中学受験ー算数解き方ポータル

2018年12月24日 (月) 日記・コラム・つぶやき, 中学受験, 算数, クイズ, パズル, 入れ方、並べ方、取り出し方, 場合の数 | 固定リンク | コメント (1) | トラックバック (0)

2018年12月22日 (土)

面積は？（今年、２０１８年　桜蔭中学）

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半径が３ｃｍの円Ａと、１辺の長さが６ｃｍの正方形Ｂを用いてできる

次の３つの図形をＡ＋Ａ、Ａ＋Ｂ、Ｂ＋Ｂと呼ぶことにします。

このとき、次の問いに答えなさい。

（１）Ａ＋Ａ、Ａ＋Ｂ、Ｂ＋Ｂの面積はそれぞれ何㎠ですか。

（２）同じように、ＡとＢを合わせて１０個用いて、

　　下のような図形を作ります。

　　両端にＡを使うとき、Ｂをできるだけ少なく使って面積が２５０㎠以上の

　　図形を作るには、Ｂを何個使いますか。

　　また、作った図形の面積は何㎠ですか。

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（１）

２つの図形の面積の和から重なった部分を引きます。

緑部分

＝３×３－（３×３－３×３×３．１４×１/４）×２

＝９－（９－７．０６５）×２

＝５．１３㎠

円周率が３．１４の場合、

木の葉形の面積が正方形の０．５７倍になることを知っていれば、

３×３×０．５７＝５．１３㎠

赤部分

＝３×３×３．１４×１/４

＝７．０６５

青部分

＝３×３

＝９㎠

A＋A

＝３×３×３．１４×２－５．１３

＝５１．３９㎠

A＋B

＝（３×３×３．１４＋３６）－７．０６５

＝５７．１９５㎠

B＋B

＝３６×２－９

＝６３㎠

（２）

１０個全部Aの場合の面積

＝２８．２６×１０－５．１３×９

＝２３６．４３

したがって、２５０－２３６．４３＝１３．５７㎠以上増やします。

Bを１つ増やすと、

３６－２８．２６＝７．７４㎠面積が増えますが、

重なる部分も、（赤－緑）×２＝（７．０６５－５．１３）×２＝３．８７㎠増え、

実際に増える面積は、７．７４－３．８７＝３．８７㎠です。

もう１つBを増やしても、両サイドのA＋Bは変わらないので、

B＋Bなら、９－５．１３＝３．８７㎠増え、

A＋B＋A＋B＋Aの並びでも３．８７㎠増えることになります。

つまり、Bを１つ増やすごとに３．８７㎠増えるので、

１３．５７÷３．８７＝３．５・・・　より、

Bは４個使い、

面積は、

２３６．４３＋３．８７×４＝２５１．９１㎠

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スマートホンアプリ「立方体の切り口はどんな形？」（ネット環境でのＦｌａｓｈアニメーション）

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2018年12月21日 (金)

なぞり方は何通り？（２０１９年　海陽中等教育学校（特別給費））

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点線で辺がかかれた正方形について、

正方形の中に書かれた数字の本数だけ辺を線でなぞります。

たとえば・・・

などのようになります。

（１）

となっているとき、辺のなぞり方は６通りあります。

６通りすべて書いてください。

（２）

12184_2

上の図において、辺のなぞり方がちょうど１通りとなるような

(あ)と(い)の組合せをすべてあげてください。

たとえば(あ)が３で（い)が２のときは（３、２）のように答えること。

（３）

となっているとき、辺のなぞり方は何通りありますか。

（４）

となっているとき、辺のなぞり方は何通りありますか。

（５）

下の図において、(う)と(え)と(お)になぞることのできる数の組を入れます。

このような数の組をすべて考えると、

辺のなぞり方は全部で何通りありますか。

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解法例

（１）

（２）

（０、０）、（３、０）、（０、３）、（１、４）、（４、１）、（４、４）

（３）

左側の２本が中央の線をなぞらない３通りでは、

右側はそれぞれ３通りのなぞり方があるので、

３×３＝９通り

左側の２本が中央の線をなぞる３通りでは、

右側の残る１本のなぞり方は図のように３通りなので、

３×３＝９通り

全部で、９×２＝１８通り

（４）

３の正方形は図のように３通りのなぞり方があり、

一番左の場合、それに応じた２の正方形のなぞり方で、

１の正方形のなぞり方が決まり、

真ん中と、右の場合は１の正方形のなぞり方は決まっているので、

２の正方形のなぞり方は２通りずつ、

したがって、全部で９通りのなぞり方があります。

（５）

各辺はなぞるか、なぞらないかの２通りなので、

２×２×２×２×２×２×２×２×２×２

＝１０２４通り

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2018年12月13日 (木)

三角形ＡＢＥの面積は？（今年　２０１８年　志学館中等部）

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下の図で、四角形ＡＢＣＤは辺ＡＤと辺ＢＣが平行な台形です。

辺ＢＣの長さは辺ＡＤの長さの２倍で、

ＣＥの長さはＡＥの長さの２倍です。

台形ＡＢＣＤの面積が７２㎠のとき、

三角形ＡＢＥの面積は何㎠ですか。

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解法例

△緑と△赤は高さが同じなので、

底辺の長さ比が、そのまま面積比になります。

△緑：△赤＝１：２

△黄と△水色も底辺比が１：２なので、

面積比も１：２

△ＡＢＥの面積＝７２×２/３×１/３＝１６㎠

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2018年12月 4日 (火)

長さ比、面積比は？（今年　２０１８年　吉祥女子中学）

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図の四角柱は、底面が１辺５ｃｍのひし形で、高さは５ｃｍです。

点Ｍは辺ＣＧを二等分する点、

点Ｐは三角形ＡＦＨと直線ＣＥの交わる点、

点Ｑは三角形ＡＦＨと直線ＭＥの交わる点、

点Ｒは３点Ａ、Ｐ、Ｑを通る直線と直線ＦＨの交わる点です。

ＦＨの長さが６ｃｍで、ひし形ＡＢＣＤの面積が２４㎠のとき、

後の問いに答えなさい。

（１）ＡＣの長さは何ｃｍですか。

（２）　ＦＲ：ＲＨをもっとも簡単な整数の比で答えなさい。

（３）　ＡＰ：ＰＲをもっとも簡単な整数の比で答えなさい。

（４）　ＡＱ：ＱＲをもっとも簡単な整数の比で答えなさい。

（５）　ＡＰ：ＰＱ：ＱＲをもっとも簡単な整数の比で答えなさい。

（６）三角形ＥＰＱの面積は何㎠ですか。

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解法のヒント

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解法例

（１）ひし形の面積は、対角線×対角線÷２なので、

ＡＣ×６÷２＝２４　より、

ＡＣ＝２４×２÷６＝８ｃｍ

（２）ＰもＱも図のように対角線ＡＣを含む

平面ＡＥＧＣ上にあるので、Ｒも同一平面上にあります。

Ｒは対角線ＦＨの中点になり、

ＦＲ：ＲＨ＝１：１

（３）ＢＦとＤＨが重なる方向から見ると、

△ＡＥＰと△ＳＲＰは相似で相似比は２：１なので、

ＡＰ：ＰＲ＝２：１

（４）ＴはＳＲの中点なので、

△ＡＥＱと△ＴＲＱは相似で相似比は４：１

ＡＱ：ＱＲ＝４：１

（５）ＡＰ：ＰＲとＡＱ：ＱＲの比の合計をそろえると、

ＡＰ：ＰＲ＝２：１＝１０：５

ＡＱ：ＱＲ＝４：１＝１２：３　より、

ＰＱ＝５－３＝２

ＡＰ：ＰＱ：ＱＲ＝１０：２：３

（６）

△ＥＡＰと△ＥＰＱと△ＥＱＲの面積比は１０：２：３

△ＥＡＲの面積＝５×（８÷２）÷２＝１０㎠　より、

△ＥＰＱの面積＝１０×２/１５＝４/３㎠

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