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2019年5月

2019年5月30日 (木)

四角形は五角形の何倍?(近畿大学附属広島中学福山校 2019年)

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正六角形ABCDEFにおいて,点Mを辺ABのまん中の点とするとき,

四角形AMEFの面積は,五角形MBCDEの面積の何倍ですか。

 

5301

             41

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解法例

5303_1

△黄と△緑は底辺と高さが等しいので面積も等しくなります。

△黄+△緑は正三角形ABOに等しく、

正六角形の面積の1/6になります。

四角形AMEF=1/2-1/6=2/6=1/3

五角形MBCDE=1/2+1/6=4/6=2/3

四角形AMEFは五角形MBCDEの面積の半分なので、

1/2倍

 

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682

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2019年5月29日 (水)

立方体の切り口は?(本郷中学 2018年)

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図のような1辺の長さが3cmの立方体があります。

点Iは辺GH上、点JはDH上にあり、 GI=DJ=1cmです。

10301

 

この立方体を、3点A、F、Jを通る平面で切ったとき、

点Eを含む立体 をKとします。

このとき、次の問いに答えなさい。

(1)立体Kの表面のうち、

  もとの立方体の表面に 含まれる部分の面積は何㎠ですか。

(2)この立方体の展開図は下図のようになります 。

10304

 

  (1)で求めた部分を色部分で表します。

   残りの部分に色をつけてください。

(3)立体Kの体積は何立方cmですか。

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解法例

立方体の切り口は図のようになります。

10302_2

(1)

左面→3×3÷2=4.5㎠

右面→2×2÷2=2㎠

奥の面→9-1×3÷2=7.5㎠

下面→9-1×3÷2=7.5㎠

求める面積=7.5×2+4.5+2=21.5㎠

(2)

立方体の一番離れている頂点どうしは、

展開図では2つ並んだ正方形の対角線の位置に来ます。

したがって、各頂点は下の図のようになります。

10305

切り口を線で結ぶと、(1)の面積は図のようになります。

10306

(3)

AJとFIとEHを延長すると1点で交わります。

10303

大きな三角すいから立方体からはみ出た三角すいを引きます。

3×3÷2×9÷3-2×2÷2×6÷3

13.5-4

=9.5立方cm

6082

 

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682

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2019年5月26日 (日)

兄が歩く速さを変えたのはいつ?(筑波大学附属中学 2019年)

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弟は一定の速さで家から学校まで歩きます。

兄は弟が出発してから8分後に家を出発して一定の速さで歩きましたが,

途中で一度歩く速さを7/4倍に変えて学校まで歩きました。

すると,弟が出発してから 40 分後に,兄は弟に追いつき,

弟より2分早く学校に到着し ました。

このとき,弟が家を出発してからの時間と二人の間の距離の関係は,

下の図のよ うになります。

後の問いに答えなさい。

5261

(1) 家から学校までの距離は何 m ですか。

(2) 兄が歩く速さを変えたのは,弟が家を出発してから何分後ですか。

Ilm03_ba03002s

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(1)

弟が家を出発してから45分後に兄は学校に到着しました。

それから2分後に弟は学校に到着したので、

100mを2分で進んだことになり、

速さは分速100÷2=50mです。

学校までは45+2=47分かかったので、

50×47=2350m です。

(2)

兄の変速後の速さは、

5分で弟と100mの差がついたので、

1分間では 100÷5=20m

分速 50+20=70m です。

変速前の速さは、

分速 70÷7/4=40m

弟が家を出発してから40分後に追いついたので、

家から、50×40=2000m の地点です。

兄は2000mを40-8=32分で進んだので、

面積図で表すと下の図のようになります。

5262

ア=240÷30=8分で、

弟が家を出発してから、

8+8=16分後です。

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682

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2019年5月16日 (木)

BD の長さは何cm?(大妻中学 2019年)

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図の四角形 ABCD で,色のついた部分の面積は42㎠です。

BE=ED のとき,BD の長さは何cm ですか。

 

5161

                     6082_4

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解法例

6085

BEの長さを□とすると、

12-3=9cmなので、

(□×9÷2)×2+3×□÷2=42

10.5×□=42

□=4cm となって、

BD=8cm

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682

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2019年5月14日 (火)

クモが捕らえられる虫はどこにいるかな?(麻布中学 2018年 )

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ある長方形があり、

頂点にいるクモが内部にいる虫を捕らえようとしています。

ただし、クモは一定の速さで移動し、虫は動かないものとします。

クモは、まず以下の規則で辺上を移動します。

虫に最も近い辺上の点(図1中の〇で表されて いる点)が一つだけあるとき、

その点まで辺上を最短経路で移動する。

10131

 

虫に最も近い辺上の点(図2、 図3中の〇で表されている点)が

複数あると き、それらのなかで最も早く着ける点のいずれかまで

辺上を最短経路で移動する。

10132

10133

 

こののち, クモは虫に向かってまっすぐ移動します。

例えば、図1、図2、図3の位置に虫がいるとき、

クモが移動を始めてから虫を捕らえるまでの動きは

それぞれ下図のようになります。

101311

101322

101333

 

クモの移動する速さは秒速10cmであるとして、

以下の問いに答えなさい。

(1)図4のように1辺の長さが10cmの正方形の頂点にクモがいるとします。

クモが1.5秒以内で捕らえることができるのは、

どのような範囲にいる虫ですか。

その範囲を斜線で示しなさい。

ただし、図中の点線は5cmごとに引いてあります。

10134

 

(2)図5のように、 縦の長さが10cm、

横の長さが20cmの長方形の頂点にクモが いるとします。

クモが2.5秒以内で捕らえることができるのは、

どのような範囲にいる虫ですか。

その範囲を斜線で示しなさい。

ただし、図中の点線は5cmごとに引いてあります。

10135_2

 

(3) (2)で示した斜線部分の範囲の面積を求めなさい。

 

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解法のヒント

2.5cmごとに線をひいて、

クモが行ける交点を〇、いけない交点を×で記入していきます、

101344_2

 

101355

Panda151587_640


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解法例

(1)

1013444

 

(2)

1013555

 

(3)

(5×5)×5+(5×5)×1/2+(5×5)×3/4

=(5×5)×(5+1/2+3/4)

=25×6.25

=156.25㎠

Panda151605_640

 

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682

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2019年5月 7日 (火)

かかった時間と速さは?(開成中学 2019年)

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K君は,自宅からおばさんの家まで, スイカ2つを一人で運ぶつもりでした。

ところが、弟のS君が「ぼくも手伝う!」と言ったので,次のようにしました。

1) K君とS君がそれぞれスイカを1つずつ持って、同時に自宅を出発する。

2) K君の方がS君より進む速さが速いので,おばさんの家に先に着く。

  そこで,すぐにスイカを置いて,S君に出会うまで引き返す。

3) K君は,S君に出会ったらすぐにS君からスイカを受け取り、

  すぐにおばさんの家に向かう。

ここで,K君の進む速さは

スイカを2つ持っているときは毎分60m,

スイカを1つ持っているときは 毎分80m,

スイカを持っていないときは 毎分100m です。

スイカ2つを運び終えたK君がおばさんの家で休んでいると,

後から追いかけてきたS君が到着しました。

S君「おにいちゃん、ぼく、役に立った?」

K君「もちろんだよ! ぼくが一人で運ぶつもりだったけど、

  そうするのに比べて15/16倍の時間で運び終えられたからね。

    ありがとう!」

S君「ほんと!? よかった!」

次の問いに答えなさい。

(1) K君が一度目におばさんの家に着いてから、

  二度目におばさんの家に着くまでの時間は、

  K君がはじめに一人でスイカ2つを運ぶのにかかると考えていた時間の

  何倍ですか。

(2) 引き返したK君がS君に出会った地点から,おばさんの家までの距離は,

  自宅からおばさんの家までの距離の何倍ですか。

(3) S君がスイカを1つ持って進む速さは毎分何 m ですか。

4275

 

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解法例

5071

(1)

はじめに考えていた

K君が一人でスイカを2つ運ぶ時間を⑯とすると、

実際は、自宅⇒おばさん⇒引き返しS君と出会い⇒おばさん、

にかかった時間は⑮です。

スイカ2つとスイカ1つでは

速さの比は、60:80=3:4

かかる時間の比は逆比で、4:3

スイカ1つでおばさんの家まで、

4:3=⑯:?

?=⑫

おばさん⇒S君⇒おばさん の時間は

⑮-⑫=③

したがって、3/16 倍になります。

(2)

おばさん⇒S君 にかかった時間を4とすると、

S君⇒おばさん にかかった時間は5

4+5=9 が③に当たることになるので

⑫は36

したがって、5/36 倍です。

(3)

KくんがSくんに出会うまでにかかった時間は、

36+4=40

進んだ距離は逆比で、

K君:S君=40:31

S君の速さは、80×31/40=62 より、

毎分62mです。

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682

 

 

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2019年5月 2日 (木)

貨物列車の時速は?(女子美術大学付属中学 2019年)

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長さ200m、時速108km の特急列車が、

長さ350mの貨物列車に追いついてから追いこし終わるまでに

1分40秒かかりました。

このときの貨物列車の時速を次のように求めました。

ア~キにあてはまる数を答えなさい。

(考え方)

時速108km は秒速何mかを求めると、

108 × (ア) ÷ ( 60 × 60 ) = (イ)より、秒速 (イ) mになります。

また、1分40秒は (ウ) 秒です。

特急列車と貨物列車の速さの差は

( 200 + (エ)) ÷ (ウ) = (オ)より、秒速(オ) m です。

貨物列車の速さは、(イ) -(オ) = (カ)より、 秒速 (カ) mとなります。

秒速(カ) mは時速何km かを求めると、

(カ) × 60 × 60 ÷ (ア) = (キ)

よって、貨物列車は時速、(キ) km です。

Honeycam-20190502-100230

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解法例

5021

 

1km=1000mより、

ア=1000

108×1000÷(60×60)=30 

秒速30m より、

イ=30

1分40秒=100秒 より、

ウ=100

(200+350)÷100=5.5

エ=350

秒速5.5m より、

オ=5.5

30-5.5=24.5

秒速24.5m より、

カ=24.5

24.5×60×60÷1000=88.2

時速88.2km より、

キ=88.2

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682

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