目次

平面図形

2017年6月24日 (土)

色のついた部分の面積は?(今年 2017年 豊島岡女子学園中学)

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下の図のように、たて30cm、横58cmの長方形ABCDがあります。

四角形EFGHは1辺の長さが12cmの正方形で、

辺FGが長方形の辺BC上にあります。

また、点AとGを結んだ直線の上に点Eがあり、

点DとFを結んだ直線が辺GHと点Iで交わっています。

このとき、図の色のついた部分の面積は何㎠ですか。

6241

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6242

緑の台形と茶色の三角形に分けて考えます。

BG=30cmなので、FC=(58-30)+12=40cm

△DFCと△IFGは相似で、FC:FG=40:12=10:3

DC:IG=10:3なので、

IG=30×3/10=9cm

HI=12-9=3cm

△茶色の面積=3×28÷2=42㎠

緑の台形の面積=(12+58)×(30-12)÷2=630㎠

求める面積=42+630=672㎠

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2017年6月22日 (木)

点Pと点Qの距離は?(今年 2017年 共立女子中学)

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下の図のように、四角形ABCDの辺上を半径2cmの円Xと、

半径1cmの円Yの中心が自由に動きます。

また、点Pと点Qはそれぞれ円X、円Y上の点です。

①2つの円の中心が点Aと点Bにあるとき、

  点Pと点Qの距離は何cm以上、何cm以下ですか。

②点Pと点Qが最も離れているとき、その距離は何cmですか。


6221

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6222

一番近いときでP2Q2no5cm以上

一番遠いときでP1Q1の11cm以下

6223

図の場合で、13cm

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2017年6月20日 (火)

重なった部分の面積は?(今年 2017年 愛光中学)

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図のように、2つの直角三角形ABCとDEFが重なっています。

このとき、三角形GFCの面積は何㎠ですか?

また、 三角形AGDの面積は何㎠ですか?

6201

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GからBEに垂線を下し、その交点をHとします。

6202

△ABCと△GHCは相似で、AB:BC=18:12=3:2なので、

GH:HC=③:②

△DEFと△GHFも相似で、DE:EF=5:10=1:2なので、

GH:HF=①:②

GHを統一して、③とすると、HF=⑥

HC+HF=②+⑥=⑧ が4cmなので、

GH=③=4×3/8=3/2cm

△GFCの面積=4×3/2÷2=3㎠

四角形ABEDは台形で、その面積は

(5+18)×18÷2=207㎠

色部分の面積は、

18×12÷2+10×5÷2-3=130㎠

△AGDの面積=207-130=77㎠

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2017年6月15日 (木)

角アは何度?(今年 2017年 早稲田中学)

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図において、辺BD、BEは角ABCを三等分し、

辺CD、CEは角ACFを三等分しています。

アの角の大きさは何度ですか。

6151

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6152_3

外角の関係から、

ア+3×●=3×△

ア=3×△-3×●=3×(△-●)・・・・・①

□=38+△

□=ア+● より、

38+△=ア+●

△-●=ア-38・・・・・②

①と②より、

ア=3×(ア-38)

ア=3×ア-114

2×ア=114

ア=57°

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2017年6月13日 (火)

真ん中の色部分の面積は?(今年 2017年 東京学芸大学附属竹早中学)

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図のように、1辺が16cmの正方形の紙に、

直径が 8cmの4つの円を重ならないようにかきました。

色部分の面積は、何㎠ですか。ただし、円周率は3.14とします。


6131

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緑部分の面積は、

図のように黄色部分の面積に等しくなります。

6132

したがって、求める面積は、

8×8-4×4×3.14=13.76㎠

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2017年6月 8日 (木)

面積の比は何:何?(今年 2017年 桐朋中学)

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正三角形と正六角形があります。

正三角形の周の長さは、正六角形の 周の長さの2倍です。

この正三角形と正六角形の面積の比は何:何でしょうか?

Bandicam_20170608_064758051
Class240


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Bandicam_20170608_064519482

正六角形の1辺を1とすると、

正三角形の1辺は4になるので、

小さな正三角形に分けてみると、

16:6=8:3

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2017年6月 6日 (火)

色部分の八角形の面積は?(今年 2017年 東海中学)

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図の四角形ABCDは1辺が4cmの正方形で、

点E、F、G、 Hはそれぞれ辺の真ん中の点です。

色部分の八角形の面積は何㎠ですか?

6061

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6062

△EBCと△BTCは∠Cが共通、∠CEB=∠CBTより相似で、

∠EBC=BTC=90°

同様に考えると、AG、ECはHB、DFと

AF、HCはED、BGとそれぞれ直角に交わります。

直角三角形茶→茶、緑→緑 に移動すると、

小さな正方形が5つでき、

その面積は、4×4÷5=3.2㎠

△ABS=3.2㎠ なので、

△ETBは相似比が2:1なので、

面積比は4:1になるので、

△ETB=△AER=3.2÷4=0.8㎠

△ABHと△EBQは相似で、相似比は2:1より、

EQ=1cm

△ABQの面積=4×1÷2=2㎠

△AEQ=△BEQ=1㎠

△REQ=△TEQ=1-0.8=0.2㎠

△AER+△赤=四角形REBQ+△黄

0.8+赤=1.2+黄

△赤-△黄=0.4㎠・・・・・①

2×△赤+△黄=3.2-2=1.2㎠・・・・・②

①と②より、3×△赤=1.6㎠

△赤=1.6/3㎠

△黄=1.6/3-0.4=0.4/3㎠

色部分の面積=3.2-0.4/3×4=8/3㎠

2と2/3㎠

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2017年6月 5日 (月)

長方形の面積の何倍?(今年 2017年 東京学芸大学附属小金井中学)

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長方形と三角形を下の条件を満たすよ うに重ね、

重なっている部分には色をつけてあります。

太い青線で囲まれた図形は、長方形1つ分の面積の何倍になりますか?

①三角形の1つの辺が、長方形の対角線同士が交わる点を通る 。

②長方形が三角形によって切られた一方は、

  完全に三角形の内側に入っている 。

③色部分の面積は三角形の面積の5/17倍。

6052

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色部分は長方形の1/2です。

色部分の面積を5とすると、三角形の面積は17

太線で囲まれた面積は、5+17=22

長方形の面積は、5×2=10なので、

22÷10=2.2倍

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2017年6月 3日 (土)

色部分の面積は?(今年 2017年 青山学院中等部)

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図は直径6cmの半円と、

点A、Bを中心とする半径6cmのおうぎ形を組み合わせたものです。

このとき、色のついた部分の面積はです何㎠ですか?


Bandicam_20170603_091854087     

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全体から直径6cmの白い円を2つ引けば求める面積になりますが、

2つの白い円=外側の半円4つ なので、

全体-外側の4つの半円=左右の扇形

左右の扇形の中心角の合計=360-(102+108)=150°

色部分の面積=6×6×3.14×150/360

=36×3.14×15/36

=3.14×15

=47.1㎠

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2017年5月23日 (火)

CDの長さは何cmですか?(今年 2017年 暁星中学)

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角ABCが30°で、

辺ABと辺ACの長さが等しい三角形ABCがあります。

角CADが90°になるように、辺BC上に点Dをとります。

辺 BDの長きが2cmのとき、辺CDの長さは何cmですか?


5231_2


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5232

∠CAB=180-30×2=120°

∠BAD=120-90=30°

△ABDは二等辺三角形で、

AD=BD=2cm

△黄は30°、60°、90°の直角三角形なので、

CD=AD×2=4cm

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