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2019年3月

2019年3月16日 (土)

長さと面積は?(今年 2019年 武蔵中学)

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下の図で、四角形ABCDは長方形で、

AE=6cm、ED=8cm、DG:GC=2:5、

∠DEH=∠GFC、

三角形GFCの面積は10㎠です。

次の問いに答えなさい。

2181

(1)CFは何cmですか?

(2)ABは何cmですか?

(3)三角形BFHの面積は何㎠ですか?

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解法例

2182

(1)

△GFCと△FEPは相似で、相似比は5:7より、

(⑤+⑦)=⑫が8cmなので、

CF=⑤=8×5/12=10/3cm

(2)

10/3×CG×1/2=10㎠なので、

CG=10÷5/3=6cm

DG=6×2/5=12/5cm

AB=6+12/5=42/5cm

(3)

△DEHと△BFHは相似で、相似比は

8:(14-10/3)=8:32/3=24:32=3:4

△BFHの面積=32/3×42/5×4/7×1/2

=32/3×12/5

=128/5㎠

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682

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2019年3月13日 (水)

点Bの動いた道すじの長さは?(今年 2019年 栄光学園中学)

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半径10cmの円の内部に、

1辺の長さが10cmの正三角形ABCが図1のようにあります。

点Aをつけたまま、点Bが円周につくまで、

正三角形を回転させます(図2)。

2111

     図1                        図2

次に、点Bをつけたまま、点Cが円周につくまで回転させます。

このような回転を同 じ向きに繰り返していきます。

図1の位置からもとの位置に戻ってくるまで回転を6回繰り返したとき、

点Bの動いた道すじの長さを、四捨五入して小数第2位まで求めなさい。

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解法例

6085

Bは図のような軌跡になるので、

2112

10×2×3.14×(60×4)/360

=20×3.14×2/3

=41.8.7cm

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682

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2019年3月 5日 (火)

看板の方向と距離は?(今年 2019年 筑波大学附属駒場中学)

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0から2048までの数がひとつずつ書かれた、2049本の看板があります。

これらの看板 [0]、 [1]、[2] ・・・・[2048] を、

この順で、東西にまっすぐのびる長さ1kmの道路に、

1本ずつ立てる工事を行います。

まず、西の端に [0]、東の端に [1] の看板を立てます。

続いて、次のように工事1、工事2、工事3、・・・・工事11を行います。

工事1: [0] と [1] の看板のちょうど中間地点に、[2] の看板を立てます。

2081

工事2:工事1までで立てた看板のちょうど中間地点に、

西から順に [3]、[4] の看板を立てます。

2082

工事3:工事2までで立てた看板のちょうど中間地点に、

西から順に [5]、.[6]、[7]、[8] の看板を立てます。

2083

同じように、前の工事までで立てた看板のちょうど中間地点すべてに、

西から順に新しい看板を立てる工事を続け、

工事11で [2048] の看板まで立てました。

このとき、[O]の看板と [2]の看板の間の距離は 1/2km、

[O]の看板と [3] の看板の間の距離は1/4kmです。

Panda250

(1)[0] の看板と [31] の看板の間の距離は何kmですか。

(2)[31] の看板から東西どちらに何km進めば、

    [2019] の看板に着きますか。方角と進んだ距離を答えなさい。

(3)この道路を[0]の看板から東へ進みながら、

   看板の個数を数えていきます。

.   ちょうど、2019個目の看板にかかれた数は何ですか。

    ただし、[0]の看板を1個目と数えます。

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解法例

(1)

工事2で、2×2+1=5本

工事3で、2×2×2+1=9本

工事4で、2×2×2×2+1=17本

工事5で、2×2×2×2×2+1=33本

の看板が立つので、

このとき、[31]の看板は東から4本目で、

[0]からの距離は、(32-3)/32=29/32km

(2)

工事5までで、[31]の東側には3本の看板が立っています。

工事6→3×2=6本

工事7→6×2=12本

工事8→12×2=24本

工事9→24×2=48本

工事10→48×2=96本

工事11→96×2=192本

[2019]の看板は、東から数えて、

(2048-2019)×2+1=59本目

[31]から192-59=133の距離があるので、

[31]から東に133/2048km

(3)

[2019]は東から数えて、

2049-2019+1=31番目です。

[2019]の東側には30本の看板が立っています。

看板は工事ごとに2倍-1本ずつ増えるので、

工事6から考えると、

2×2×2×2×2=32より

[64]から東側を調べると、

工事6

64   1

工事7

64 128 1

工事8

64 255 128 256 1

工事9

64 509 255 510 128 511 256 512 1

工事10

64〇509255510128511256512

一番右の〇=1024

工事11

64×〇×509××255××510××128××511××256××512××

一番右の×=2048

右から31番目は64の次の〇になるので、

1024-7=1017

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682

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