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2019年5月30日 (木) クイズ | 固定リンク | コメント (0)

2019年5月29日 (水)

立方体の切り口は？（本郷中学２０１８年）

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図のような１辺の長さが３ｃｍの立方体があります。

点Ｉは辺ＧＨ上、点ＪはＤＨ上にあり、ＧＩ＝ＤＪ＝１ｃｍです。

この立方体を、３点Ａ、Ｆ、Ｊを通る平面で切ったとき、

点Ｅを含む立体をＫとします。

このとき、次の問いに答えなさい。

（１）立体Ｋの表面のうち、

　　もとの立方体の表面に含まれる部分の面積は何㎠ですか。

（２）この立方体の展開図は下図のようになります。

　　（１）で求めた部分を色部分で表します。

　　　残りの部分に色をつけてください。

（３）立体Ｋの体積は何立方ｃｍですか。

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解法例

立方体の切り口は図のようになります。

（１）

左面→３×３÷２＝４．５㎠

右面→２×２÷２＝２㎠

奥の面→９－１×３÷２＝７．５㎠

下面→９－１×３÷２＝７．５㎠

求める面積＝７．５×２＋４．５＋２＝２１．５㎠

（２）

立方体の一番離れている頂点どうしは、

展開図では２つ並んだ正方形の対角線の位置に来ます。

したがって、各頂点は下の図のようになります。

切り口を線で結ぶと、（１）の面積は図のようになります。

（３）

ＡＪとＦＩとＥＨを延長すると１点で交わります。

大きな三角すいから立方体からはみ出た三角すいを引きます。

３×３÷２×９÷３－２×２÷２×６÷３

＝１３．５－４

＝９．５立方ｃｍ

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2019年5月26日 (日)

兄が歩く速さを変えたのはいつ？（筑波大学附属中学　２０１９年）

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弟は一定の速さで家から学校まで歩きます。

兄は弟が出発してから８分後に家を出発して一定の速さで歩きましたが,

途中で一度歩く速さを７/４倍に変えて学校まで歩きました。

すると,弟が出発してから４０分後に,兄は弟に追いつき,

弟より２分早く学校に到着しました。

このとき,弟が家を出発してからの時間と二人の間の距離の関係は,

下の図のようになります。

後の問いに答えなさい。

5261

(1) 家から学校までの距離は何 m ですか。

(2) 兄が歩く速さを変えたのは,弟が家を出発してから何分後ですか。

Ilm03_ba03002s

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（１）

弟が家を出発してから４５分後に兄は学校に到着しました。

それから２分後に弟は学校に到着したので、

１００ｍを２分で進んだことになり、

速さは分速１００÷２＝５０ｍです。

学校までは４５＋２＝４７分かかったので、

５０×４７＝２３５０ｍ　です。

（２）

兄の変速後の速さは、

５分で弟と１００ｍの差がついたので、

１分間では　１００÷５＝２０ｍ

分速　５０＋２０＝７０ｍ　です。

変速前の速さは、

分速　７０÷７/４＝４０ｍ

弟が家を出発してから４０分後に追いついたので、

家から、５０×４０＝２０００ｍ　の地点です。

兄は２０００ｍを４０－８＝３２分で進んだので、

面積図で表すと下の図のようになります。

5262

ア＝２４０÷３０＝８分で、

弟が家を出発してから、

８＋８＝１６分後です。

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2019年5月16日 (木)

BD の長さは何cm？（大妻中学　２０１９年）

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図の四角形 ABCD で,色のついた部分の面積は42㎠です。

BE=ED のとき,BD の長さは何cm ですか。

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解法例

6085

BEの長さを□とすると、

１２－３＝９ｃｍなので、

（□×９÷２）×２＋３×□÷２＝４２

１０．５×□＝４２

□＝４ｃｍ　となって、

ＢＤ＝８ｃｍ

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2019年5月14日 (火)

クモが捕らえられる虫はどこにいるかな？（麻布中学２０１８年）

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ある長方形があり、

頂点にいるクモが内部にいる虫を捕らえようとしています。

ただし、クモは一定の速さで移動し、虫は動かないものとします。

クモは、まず以下の規則で辺上を移動します。

虫に最も近い辺上の点(図1中の〇で表されている点）が一つだけあるとき、

その点まで辺上を最短経路で移動する。

虫に最も近い辺上の点(図２、図３中の〇で表されている点)が

複数あるとき、それらのなかで最も早く着ける点のいずれかまで

辺上を最短経路で移動する。

こののち, クモは虫に向かってまっすぐ移動します。

例えば、図１、図２、図３の位置に虫がいるとき、

クモが移動を始めてから虫を捕らえるまでの動きは

それぞれ下図のようになります。

クモの移動する速さは秒速１０ｃｍであるとして、

以下の問いに答えなさい。

（１）図４のように１辺の長さが１０ｃｍの正方形の頂点にクモがいるとします。

クモが１．５秒以内で捕らえることができるのは、

どのような範囲にいる虫ですか。

その範囲を斜線で示しなさい。

ただし、図中の点線は５ｃｍごとに引いてあります。

（２）図５のように、縦の長さが１０ｃｍ、

横の長さが２０ｃｍの長方形の頂点にクモがいるとします。

クモが２．５秒以内で捕らえることができるのは、

どのような範囲にいる虫ですか。

その範囲を斜線で示しなさい。

ただし、図中の点線は５ｃｍごとに引いてあります。

（３）　（２）で示した斜線部分の範囲の面積を求めなさい。

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解法のヒント

２．５ｃｍごとに線をひいて、

クモが行ける交点を〇、いけない交点を×で記入していきます、

101344_2

Panda151587_640

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解法例

（１）

（２）

（３）

（５×５）×５＋（５×５）×１/２＋（５×５）×３/４

＝（５×５）×（５＋１/２＋３/４）

＝２５×６．２５

＝１５６．２５㎠

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2019年5月 7日 (火)

かかった時間と速さは？（開成中学　２０１９年）

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K君は,自宅からおばさんの家まで, スイカ2つを一人で運ぶつもりでした。

ところが、弟のS君が「ぼくも手伝う!」と言ったので,次のようにしました。

1) K君とS君がそれぞれスイカを1つずつ持って、同時に自宅を出発する。

2) K君の方がS君より進む速さが速いので,おばさんの家に先に着く。

　　そこで,すぐにスイカを置いて,S君に出会うまで引き返す。

3) K君は,S君に出会ったらすぐにS君からスイカを受け取り、

　　すぐにおばさんの家に向かう。

ここで,K君の進む速さは

スイカを2つ持っているときは毎分60m,

スイカを1つ持っているときは毎分80m,

スイカを持っていないときは毎分100m です。

スイカ2つを運び終えたK君がおばさんの家で休んでいると,

後から追いかけてきたS君が到着しました。

S君「おにいちゃん、ぼく、役に立った?」

K君「もちろんだよ! ぼくが一人で運ぶつもりだったけど、

　　そうするのに比べて１５/１６倍の時間で運び終えられたからね。

　　　　ありがとう!」

S君「ほんと!? よかった!」

次の問いに答えなさい。

(1) K君が一度目におばさんの家に着いてから、

　　二度目におばさんの家に着くまでの時間は、

　　K君がはじめに一人でスイカ2つを運ぶのにかかると考えていた時間の

　　何倍ですか。

(2) 引き返したK君がS君に出会った地点から,おばさんの家までの距離は,

　　自宅からおばさんの家までの距離の何倍ですか。

(3) S君がスイカを1つ持って進む速さは毎分何 m ですか。

4275

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解法例

5071

（１）

はじめに考えていた

Ｋ君が一人でスイカを２つ運ぶ時間を⑯とすると、

実際は、自宅⇒おばさん⇒引き返しＳ君と出会い⇒おばさん、

にかかった時間は⑮です。

スイカ２つとスイカ１つでは

速さの比は、６０：８０＝３：４

かかる時間の比は逆比で、４：３

スイカ１つでおばさんの家まで、

４：３＝⑯：？

？＝⑫

おばさん⇒Ｓ君⇒おばさん　の時間は

⑮－⑫＝③

したがって、３/１６　倍になります。

（２）

おばさん⇒Ｓ君　にかかった時間を４とすると、

Ｓ君⇒おばさん　にかかった時間は５

４＋５＝９　が③に当たることになるので

⑫は３６

したがって、５/３６　倍です。

（３）

ＫくんがＳくんに出会うまでにかかった時間は、

３６＋４＝４０

進んだ距離は逆比で、

Ｋ君：Ｓ君＝４０：３１

Ｓ君の速さは、８０×３１/４０＝６２　より、

毎分６２ｍです。

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2019年5月 2日 (木)

貨物列車の時速は？（女子美術大学付属中学　２０１９年）

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長さ200m、時速108km の特急列車が、

長さ350mの貨物列車に追いついてから追いこし終わるまでに

1分40秒かかりました。

このときの貨物列車の時速を次のように求めました。

ア～キにあてはまる数を答えなさい。

(考え方)

時速108km は秒速何mかを求めると、

108 × (ア)　÷　( 60 × 60 ) = (イ)より、秒速 (イ) mになります。

また、1分40秒は (ウ) 秒です。

特急列車と貨物列車の速さの差は

( 200 + (エ)) ÷ (ウ) = (オ)より、秒速(オ) m です。

貨物列車の速さは、(イ) －(オ) = (カ)より、秒速 (カ) mとなります。

秒速(カ) mは時速何km かを求めると、

(カ) × 60 × 60 ÷ (ア) = (キ)

よって、貨物列車は時速、(キ) km です。

Honeycam-20190502-100230

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解法例

5021

１ｋｍ＝１０００ｍより、

ア＝１０００

１０８×１０００÷（６０×６０）＝３０　

秒速３０ｍ　より、

イ＝３０

１分４０秒＝１００秒　より、

ウ＝１００

（２００＋３５０）÷１００＝５．５

エ＝３５０

秒速５．５ｍ　より、

オ＝５．５

３０－５．５＝２４．５

秒速２４．５ｍ　より、

カ＝２４．５

２４．５×６０×６０÷１０００＝８８．２

時速８８．２ｋｍ　より、

キ＝８８．２

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