目次

平面図形

2019年8月20日 (火)

色部分の面積は?(ラ・サール中学 2019年 )

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図の三角形ABCで角Aは直角、辺ABの長さは24cm、

辺ACの長さは15cmです。

さらに、ADの長さが6cm、AEの長さが10cm、

DFは辺ACと平行とします。

(1)DFの長さを求めなさい。

(2)色部分の面積を求めなさい。

1281

6082_2

 

----------------------------------------------------

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解法例

6085_2

 

1282

(1)

△EABと△FDBは相似で、

AB:DB=24:(24-6)=4:3

DF=10×3/4=7.5cm

(2)

△赤と△緑も相似で、

CE:DF=(15-10):7.5=2:3

△緑の底辺をDFとしたときの高さは、

6×3/5=3.6cm

求める面積=

(24×10÷2-18×7.5÷2)-7.5×3.6÷2

=(120-67.5)-13.5

=39㎠

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682

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2019年8月 5日 (月)

黄色部分の面積は?(早稲田中学 2019年 )

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図の黄色部分は、

台形から半径が同じおうぎ形3つを取り除いたものです。

黄色部分の面積は何㎠ですか。

2261

6082

 

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解法例

6085

2262

△AEFと△EBHは合同なので、

AF=8÷2=4cm です。

△AEGは二等辺三角形なので、

∠AEF=∠AGF より、

△AEFと△AGFは合同になります。

AG=GD、AF=GI=4cm より、

△AGFと△GDIも合同になり、

∠AGF+∠DGI=90°

∠FGI=90°より、

AGDは直線になります。

ID=FG=3cm=EF=BH より、

BD=12cm

3つのおうぎ形の中心角の合計は270°

求める面積は、

(6+12)×8÷2-5×5×3.14×270/360

=72-58.87.5

=13.125㎠

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682

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2019年7月15日 (月)

長さと面積は?(武蔵中学 2019年 )

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下の図で、四角形ABCDは長方形で、

AE=6cm、ED=8cm、DG:GC=2:5、

∠DEH=∠GFC、

三角形GFCの面積は10㎠です。

次の問いに答えなさい。

2181

(1)CFは何cmですか?

(2)ABは何cmですか?

(3)三角形BFHの面積は何㎠ですか?

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解法例

2182

(1)

△GFCと△FEPは相似で、相似比は5:7より、

(⑤+⑦)=⑫が8cmなので、

CF=⑤=8×5/12=10/3cm

(2)

10/3×CG×1/2=10㎠なので、

CG=10÷5/3=6cm

DG=6×2/5=12/5cm

AB=6+12/5=42/5cm

(3)

△DEHと△BFHは相似で、相似比は

8:(14-10/3)=8:32/3=24:32=3:4

△BFHの面積=32/3×42/5×4/7×1/2

=32/3×12/5

=128/5㎠

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682

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2019年6月13日 (木)

色部分の面積は?(鎌倉学園中学 2019年)

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図のように,たてが 10cm,横が 20 cm の長方形の中に,

半径が 10cm の円の一部を3つかきました。

色部分の面積は何㎠ですか。

ただし, 円周率は 3.14 とします。

6131

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解法例

図のように、左部分を右の黄色部分に移動すると、

1辺が10cmの正方形になります。

Path4522

求める面積は、

10×10=100㎠

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682

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2019年6月10日 (月)

長さと面積は?(武蔵中学 2019年)

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下の図で、四角形ABCDは長方形で、

AE=6cm、ED=8cm、DG:GC=2:5、

∠DEH=∠GFC、

三角形GFCの面積は10㎠です。

次の問いに答えなさい。

2181

(1)CFは何cmですか?

(2)ABは何cmですか?

(3)三角形BFHの面積は何㎠ですか?

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解法例

2182

(1)

△GFCと△FEPは相似で、相似比は5:7より、

(⑤+⑦)=⑫が8cmなので、

CF=⑤=8×5/12=10/3cm

(2)

10/3×CG×1/2=10㎠なので、

CG=10÷5/3=6cm

DG=6×2/5=12/5cm

AB=6+12/5=42/5cm

(3)

△DEHと△BFHは相似で、相似比は

8:(14-10/3)=8:32/3=24:32=3:4

△BFHの面積=32/3×42/5×4/7×1/2

=32/3×12/5

=128/5㎠

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682

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2019年5月16日 (木)

BD の長さは何cm?(大妻中学 2019年)

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図の四角形 ABCD で,色のついた部分の面積は42㎠です。

BE=ED のとき,BD の長さは何cm ですか。

 

5161

                     6082_4

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解法例

6085

BEの長さを□とすると、

12-3=9cmなので、

(□×9÷2)×2+3×□÷2=42

10.5×□=42

□=4cm となって、

BD=8cm

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682

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2019年5月14日 (火)

クモが捕らえられる虫はどこにいるかな?(麻布中学 2018年 )

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ある長方形があり、

頂点にいるクモが内部にいる虫を捕らえようとしています。

ただし、クモは一定の速さで移動し、虫は動かないものとします。

クモは、まず以下の規則で辺上を移動します。

虫に最も近い辺上の点(図1中の〇で表されて いる点)が一つだけあるとき、

その点まで辺上を最短経路で移動する。

10131

 

虫に最も近い辺上の点(図2、 図3中の〇で表されている点)が

複数あると き、それらのなかで最も早く着ける点のいずれかまで

辺上を最短経路で移動する。

10132

10133

 

こののち, クモは虫に向かってまっすぐ移動します。

例えば、図1、図2、図3の位置に虫がいるとき、

クモが移動を始めてから虫を捕らえるまでの動きは

それぞれ下図のようになります。

101311

101322

101333

 

クモの移動する速さは秒速10cmであるとして、

以下の問いに答えなさい。

(1)図4のように1辺の長さが10cmの正方形の頂点にクモがいるとします。

クモが1.5秒以内で捕らえることができるのは、

どのような範囲にいる虫ですか。

その範囲を斜線で示しなさい。

ただし、図中の点線は5cmごとに引いてあります。

10134

 

(2)図5のように、 縦の長さが10cm、

横の長さが20cmの長方形の頂点にクモが いるとします。

クモが2.5秒以内で捕らえることができるのは、

どのような範囲にいる虫ですか。

その範囲を斜線で示しなさい。

ただし、図中の点線は5cmごとに引いてあります。

10135_2

 

(3) (2)で示した斜線部分の範囲の面積を求めなさい。

 

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解法のヒント

2.5cmごとに線をひいて、

クモが行ける交点を〇、いけない交点を×で記入していきます、

101344_2

 

101355

Panda151587_640


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解法例

(1)

1013444

 

(2)

1013555

 

(3)

(5×5)×5+(5×5)×1/2+(5×5)×3/4

=(5×5)×(5+1/2+3/4)

=25×6.25

=156.25㎠

Panda151605_640

 

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682

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2019年4月28日 (日)

黄色部分の面積は?(筑波大学附属中学 2019年)

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下の図のように,円,正方形,三角形が重なっています。

円,正方形,三角形のそれぞれの面積は 70㎠,

図形全体の面積は 148㎠,

3つの図形が重なっているアの部分の面積が7㎠のとき,

黄色部分の面積を求めなさい。

4281

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解法例

図のように重なった部分をA、Bとすると、

4282

A、Bは2回、アは3回重なっています。

70×3-148=62㎠ 

A+B+7×2=62 なので、

A+B=48㎠

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682

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2019年4月26日 (金)

EC と AE 、DBとADの長さは?(穎明館中学 2018年)

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下の図のように直角三角形 ABC の中に,

AB 上の点 D を中心とする半円がぴったりと入っています。

この半円は辺BC, AC とそれぞれ点 B, 点 E でくっつき,

角 AED は直角です。

4261

このとき, 次の問いに答えなさい。

(1) EC と AE の長さをそれぞれ求めなさい。

(2) DBとADの長さをそれぞれ求めなさい。

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解法例

4262

(1)

△DBEは二等辺三角形なので、

∠DBE=∠DEB

したがって、

∠CBE=∠CEB となるので、

△CEBは二等辺三角形

したがって、BC=EC=5cm

AE=13-5=8cm

(2)

△ABCと△AEDは相似なので、

AB:AE=12:8=3:2

AD=13×2/3=26/3cm

DB=36/3-26/3=10/3cm

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682

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2019年3月16日 (土)

長さと面積は?(今年 2019年 武蔵中学)

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下の図で、四角形ABCDは長方形で、

AE=6cm、ED=8cm、DG:GC=2:5、

∠DEH=∠GFC、

三角形GFCの面積は10㎠です。

次の問いに答えなさい。

2181

(1)CFは何cmですか?

(2)ABは何cmですか?

(3)三角形BFHの面積は何㎠ですか?

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解法例

2182

(1)

△GFCと△FEPは相似で、相似比は5:7より、

(⑤+⑦)=⑫が8cmなので、

CF=⑤=8×5/12=10/3cm

(2)

10/3×CG×1/2=10㎠なので、

CG=10÷5/3=6cm

DG=6×2/5=12/5cm

AB=6+12/5=42/5cm

(3)

△DEHと△BFHは相似で、相似比は

8:(14-10/3)=8:32/3=24:32=3:4

△BFHの面積=32/3×42/5×4/7×1/2

=32/3×12/5

=128/5㎠

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682

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