目次

ゲーム

2015年5月28日 (木)

Aさんが先にゴールするのは?(2015年 明治学院中学)

AさんとBさんはじんけんゲームをしました。

勝ちは20ポイント,あいこは10ポイント,負けは5ポイントもらえ,

100ポイントになるとゴールできます。

3回じゃんけんをして,Aさんはあいこが1回,負けが2回でした。

Aさんが先にゴールするのは最も早くて何回目ですか。

2

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3回目が終わったとき、

A→20ポイント

B→50ポイント

Aさんはゴールまで80ポイントなので、4回連続で勝てば先にゴールできます。

したがって、7回目です。

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2015年3月15日 (日)

2015年(芝中学)陣地の広さの比は?

A君,B君の2人は,以下のルールでゲームをしました。

ルール

①最初は2人とも同じ広さの陣地をもっています。

②硬貨1枚を投げて,表が出ればA君の勝ち,裏が出ればB君の勝ちとします。

   ただし,硬貨の表裏の出方は,等しいとします。

③勝った方は,負けた方がその時点でもっている陣地の半分をもらえます。

(1)2回の勝負をして,A君は1回目は勝ち,2回目は負けました。

   このとき,A君の陣地とB君の陣地の広さの比は□:□です。

(2)3回の勝負をしました。

  (ア)A君が3連勝したとき,A君の陣地とB君の陣地の広さの比は□:□です。

  (イ)A君は2勝1敗でした。A君の陣地が最大となるとき,

      A君の陣地とB君の陣地の広さの比は□:□です。

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最初A、Bがもっている陣地を1:1とすると、

(1)1回目、Aは3/2 、Bは1/2 になっています。

2回目、Aは3/2×1/2=3/4 になり、2人の合計は常に2なので、

Bは2-3/4=5/4 より、A:B=3:5 です。

(2)

(ア)Bは3連敗なので、1/2×1/2×1/2=1/8

A=2-1/8=15/8 より、A:B=15:1

(イ)Aが2勝1敗になるには、○○×、○×○、×○○の3通り、

○○×→Bは2回目まで、1/2×1/2=1/4なので、Aは7/4

3回目でAは7/4×1/2=7/8になるので、A:B=7:9

○×○→1回目でBは1/2、Aは3/2

2回目でAは3/4、Bは5/4、

3回目でBは5/8、Aは11/8になるので、A:B=11:5

×○○→1回目でAは1/2、Bは3/2 より、

3回目でBは、3/2×1/2×1/2=3/8、Aは13/8になるので、

Aの陣地が最大になるのは、×○○の場合で、A:B=13:3

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2014年11月11日 (火)

2人の競技の勝ち負けは?(渋谷教育学園幕張中学 2009年)

一方が他方より3ゲーム多く勝ったときに優勝が決まるというルールで、

A、Bの2人が競技を行いました。

ただし、引き分けはないものとします。

①ちょうど9ゲーム目が終わったときに、Aが6勝3敗となり優勝しました。

このときに考えられるAの勝ち負けの順は何通りありますか。

②ちょうど12ゲーム目が終わったときに、優勝が決まることはありません。

その理由を説明してください。

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①下の図のように,Aが勝つと右へ1つ,Bが勝つと上へ1つ行く道順を考えます。

交点にはそこに行き着く道順の数を書いていきます。

1

Aが6勝3敗で勝ったので,右へ6マス,上へ3マス行きますが,

×の地点は6勝3敗になる前に,一方が他方より3ゲーム以上多く勝って優勝が決まってしまうところなので除きます。

つまり,×の地点を通らないで行く道順を考えればよいわけです。

全部で27通りになります。

②ちょうど12ゲーム目で優勝が決まったとすると,2人の勝ち数の和は12です。

また,一方が他方より勝ち数が3多いことになります。

勝ち数が少ない方の勝ち数は,

(12ー3)÷2=4.5勝

多い方は

4.5+3=7.5勝 となりますが,

勝ち数は整数ですから,ちょうど12ゲーム目で優勝が決まることはありません。

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2014年11月 9日 (日)

対戦ゲームの得点は?(2014年 ラ・サール中学)

A、B2人がゲームをします。

1回のゲームでは、勝者に4点、敗者に0点が与えられ、

引き分けのときは、両者に1点ずつが与えられます。

10回のゲームが終わったとき、2人の得点の合計は34点でした。

考えられるAの得点は、最低で何点?最高で何点でしょうか?

Mspe0209cs

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引き分けがなかったら、どちらかが勝つので、

2人の得点合計は、4×10=40点になるはずです。

1回引き分けがあると、4点が→1×2=2点に減るので、

40-34=6点 は 

6÷2=3回 引き分けがあったことになります。

したがって、Aの最高は残り7回すべて勝った場合で、

4×7+3=31点

最低は7回すべて負けた場合で、引き分けの点だけで、

3点 です。

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