使うタイルは何枚？（今年 ２０１８年 慶應義塾中等部）

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同じ大きさの正三角形のタイルが １４０ 枚あります。

このタイルをすき間なく並べて、正三角形また は正六角形をつくります。

[図1]、[図2] はそれぞれ４枚、６枚のタイルを使ってつくった例です。

（１）できるだけ大きな正三角形をつくるとき、タイルは全部で何枚使いますか。

（２）できるだけ多くのタイルを使って、正三角形と正六角形を１つずつつくるとき、

　　正三角形を つくるのに使うタイルは何枚ですか？

　　正六角形をつくるのに使うタイルは何枚ですか？

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（１）

正三角形は１辺が１つ大きくなるごとに、

１、３、５、７、９・・・・枚ずつタイルが増えていきます。

使うタイルは、

１＋３＋５＋７＋９＋・・・・　と増えていくので、

１辺が１のとき使うタイルは、

２×１÷２＝１枚

１辺が２のとき、

４×２÷２＝４

１辺が３のとき、

６×３÷２＝９枚

・・・・・

２×１÷２＝２×１×１÷２＝１×１

４×２÷２＝２×２×２÷２＝２×２

６×３÷２＝２×３×３÷２＝３×３

・・・・・

１辺が１２では

１２×１２＝１４４　より、１４０枚を超えてしまうので、

１辺は最大で１１になり、

タイルは、１１×１１＝１２１枚使います。

（２）

正六角形では１辺が１のとき、

１×６枚

１辺が２のとき

３×６＝１８枚増え、

１辺が３のとき、

５×６＝３０枚増え

１辺が４のとき、

７×６＝４２枚

１辺が５のとき、

９×６＝５４枚増えるので、

６＋１８＋３０＋４２＋５４＝１５０枚　より１４０枚を超えてしまうので、

６枚、２４枚、５４枚、９６枚の４つの場合だけ考えます。

残る枚数は、

６枚→１４０－６＝１３４枚・・・・・①

２４枚→１４０－２４＝１１６枚・・・・・②

５４枚→１４０－５４＝８６枚・・・・・③

９６枚→１４０－９６＝４４枚・・・・・④

正三角形を作るには、（１辺×１辺）の枚数が必要なので、

使わない枚数は、

①→１３４－（１１×１１）＝１３枚

②→１１６－（１０×１０）＝１６枚

③→８６－（９×９）＝５枚

④→４４－（６×６）＝８枚

したがって、一番タイルを多く使うのは③の場合で、

正三角形に８１枚、正六角形に５４枚です。

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