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2018年4月12日 (木)

長さの比は?(今年 2018年 大妻中学)

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底面が正方形である直方体ABCD-EFGHがあります。

図のように点Aから点Eまで側面に沿って

長さが最も短くなるように糸を2周巻きます。

その後、3点 A、C、Fを通る平面でこの直方体を

巻きついている糸とともに切ります。

点Bを含む立体に巻きついていた糸の長さと、

点Dを含む立体に巻きついていた糸の長さの比を

最も簡単な整数の比で求めなさい。

4121

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この直方体を横に広げると図のようになり、

最短距離の糸は赤線で示すように直線になります。

切り口は青線です。

4122

△AOCと△NOPは相似で、

ABの長さを2とすると、

AC:NP=4:5 より、AO:ON=4:5

△ESFと△NSPも相似で、

EF:NP=2:5 より、

ES:SN=2:5

△ERFと△RQ も相似で、

EF:NQ=2:7 より、

ER:RN=2:7

4+5=9、2+5=7、2+7=9 より、

比をそろえるために、AN=NE=7×9=63 とすると、

AO:ON=28:35

ES:SN=18:45

ER:RN=14:49

RS=18-14=49-45=4 とわかります。

△AFC内の糸の長さは、8+4=32

それ以外の長さは、35+14+45=94

32:94=16:47

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