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2019年3月 5日 (火)

看板の方向と距離は?(今年 2019年 筑波大学附属駒場中学)

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0から2048までの数がひとつずつ書かれた、2049本の看板があります。

これらの看板 [0]、 [1]、[2] ・・・・[2048] を、

この順で、東西にまっすぐのびる長さ1kmの道路に、

1本ずつ立てる工事を行います。

まず、西の端に [0]、東の端に [1] の看板を立てます。

続いて、次のように工事1、工事2、工事3、・・・・工事11を行います。

工事1: [0] と [1] の看板のちょうど中間地点に、[2] の看板を立てます。

2081

工事2:工事1までで立てた看板のちょうど中間地点に、

西から順に [3]、[4] の看板を立てます。

2082

工事3:工事2までで立てた看板のちょうど中間地点に、

西から順に [5]、.[6]、[7]、[8] の看板を立てます。

2083

同じように、前の工事までで立てた看板のちょうど中間地点すべてに、

西から順に新しい看板を立てる工事を続け、

工事11で [2048] の看板まで立てました。

このとき、[O]の看板と [2]の看板の間の距離は 1/2km、

[O]の看板と [3] の看板の間の距離は1/4kmです。

Panda250

(1)[0] の看板と [31] の看板の間の距離は何kmですか。

(2)[31] の看板から東西どちらに何km進めば、

    [2019] の看板に着きますか。方角と進んだ距離を答えなさい。

(3)この道路を[0]の看板から東へ進みながら、

   看板の個数を数えていきます。

.   ちょうど、2019個目の看板にかかれた数は何ですか。

    ただし、[0]の看板を1個目と数えます。

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解法例

(1)

工事2で、2×2+1=5本

工事3で、2×2×2+1=9本

工事4で、2×2×2×2+1=17本

工事5で、2×2×2×2×2+1=33本

の看板が立つので、

このとき、[31]の看板は東から4本目で、

[0]からの距離は、(32-3)/32=29/32km

(2)

工事5までで、[31]の東側には3本の看板が立っています。

工事6→3×2=6本

工事7→6×2=12本

工事8→12×2=24本

工事9→24×2=48本

工事10→48×2=96本

工事11→96×2=192本

[2019]の看板は、東から数えて、

(2048-2019)×2+1=59本目

[31]から192-59=133の距離があるので、

[31]から東に133/2048km

(3)

[2019]は東から数えて、

2049-2019+1=31番目です。

[2019]の東側には30本の看板が立っています。

看板は工事ごとに2倍-1本ずつ増えるので、

工事6から考えると、

2×2×2×2×2=32より

[64]から東側を調べると、

工事6

64   1

工事7

64 128 1

工事8

64 255 128 256 1

工事9

64 509 255 510 128 511 256 512 1

工事10

64〇509255510128511256512

一番右の〇=1024

工事11

64×〇×509××255××510××128××511××256××512××

一番右の×=2048

右から31番目は64の次の〇になるので、

1024-7=1017

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682

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