看板の方向と距離は？（筑波大学附属駒場中学 ２０１９年）
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０から２０４８までの数がひとつずつ書かれた、２０４９本の看板があります。
これらの看板 [０]、 [１]、[２] ・・・・[２０４８] を、
この順で、東西にまっすぐのびる長さ１ｋｍの道路に、
１本ずつ立てる工事を行います。
まず、西の端に [０]、東の端に [１] の看板を立てます。
続いて、次のように工事１、工事２、工事３、・・・・工事１１を行います。
工事１： [０] と [１] の看板のちょうど中間地点に、[２] の看板を立てます。
工事２：工事１までで立てた看板のちょうど中間地点に、
西から順に [３]、[４] の看板を立てます。
工事３：工事２までで立てた看板のちょうど中間地点に、
西から順に [５]、.[６]、[７]、[８] の看板を立てます。
同じように、前の工事までで立てた看板のちょうど中間地点すべてに、
西から順に新しい看板を立てる工事を続け、
工事１１で [２０４８] の看板まで立てました。
このとき、[Ｏ]の看板と [２]の看板の間の距離は １/２ｋｍ、
[O]の看板と [３] の看板の間の距離は１/４ｋｍです。
（１）[０] の看板と [３１] の看板の間の距離は何ｋｍですか。
（２）[３１] の看板から東西どちらに何ｋｍ進めば、
[２０１９] の看板に着きますか。方角と進んだ距離を答えなさい。
（３）この道路を[０]の看板から東へ進みながら、
看板の個数を数えていきます。
ちょうど、２０１９個目の看板にかかれた数は何ですか。
ただし、[０]の看板を１個目と数えます。
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解法例
（１）
工事２で、２×２＋１＝５本
工事３で、２×２×２＋１＝９本
工事４で、２×２×２×２＋１＝１７本
工事５で、２×２×２×２×２＋１＝３３本
の看板が立つので、
このとき、[３１]の看板は東から４本目で、
[０]からの距離は、（３２－３）/３２＝２９/３２ｋｍ
（２）
工事５までで、[３１]の東側には３本の看板が立っています。
工事６→３×２＝６本
工事７→６×２＝１２本
工事８→１２×２＝２４本
工事９→２４×２＝４８本
工事１０→４８×２＝９６本
工事１１→９６×２＝１９２本
[２０１９]の看板は、東から数えて、
（２０４８－２０１９）×２＋１＝５９本目
[３１]から１９２－５９＝１３３の距離があるので、
[３１]から東に１３３/２０４８ｋｍ
（３）
[２０１９]は東から数えて、
２０４９－２０１９＋１＝３１番目です。
[２０１９]の東側には３０本の看板が立っています。
看板は工事ごとに２倍－１本ずつ増えるので、
工事６から考えると、
２×２×２×２×２＝３２より
[６４]から東側を調べると、
工事６
６４ １
工事７
６４ １２８ １
工事８
６４ ２５５ １２８ ２５６ １
工事９
６４ ５０９ ２５５ ５１０ １２８ ５１１ ２５６ ５１２ １
工事１０
６４〇５０９〇２５５〇５１０〇１２８〇５１１〇２５６〇５１２〇１
一番右の〇＝１０２４
工事１１
６４×〇×５０９×〇×２５５×〇×５１０×〇×１２８×〇×５１１×〇×２５６×〇×５１２×〇×１
一番右の×＝２０４８
右から３１番目は６４の次の〇になるので、
１０２４－７＝１０１７
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