目次

算数

2019年5月16日 (木)

BD の長さは何cm?(大妻中学 2019年)

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図の四角形 ABCD で,色のついた部分の面積は42㎠です。

BE=ED のとき,BD の長さは何cm ですか。

 

5161

                     6082_4

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解法例

6085

BEの長さを□とすると、

12-3=9cmなので、

(□×9÷2)×2+3×□÷2=42

10.5×□=42

□=4cm となって、

BD=8cm

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682

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2019年5月14日 (火)

クモが捕らえられる虫はどこにいるかな?(麻布中学 2018年 )

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ある長方形があり、

頂点にいるクモが内部にいる虫を捕らえようとしています。

ただし、クモは一定の速さで移動し、虫は動かないものとします。

クモは、まず以下の規則で辺上を移動します。

虫に最も近い辺上の点(図1中の〇で表されて いる点)が一つだけあるとき、

その点まで辺上を最短経路で移動する。

10131

 

虫に最も近い辺上の点(図2、 図3中の〇で表されている点)が

複数あると き、それらのなかで最も早く着ける点のいずれかまで

辺上を最短経路で移動する。

10132

10133

 

こののち, クモは虫に向かってまっすぐ移動します。

例えば、図1、図2、図3の位置に虫がいるとき、

クモが移動を始めてから虫を捕らえるまでの動きは

それぞれ下図のようになります。

101311

101322

101333

 

クモの移動する速さは秒速10cmであるとして、

以下の問いに答えなさい。

(1)図4のように1辺の長さが10cmの正方形の頂点にクモがいるとします。

クモが1.5秒以内で捕らえることができるのは、

どのような範囲にいる虫ですか。

その範囲を斜線で示しなさい。

ただし、図中の点線は5cmごとに引いてあります。

10134

 

(2)図5のように、 縦の長さが10cm、

横の長さが20cmの長方形の頂点にクモが いるとします。

クモが2.5秒以内で捕らえることができるのは、

どのような範囲にいる虫ですか。

その範囲を斜線で示しなさい。

ただし、図中の点線は5cmごとに引いてあります。

10135_2

 

(3) (2)で示した斜線部分の範囲の面積を求めなさい。

 

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解法のヒント

2.5cmごとに線をひいて、

クモが行ける交点を〇、いけない交点を×で記入していきます、

101344_2

 

101355

Panda151587_640


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解法例

(1)

1013444

 

(2)

1013555

 

(3)

(5×5)×5+(5×5)×1/2+(5×5)×3/4

=(5×5)×(5+1/2+3/4)

=25×6.25

=156.25㎠

Panda151605_640

 

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682

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2019年5月 7日 (火)

かかった時間と速さは?(開成中学 2019年)

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K君は,自宅からおばさんの家まで, スイカ2つを一人で運ぶつもりでした。

ところが、弟のS君が「ぼくも手伝う!」と言ったので,次のようにしました。

1) K君とS君がそれぞれスイカを1つずつ持って、同時に自宅を出発する。

2) K君の方がS君より進む速さが速いので,おばさんの家に先に着く。

  そこで,すぐにスイカを置いて,S君に出会うまで引き返す。

3) K君は,S君に出会ったらすぐにS君からスイカを受け取り、

  すぐにおばさんの家に向かう。

ここで,K君の進む速さは

スイカを2つ持っているときは毎分60m,

スイカを1つ持っているときは 毎分80m,

スイカを持っていないときは 毎分100m です。

スイカ2つを運び終えたK君がおばさんの家で休んでいると,

後から追いかけてきたS君が到着しました。

S君「おにいちゃん、ぼく、役に立った?」

K君「もちろんだよ! ぼくが一人で運ぶつもりだったけど、

  そうするのに比べて15/16倍の時間で運び終えられたからね。

    ありがとう!」

S君「ほんと!? よかった!」

次の問いに答えなさい。

(1) K君が一度目におばさんの家に着いてから、

  二度目におばさんの家に着くまでの時間は、

  K君がはじめに一人でスイカ2つを運ぶのにかかると考えていた時間の

  何倍ですか。

(2) 引き返したK君がS君に出会った地点から,おばさんの家までの距離は,

  自宅からおばさんの家までの距離の何倍ですか。

(3) S君がスイカを1つ持って進む速さは毎分何 m ですか。

4275

 

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解法例

5071

(1)

はじめに考えていた

K君が一人でスイカを2つ運ぶ時間を⑯とすると、

実際は、自宅⇒おばさん⇒引き返しS君と出会い⇒おばさん、

にかかった時間は⑮です。

スイカ2つとスイカ1つでは

速さの比は、60:80=3:4

かかる時間の比は逆比で、4:3

スイカ1つでおばさんの家まで、

4:3=⑯:?

?=⑫

おばさん⇒S君⇒おばさん の時間は

⑮-⑫=③

したがって、3/16 倍になります。

(2)

おばさん⇒S君 にかかった時間を4とすると、

S君⇒おばさん にかかった時間は5

4+5=9 が③に当たることになるので

⑫は36

したがって、5/36 倍です。

(3)

KくんがSくんに出会うまでにかかった時間は、

36+4=40

進んだ距離は逆比で、

K君:S君=40:31

S君の速さは、80×31/40=62 より、

毎分62mです。

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682

 

 

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2019年5月 2日 (木)

貨物列車の時速は?(女子美術大学付属中学 2019年)

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長さ200m、時速108km の特急列車が、

長さ350mの貨物列車に追いついてから追いこし終わるまでに

1分40秒かかりました。

このときの貨物列車の時速を次のように求めました。

ア~キにあてはまる数を答えなさい。

(考え方)

時速108km は秒速何mかを求めると、

108 × (ア) ÷ ( 60 × 60 ) = (イ)より、秒速 (イ) mになります。

また、1分40秒は (ウ) 秒です。

特急列車と貨物列車の速さの差は

( 200 + (エ)) ÷ (ウ) = (オ)より、秒速(オ) m です。

貨物列車の速さは、(イ) -(オ) = (カ)より、 秒速 (カ) mとなります。

秒速(カ) mは時速何km かを求めると、

(カ) × 60 × 60 ÷ (ア) = (キ)

よって、貨物列車は時速、(キ) km です。

Honeycam-20190502-100230

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解法例

5021

 

1km=1000mより、

ア=1000

108×1000÷(60×60)=30 

秒速30m より、

イ=30

1分40秒=100秒 より、

ウ=100

(200+350)÷100=5.5

エ=350

秒速5.5m より、

オ=5.5

30-5.5=24.5

秒速24.5m より、

カ=24.5

24.5×60×60÷1000=88.2

時速88.2km より、

キ=88.2

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682

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2019年4月28日 (日)

はじめに取り出した水の量は何L ?(筑波大学附属中学 2019年)

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水そうに水が 14 L 入っています。

はじめに水そうからある量の水を取り出し,

続けて水そうに残っている水のーを取り出したところ,

水そうには6L の水が残りました。

はじめに取り出した水の量は何L ですか。

Suisou_fish

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解法例

4283

図のように、残りの水の1/5は、

6÷4=1.5L

残りの水は、

1.5÷1/5=7.5L

最初に取り出した水の量は、

14-7.5=6.5L

682

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黄色部分の面積は?(筑波大学附属中学 2019年)

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下の図のように,円,正方形,三角形が重なっています。

円,正方形,三角形のそれぞれの面積は 70㎠,

図形全体の面積は 148㎠,

3つの図形が重なっているアの部分の面積が7㎠のとき,

黄色部分の面積を求めなさい。

4281

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解法例

図のように重なった部分をA、Bとすると、

4282

A、Bは2回、アは3回重なっています。

70×3-148=62㎠ 

A+B+7×2=62 なので、

A+B=48㎠

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682

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2019年4月26日 (金)

EC と AE 、DBとADの長さは?(穎明館中学 2018年)

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下の図のように直角三角形 ABC の中に,

AB 上の点 D を中心とする半円がぴったりと入っています。

この半円は辺BC, AC とそれぞれ点 B, 点 E でくっつき,

角 AED は直角です。

4261

このとき, 次の問いに答えなさい。

(1) EC と AE の長さをそれぞれ求めなさい。

(2) DBとADの長さをそれぞれ求めなさい。

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解法例

4262

(1)

△DBEは二等辺三角形なので、

∠DBE=∠DEB

したがって、

∠CBE=∠CEB となるので、

△CEBは二等辺三角形

したがって、BC=EC=5cm

AE=13-5=8cm

(2)

△ABCと△AEDは相似なので、

AB:AE=12:8=3:2

AD=13×2/3=26/3cm

DB=36/3-26/3=10/3cm

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682

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2019年4月22日 (月)

水の量は何立方cm?(今年 2019年 慶應義塾湘南藤沢中等部)

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682

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2019年3月16日 (土)

長さと面積は?(今年 2019年 武蔵中学)

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下の図で、四角形ABCDは長方形で、

AE=6cm、ED=8cm、DG:GC=2:5、

∠DEH=∠GFC、

三角形GFCの面積は10㎠です。

次の問いに答えなさい。

2181

(1)CFは何cmですか?

(2)ABは何cmですか?

(3)三角形BFHの面積は何㎠ですか?

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解法例

2182

(1)

△GFCと△FEPは相似で、相似比は5:7より、

(⑤+⑦)=⑫が8cmなので、

CF=⑤=8×5/12=10/3cm

(2)

10/3×CG×1/2=10㎠なので、

CG=10÷5/3=6cm

DG=6×2/5=12/5cm

AB=6+12/5=42/5cm

(3)

△DEHと△BFHは相似で、相似比は

8:(14-10/3)=8:32/3=24:32=3:4

△BFHの面積=32/3×42/5×4/7×1/2

=32/3×12/5

=128/5㎠

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682

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2019年3月13日 (水)

点Bの動いた道すじの長さは?(今年 2019年 栄光学園中学)

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半径10cmの円の内部に、

1辺の長さが10cmの正三角形ABCが図1のようにあります。

点Aをつけたまま、点Bが円周につくまで、

正三角形を回転させます(図2)。

2111

     図1                        図2

次に、点Bをつけたまま、点Cが円周につくまで回転させます。

このような回転を同 じ向きに繰り返していきます。

図1の位置からもとの位置に戻ってくるまで回転を6回繰り返したとき、

点Bの動いた道すじの長さを、四捨五入して小数第2位まで求めなさい。

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解法例

6085

Bは図のような軌跡になるので、

2112

10×2×3.14×(60×4)/360

=20×3.14×2/3

=41.8.7cm

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682

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