目次

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2018年7月

2018年7月30日 (月)

アとイの長さは?(今年 2018年 神奈川大学附属中学)

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下の図は、周りの長さが60cmの長方形で あり、

曲線は長方形のそれぞれの頂点を中心とする円の一部です。

(1)  アはいくつですか。

(2)  イはいくつですか。

7301

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長方形のたて+横=60÷2=30cm

ア={30-(8+12)}÷2=5

右上の円弧の半径は、(5+12)-8=9cm

長方形のたての長さは、8+5=13cmより、

イ=9-(13-12)=8

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682

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2018年7月27日 (金)

すいそうとグラフの関係は?(今年 2018年 本郷中学)

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図1のような直方体を2つ合わせた形の水そうがあります。

この水そうを長 方形の板で底面に垂直に仕切り、

(ア)の部分に高さが10cmの鉄の円柱を置きました。

今、(ア)の部分の真上から一定の割合で水を注ぎ入れます。

水を注ぎ始めてから水そうがいっぱいになるまでの時間と

(ア)の部分の水の深さの関係をグラフで表すと図2のようになります。

このとき、次の問いに答えなさい。

ただし、仕切りの厚さは考えないものとします。

図1

Bandicam_20180727_075146434_2

図2

Bandicam_20180727_075124145

(1)水は毎分何cmの割合で注がれていますか。

(2) 図1のXはいくつですか。

(3)鉄の円柱の底面積は何㎠ですか。

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(1)仕切りを超えて水面が10cm上がるのに

458-358=100分かかったので、

毎分 100×50×10÷100=500㎤

(2)鉄の円柱の上面から、

20-10=10cm水面が上がるのに

98-48=50分かかったので、

(ア)=500×50÷10÷50=(50)cm

(3)鉄の円柱の上面から水面が10cm上がるのに50分

底面積は、500×50÷10=2500㎠

円柱の高さまで水面が上がるのに48分なので、

底面積は、500×48÷10=2400㎠

鉄の円柱の底面積=2500-2400=100㎠

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2018年7月24日 (火)

正方形の1辺の長さは?(今年 2018年 神戸海星女子学院中学)

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下の図の色部分は、2辺 AD、 CD の長さが等しく、

角B、角Dが90度の四角形ABCDから正方形EFGDを除いた部分です。

この色部分の面積が21㎠になるとき、

正方形EFGDの1辺 の長さは何cmになりますか。

7241

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7242_2

直角二等辺三角形ACDの反対側に

合同な直角二等辺三角形を置いて、正方形AOCDを作ると、

色のついた直角三角形はすべて合同になります。

すると真ん中に1辺3cmの正方形ができます、

AI=(7-3)÷2=2cmなので、

色のついた直角三角形の面積は、

2×(3+2)÷2=5㎠

直角二等辺三角形ACDの面積=5×2+9÷2=14.5㎠

5角形ACGFEの面積=21-(3×7÷2)=10.5㎠

正方形EFGDの面積=14.5-10.5=4㎠

正方形EFGDの1辺の長さ=2cm

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2018年7月22日 (日)

展開図を完成させましょう!(今年 2018年 雙葉中学)

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図1の立体の4つの面は、すべて合同な正三角形です。

この立体のそれぞれの面に1、2、3、4の数字を書きました。

ある方向から見ると図2、別の方向から見ると図3のようになりました。

図1

Bandicam_20180722_081036134

図2

7221

図3

7222

この立体の展開図を完成させましょう。

また、向きを考えて2、3、4の数字も書きましょう。

7224

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下の図は2つの解答例です。

7223  

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682

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2018年7月20日 (金)

正方形は最も多くて何個並ぶ?(今年 2018年 豊島岡女子学園中学)

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下の図のように、横20cm、 たて 5cmの長方形のわくの中に、

面積が 12㎠の正方形を重ならないように横一列に並べていきます。

このとき、 正方形は最も多くて何個並べられますか。

ただし、わくの太さは考えないものとします。

7201

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正方形の1辺の長さが3.4cmのとき、

面積は、3.4×3.4=11.56㎠で

12㎠より小さくなりますが、

それでも、20÷3.4=5.8・・・・・で、

6個は並べられません。

正方形の1辺の長さが3.5cmのとき、

3.5×3.5=12.25㎠と

12㎠より大きくなりますが、

20÷3.5=5.7・・・・・で、

5個は並べることができます。

したがって、最大で5個です。

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682

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2018年7月18日 (水)

はりつけ方は何通り?(今年 2018年 灘中学 2日目)

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図のような形をしたタイルがそれぞれ何枚かあります。

これらを裏返 さずに、

壁に固定された枠の中にす き間なくぴったりはりつけます。

7181

 

(1) 縦 5cm、横10cm の長方形の枠 の中に、

  4枚のタイルAをはりつける方法は全部で 何通りありますか。

(2) 1辺の長さが 10cmの正方形の枠の中に、

  4枚のタイルAと2枚のタイルBをはりつける方法は

  全部で何 通りありますか。

(3) 縦 10cm、横15cm の長方形の枠の中に、

  2枚のタイルBと2枚のタイルCをはりつける方法は

  全部で 何通りありますか。

  また、4枚のタイルAと2枚のタイルCをはりつける方法は

  全部で 何通りありますか。

(4) 縦10cm、 横20cmの長方形の枠の中に、

  4枚のタイルAと2枚のタイルBと2枚のタイルCをはりつけます。

  このとき、2枚のタイルCの置き方は全部で何通りありますか。

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(1)

Bandicam_20180718_084931570

左の正方形内にタイルAは2通り、

右の正方形内も2通りなので、

2×2=4通り

(2)

Bandicam_20180718_085741970

Aの正方形内にタイルAを2つはりつけた場合、

Bの正方形内に残る2つのタイルAをはりつけると、

2×2=4通り、

Cの正方形内にはりつける場合も4通り、

D内も4通り、

4×3=12通り、

次に、最初のタイルA2枚をB内に貼る場合を考えると、

B内とC内で4通り、

B内とD内で4通り、

4×2=8通り、

C内とD内で、4通り、

全部で、12+8+4=24通り

(3)

Bandicam_20180718_090318759

左の10×10の正方形内にタイルCは貼る方法は2通り、

タイルCとタイルBの左右を入れ替えれば2通りなので、

全部で4通り

Bandicam_20180718_090514986

左の正方形内は2通り、

右のタイルCは4通りなので、

2×4=8通り、

左右を入れ替えてまた8通り、

Bandicam_20180718_090642727

タイルCを分ける貼り方が2通りあるので、

全部で、8×2+2=18通り

(4)

左からタイルCをはりながら考えていきます。

Bandicam_20180718_091339845

1枚目のタイルCをAの位置に貼ると、

2枚目のタイルCは、

緑、黒、茶の正方形内で4通りの貼り方があり、

6通りの貼り方があります。

Aの位置のタイルCを右に90°回転させて、直角を左上にすると、

やはりこの場合も6通り、

Bandicam_20180718_091558425

1枚目のタイルCをAの位置に貼ると、

2枚目のタイルCは茶の正方形内に4通りの貼り方があり、

Bandicam_20180718_091649917

1枚目のタイルCをAの位置に貼っても、

2枚目のタイルCは茶の正方形内に4通りの貼り方があります。

Bandicam_20180718_091945767

次に、タイルCを右に5cmずらして、

茶の正方形内の4通りについて考えます。

1枚目のタイルCをAの位置に貼ると、

2枚目は2通り、

Bandicam_20180718_092053380

1枚目がAの位置でも、

2枚目は2通り、

Bandicam_20180718_092148237

1枚目をAの位置に貼ると2枚目は貼ることができません。

Bandicam_20180718_092336222

さらに5cm右にずらした場合を考えると、

茶の正方形内で2通りの貼り方が考えられるので、

全部で、6×2+4×2+2×2+2=26通り

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2018年7月16日 (月)

この紙を2等分してください!(今年 2018年 筑波大学附属中学)

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下の図は、平行四辺形の紙から

大きさの異なる平行四辺形の紙を切り取ったものです。

この紙を1本の直線で二等分するためには、

どのように切ればよいですか。

切り目を解答用紙にかきなさい。

なお、切り目をかく際に用いた線は消さないでおくこと。

Bandicam_20180716_092333312

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平行四辺形の2等分線は対角線の交点を通ります。

したがって、図のように2つの平行四辺形に分け、

それぞれの対角線の交点を通る線が

この図形の2等分線になります。

Bandicam_20180716_094255522

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682

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2018年7月15日 (日)

平行四辺形の面積の何倍?(今年 2018年 鎌倉学園中学)

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図のように,平行四辺形ABCDがあります。

点Eが辺BCを2等分する点のとき、

色部分の面積は平行四辺形ABCDの面積の何倍ですか?

7151_2


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7152_2

△赤と△緑は相似で、相似比は2:1

AP:PE=2:1

△ABEと△緑の面積比は、③:①

△ABC=⑥

平行四辺形ABCD=⑫

△OBC=③

黄色部分=③-①=②

したがって、平行四辺形の、②/⑫=1/6倍

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682

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2018年7月12日 (木)

アの角度は何度?(今年 2018年 青山学院中等部)

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長方形ABCDがあります。

図のように、頂点Cを辺AD上の点Eに合わせて折り、

さらに点Fを点 Eに合わせて折りました。

アの角度は何度ですか?

7121

Pce0222

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7122

∠CFG=∠EFG=(180-110)÷2=35°

∠FGC=∠FGE=180-(35+90)=55°

∠HEF=∠HFE=35°より

∠FHI=∠EHI=(180-35×2)÷2=55°

∠HEG=90-35=55°

∠EHG=180-55×2=70°

∠ア=55+70=125°

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682

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2018年7月11日 (水)

この図形の面 積は?(今年 2018年 早稲田中学)

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図は半円と中心角が90度のおうぎ形を組み合わせた図形です。

この図形の面 積は何㎠ですか。

円周率は3.14とします。

7111

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半円の半径を□cmとすると、

(2×□)×(2×□)=4×4×2 なので、

□×□=8

半円の面積は、

8×3.14÷2=4×3.14

おうぎ形から真ん中の直角二等辺三角形を引くと、

4×4×3.14×1/4-4×4÷2

=4×3.14-8

求める面積は、

4×3.14×2-8

=25.12-8

=17.12㎠

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682

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2018年7月 9日 (月)

おうぎ形の回転(今年 2018年 学習院中等科)

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下の図は半径が6cm、半径にはさまれた角度が42度のおうぎ形を

点Aを中心として回転したものです。

このとき、次の問いに答えなさい。

7091

(1)おうぎ形を何度回転させたか求めなさい。

(2)色をつけた2つの部分アとイの面積の差を求めなさい。

  ただし、円周率を3.14とします。

(3)角ウの大きさを求めなさい。

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7092

(1)AOはAO'に回転したので、

∠AO'P=42°より、

回転した角度=∠OAO'=180-(42+76)=62°

(2)おうぎ形O'ABとおうぎ形AO'Oは△AO'Pが共通なので、

ア-イ=2つのおうぎ形の面積差となり、

6×6×3.14×62/360-6×6×3.14×42/360

=6×6×3.14×(62/360-42/360)

36×3.14×1/18

=2×3.14

=6.28㎠

(3)ACはABに回転したので、AC=AB

△ABCは二等辺三角形になり、∠BAC=62°より、

∠ABC=(180-62)÷2=59°

∠O'BA=(180-42)÷2=69°

∠ウ=180-(59+69)=52°

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682

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2018年7月 6日 (金)

色のついた部分の面積は?(今年 2018年 頌栄女子学院中学)

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下の図は、半径12cmの円で、点A~Hは円周を8等分する点です。

色のついた 部分の面積を求めなさい。

7061

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真ん中の緑部分を等積移動します。

7062

さらに等積移動すると、下図のようになり、

7063

求める面積は、

円の3/4から赤い部分(1辺が12cmの正方形)を引きます。

12×12×3.14×3/4-12×12

=12×12×(3.14×3/4-1)

=144×1.355

=195.12㎠

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682

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2018年7月 4日 (水)

太朗君が持っていたコインの枚数は?(今年 2018年 麻布中学)

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太朗君と次朗君がコインを何枚か持っています。

最初、太朗君の持っている枚数は次朗君の1. 5倍でした。

その後、次朗君が太朗君にコインを40枚わたしたところ、

太朗君の持っている枚数は次朗君の 3.5倍になりました。

最初に太朗君が持っていたコインの枚数は何枚でしたか?

42

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最初のコインの枚数比は、

次朗:太朗=1:1.5=2:3

コインを渡した後は、

次朗:太朗=1:3.5=2:7

全体の枚数は変わらないので、比の合計を45でそろえると、

次朗:太朗=2:3=18:27
次朗:太朗=2:7=10:35

18-10=8が40枚に当たることがわかります。

7041

したがって、最初の太朗の枚数は、

40×27/8=135枚

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682

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2018年7月 1日 (日)

Oが動いた軌跡は?(今年 2018年 春日部共栄中学)

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半径5cmで中心角が90°のおうぎ形OABが

図のように直線XY上にあります。

このおうぎ形が直線上をすべることなく回転して、

再び辺OAが直線XYに重なる まで転がります。


7011


(1)点Oが移動する道のりを図示しなさい。

(2)(1)で図示した道のりの長さを求めなさい。


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7011


(1)最後はイの位置から、Oを中心に90°右に回転するので、

Oは動きません。

したがって、Oの軌跡は図の赤線のようになります。

Bandicam_20180701_090601157_2
(2)AB間はおうぎ形の弧の長さの直線になるので、

軌跡の長さは、弧の3個分、円周の3/4になるので、

5×2×3.14×3/4=23.55cm

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682

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