直角三角形を次のような操作で、いくつかの直角三角形に分割していきます。
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ア：直角三角形の１つの辺を選び、そのまん中に印をつける。
イ：つけた印と直角三角形の頂点を線で結ぶ。
ウ：つけた印から直角三角形の他の辺に垂直な線を引く。
ただし、選んだ辺が２つの直角三角形の辺になっているときは
その２つの三角形両方にイ・ウの操作を行う。
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上の操作を１回と数え、下の図の三角形ＡＢＣを分割してできた直角三角形に、
この操作を何回もくり返していきます。
たとえば、１回目の操作を行うと、図１、図２のように、
４個、３個の直角三角形に分割されます。
また、図１に対して２回目の操作を行うと、
たとえば、図３、図４のように８個、１０個の直角三角形に分割されます。
さらに３回目の操作を行うと、
たとえば図５、図６のように１０個、１３個の直角三角形に分割されます。
このとき、次の問に答えなさい。
（１）操作を３回行ったとき、直角三角形ＡＢＣのそれぞれの辺に印が１つずつありました。
直角三角形ＡＢＣは何個の直角三角形に分割されますか。
考えられる個数をすべて答えなさい。
（２）操作を１０回行ったとき、直角三角形ＡＢＣの辺上にある印は １個だけでした。
直角三角形ＡＢＣは最も多くて何個の直角三角形に分割されますか。
また、最も少なくて何個の直角三角形に分割されますか。
（３）操作を５０回行ったとき、辺ＡＣ上にある印は１０個でした。
直角三角形ＡＢＣは、最も多くて何個の直角三角形に分割されますか。
また、最も少なくて何個の直角三角形に分割 されますか。
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（１）操作を３回行って、三角形ＡＢＣのそれぞれの辺に印が１つずつあるので、
１個目の印を辺ＡＢ，ＢＣ，ＡＣ のどこにつけるかで、図１、図２のように形が変わります。
まず、図１のように、辺ＡＣ上に印をつけると、４個の直角三角形に分割されるので、
残りの辺ＡＢ，ＢＣ上に１つずつ印をつけるので、
下の図７のように、４個の候補ができます。
辺ＡＢ上の２個から１つ、辺ＢＣ上の２個から１つ、それぞれ選び操作を行うと、
図７では直角三角形の個数は、８個となります。
次に、最初に辺ＡＢ、またはＢＣ上に印をつけるときは、下の図８のように、
７個に分割されます。
よって、考えられる個数は、８個、７個です。
（２）操作を１０回行い、直角三角形ＡＢＣの辺上に印が１個だけなので、
最初の１回目以外は、直角三角形ＡＢＣ の内部の辺に印をつけたことになります。
まず、多くの直角三角形に分割する方法について考えます。
１回目の操作では、図１、図２のように、４個、３個に分割できるので、
多くの直角三角形に分割するには、図１になるように、
斜辺（直角を含まない辺）に印をつけます。
図１のあと、２回目の操作では、図３または図４になり、図４の方が多くなります。
その後の３回目の操作では、下の図９、図１０のようになります。
ここで、図９の場合が最も多くの直角三角形に分割でき、
図４や図９の青い部分を作るように分割していくことを続ければ、
最も多くの直角三角形に分割することができることがわかります。
この方法を用いれば、
１回目の操作 １個 → ４個 （図１）
２回目の操作 ４個 → １０個 （図４）
３回目の操作 １０個 → １６個 （図９）
のように、２回目以降は、ずっと ６個ずつ直角三角形が増えていくので、
最も多くて、４＋６×９＝５８個 に分割することができることがわかります。
では、最も少ない場合は、どのようにすればよいでしょうか。
図１０の赤い三角形に注目すると、印Ｅ によって３個に分割されています。
これは、図３→図５のところでも登場しているパターンの増え方です。
２個しか増えません。
１回目の操作で斜辺に印をつけると、
図１０の赤い直角三角形が現れるのは２回目の操作を行った図３の後で、
３回目の操作を行うと図５のようになり、以降は２個ずつ増えていくだけとなります。
よって、この後、図２について検証しますが、
２回目の操作で図３の８個より少なくなるかどうかを調べればよいことになります。
下の図のように、図２の場合は図１１、図１２のようになります。
ここで、図１１、図１２の黄色い直角三角形は、図１０の赤い直角三角形と同じように、
次の操作では青い点を印として、図１３のように、３個に分割されるだけとなります。
図１１と図１２では、図１１が７個、図１２は９個の直角三角形に分割されるので、
図１１の方が少ないことがわかります。
また、図３の８個よりも少ないことがわかります。
よって、分割の仕方としては、図１１→図１３の方法を用いれば、
分割される直角三角形の個数は最も少なくなり、
１回目の操作 １個 → ３個
２回目の操作 ３個 → ７個
３回目の操作以降は、２個ずつ増える
ということになり、 最も少ない数に分割すると、
７＋２×８＝２３個 の直角三角形になることがわかります。
（３）まず、最も多い場合について考えます。
これは、（２）の図１→図４→図９ のように増やしていけばよいですね。
ここで問題が、辺ＡＣ上に１０個の印があることです。
図１以外の残りの９個の印をＡＣ上に作らなければなりません。
これは、図４→図６のようになります。
すなわち、
１個 → ４個 になるのが１０回、残りの４０回は、６個ずつ増えていく
ということになります。
よって、最も多くなると、
１個 → ４個 → ７個 → ・・・ → ３１個 → ６個ずつ増
１＋３×１０＋６×４０＝２７１個 の直角三角形に分割されます。
次に、最も少ない場合です。
（２）のときは、
１回目の操作 １個 → ３個
２回目の操作 ３個 → ７個
３回目の操作以降は、２個ずつ増えると考えましたが、
今回は辺ＡＣ上に１０個の印があるので、
下の図１４→図１５のように、図１１をはさまずに、２個増えるパターンにすることができます。
よって、最も少ない場合は、
１個 → ３個 → ５個 → ・・・ → ずっと２個ずつ増える
という場合になります。
（辺ＡＣ上に印をつける場合も、図２→図８のように２個増えさせる）
このとき、直角三角形の個数は、１＋２×５０＝１０１個 です。
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