目次

平面図形

2018年9月10日 (月)

色部分の面積は?(今年 2018年 田園調布学園中等部)

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図の四角形ABCDは1辺が12cmの正方形です。

このとき、次の問いに答え なさい。

9101

(1) DH:HFをもっとも簡単な整数の比で答えなさい。

(2) DG:GFをもっとも簡単な整数の比で答えなさい。

(3) DH:HGをもっとも簡単な整数の比で答えなさい。

(4) 図の色部分の面積は何㎠ですか。

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(1)△HEDと△HCFは相似で相似比は6:8

したがって、DH:HF=3:4

(2)△GADと△GCFは相似で相似比は12:8

したがって、DG:GF=3:2

(3)DH+HF=DG+GFなので、比を統一すると、

下の図のようになります。

9102

HG=20-14=6なので、

DH:HG=15:6=5:2

(4)色部分の面積は、△HFC-△GFCなので、

8×12×20/35÷2-8×12×14/35÷2

=48×(20/35-14/35)

=48×6/35

=288/35

=8と8/35㎠

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682

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2018年9月 8日 (土)

使うタイルは何枚?(今年 2018年 慶應義塾中等部)

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同じ大きさの正三角形のタイルが 140 枚あります。

このタイルをすき間なく並べて、正三角形また は正六角形をつくります。

[図1]、[図2] はそれぞれ4枚、6枚のタイルを使ってつくった例です。

9081

(1)できるだけ大きな正三角形をつくるとき、タイルは全部で何枚使いますか。

(2)できるだけ多くのタイルを使って、正三角形と正六角形を1つずつつくるとき、

  正三角形を つくるのに使うタイルは何枚ですか?

  正六角形をつくるのに使うタイルは何枚ですか?

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(1)

正三角形は1辺が1つ大きくなるごとに、

1、3、5、7、9・・・・枚ずつタイルが増えていきます。

Bandicam_20180908_074952368_2

使うタイルは、

1+3+5+7+9+・・・・ と増えていくので、

1辺が1のとき使うタイルは、

2×1÷2=1

1辺が2のとき、

4×2÷2=4

1辺が3のとき、

6×3÷2=9

・・・・・

2×1÷2=2×1×1÷2=1×1

4×2÷2=2×2×2÷2=2×2

6×3÷2=2×3×3÷2=3×3

・・・・・

1辺が12では

12×12=144 より、140を超えてしまうので、

1辺は最大で11になり、

タイルは、11×11=121使います。

(2)

正六角形では1辺が1のとき、

1×6

1辺が2のとき

Bandicam_20180908_075723601

3×6=18増え、

1辺が3のとき、

5×6=30増え

1辺が4のとき、

7×6=42

1辺が5のとき、

9×6=54増えるので、

6+18+30+42+54=150 より140を超えてしまうので、

、24、54、96の4つの場合だけ考えます。

残る枚数は、

→140-6=134・・・・・①

24→140-24=116・・・・・②

54→140-54=86・・・・・③

96→140-96=44・・・・・④

正三角形を作るには、(1辺×1辺)の枚数が必要なので、

使わない枚数は、

①→134-(11×11)=13

②→116-(10×10)=16

③→86-(9×9)=5

④→44-(6×6)=8

したがって、一番タイルを多く使うのは③の場合で、

正三角形に81、正六角形に54です。

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682

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2018年8月25日 (土)

三角形BCEの面積は?(今年 2018年 洗足学園中学)

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1辺5cmの正方形を図のように12個並べ、

直線AB、BC、CDをひき、ABと CDが交わった点をEとします。

このとき、三角形BCEの面積は何㎠ですか。

Bandicam_20180825_070831510

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8251

△黄と△緑は相似で相似比は1:4

△黄の底辺をADとすると、高さは

5×4×1/(1+4)=4cm

△黄の面積は、5×4÷2=10㎠

△BCEの面積

15×20-(15×15÷2+20×5÷2+5×15÷2-10)

=300-(112.5+50+37.5-10)

=300-(200-10)

=110㎠

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2018年8月21日 (火)

色部分の面積は、正方形の何倍?(今年 2018年 広島学院中学)

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ある正方形の紙を2回折ると図のようになりました。

色部分の面積は、もとの正方形の面積の 何倍ですか。

8211

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21も14も、

21+14=35も、

35+21=56も7の倍数なので、

図のように長さの比を簡単な整数で表してみます。

8212

すると色部分は、3×5×2=30

元の正方形は、8×8=64

したがって、色部分は正方形の、

30/64=15/32倍

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682

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2018年8月 8日 (水)

色をつけた部分の面積は?(今年 2018年 共立女子中学)

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太さ1cmで図のような図形を描きました。

色をつけた部分の面積はおよそ何㎠ ですか。

最も近い整数で答えなさい。

8081_2

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8082

図のように、

半径2cmの円から半径1cmの円を引いた部分の1.5個分です。

(2×2-1×1)×3,14×1.5

=14.13㎠ なので、

およそ14㎠

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2018年7月30日 (月)

アとイの長さは?(今年 2018年 神奈川大学附属中学)

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下の図は、周りの長さが60cmの長方形で あり、

曲線は長方形のそれぞれの頂点を中心とする円の一部です。

(1)  アはいくつですか。

(2)  イはいくつですか。

7301

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長方形のたて+横=60÷2=30cm

ア={30-(8+12)}÷2=5

右上の円弧の半径は、(5+12)-8=9cm

長方形のたての長さは、8+5=13cmより、

イ=9-(13-12)=8

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2018年7月24日 (火)

正方形の1辺の長さは?(今年 2018年 神戸海星女子学院中学)

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下の図の色部分は、2辺 AD、 CD の長さが等しく、

角B、角Dが90度の四角形ABCDから正方形EFGDを除いた部分です。

この色部分の面積が21㎠になるとき、

正方形EFGDの1辺 の長さは何cmになりますか。

7241

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7242_2

直角二等辺三角形ACDの反対側に

合同な直角二等辺三角形を置いて、正方形AOCDを作ると、

色のついた直角三角形はすべて合同になります。

すると真ん中に1辺3cmの正方形ができます、

AI=(7-3)÷2=2cmなので、

色のついた直角三角形の面積は、

2×(3+2)÷2=5㎠

直角二等辺三角形ACDの面積=5×2+9÷2=14.5㎠

5角形ACGFEの面積=21-(3×7÷2)=10.5㎠

正方形EFGDの面積=14.5-10.5=4㎠

正方形EFGDの1辺の長さ=2cm

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2018年7月20日 (金)

正方形は最も多くて何個並ぶ?(今年 2018年 豊島岡女子学園中学)

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下の図のように、横20cm、 たて 5cmの長方形のわくの中に、

面積が 12㎠の正方形を重ならないように横一列に並べていきます。

このとき、 正方形は最も多くて何個並べられますか。

ただし、わくの太さは考えないものとします。

7201

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正方形の1辺の長さが3.4cmのとき、

面積は、3.4×3.4=11.56㎠で

12㎠より小さくなりますが、

それでも、20÷3.4=5.8・・・・・で、

6個は並べられません。

正方形の1辺の長さが3.5cmのとき、

3.5×3.5=12.25㎠と

12㎠より大きくなりますが、

20÷3.5=5.7・・・・・で、

5個は並べることができます。

したがって、最大で5個です。

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682

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2018年7月16日 (月)

この紙を2等分してください!(今年 2018年 筑波大学附属中学)

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下の図は、平行四辺形の紙から

大きさの異なる平行四辺形の紙を切り取ったものです。

この紙を1本の直線で二等分するためには、

どのように切ればよいですか。

切り目を解答用紙にかきなさい。

なお、切り目をかく際に用いた線は消さないでおくこと。

Bandicam_20180716_092333312

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平行四辺形の2等分線は対角線の交点を通ります。

したがって、図のように2つの平行四辺形に分け、

それぞれの対角線の交点を通る線が

この図形の2等分線になります。

Bandicam_20180716_094255522

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2018年7月15日 (日)

平行四辺形の面積の何倍?(今年 2018年 鎌倉学園中学)

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図のように,平行四辺形ABCDがあります。

点Eが辺BCを2等分する点のとき、

色部分の面積は平行四辺形ABCDの面積の何倍ですか?

7151_2


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7152_2

△赤と△緑は相似で、相似比は2:1

AP:PE=2:1

△ABEと△緑の面積比は、③:①

△ABC=⑥

平行四辺形ABCD=⑫

△OBC=③

黄色部分=③-①=②

したがって、平行四辺形の、②/⑫=1/6倍

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682

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