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2018年12月 4日 (火)

長さ比、面積比は?(今年 2018年 吉祥女子中学)

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図の四角柱は、底面が1辺5cmのひし形で、高さは5cmです。

点Mは 辺CG を二等分する点、

点Pは三角形AFHと直線CEの交わる点、

点Q は三角形AFH と直線MEの交わる点、

点Rは3点A、P、Qを通る直線と直線FHの交わる点です。

FHの長さが6cmで、ひし形ABCDの面積が24㎠のとき、

後の問いに答えなさい。

12041

 

(1) ACの長さは何cmですか。

(2) FR:RH をもっとも簡単な整数の比で答えなさい。

(3) AP:PR をもっとも簡単な整数の比で答えなさい。

(4) AQ:QR をもっとも簡単な整数の比で答えなさい。

(5) AP:PQ:QR をもっとも簡単な整数の比で答えなさい。

(6) 三角形EPQ の面積は何㎠ですか。

Santa3

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解法のヒント

Honeycam_20181204_081552

6082

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解法例

(1)ひし形の面積は、対角線×対角線÷2なので、

AC×6÷2=24 より、

AC=24×2÷6=8cm

(2)PもQも図のように対角線ACを含む

平面AEGC上にあるので、Rも同一平面上にあります。

12042

Rは対角線FHの中点になり、

FR:RH=1:1

(3)BFとDHが重なる方向から見ると、

12043

△AEPと△SRPは相似で相似比は2:1なので、

AP:PR=2:1

(4)TはSRの中点なので、

△AEQと△TRQは相似で相似比は4:1

AQ:QR=4:1

(5)AP:PRとAQ:QRの比の合計をそろえると、

 AP:PR=2:1=10:5

AQ:QR=4:1=12:3 より、

PQ=5-3=2

AP:PQ:QR=10:2:3

(6)

△EAPと△EPQと△EQRの面積比は10:2:3

△EARの面積=5×(8÷2)÷2=10㎠ より、

△EPQの面積=10×2/15=4/3㎠

6083

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682

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