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2019年8月

2019年8月28日 (水)

底面が動く水槽問題(慶應義塾湘南藤沢中等部 2018年)

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底面を水平のまま動かせる水そうがあります。

図のように最初の底面の位置は深さ60cmのAの ところにあります。

ここに水を一定の量ずつ入れ始めると同時に

毎分2cmの速さで底面を上げていったところ、

3分後の水面の高さは Aから8cm になりました。

(1) 水は毎分何しℓずつ入りますか。

(2) 水そうがいっぱいになるのは、水を入れ始めてから 何分後ですか。

(3) 水を入れ始めてから口分後に、底面の上がる速さを1/3にして、

  水を入れる量を2倍にした ところ、

  水を入れ始めてから 24分後に水そうがいっぱいになりました。

  口に入る数を求めなさい。

11171

Paper

 

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解法のヒント

底面は毎分2cmで上がりますから、

3分では、2×3=6cm上がります。

水は底面が動いても動かなくても、

底面上の水面の高さは毎分一定の量で増えていきます。

11173

3分後水面の高さはAから8cmの高さになったので、

底面から水面までは、8-6=2cm

Pce022s

 

解法例

(1)

40×25×2=2000立方cm=2ℓ

1分間に、2÷3=2/3ℓ

(2)

水は1分間に底面から、

2/3ℓ÷(40cm×25cm)=2/3cm上昇します。

△分で60cmになるとすると、

2×△+2/3×△=60

8/3×△=60

△=22.5分

(3)

□分間は、水面は1分間に

2+2/3=8/3cm上がります。

□分後~24分の間は、

2×1/3+2×2/3=2/3+4/3=6/3cm上がります。

下のようにの面積図にしてみると、

11172

1分間に8/3cmのままなら24分間で64cmなので、

白い部分の面積は4ということになり、

PQ=8/3-6/3=2/3 より、

QRの長さは、

4÷2/3=6となるので、

□=24-6=18分です。

6082

 

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682

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2019年8月20日 (火)

色部分の面積は?(ラ・サール中学 2019年 )

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図の三角形ABCで角Aは直角、辺ABの長さは24cm、

辺ACの長さは15cmです。

さらに、ADの長さが6cm、AEの長さが10cm、

DFは辺ACと平行とします。

(1)DFの長さを求めなさい。

(2)色部分の面積を求めなさい。

1281

6082_2

 

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解法例

6085_2

 

1282

(1)

△EABと△FDBは相似で、

AB:DB=24:(24-6)=4:3

DF=10×3/4=7.5cm

(2)

△赤と△緑も相似で、

CE:DF=(15-10):7.5=2:3

△緑の底辺をDFとしたときの高さは、

6×3/5=3.6cm

求める面積=

(24×10÷2-18×7.5÷2)-7.5×3.6÷2

=(120-67.5)-13.5

=39㎠

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682

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2019年8月12日 (月)

A、B、Cの濃度は何%?(雙葉中学  2019年 )

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3つの容器A、B、Cに、濃度の異なる食塩水が 100gずつ入っています。

これらの食塩水に作業1をしました。

[作業1]

Aから 20g、Bから 30g、Cから 40gを取り出す。

次に、Aから取り出したものをBに、 Bから取り出したものをCに、

Cから取り出したものをAに入れて、それぞれよくかき混ぜる。

作業1の後のBの濃度は 13%でした。

作業1でできた食塩水に、作業2をしました。

[作業2]

Aから40g、Bから20g、Cから30gを取り出す。

次に、Aから取り出したものをCに、 Bから取り出したものAに、

Cから取り出したものをBに入れて、それぞれよくかき混ぜる。

作業2の後のAの濃度は 10.6%でした。

(1)作業1の後のAの濃度は何%でしたか。

 

(2)作業2の後、BとCの濃度は等しくなりました。

   このときのB、Cの濃度は何%ですか。

   ただし、作業1の後のCの濃度は、A、Bの濃度より高くなっていました。

 

(3) 最初、Cの濃度はAの濃度の3倍でした。

   最初のA、B、Cの濃度はそれぞれ何%でしたか。

Sst056s

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解法例

(1)1回目でAは、100g-20g+40g=120gになり、

2回目で40g取り出したとき、120-40=80gになっています。

そこに、濃度13%のB20gが入り濃度が10.6%になるので、

てんびん図は下のようになります。

 

3111

重さの比はA:B=80:20=4:1

てんびんの長さは逆比になり、1:4

したがって作業1後のAの濃度は、

10.6-(13-10.6)÷4=10%

(2)てんびん図で表すと、

下の図のように、BとCの濃度、□%は等しくなります。

3112

したがって、

10+(C-10)×3/5=13+(C-13)×3/10

100+(C-10)×6=130+(C-13)×3

6×C+40=3×C+91

3×C=51

C=17%

□=13+(17-13)×3/10=14.2%

(3)作業1のAをてんびん図で表すと下のようになります。

3113

最初のAの濃度を◎%とすると、

◎+(3×◎-◎)1/3=10 より、

◎+(2×◎)/3=10

(5×◎)/3=10

◎=6%=A

C=6×3=18%

3114

B=13+(13-6)×2/7=15%

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682

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2019年8月 5日 (月)

黄色部分の面積は?(早稲田中学 2019年 )

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図の黄色部分は、

台形から半径が同じおうぎ形3つを取り除いたものです。

黄色部分の面積は何㎠ですか。

2261

6082

 

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解法例

6085

2262

△AEFと△EBHは合同なので、

AF=8÷2=4cm です。

△AEGは二等辺三角形なので、

∠AEF=∠AGF より、

△AEFと△AGFは合同になります。

AG=GD、AF=GI=4cm より、

△AGFと△GDIも合同になり、

∠AGF+∠DGI=90°

∠FGI=90°より、

AGDは直線になります。

ID=FG=3cm=EF=BH より、

BD=12cm

3つのおうぎ形の中心角の合計は270°

求める面積は、

(6+12)×8÷2-5×5×3.14×270/360

=72-58.87.5

=13.125㎠

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