目次

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2017年4月27日 (木)

何通りの道順がある?(今年 2017年 専修大学松戸中学)

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A地点とB地点の間には、下の図のような道があります。

これらの道を通ってA地点からB地点まで行く とき、

同じ地点を通らずに行く方法は通り何ありますか?


4271


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4272

赤い道を通る場合は、2通り、

真ん中の道を通る場合は、2×2=4通り、

下の道を通る場合も、2×2=4通り なので、

合計、2+4+4=10通り

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2015年9月20日 (日)

小学生ならすぐ解ける!大人だってすぐ解ける?(第9回算数オリンピック、トライアル問題より)

6けたの整数があり、一の位は9です。

いま、この「9」を一番上の位に移したら、元の整数の4倍になりました。

もとの6けたの整数はいくつですか?

Cocolog_oekaki_2013_06_07_18_02

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4×9=36なので、E=6

ABCD69

×)  4

9ABCD6

3繰り上がって、4×6=24は27なのでD=7

ABC769

×)  4

9ABC76

2繰り上がって、4×7=28は30なのでC=0

AB0769

×)  4

9AB076

3繰り上がって、4×0=0は3なのでB=3

A30769

×)  4

9A3076

4×3=12なのでA=2

1繰り上がって、4×2=8は9に

元の数→230769

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2015年4月 6日 (月)

年齢は何歳?(2015年 芝浦工業大学柏中学)

Aさん,Bさん,Cさん,Dさんの4人が,それぞれ次のように話しました。

   Aさん「私以外の3人の年齢を合わせると,103歳になる。」

   Bさん「私以外の3人の年齢を合わせると,106歳になる。」

   Cさん「私以外の3人の年齢を合わせると,109歳になる。」

   Dさん「私以外の3人の年齢を合わせると,75歳になる。」

4人の年齢はそれぞれ何歳ですか?

Pce022s

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全部たすと、1人が3回計算されています。

103+106+109+75=393

したがって、A+B+C+D=393÷3=131歳

A=131-103=28歳

B=131-106=25歳

C=131-109=22歳

D=131-75=56歳

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2015年4月 3日 (金)

長方形の面積は?(2015年 春日部共栄中学)

図のように、形も大きさも同じ3つの長方形を並べました。

この長方形1つの面積は何c㎡ですか?

P4031

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図のように真ん中の黄色部分の四角形は正方形になります。

P4032

この正方形の1辺の長さを□とすると、

3+□=(12-□)÷2 なので、

2×(3+□)=12-□

6+2×□=12-□

3×□=6

□=2cm

長方形の面積=2×(3+2)=10c㎡

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2014年12月31日 (水)

直角三角形が増える規則性は?(筑波大学附属駒場中学 2005年)

直角三角形を次のような操作で、いくつかの直角三角形に分割していきます。

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ア:直角三角形の1つの辺を選び、そのまん中に印をつける。

イ:つけた印と直角三角形の頂点を線で結ぶ。

ウ:つけた印から直角三角形の他の辺に垂直な線を引く。

ただし、選んだ辺が2つの直角三角形の辺になっているときは

その2つの三角形両方にイ・ウの操作を行う。

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上の操作を1回と数え、下の図の三角形ABCを分割してできた直角三角形に

この操作を何回もくり返していきます。

たとえば、1回目の操作を行うと、図1、図2のように、

4個、3個の直角三角形に分割されます。

また、図1に対して2回目の操作を行うと、

たとえば、図3、図4のように8個、10個の直角三角形に分割されます。

さらに3回目の操作を行うと、

たとえば図5、図6のように10個、13個の直角三角形に分割されます。

このとき、次の問に答えなさい。

Pic_2746q

(1)操作を3回行ったとき、直角三角形ABCのそれぞれの辺に印が1つずつありました。

直角三角形ABCは何個の直角三角形に分割されますか。

考えられる個数をすべて答えなさい。

(2)操作を10回行ったとき、直角三角形ABCの辺上にある印は 1個だけでした。

直角三角形ABCは最も多くて何個の直角三角形に分割されますか。

また、最も少なくて何個の直角三角形に分割されますか。

(3)操作を50回行ったとき、辺AC上にある印は10個でした。

直角三角形ABCは、最も多くて何個の直角三角形に分割されますか。

また、最も少なくて何個の直角三角形に分割 されますか。

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(1)操作を3回行って、三角形ABCのそれぞれの辺に印が1つずつあるので、

1個目の印を辺AB,BC,AC のどこにつけるかで、図1、図2のように形が変わります。

まず、図1のように、辺AC上に印をつけると、4個の直角三角形に分割されるので、

残りの辺AB,BC上に1つずつ印をつけるので、

下の図7のように、4個の候補ができます。

Pic_2751a

辺AB上の2個から1つ、辺BC上の2個から1つ、それぞれ選び操作を行うと、

図7では直角三角形の個数は、8個となります。

次に、最初に辺AB、またはBC上に印をつけるときは、下の図8のように、

7個に分割されます。

Pic_2752a

よって、考えられる個数は、8個、7個です。

 

(2)操作を10回行い、直角三角形ABCの辺上に印が1個だけなので、

最初の1回目以外は、直角三角形ABC の内部の辺に印をつけたことになります。

まず、多くの直角三角形に分割する方法について考えます。

1回目の操作では、図1、図2のように、4個、3個に分割できるので、

多くの直角三角形に分割するには、図1になるように、

斜辺(直角を含まない辺)に印をつけます。

図1のあと、2回目の操作では、図3または図4になり、図4の方が多くなります。

その後の3回目の操作では、下の図9、図10のようになります。

Pic_2753a

ここで、図9の場合が最も多くの直角三角形に分割でき、

図4や図9の青い部分を作るように分割していくことを続ければ、

最も多くの直角三角形に分割することができることがわかります。

この方法を用いれば、

 1回目の操作 1個 → 4個   (図1)

 2回目の操作 4個 → 10個  (図4)

 3回目の操作 10個 → 16個 (図9)

のように、2回目以降は、ずっと 6個ずつ直角三角形が増えていくので、

最も多くて、4+6×9=58個 に分割することができることがわかります。

 

では、最も少ない場合は、どのようにすればよいでしょうか。

図10の赤い三角形に注目すると、印E によって3個に分割されています。

これは、図3→図5のところでも登場しているパターンの増え方です。

2個しか増えません。

1回目の操作で斜辺に印をつけると、

図10の赤い直角三角形が現れるのは2回目の操作を行った図3の後で、

3回目の操作を行うと図5のようになり、以降は2個ずつ増えていくだけとなります。

よって、この後、図2について検証しますが、

2回目の操作で図3の8個より少なくなるかどうかを調べればよいことになります。

下の図のように、図2の場合は図11、図12のようになります。

ここで、図11、図12の黄色い直角三角形は、図10の赤い直角三角形と同じように、

次の操作では青い点を印として、図13のように、3個に分割されるだけとなります。

Pic_2754a_2

図11と図12では、図11が7個、図12は9個の直角三角形に分割されるので、

図11の方が少ないことがわかります。

また、図3の8個よりも少ないことがわかります。

よって、分割の仕方としては、図11→図13の方法を用いれば、

分割される直角三角形の個数は最も少なくなり、

  1回目の操作 1個 → 3個

  2回目の操作 3個 → 7個 

  3回目の操作以降は、2個ずつ増える

ということになり、 最も少ない数に分割すると、

7+2×8=23個 の直角三角形になることがわかります。

 

(3)まず、最も多い場合について考えます。

これは、(2)の図1→図4→図9 のように増やしていけばよいですね。

ここで問題が、辺AC上に10個の印があることです。

図1以外の残りの9個の印をAC上に作らなければなりません。

これは、図4→図6のようになります。

すなわち、

 1個 → 4個 になるのが10回、残りの40回は、6個ずつ増えていく

ということになります。

よって、最も多くなると、

1個 → 4個 → 7個 → ・・・ → 31個 → 6個ずつ増

1+3×10+6×40=271個 の直角三角形に分割されます。

 

次に、最も少ない場合です。

(2)のときは、

  1回目の操作 1個 → 3個

  2回目の操作 3個 → 7個 

  3回目の操作以降は、2個ずつ増えると考えましたが、

今回は辺AC上に10個の印があるので、

下の図14→図15のように、図11をはさまずに、2個増えるパターンにすることができます。

Pic_2755a

よって、最も少ない場合は、

 1個 → 3個 → 5個 → ・・・ → ずっと2個ずつ増える

という場合になります。

(辺AC上に印をつける場合も、図2→図8のように2個増えさせる)

このとき、直角三角形の個数は、1+2×50=101個 です。

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2014年12月20日 (土)

周囲の長さは?(函館ラ・サール中学 2009年)

たて1cm、横2cmの長方形の紙を下の図のように規則的にならべていきます。

Pic_1663q

(1)6番目の図形の周囲の長さ(図の太線部分)は何cmですか?

(2)図形の周囲の長さが150cmになるのは何番目の図形ですか?

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(1)太線の長さは、下の図1のように、

図形がぴったり入る長方形の周りの長さに等しいことがわかります。

 Pic_16641a

 1番目は、1cm×2cmの長方形の周りの長さ

 2番目は、3cm×4cmの長方形の周りの長さ

 3番目は、5cm×6cmの長方形の周りの長さ

 4番目は、7cm×8cmの長方形の周りの長さ

として、規則的に測ることができるので、

 6番目は、11cm×12cmの長方形の周りの長さと等しく、

       (11+12)×2=46cm となります。

 

(2)□番目の長方形が、(たて+横)×2=150cmとなるので、

たて+横=75cm とわかります。

さらに、たてと横の差は1cmなので、

たて=37cm、横=38cm となります。

番号と横の長さは、2倍の関係になっているので、

太線の長さが150cmになるのは、38÷2=19番目 です。

 

<別解>

(1)1番目の長方形の周囲の長さは、6cmです。

2番目以降の図形の周囲の長さは、下の図2のように、

図形を青線部分と黄色線部分に分けて考えると、

Pic_16632a

黄色い線の長さは6cmで、青線部分の長さはそれぞれ

 2番目・・・2×4

 3番目・・・4×4

 4番目・・・6×4

となるので、6番目の図形の青線部分に当たる長さは、

 10×4=40cm となります。

よって、6番目の図形の周囲の長さは、

青線部分+黄色線部分=40+6=46cm です。

 

(2)□番目の図形の周囲の長さは、(□-1)×2×4+6

として求めることができるので、

 (□-1)×2×4+6=150cm となるのは、

 □=19 より、19番目です。

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2014年10月12日 (日)

これ、条件だけでも難問!(2012年算数オリンピック、ファイナル問題から)

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図のような五角形ABCDEがあり,角BAE=90°

AP=10cm,PE=8cm,AB=3.9cm,PQ=5.5cm,

PQとCEは平行,BR:RD=5:8,PR:RC=3:5,

QS=SD,CS=16.5cmになっています。

三角形QRSの面積は何c㎡ですか。

※ただし,図は正確とは限りません。

1_2

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PQとCEは平行なので、AQ:QS=AP:PE=5:4です。

QS=SDより、AQ:QD=5:8で、BR:RDと等しいので、ABとQRは平行です。

PQとCEは平行なので、三角形APQと三角形AESは相似で、

相似比はAP:AE=5:9です。

PQ=5.5cmなので、SE=5.5×9/5=9.9cmです。

CS=16.5cmなので、

CS:SE=16.5:9.9=5:3となり、RC:PRと等しいのでRSとPEも平行です。

ABとQR、RSとPEが平行で、角BAE=90°なので、

角QRSも90°とわかります。

つまり、三角形QRSは直角三角形です。

AQ:QD=5:8、AB=3.9cmより、

QR=3.9×8/(8+5)=2.4cm

CS:SE=5:3、PE=8cmより、

RS=8×5/(5+3)=5cmなので、

三角形QRSの面積は

5×2.4÷2=6c㎡

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2014年8月27日 (水)

ひろしが持っているカードの数字は?(2008年算数オリンピック、トライアル問題より)

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1~9の数字が1つずつ書かれたカードが1枚ずつあります。

今、ひろし、まさる、よしこの3人に3枚ずつ配りました。

ひろし「ぼくのカードのうち2枚の数字の積が、残り1枚の数字になってる」

まさる「ぼくのカードは2枚の和が残り1枚の数字になってる」

よしこ「私のもまさるくんと同じで、2枚の和が残り1枚の数字になってる」

ひろしの3枚のカードの数字は?

Pfa021sPfa010sPfa020s





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ひろしの3枚のカードとして考えられるのは、2、3、6か、2、4、8です。

まさるとよしこは、どちらも2枚の数字の和が残りの1枚の数字になっているので、

2人とも3枚の数字の和は偶数です。

なぜなら、A+B=C→A+B+C=2×C なので、

すると、2人のカードを合わせた6枚の数字の和も偶数になります。

9枚の数字の和は、(1+9)×9÷2=45なので、

ひろしが2,3,6のとき残りの6枚の数字の和は、

45-(2+3+6)=34 で偶数となり条件を満たしますが,

ひろしが2,4,8のとき残りの6枚の数字の和は、

45-(2+4+8)=31の奇数となり条件を満たさないので、

ひろしの3枚は2,3,6とわかります。


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6の箱に入っている玉? (浅野中学 2014年)

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1から6の番号のついた箱がそれぞれ1つずつあります。これらの箱の中に、AからF までの文字が書かれた玉を、はじめにA は1の箱に、Bは2の箱に、Cは3の箱に、Dは4の箱に、E は5の箱に、F は6の箱に1つずつ入れます。こららの箱の中の玉に対し、次の操作を行います。

【操作】

1から3の番号の箱の中の玉は、箱の番号を2倍した番号の箱へ移します。

4から6の番号の箱の中の玉は、13から箱の番号の2倍を引いた番号の箱へ移します。

この操作を3回くり返した後の、

6の箱に入っている玉に書かれている文字はなんでしょうか?

Bo4

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A : 1、 B : 2、 C : 3、 D : 4、 E : 5、 F : 6

とします。

1~6の数に対し【操作】をすると、

 1→2→4→5

 2→4→5→3

 3→6→1→2

 4→5→3→6

 5→3→6→1

 6→1→2→4

となるので、6の箱に入るのは、最初に4の箱に入っていたです。

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2014年8月15日 (金)

見える部分の面積は?(第4回 ジュニア算数オリンピック ファイナル問題)

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1辺8cmの立方体があります。

この立方体の上の面の各辺のまん中の点に

下の面の各頂点が重なるような大きさの立方体を置きます。

同じようにして、次々と立方体を図のような塔の形に積み上げていきます。

7個積み上げたとき、

外側から目で見ることのできるこの搭の表面すべての面積の合計は何c㎡ですか。

ただし、塔の底の面積(床についている部分)は含みません。

1123

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Capture_2014_08_15_07_49_27_56_2

Capture_2014_08_15_07_50_14_942

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2017年6月
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