について、

円「あ」を16個かくと図5 のような図形ができます。

図3の太線の長さの和と図5の太線の長さの和の比を、

もっとも簡単な整数の比で答えなさい。

Bandicam_20171121_095305106

 

(3) 図6の図形の頂点と辺の上に、

点Bから1cm間かくで点を打ちます。

これらすべての点を中心として、

円「あ」をかいていってできる図形をXとし ます。

図7は、 円「あ」を 4個だけかいたときの図です。

Bandicam_20171121_095321021
Bandicam_20171121_095330813

①図形Xには、何個の円「あ」がかいてありますか。

②図形Xのふちを太線でなぞりました。

図3の太線の長さの和と図形Xの太線の長さの和の比を、

もっとも簡単な整数の比で答えなさい。

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(1)図3の図形は半円4個、

1/4円8個なので、

半円8個分の長さです。

図4は半円4個、1/4円16個

合計、半円12個分なので、

図3:図4=8:12=2:3

(2)図5は半円16個分なので、

図3:図5=1:2

(3)

①図のように「あ」は16個です。

Bandicam_20171121_102338104_2

②この図形は半円6個、1/4円20個

合計、半円16個分なので、

図3:X=8:16=1:2

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2017年11月14日 (火)

黄色と緑色の面積比は?(京都教育大学附属桃山中学 2017年)

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下の図は、ある円の直径AB上に点C、Dをとって、

AC、AD、CB、DBを直径とする半円をかいたものです。

AB=10cm、AC=5cm、AD=7cmのとき、

黄色と緑色にわけられた2つの部分の面積の比を求めなさい。

11141

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----------------------------------------------------

11142

面積の比は、半径×半径の比になり、

半径×半径の比は直径×直径の比に等しくなります。

黄色部分は直径AB=10cmの半円になり、

面積の比を、10×10=100とすると、

緑部分は、

(7×7-5×5)+(5×5-3×3)=40

黄:緑=100:40=5:2

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2017年11月 6日 (月)

円の半径は?(浅野中学 2017年)

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下の図のように、

3辺の長さが AB=40cm、AC=40cm、BC=48cmの

二等辺三角形ABCと円緑色、円黄色があります。

三角形ABCと円緑色と円黄色はそれぞれ接しています。

円緑色と円黄色の中心をそれぞれG、Hとするとき、

中心G、Hと点Iは直線AD上にあります。

∠ADB=90°、∠AEG=90°、∠AFH=90°のとき、

次の問いに答えなさい。

ただし、3辺の長さが3cm、4cm、5cmの三角形は、

直角三 角形になります。

11061

(1)長さの比AG:GEをもっとも簡単な整数の比で答えなさい。

(2)円緑色の半径は何cmですか。

(3)円黄色の半径は何cmですか。

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(1)直角三角形ABDのAB:BD=40:(48÷2)=40:24=5:3

△AGEは△ABDと相似なので、

AG:GE=5:3

(2)AD=40×4/5=32cm

AG:GE=AG:GD なので、

GE=GD=32×3/(5+3)=12cm

(3)

11062

黄+緑の図形は黄の図形と相似なので、

AD:AI=32:(32-12×2)=4:1

EG:FH=4:1

FH=12×1/4=3cm

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2017年11月 1日 (水)

①~③にあてはまる数は?(海城中学 2017年)

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二つの直角三角形ABCとPQRがあります。

図の角アと角イは同じ大きさであり、

AB=8cm、BC=6cm、CA=10cmです。

図のように、この二つの三角形が、頂点Cと項点 Pが重なるようにして

一つの直線上に置かれています。

この状態から、三角形PQRを毎秒1cmの速さで左方向に,

辺ABと辺QRが重なるまで動かしました。

グラフは、三角形PQRを動かし始めてから止まるまでの時間と、

二つの三角形が重なった部分の面積の関係を表したものです。

①~③にあてはまる数を入れてください。

1101

①は6秒後なので、図のようになり、

Bandicam_20171101_111221019_2

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重なった部分の直角三角形も、2つの直角三角形と相似で、

相似比は、5:4:3なので、

面積は、6cm×4/5×6cm×3/5×1/2=216/25

①=8.64

20秒後は図のようになり、

Bandicam_20171101_111404873

重なった部分が0になるのは、

Bandicam_20171101_111421612_2

その6秒後なので、

②=26

22秒後は図のようになり、

Bandicam_20171101_111532119_2

一番右の小さな直角三角形の面積は、

2×2×4/3÷2=8/3㎠

重なった部分の面積は、24-8/3=21と1/3㎠

③=21と1/3


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2017年10月29日 (日)

色部分の周りの長さは?(日本女子大学附属中学 2017年)

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下の図は1辺6cmの正方形と、

半径6cmの1/4円を組み合わせたものです。

色部分の周りの長さは何cmですか。

ただし、円周率は3.14とします。

10291

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10292

△AQDも△CPDも正三角形になるので、

∠QAD=∠PCD=60°

∠PDQ=90-(90-60)×2=30°

求める長さ=6×2×3.14×(60×2+30)/360

=12×5/12×3.14

=5×3.14

=15.7cm

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2017年10月24日 (火)

この図形の面積は?(広島大学附属福山中学 2017年)

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下の図のように、1目もりが1cmの方眼紙に 

5本の直線で囲まれた図形がかいてあります。

この図形の面積は何㎠ですか?

10241

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全体から色部分の三角形を引いてみます。

10242

6×6-(4×6÷2+2×5÷2+3×3÷2+2×3÷2)

=36-24.5

=11.5㎠


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