立体アの体積の何倍?(今年 2018年 東大寺学園中学)
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立体アは各面の対角線(例えば AB)の長さが2cmの立方体、
立体イは4つの面がすべて1辺の長さが2cmの正三角形である三角 すい、
立体ウは底面が1辺の長さが2cmの正方形で、
4つの側面がすべて1辺の長さが2cm の正三角形である四角すいです。
立体イの体積、立体ウの体積は、立体アの体積のそれぞれ何倍ですか。
ア
イ
ウ
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解法のヒント
立方体から赤い4つの部分を切り取ると・・・
残るのはイの正四面体です。
このイの正四面体を図のように2段に積んでみると・・・
↓
↓
真ん中の空間部分の形は???
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解法例
立方体の1辺を1とすると、
赤い部分の1つ分の体積は、
1×1×1/2×1×1/3=1/6
真ん中の立体イの体積は、
1×1×1-1/6×4=1/3
したがって、イはアの1/3倍です。
正四面体1つの体積を1とすると、
正四面体の1辺が2倍になった正四面体全体の体積は、
2×2×2=8倍になるので、
真ん中の空間部分の体積は、
8-1×4=4
真ん中の空間部分の形は・・・
正八面体ですね!
立体ウはこの半分なので、
体積は、4÷2=2
イの正四面体の2倍の体積なので、
1/3×2=2/3
したがって、ウはアの2/3倍です。
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