中学受験ー算数解き方ポータル

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2019年10月 8日 (火)

牛の動ける範囲は？（豊島岡女子学園中学２０１９年）

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図のような　ＡＢ、ＢＣ、ＣＡの長さがそれぞれ２０ｍ、１６ｍ、１２ｍで、

角Ｃの大きさが９０°である直角三角形ＡＢＣの３つの頂点の位置に

牛が１頭ずつロープでつながれています。

Ａ、Ｂ、Ｃにつながれているロープの長さは、

それぞれ　１６ｍ、１２ｍ、２０ｍです。

このとき、牛が動くことのできる部分の面積は全部で何㎠ですか。

ただし、牛の大きさ、ロープの太さは考えないものとし、

ロープはのびないものとします。

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解法例

図のように、

半円３つと真ん中の直角三角形の面積の合計になります。

１２×１２×３．１４×１/２＋

１６×１６×３．１４×１/２＋

２０×２０×３．１４×１/２＋

１２×２×１６×２×１/２

＝（１２×６＋１６×８＋２０×１０）×３．１４＋２４×１６

＝４００×３．１４＋３８４

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＝１６４０㎠

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2019年9月 3日 (火)

ラグビーワールドカップの総試合数は？（城北中学　過年度改題）

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日本でのラグビーワールドカップが始まります。

参加チームは全部で２０チーム。

最初に５チームずつ４グループで総当たりの予選リーグを行い，

勝敗やトライ数などによって勝ち点を決め、各リーグ内で１位から５位までの順位を決めます。

次に，各リーグの上位２チームによる決勝トーナメントを行い，優勝チームを決めます。

この大会の総試合数は何試合になりますか？

３位決定戦もありますよ！

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予選リーグは５チームから２チーム取り出す場合の数なので、

　５×４

ーーーーー　＝１０試合

　２×１　

４グループなので、

１０×４＝４０試合

決勝トーナメント進出チームは

２×４＝８チーム

１チームが優勝するまでに７チームが負けるので７試合

３位決定戦が１試合あるので、７＋１＝８試合

全部で、４０＋８＝４８試合

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2019年8月28日 (水)

底面が動く水槽問題（慶應義塾湘南藤沢中等部２０１８年）

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底面を水平のまま動かせる水そうがあります。

図のように最初の底面の位置は深さ６０ｃｍのＡのところにあります。

ここに水を一定の量ずつ入れ始めると同時に

毎分２ｃｍの速さで底面を上げていったところ、

３分後の水面の高さはＡから８ｃｍになりました。

（１）　水は毎分何しℓずつ入りますか。

（２）　水そうがいっぱいになるのは、水を入れ始めてから何分後ですか。

（３）　水を入れ始めてから口分後に、底面の上がる速さを１/３にして、

　　水を入れる量を２倍にしたところ、

　　水を入れ始めてから２４分後に水そうがいっぱいになりました。

　　口に入る数を求めなさい。

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解法のヒント

底面は毎分２ｃｍで上がりますから、

３分では、２×３＝６ｃｍ上がります。

水は底面が動いても動かなくても、

底面上の水面の高さは毎分一定の量で増えていきます。

３分後水面の高さはＡから８ｃｍの高さになったので、

底面から水面までは、８－６＝２ｃｍ

解法例

（１）

４０×２５×２＝２０００立方ｃｍ＝２ℓ

１分間に、２÷３＝２/３ℓ

（２）

水は１分間に底面から、

２/３ℓ÷（４０ｃｍ×２５ｃｍ）＝２/３ｃｍ上昇します。

△分で６０ｃｍになるとすると、

２×△＋２/３×△＝６０

８/３×△＝６０

△＝２２．５分

（３）

□分間は、水面は１分間に

２＋２/３＝８/３ｃｍ上がります。

□分後～２４分の間は、

２×１/３＋２×２/３＝２/３＋４/３＝６/３ｃｍ上がります。

下のようにの面積図にしてみると、

１分間に８/３ｃｍのままなら２４分間で６４ｃｍなので、

白い部分の面積は４ということになり、

ＰＱ＝８/３－６/３＝２/３　より、

ＱＲの長さは、

４÷２/３＝６となるので、

□＝２４－６＝１８分です。

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2019年8月20日 (火)

色部分の面積は？（ラ・サール中学２０１９年　）

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図の三角形ＡＢＣで角Ａは直角、辺ＡＢの長さは２４ｃｍ、

辺ＡＣの長さは１５ｃｍです。

さらに、ＡＤの長さが６ｃｍ、ＡＥの長さが１０ｃｍ、

ＤＦは辺ＡＣと平行とします。

（１）ＤＦの長さを求めなさい。

（２）色部分の面積を求めなさい。

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解法例

（１）

△ＥＡＢと△ＦＤＢは相似で、

ＡＢ：ＤＢ＝２４：（２４－６）＝４：３

ＤＦ＝１０×３/４＝７．５ｃｍ

（２）

△赤と△緑も相似で、

ＣＥ：ＤＦ＝（１５－１０）：７．５＝２：３

△緑の底辺をＤＦとしたときの高さは、

６×３/５＝３．６ｃｍ

求める面積＝

（２４×１０÷２－１８×７．５÷２）－７．５×３．６÷２

＝（１２０－６７．５）－１３．５

＝３９㎠

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2019年8月12日 (月)

Ａ、Ｂ、Ｃの濃度は何％？（雙葉中学　２０１９年）

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３つの容器Ａ、Ｂ、Ｃに、濃度の異なる食塩水が１００ｇずつ入っています。

これらの食塩水に作業１をしました。

[作業１]

Ａから　２０ｇ、Ｂから　３０ｇ、Ｃから４０ｇを取り出す。

次に、Ａから取り出したものをＢに、Ｂから取り出したものをＣに、

Cから取り出したものをAに入れて、それぞれよくかき混ぜる。

作業１の後のＢの濃度は　１３％でした。

作業１でできた食塩水に、作業２をしました。

[作業２]

Ａから４０ｇ、Ｂから２０ｇ、Ｃから３０ｇを取り出す。

次に、Ａから取り出したものをＣに、Ｂから取り出したものをＡに、

Ｃから取り出したものをＢに入れて、それぞれよくかき混ぜる。

作業２の後のＡの濃度は１０．６％でした。

（１）作業１の後のＡの濃度は何％でしたか。

（２）作業２の後、ＢとＣの濃度は等しくなりました。

　　　このときのＢ、Ｃの濃度は何％ですか。

　　　ただし、作業１の後のＣの濃度は、Ａ、Ｂの濃度より高くなっていました。

（３）最初、Ｃの濃度はＡの濃度の３倍でした。

　　　最初のＡ、Ｂ、Ｃの濃度はそれぞれ何％でしたか。

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解法例

（１）１回目でＡは、１００ｇ－２０ｇ＋４０ｇ＝１２０ｇになり、

２回目で４０ｇ取り出したとき、１２０－４０＝８０ｇになっています。

そこに、濃度１３％のＢ２０ｇが入り濃度が１０．６％になるので、

てんびん図は下のようになります。

重さの比はＡ：Ｂ＝８０：２０＝４：１

てんびんの長さは逆比になり、１：４

したがって作業１後のＡの濃度は、

１０．６－（１３－１０．６）÷４＝１０％

（２）てんびん図で表すと、

下の図のように、ＢとＣの濃度、□％は等しくなります。

したがって、

１０＋（Ｃ－１０）×３/５＝１３＋（Ｃ－１３）×３/１０

１００＋（Ｃ－１０）×６＝１３０＋（Ｃ－１３）×３

６×Ｃ＋４０＝３×Ｃ＋９１

３×Ｃ＝５１

Ｃ＝１７％

□＝１３＋（１７－１３）×３/１０＝１４．２％

（３）作業１のＡをてんびん図で表すと下のようになります。

最初のＡの濃度を◎％とすると、

◎＋（３×◎－◎）１/３＝１０　より、

◎＋（２×◎）/３＝１０

（５×◎）/３＝１０

◎＝６％＝Ａ

Ｃ＝６×３＝１８％

Ｂ＝１３＋（１３－６）×２/７＝１５％

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2019年8月 5日 (月)

黄色部分の面積は？（早稲田中学　２０１９年　）

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図の黄色部分は、

台形から半径が同じおうぎ形３つを取り除いたものです。

黄色部分の面積は何㎠ですか。

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解法例

△ＡＥＦと△ＥＢＨは合同なので、

ＡＦ＝８÷２＝４ｃｍ　です。

△ＡＥＧは二等辺三角形なので、

∠ＡＥＦ＝∠ＡＧＦ　より、

△ＡＥＦと△ＡＧＦは合同になります。

ＡＧ＝ＧＤ、ＡＦ＝ＧＩ＝４ｃｍ　より、

△ＡＧＦと△ＧＤＩも合同になり、

∠ＡＧＦ＋∠ＤＧＩ＝９０°

∠ＦＧＩ＝９０°より、

ＡＧＤは直線になります。

ＩＤ＝ＦＧ＝３ｃｍ＝ＥＦ＝ＢＨ　より、

ＢＤ＝１２ｃｍ

３つのおうぎ形の中心角の合計は２７０°

求める面積は、

（６＋１２）×８÷２－５×５×３．１４×２７０/３６０

＝７２－５８．８７.５

＝１３．１２５㎠

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2019年7月15日 (月)

長さと面積は？（武蔵中学２０１９年　）

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下の図で、四角形ＡＢＣＤは長方形で、

ＡＥ＝６ｃｍ、ＥＤ＝８ｃｍ、ＤＧ：ＧＣ＝２：５、

∠ＤＥＨ＝∠ＧＦＣ、

三角形ＧＦＣの面積は１０㎠です。

次の問いに答えなさい。

（１）ＣＦは何ｃｍですか？

（２）ＡＢは何ｃｍですか？

（３）三角形ＢＦＨの面積は何㎠ですか？

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解法例

（１）

△ＧＦＣと△ＦＥＰは相似で、相似比は５：７より、

（⑤＋⑦）＝⑫が８ｃｍなので、

ＣＦ＝⑤＝８×５/１２＝１０/３ｃｍ

（２）

１０/３×ＣＧ×１/２＝１０㎠なので、

ＣＧ＝１０÷５/３＝６ｃｍ

ＤＧ＝６×２/５＝１２/５ｃｍ

ＡＢ＝６＋１２/５＝４２/５ｃｍ

（３）

△ＤＥＨと△ＢＦＨは相似で、相似比は

８：（１４－１０/３）＝８：３２/３＝２４：３２＝３：４

△ＢＦＨの面積＝３２/３×４２/５×４/７×１/２

＝３２/３×１２/５

＝１２８/５㎠

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2019年7月 8日 (月)

ゲームをしたのは何回？（今年　２０１９年　桜蔭中学）

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３人の中から１人の勝者が決まるゲームのトーナメントを考えます。

ゲームは必ず３人で行います。

このトーナメントに参加する子どもたちに１から順に番号をふります。

番号の小さい順に３人ずつ組み、１回戦を行います。

３人の組にならない子どもは２人以下とし、そのまま２回戦に進みます。

２回戦以降も同じように組を作ってゲームを行います。

例えば、１番から１１番の参加者１１人でトーナメントをするとき、

図１のように１回戦はａ、ｂ、ｃの３回ゲームを行い、

１０番と１１番の子どもはそのまま準決勝に進みます。

そのあとｄ、ｅの２回ゲームを行うと優勝者が１人決まります。

図１

2061

（１）１番から８１番の参加者８１人で１回戦を図２のように行うと、

優勝者が１人決まるまでに、合計何回のゲームが行われますか？

図２

（２）１番から２３５番の参加者２３５人でトーナメントを行うと、

優勝者が１人決まるまでに合計何回のゲームが行われますか？

（３）優勝者が１人決まるまでに合計２４　回ゲームが行われたとき、

トーナメントの決勝、準決勝は図３のようになりました。

このときのトーナメントの参加者は何人ですか？

図３

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解法例

（１）

８１÷３＝２７

２７÷３＝９

９÷３＝３

３÷３＝１

２７＋９＋３＋１＝４０回

（２）

２３５÷３＝７８・・・・・１

（７８＋１）÷３＝２６・・・・・１

（２６＋１）÷３＝９

９÷３＝３

３÷３＝１

７８＋２６＋９＋３＋１＝１１７回

（３）

逆に考えていきます。

（２＋１）÷３＝１

７÷３＝２・・・・・１

この７が１＋６か２＋５なのか調べます。

１＋６の場合、

（６＋１）÷３＝２・・・・・１

その前は、

（　　　）÷３＝６・・・・・１　なので、

（　　）＝１９

１９＝１８＋１　か　１７＋２　となって、

いずれの場合も２４ゲームを上回ってしまい不適当、

したがって、

（５＋２）÷３＝２・・・・・１　なので、

その前は、

（　　）÷３＝５・・・・・２　より

（　　）＝１７

１７＝１６＋１　か　１５＋２　ですが、

２４ゲームになるのは、１６＋１なので、

（１６＋１）÷３＝５・・・・・２

その前は、

（　　）÷３＝１６・・・・・１　より、

（　　）＝４９人

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