目次

ゲーム

2019年7月 8日 (月)

ゲームをしたのは何回?(今年 2019年 桜蔭 中学)

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3人の中から1人の勝者が決まるゲームのトーナ メントを考えます。

ゲームは必ず3人で行います。

このトーナメントに参加する子どもたちに1から 順に番号をふります。

番号の小さい順に3人ずつ 組み、 1回戦を行います。

3人の組にならない子どもは2人以下とし、そのまま2回戦に進みます。

2回戦以降も同じように組を作ってゲームを行います。

例えば、1番から 11番の参加者 11人でトーナメントをするとき、

図1のように1回戦はa、b、cの3回ゲームを行い、

10 番と11番の子どもはそのまま準決勝に進みます。

そのあと d、eの2回ゲームを行うと 優勝者が1人決まります。

図1

2061

(1)1番から81番の参加者 81人で1回戦を図2のように行うと、

優勝者が1人決まるまでに、合計何回のゲームが行われますか?

図2

2062

 

(2) 1番から235番の参加者235人でトーナメントを行うと、

優勝者が1人決まるまでに 合計何回のゲームが行われますか?

(3)優勝者が1人決まるまでに合計 24 回ゲームが行われたとき、

トーナメントの決勝、準決勝は 図3のようになりました。

このときのトーナメントの参加者は何人ですか?

図3

2063

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解法例

106

 

(1)

81÷3=27

27÷3=9

9÷3=3

3÷3=1

27+9+3+1=40回

(2)

235÷3=78・・・・・1

(78+1)÷3=26・・・・・1

(26+1)÷3=9

9÷3=3

3÷3=1

78+26+9+3+1=117回

(3)

逆に考えていきます。

(2+1)÷3=1

7÷3=2・・・・・1

この7が1+6か2+5なのか調べます。

1+6の場合、

(6+1)÷3=2・・・・・1

その前は、

(   )÷3=6・・・・・1 なので、

(  )=19

19=18+1 か 17+2 となって、

いずれの場合も24ゲームを上回ってしまい不適当、

したがって、

(5+2)÷3=2・・・・・1 なので、

その前は、

(  )÷3=5・・・・・2 より

(  )=17

17=16+1 か 15+2 ですが、

24ゲームになるのは、16+1なので、

(16+1)÷3=5・・・・・2

その前は、

(  )÷3=16・・・・・1 より、

(  )=49人

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682

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2015年5月28日 (木)

Aさんが先にゴールするのは?(2015年 明治学院中学)

AさんとBさんはじんけんゲームをしました。

勝ちは20ポイント,あいこは10ポイント,負けは5ポイントもらえ,

100ポイントになるとゴールできます。

3回じゃんけんをして,Aさんはあいこが1回,負けが2回でした。

Aさんが先にゴールするのは最も早くて何回目ですか。

2

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3回目が終わったとき、

A→20ポイント

B→50ポイント

Aさんはゴールまで80ポイントなので、4回連続で勝てば先にゴールできます。

したがって、7回目です。

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2015年3月15日 (日)

2015年(芝中学)陣地の広さの比は?

A君,B君の2人は,以下のルールでゲームをしました。

ルール

①最初は2人とも同じ広さの陣地をもっています。

②硬貨1枚を投げて,表が出ればA君の勝ち,裏が出ればB君の勝ちとします。

   ただし,硬貨の表裏の出方は,等しいとします。

③勝った方は,負けた方がその時点でもっている陣地の半分をもらえます。

(1)2回の勝負をして,A君は1回目は勝ち,2回目は負けました。

   このとき,A君の陣地とB君の陣地の広さの比は□:□です。

(2)3回の勝負をしました。

  (ア)A君が3連勝したとき,A君の陣地とB君の陣地の広さの比は□:□です。

  (イ)A君は2勝1敗でした。A君の陣地が最大となるとき,

      A君の陣地とB君の陣地の広さの比は□:□です。

Smbl148sSmbl152s

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最初A、Bがもっている陣地を1:1とすると、

(1)1回目、Aは3/2 、Bは1/2 になっています。

2回目、Aは3/2×1/2=3/4 になり、2人の合計は常に2なので、

Bは2-3/4=5/4 より、A:B=3:5 です。

(2)

(ア)Bは3連敗なので、1/2×1/2×1/2=1/8

A=2-1/8=15/8 より、A:B=15:1

(イ)Aが2勝1敗になるには、○○×、○×○、×○○の3通り、

○○×→Bは2回目まで、1/2×1/2=1/4なので、Aは7/4

3回目でAは7/4×1/2=7/8になるので、A:B=7:9

○×○→1回目でBは1/2、Aは3/2

2回目でAは3/4、Bは5/4、

3回目でBは5/8、Aは11/8になるので、A:B=11:5

×○○→1回目でAは1/2、Bは3/2 より、

3回目でBは、3/2×1/2×1/2=3/8、Aは13/8になるので、

Aの陣地が最大になるのは、×○○の場合で、A:B=13:3

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2014年11月11日 (火)

2人の競技の勝ち負けは?(渋谷教育学園幕張中学 2009年)

一方が他方より3ゲーム多く勝ったときに優勝が決まるというルールで、

A、Bの2人が競技を行いました。

ただし、引き分けはないものとします。

①ちょうど9ゲーム目が終わったときに、Aが6勝3敗となり優勝しました。

このときに考えられるAの勝ち負けの順は何通りありますか。

②ちょうど12ゲーム目が終わったときに、優勝が決まることはありません。

その理由を説明してください。

Mspe0209cs

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①下の図のように,Aが勝つと右へ1つ,Bが勝つと上へ1つ行く道順を考えます。

交点にはそこに行き着く道順の数を書いていきます。

1

Aが6勝3敗で勝ったので,右へ6マス,上へ3マス行きますが,

×の地点は6勝3敗になる前に,一方が他方より3ゲーム以上多く勝って優勝が決まってしまうところなので除きます。

つまり,×の地点を通らないで行く道順を考えればよいわけです。

全部で27通りになります。

②ちょうど12ゲーム目で優勝が決まったとすると,2人の勝ち数の和は12です。

また,一方が他方より勝ち数が3多いことになります。

勝ち数が少ない方の勝ち数は,

(12ー3)÷2=4.5勝

多い方は

4.5+3=7.5勝 となりますが,

勝ち数は整数ですから,ちょうど12ゲーム目で優勝が決まることはありません。

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2014年11月 9日 (日)

対戦ゲームの得点は?(2014年 ラ・サール中学)

A、B2人がゲームをします。

1回のゲームでは、勝者に4点、敗者に0点が与えられ、

引き分けのときは、両者に1点ずつが与えられます。

10回のゲームが終わったとき、2人の得点の合計は34点でした。

考えられるAの得点は、最低で何点?最高で何点でしょうか?

Mspe0209cs

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引き分けがなかったら、どちらかが勝つので、

2人の得点合計は、4×10=40点になるはずです。

1回引き分けがあると、4点が→1×2=2点に減るので、

40-34=6点 は 

6÷2=3回 引き分けがあったことになります。

したがって、Aの最高は残り7回すべて勝った場合で、

4×7+3=31点

最低は7回すべて負けた場合で、引き分けの点だけで、

3点 です。

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