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2018年9月 8日 (土)

使うタイルは何枚?(今年 2018年 慶應義塾中等部)

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同じ大きさの正三角形のタイルが 140 枚あります。

このタイルをすき間なく並べて、正三角形また は正六角形をつくります。

[図1]、[図2] はそれぞれ4枚、6枚のタイルを使ってつくった例です。

9081

(1)できるだけ大きな正三角形をつくるとき、タイルは全部で何枚使いますか。

(2)できるだけ多くのタイルを使って、正三角形と正六角形を1つずつつくるとき、

  正三角形を つくるのに使うタイルは何枚ですか?

  正六角形をつくるのに使うタイルは何枚ですか?

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(1)

正三角形は1辺が1つ大きくなるごとに、

1、3、5、7、9・・・・枚ずつタイルが増えていきます。

Bandicam_20180908_074952368_2

使うタイルは、

1+3+5+7+9+・・・・ と増えていくので、

1辺が1のとき使うタイルは、

2×1÷2=1

1辺が2のとき、

4×2÷2=4

1辺が3のとき、

6×3÷2=9

・・・・・

2×1÷2=2×1×1÷2=1×1

4×2÷2=2×2×2÷2=2×2

6×3÷2=2×3×3÷2=3×3

・・・・・

1辺が12では

12×12=144 より、140を超えてしまうので、

1辺は最大で11になり、

タイルは、11×11=121使います。

(2)

正六角形では1辺が1のとき、

1×6

1辺が2のとき

Bandicam_20180908_075723601

3×6=18増え、

1辺が3のとき、

5×6=30増え

1辺が4のとき、

7×6=42

1辺が5のとき、

9×6=54増えるので、

6+18+30+42+54=150 より140を超えてしまうので、

、24、54、96の4つの場合だけ考えます。

残る枚数は、

→140-6=134・・・・・①

24→140-24=116・・・・・②

54→140-54=86・・・・・③

96→140-96=44・・・・・④

正三角形を作るには、(1辺×1辺)の枚数が必要なので、

使わない枚数は、

①→134-(11×11)=13

②→116-(10×10)=16

③→86-(9×9)=5

④→44-(6×6)=8

したがって、一番タイルを多く使うのは③の場合で、

正三角形に81、正六角形に54です。

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682

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