目次

算数

2018年11月14日 (水)

切られる立方体はいくつ?(筑波大学附属中学 2017年)

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同じ大きさの立方体を、

図のように64個積み重ねて大きな立方体をつくり、

その立方体を3つの頂点A、B、Cを通る平面で切ります。

その平面で切られる立方体の個数はいくつですか。


5281

Paper
 

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解法のヒント

一番上の段の途中では、

図のように7個の立方体が切断されることがわかります。

Bandicam_20170528_093945823

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解法例

2段目では5個

Bandicam_20170528_094009324

3段目では3個

Bandicam_20170528_094022416

一番下の段では、1個

Bandicam_20170528_094035434

合計、7+5+3+1=16個 です。

6082

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682

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2018年11月 8日 (木)

点Dを含む立体の体積は?(今年 2018年 芝中学)

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1辺が3cmの立方体を下の図の様に

辺を3等分した点A、Bと頂 点Cを結んで切ります。

DEの長さは何cmですか。

また、点Dを含む立体の体積は何立方cmですか。

11081_2

解法のヒントと解法例は下にスクロールしてください!

51

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解法のヒント

切り口は図のようになります。

11082

EAとBCは平行になります。

11083

△AEFと△BCGは相似になり、

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解法例

CG:GB=3:2=EF:FA

EF=1×3/2=1.5cm

DE=1.5cm

11083

Dを含む立体は図のように、

底辺がAPQDE、頂点がCの五角すいと、

底辺がBRQDS、頂点がCの五角すいと、

底辺がEDS、頂点がCの三角すいでできています。

11084

高さはいずれも3cmなので、

(3×3-1×1.5÷2)×3÷3×2+

1.5×1.5÷2×3÷3

=8.25×2+1.125

=17.625立方cm

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682

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2018年11月 2日 (金)

列車の速さは?コースの長さは?(今年、2018年 武蔵中学)

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おもちゃの列車を走らせる円形のコースがあります。

ただし
コースの一部は長さ 69cmの トンネルになっています。

同じ長さの列車を何両かつなげて、このコースを走らせるときに、

列車の一部または全部が見えている時間を「見える時間」と呼び、

列車がトンネル内にあって、まったく見えない時間を

「見えない時間」と呼ぶことにします。

列車を3両つなげて走らせると、見える時間41秒と

見えない時間7秒をくリ返します。

また、列車を5両つなげて走らせると、見える時間は44秒になります。

列車の速さは一定で、何両つなげても速さは変わりません。

列車の速さは毎秒何cmですか?

また、列車1両の長さとコースの全長はそれぞれ何cmですか?

Toytrain154101_640

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291

図のように、2両増やすと見える時間が3秒増えるので、

列車は1両分進むのに1.5秒かかることがわかります。

3両のとき、トンネルに入り始めて、出かかるまでに、

7+1.5×3=11.5秒かかるので、

列車の速さは、毎秒、69÷11.5=6cm

列車1両の長さは、6×1.5=9cm

コースの長さは、6×(41+7)=288cm

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682

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2018年10月30日 (火)

立方体の切り口は?(今年 2018年 本郷中学)

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図のような1辺の長さが3cmの立方体があります。

点Iは辺GH上、点JはDH上にあり、 GI=DJ=1cmです。

10301

この立方体を、3点A、F、Jを通る平面で切ったとき、

点Eを含む立体 をKとします。

このとき、次の問いに答えなさい。

(1)立体Kの表面のうち、

  もとの立方体の表面に 含まれる部分の面積は何㎠ですか。

(2)この立方体の展開図は下図のようになります 。

10304

  (1)で求めた部分を色部分で表します。

   残りの部分に色をつけてください。

(3)立体Kの体積は何立方cmですか。

Paper

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----------------------------------------------------

解法のヒント

立方体の切り口は図のようになります。

10302

6083

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解法例

10302_2

(1)

左面→3×3÷2=4.5㎠

右面→2×2÷2=2㎠

奥の面→9-1×3÷2=7.5㎠

下面→9-1×3÷2=7.5㎠

求める面積=7.5×2+4.5+2=21.5㎠

(2)

立方体の一番離れている頂点どうしは、

展開図では2つ並んだ正方形の対角線の位置に来ます。

したがって、各頂点は下の図のようになります。

10305

切り口を線で結ぶと、(1)の面積は図のようになります。

10306

(3)

AJとFIとEHを延長すると1点で交わります。

10303

大きな三角すいから立方体からはみ出た三角すいを引きます。

3×3÷2×9÷3-2×2÷2×6÷3

13.5-4

=9.5立方cm

6082

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682

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2018年10月27日 (土)

正三角形の1辺の長さは?(今年、2018年 筑波大学附属駒場中学)

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正三角形 ABC の内側に点Pがあり、

Pから辺BC、AC、ABにそれぞれ垂直な線を引き、

交わった点を順に D、E、Fとします。

AFの長さは7cm、BD の長さは8cm、CE の長さは10cmです。

このとき、正三角形の一辺の長さを求めなさい。

251

 

60814

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----------------------------------------------------

解法のヒント

図のように、Pを通り、正三角形の各辺に平行な線を引きます。

252

3つできた正三角形、△黄、△緑、△赤の1辺の和が

△ABCの1辺の長さに等しくなることがわかります。

6083

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

解法例

252

△黄の1辺の長さ=2×ア

△赤の1辺の長さ=2×イ

△緑の1辺の長さ=2×ウ とすると、

8-イ=2×ア・・・・・①

7-ア=2×ウ・・・・・②

10-ウ=2×イ・・・・・③

①と②より、

ア=7-2×ウ なので、

8-イ=2×(7-2×ウ)=14-4×ウ

4×ウ-イ=6・・・・・④

③と④より、

ウ=10-2×イ なので、

4×(10-2×イ)-イ=6

40-8×イ-イ=6

9×イ=34

イ=34/9

ウ=10-2×34/9=22/9

ア=7-2×22/9=19/9

2×(ア+イ+ウ)=2×(34+22+19)/9=150/9=50/3

=16と2/3cm

6082

----------------------------------------------------

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682

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2018年10月23日 (火)

円の面積は?(今年 2018年 お茶の水女子大学附属中学)

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1辺の長さが2cmの正三角形4枚を使って、

図のような立 体 ABCD を作りました。

10231

 

机の上で、図の立体を下の手順で順番にたおし、

机に接したすべての面が入る最も小さい円を1つかいたとき、

この円の面積は何㎠ですか。ただし, 円周率は3.14 とします。

手順

①図のように、BCDの面が下になるように机の上に立体を置く。

②辺BDを動かさないようにして、頂点Aが机につくようにたおす。

③辺ABを動かさないようにして、頂点Cが机につくようにたおす。

④辺BCを動かさないようにして、頂点Dが机につくようにたおす。

Paper

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

解法のヒント

机に接した面は図のようになります。

10232

141

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----------------------------------------------------

解法例

正六角形の一部なので、

円はBを中心にした半径2cmの円になります。

10233

2×2×3.14=12.56㎠

41
 

 

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682

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2018年10月20日 (土)

コースの長さは?橋の長さは?(今年 2018年 桐朋中学)

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下の図のように、 池のまわりを1周する ランニングコースと、

池にかかる橋があります。

その橋はランニングコースの P地点とQ地点の間にかかっています。

A、B、Cの3人がP地点から同時に出発して、次のように移動しました。

10201

AはP地点を出発して、分速160mで走り、

X地点、Q地点、Y地点 を通ってP地点に戻りました。

BはP地点を出発して、分速80mで歩き、

Y地点を通って、Q地点から橋を渡ってP地点に戻りました。

CはP地点を出発して、分速60mで歩き、

X地点を通って、Q地点から 橋を渡ってP地点に戻りました。

3人がP地点を出発して4分30秒後に、AとBはY地点で出会いました。

また、AがP地点に戻ってから1分 55秒後に、CはP地点に戻りました。

(1)ランニングコース1周の道のりは何mですか。

(2) CがP地点を出発してから、P地点に戻るまでにかかった時間は

  何分何秒でしたか。

(3) Bが Q地点を通ってから 30秒後にCがQ地点を通りました。

  橋の 長さは何mですか。

Paper

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

解法のヒント

1212

10202

Y地点で4分30秒後にAとBは出会いました。

2人は、160+80=分速240mで近づいていったわけです。

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----------------------------------------------------

解法例

1212_e0

(1)

(160+80)×4.5=1080m

(2)

AがP地点にもどったのは、

1080÷160=6.75分=6分45秒後なので、

CがP地点にもどったのは、

6分45秒+1分55秒=8分40秒後

(3)

BがQ地点に着いたとき、

Cはその手前30秒、60÷2=30mの地点にいます。

10203

つまり、1080-30=1050mを2人で歩いたことになり、

その時間は、1050÷(80+60)=7.5=7分30秒です。

CはQ地点まで、7分30秒+30秒=8分で着き、

橋を、8分40秒-8分=40秒で渡ったので、

橋の長さは、60m×2/3分=40m です。

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682

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2018年10月16日 (火)

立体アの体積の何倍?(今年 2018年 東大寺学園中学)

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立体アは各面の対角線(例えば AB)の長さが2cmの立方体、

立体イは4つの面がすべて1辺の長さが2cmの正三角形である三角 すい、

立体ウは底面が1辺の長さが2cmの正方形で、

4つの側面がすべて1辺の長さが2cm の正三角形である四角すいです。

立体イの体積、立体ウの体積は、立体アの体積のそれぞれ何倍ですか。

10161

Bandicam_20181016_173401851

Bandicam_20181016_173449880

Paper

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

解法のヒント

立方体から赤い4つの部分を切り取ると・・・

Bandicam_20181016_121225255

残るのはイの正四面体です。

このイの正四面体を図のように2段に積んでみると・・・

Bandicam_20181016_115833166

Bandicam_20181016_115843727

Bandicam_20181016_115855915

真ん中の空間部分の形は???

141

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

解法例

 Bandicam_20181016_172946418

立方体の1辺を1とすると、

赤い部分の1つ分の体積は、

1×1×1/2×1×1/3=1/6

真ん中の立体イの体積は、

1×1×1-1/6×4=1/3

したがって、イはアの1/3倍です。

正四面体1つの体積を1とすると、

Bandicam_20181016_115819228

正四面体の1辺が2倍になった正四面体全体の体積は、

Bandicam_20181016_115855915_2

2×2×2=8倍になるので、

真ん中の空間部分の体積は、

8-1×4=4

真ん中の空間部分の形は・・・

Bandicam_20181016_115901246

正八面体ですね!

Bandicam_20181016_115924112

立体ウはこの半分なので、

体積は、4÷2=2

イの正四面体の2倍の体積なので、

1/3×2=2/3

したがって、ウはアの2/3倍です。

5802

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682

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2018年10月13日 (土)

クモが捕らえられる虫はどこにいるかな?(今年 2018年 麻布中学)

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ある長方形があり、

頂点にいるクモが内部にいる虫を捕らえようとしています。

ただし、クモは一定の速さで移動し、虫は動かないものとします。

クモは、まず以下の規則で辺上を移動します。

虫に最も近い辺上の点(図1中の〇で表されて いる点)が一つだけあるとき、

その点まで辺上を最短経路で移動する。

10131

 

虫に最も近い辺上の点(図2、 図3中の〇で表されている点)が

複数あると き、それらのなかで最も早く着ける点のいずれかまで

辺上を最短経路で移動する。

10132

10133

 

こののち, クモは虫に向かってまっすぐ移動します。

例えば、図1、図2、図3の位置に虫がいるとき、

クモが移動を始めてから虫を捕らえるまでの動きは

それぞれ下図のようになります。

101311

101322

101333

 

クモの移動する速さは秒速10cmであるとして、

以下の問いに答えなさい。

(1)図4のように1辺の長さが10cmの正方形の頂点にクモがいるとします。

クモが1.5秒以内で捕らえることができるのは、

どのような範囲にいる虫ですか。

その範囲を斜線で示しなさい。

ただし、図中の点線は5cmごとに引いてあります。

10134

 

(2)図5のように、 縦の長さが10cm、

横の長さが20cmの長方形の頂点にクモが いるとします。

クモが2.5秒以内で捕らえることができるのは、

どのような範囲にいる虫ですか。

その範囲を斜線で示しなさい。

ただし、図中の点線は5cmごとに引いてあります。

10135_2

 

(3) (2)で示した斜線部分の範囲の面積を求めなさい。

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

解法のヒント

2.5cmごとに線をひいて、

クモが行ける交点を〇、いけない交点を×で記入していきます、

101344_2

 

101355

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

解法例

(1)

1013444


(2)

1013555


(3)

(5×5)×5+(5×5)×1/2+(5×5)×3/4

=(5×5)×(5+1/2+3/4)

=25×6.25

156.25㎠


 

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682

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2018年10月11日 (木)

中心0が通っ た道のりは?(今年 2018年 早稲田中学)

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図の地点Pから地点Qまで半径3cmの円が転がります。

円の中心0が通っ た道のりは何cmですか。

10111

2401

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

解法のヒント

図のように転がっていきます。

10112_2

Apa0307s

----------------------------------------------------

----------------------------------------------------

解法例


10112_3

△赤はいずれも正三角形なので、

黄色部分は中心角が30°の円弧になり、

緑部分は中心角120°の円弧になります。

円弧部分は、30×4+120=240°なので、

3×2×3.14×240/360+6×5

=4×3.14+30

=42.56cm

Apa300

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682

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