目次

平面図形

2018年10月27日 (土)

正三角形の1辺の長さは?(今年、2018年 筑波大学附属駒場中学)

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正三角形 ABC の内側に点Pがあり、

Pから辺BC、AC、ABにそれぞれ垂直な線を引き、

交わった点を順に D、E、Fとします。

AFの長さは7cm、BD の長さは8cm、CE の長さは10cmです。

このとき、正三角形の一辺の長さを求めなさい。

251

 

60814

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解法のヒント

図のように、Pを通り、正三角形の各辺に平行な線を引きます。

252

3つできた正三角形、△黄、△緑、△赤の1辺の和が

△ABCの1辺の長さに等しくなることがわかります。

6083

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解法例

252

△黄の1辺の長さ=2×ア

△赤の1辺の長さ=2×イ

△緑の1辺の長さ=2×ウ とすると、

8-イ=2×ア・・・・・①

7-ア=2×ウ・・・・・②

10-ウ=2×イ・・・・・③

①と②より、

ア=7-2×ウ なので、

8-イ=2×(7-2×ウ)=14-4×ウ

4×ウ-イ=6・・・・・④

③と④より、

ウ=10-2×イ なので、

4×(10-2×イ)-イ=6

40-8×イ-イ=6

9×イ=34

イ=34/9

ウ=10-2×34/9=22/9

ア=7-2×22/9=19/9

2×(ア+イ+ウ)=2×(34+22+19)/9=150/9=50/3

=16と2/3cm

6082

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682

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2018年10月13日 (土)

クモが捕らえられる虫はどこにいるかな?(今年 2018年 麻布中学)

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ある長方形があり、

頂点にいるクモが内部にいる虫を捕らえようとしています。

ただし、クモは一定の速さで移動し、虫は動かないものとします。

クモは、まず以下の規則で辺上を移動します。

虫に最も近い辺上の点(図1中の〇で表されて いる点)が一つだけあるとき、

その点まで辺上を最短経路で移動する。

10131

 

虫に最も近い辺上の点(図2、 図3中の〇で表されている点)が

複数あると き、それらのなかで最も早く着ける点のいずれかまで

辺上を最短経路で移動する。

10132

10133

 

こののち, クモは虫に向かってまっすぐ移動します。

例えば、図1、図2、図3の位置に虫がいるとき、

クモが移動を始めてから虫を捕らえるまでの動きは

それぞれ下図のようになります。

101311

101322

101333

 

クモの移動する速さは秒速10cmであるとして、

以下の問いに答えなさい。

(1)図4のように1辺の長さが10cmの正方形の頂点にクモがいるとします。

クモが1.5秒以内で捕らえることができるのは、

どのような範囲にいる虫ですか。

その範囲を斜線で示しなさい。

ただし、図中の点線は5cmごとに引いてあります。

10134

 

(2)図5のように、 縦の長さが10cm、

横の長さが20cmの長方形の頂点にクモが いるとします。

クモが2.5秒以内で捕らえることができるのは、

どのような範囲にいる虫ですか。

その範囲を斜線で示しなさい。

ただし、図中の点線は5cmごとに引いてあります。

10135_2

 

(3) (2)で示した斜線部分の範囲の面積を求めなさい。

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解法のヒント

2.5cmごとに線をひいて、

クモが行ける交点を〇、いけない交点を×で記入していきます、

101344_2

 

101355

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解法例

(1)

1013444


(2)

1013555


(3)

(5×5)×5+(5×5)×1/2+(5×5)×3/4

=(5×5)×(5+1/2+3/4)

=25×6.25

156.25㎠


 

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2018年10月 6日 (土)

ABの長さは?色部分の面積は?(今年 2018年 世田谷学園中学)

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下の図1は1辺の長さが6cmの正方形を8個つなげたものです。

このとき,次の問いに答えなさい。

1061

(1)上の図2のように図1に直線を2本かき加えました。

  ABの長さは何cmで すか。

(2)上の図3のように図1に直線を2本かき加えました。

  色部分の面積は 何cmですか。

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(1)

1063

△HIJと△HADは相似で、相似比は18:12=3:2

AD=12×2/3=8cm

△EGFと△EDBは相似で、相似比は18:6=3:1

DB=6×1/3=2cm

AB=8+2=10cm

(2)

1062

△赤と△(緑+黄)は相似で、相似比は12:33=4:11

△(緑+黄)の高さは、18×11/15=13.2cm

△(緑+黄)の面積=33×13.2÷2=217.8㎠

黄色部分の面積=36+9×6÷2=63㎠

緑部分の面積=217.8-63=154.8㎠

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682

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2018年10月 2日 (火)

色部分の面積は?(今年 2018年 浦和明の星女子中学)

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下の図は、1辺の長さが8cmの正方形と

対角線、おうぎ形、半円を組み合わせたものです。

図の色部分の面積を求めなさい。

ただし、円周率は3.14とします。

1021

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図の△緑の面積は、

8×4÷2=16㎠

1023

ここで、

黄+オレンジ+緑のおうぎ形の面積は、

8×8×3.14×45/360

=8×3.14㎠

半円の面積は、

4×4×3.14×1/2

=8×3.14㎠

したがって、

(黄+オレンジ+緑のおうぎ形の面積)=半円の面積 なので、

求める面積=水色部分の面積=オレンジ部分の面積

となるので、

求める面積は、

(8×3.14-16)÷2

=(25.12-16)÷2

=9.12÷2

=4.56㎠

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682

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2018年9月10日 (月)

色部分の面積は?(今年 2018年 田園調布学園中等部)

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図の四角形ABCDは1辺が12cmの正方形です。

このとき、次の問いに答え なさい。

9101

(1) DH:HFをもっとも簡単な整数の比で答えなさい。

(2) DG:GFをもっとも簡単な整数の比で答えなさい。

(3) DH:HGをもっとも簡単な整数の比で答えなさい。

(4) 図の色部分の面積は何㎠ですか。

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(1)△HEDと△HCFは相似で相似比は6:8

したがって、DH:HF=3:4

(2)△GADと△GCFは相似で相似比は12:8

したがって、DG:GF=3:2

(3)DH+HF=DG+GFなので、比を統一すると、

下の図のようになります。

9102

HG=20-14=6なので、

DH:HG=15:6=5:2

(4)色部分の面積は、△HFC-△GFCなので、

8×12×20/35÷2-8×12×14/35÷2

=48×(20/35-14/35)

=48×6/35

=288/35

=8と8/35㎠

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682

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2018年9月 8日 (土)

使うタイルは何枚?(今年 2018年 慶應義塾中等部)

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同じ大きさの正三角形のタイルが 140 枚あります。

このタイルをすき間なく並べて、正三角形また は正六角形をつくります。

[図1]、[図2] はそれぞれ4枚、6枚のタイルを使ってつくった例です。

9081

(1)できるだけ大きな正三角形をつくるとき、タイルは全部で何枚使いますか。

(2)できるだけ多くのタイルを使って、正三角形と正六角形を1つずつつくるとき、

  正三角形を つくるのに使うタイルは何枚ですか?

  正六角形をつくるのに使うタイルは何枚ですか?

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----------------------------------------------------

(1)

正三角形は1辺が1つ大きくなるごとに、

1、3、5、7、9・・・・枚ずつタイルが増えていきます。

Bandicam_20180908_074952368_2

使うタイルは、

1+3+5+7+9+・・・・ と増えていくので、

1辺が1のとき使うタイルは、

2×1÷2=1

1辺が2のとき、

4×2÷2=4

1辺が3のとき、

6×3÷2=9

・・・・・

2×1÷2=2×1×1÷2=1×1

4×2÷2=2×2×2÷2=2×2

6×3÷2=2×3×3÷2=3×3

・・・・・

1辺が12では

12×12=144 より、140を超えてしまうので、

1辺は最大で11になり、

タイルは、11×11=121使います。

(2)

正六角形では1辺が1のとき、

1×6

1辺が2のとき

Bandicam_20180908_075723601

3×6=18増え、

1辺が3のとき、

5×6=30増え

1辺が4のとき、

7×6=42

1辺が5のとき、

9×6=54増えるので、

6+18+30+42+54=150 より140を超えてしまうので、

、24、54、96の4つの場合だけ考えます。

残る枚数は、

→140-6=134・・・・・①

24→140-24=116・・・・・②

54→140-54=86・・・・・③

96→140-96=44・・・・・④

正三角形を作るには、(1辺×1辺)の枚数が必要なので、

使わない枚数は、

①→134-(11×11)=13

②→116-(10×10)=16

③→86-(9×9)=5

④→44-(6×6)=8

したがって、一番タイルを多く使うのは③の場合で、

正三角形に81、正六角形に54です。

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682

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2018年8月25日 (土)

三角形BCEの面積は?(今年 2018年 洗足学園中学)

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1辺5cmの正方形を図のように12個並べ、

直線AB、BC、CDをひき、ABと CDが交わった点をEとします。

このとき、三角形BCEの面積は何㎠ですか。

Bandicam_20180825_070831510

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8251

△黄と△緑は相似で相似比は1:4

△黄の底辺をADとすると、高さは

5×4×1/(1+4)=4cm

△黄の面積は、5×4÷2=10㎠

△BCEの面積

15×20-(15×15÷2+20×5÷2+5×15÷2-10)

=300-(112.5+50+37.5-10)

=300-(200-10)

=110㎠

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682

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2018年8月21日 (火)

色部分の面積は、正方形の何倍?(今年 2018年 広島学院中学)

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ある正方形の紙を2回折ると図のようになりました。

色部分の面積は、もとの正方形の面積の 何倍ですか。

8211

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21も14も、

21+14=35も、

35+21=56も7の倍数なので、

図のように長さの比を簡単な整数で表してみます。

8212

すると色部分は、3×5×2=30

元の正方形は、8×8=64

したがって、色部分は正方形の、

30/64=15/32倍

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682

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2018年8月 8日 (水)

色をつけた部分の面積は?(今年 2018年 共立女子中学)

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太さ1cmで図のような図形を描きました。

色をつけた部分の面積はおよそ何㎠ ですか。

最も近い整数で答えなさい。

8081_2

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8082

図のように、

半径2cmの円から半径1cmの円を引いた部分の1.5個分です。

(2×2-1×1)×3,14×1.5

=14.13㎠ なので、

およそ14㎠

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682

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2018年7月30日 (月)

アとイの長さは?(今年 2018年 神奈川大学附属中学)

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下の図は、周りの長さが60cmの長方形で あり、

曲線は長方形のそれぞれの頂点を中心とする円の一部です。

(1)  アはいくつですか。

(2)  イはいくつですか。

7301

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長方形のたて+横=60÷2=30cm

ア={30-(8+12)}÷2=5

右上の円弧の半径は、(5+12)-8=9cm

長方形のたての長さは、8+5=13cmより、

イ=9-(13-12)=8

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682

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